PRÁCTICA 1 Sucesiones y series de números reales

Transcripción

1 practica.b PRÁCTICA Sucesioes y series de úmeros reales El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales. Utilizaremos las órdees: Limit, para calcular límites de alguos tipos de sucesioes y Sum para calcular la suma de ua serie. Veremos u estudio detallado de la covergecia de ua serie aplicado criterios de covergecia así como ua aplicació de las órdees NSum y EulerSum.. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES à EJEMPLO.. Cosideremos la sucesió 8a < = 8 ÄÄÄÄÄÄÄÄÄ + < e Defiimos el térmio geeral de la sucesió I[]:= a@_d := + Geeramos ua tabla co los primeros térmios de la sucesió

2 practica.b I[]:= term = Table@a@D, 8,, 00<D Out[]= 9, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 30, 3, 3, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 4, 4, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 5, 5, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 6, 6, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 7, 7, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 8, 8, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 9, 9, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 00, 0 = Tambié podemos visualizar alguos térmios I[3]:= a@d Out[3]= I[4]:= a@7d Out[4]= 8 Los represetamos gráficamete mediate I[5]:= ListPlot@term, PlotStyle PoitSize@0.0DD;

3 practica.b 3 Gráficamete podemos observar que la sucesió es decreciete, está acotada etre 0 y y tiee de límite 0. Para probar el decrecimieto vemos si a + a I[6]:= a@ + D < a@d êê Simplify Out[6]= > 0 Podemos forzar a Mathematica para trate de deciros si la desigualdad aterior es cierta, para ello le idicaremos que es u úmero atural (etero positivo). I[7]:= FullSimplify@a@ + D < a@d, Itegers fl > 0D Out[7]= True Para la acotació comprobamos si es cierto que 0 y so las cotas iferior y superior respectivamete I[8]:= FullSimplify@0 < a@d <, Itegers && > 0D Out[8]= True El símbolo && e la expresió aterior idica el operador lógico "y" que tambié puede idicarse co el símbolo fl de la paleta BasicImput. Por último, calculamos el límite I[9]:= Limit@a@D, IfiityD Out[9]= 0 o tambié I[0]:= Limit@a@D, D Out[0]= 0 Mathematica tambié soporta el empleo de subídices (véase la paleta BasicImput). De esta forma podríamos haber defiido uestra sucesió mediate la expresió I[]:= a _ := +

4 practica.b 4 ü EJEMPLO.. Estudiemos las sucesioes {c } = 8H ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ L< y {d 3 + e } = 8H-L + ÄÄÄÄ < e Observació: Hay veces que la fució Limit o os proporcioa el límite de determiadas expresioes. Esto suele depeder de la versió del programa que estemos utilizado. Podemos ampliar el repertorio de expresioes para las cuales el programa Mathematica puede calcular su límite cargado el paquete Calculus`Limit`. Defiimos el térmio geeral de la sucesió y calculamos el límite I[]:= c _ := 3 + I[3]:= Limit@c, D Out[3]= 0 Si hacemos lo mismo co la sucesió {d } I[4]:= d _ := H L + I[5]:= Limit@d, D Iterval@80,π<D Out[5]= Mathematica o os da el límite. E este caso es debido a que se trata de ua sucesió oscilate, puede probarse que admite dos sucesioes parciales que tiee diferete límite. I[6]:= d Out[6]= H L + Observemos quemathematica o recooce que H L =, dado quemathematica o recooce a como u umero atural. I[7]:= FullSimplify@d, ItegersD Out[7]= + I[8]:= Limit@FullSimplify@d, ItegersD, D Out[8]=

5 practica.b 5 I[9]:= Limit@%, D Out[9]= I[0]:= d Out[0]= H L I[]:= FullSimplify@d, ItegersD Out[]= + + I[]:= Limit@FullSimplify@d, ItegersD, D Out[]= ü EJEMPLO.3. Sucesioes recurretes Podemos defiir la sucesió recurrete x =, x = è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! + x -, > de la forma siguiete: I[3]:= x = ; x _ := è!!!!!!!!!!!!!!!!! + x ; Podemos ver alguos térmios de la sucesió {x } I[5]:= x 3 Out[5]= "################ + è!!! I[6]:= x 4 Out[6]= $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! I[7]:= x 0 ) ) ) ) Out[7]= ( + ( + ( + ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! Podemos utilizar la istrucció For para geerar los cico primeros térmios

6 practica.b 6 I[8]:= For@ =, 0, ++, Prit@x DD è!!! "################ + è!!! $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ( + ( + ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ) ( + ( + ( + ( +&''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! ) ) ) ) ( + ( + ( + ( + ( + &''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' + $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% + "################ + è!!! Los valores ateriores so poco útiles si lo que pretedemos es estudiar la mootoía y la acotació. Geeramos los valores aproximados

7 practica.b 7 I[9]:= For@ =, 0, ++, Prit@N@x DDD Si represetamos los térmios podemos observar que la sucesió es moótoa y acotada. I[30]:= ListPlot@Table@x, 8,, 5<D, PlotRage 80, <, PlotStyle PoitSize@0.05DD; La sucesió es covergete. Si embargo, si tratamos de calcular su límite mediate la istrucció Limit, el programa queda imerso e u proceso recursivo ifiito y o es capaz de mostraros el valor del límite. Pero si otamos por L al límite de la sucesió, e el caso de exista debe cumplirse L= è!!!!!!!!!!!! +L, por lo que podemos pedir al programa que resuelva la ecuació.

8 practica.b 8 I[3]:= SolveAL è!!!!!!!!!!! + LE Out[3]= 99L I +è!!! 5M== Luego el límite es ÅÅÅÅ I +è!!! 5M E el siguiete ejemplo cosideramos la sucesió de Fiboacci: I[3]:= x = ; x = ; x _ := x + x I[34]:= term = Table@x, 8,, 5<D Out[34]= 8,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60< I[35]:= ListPlot@term, PlotStyle PoitSize@0.05DD; E la represetació gráfica podemos observar que la sucesió es moótoa creciete y o mayorada.. SERIES DE NÚMEROS REALES I[36]:= Clear@D; ü EJEMPLO. Estudio de la serie = ÄÄÄÄÄÄ Se puede hacer el estudio de la serie desde distitos putos de partida:

9 practica.b 9 A) Comprobado si se cumple la codició ecesaria de covergecia y aplicado, e su caso, u criterio de covergecia Defiimos el térmio geeral de la serie y calculamos su límite I[37]:= a _ := Vemos si cumple la codició ecesaria de covergecia de series, es decir, si lim Ø ÅÅÅÅÅ = 0. I[38]:= Limit@a, D Out[38]= 0 Aplicamos el criterio de D'Alembert o del cociete I[39]:= LimitA a +, E a Out[39]= El límite obteido es meor que, por lo que dicho criterio os permite afirmar que la serie = ÅÅÅÅÅ es covergete; auque de esta forma sólo podemos afirmar que es covergete pero o obteemos el valor de la suma. B) Calculado directamete la suma de la serie mediate la istrucció Sum I[40]:= Sum@a, 8,, <D Out[40]= De este resultado podemos asegurar que la serie es covergete (su suma es ) La istrucció aterior puede escribirse usado la paleta basiciput I[4]:= a = Out[4]= C) Otra forma de estudiar el carácter de ua serie y hallar su suma es a partir de la sucesió de sumas parciales. E este ejemplo, el programa Mathematica os da la expresió explícita del térmio geeral de la sucesió de sumas parciales de la serie

10 practica.b 0 I[4]:= A _ = k= a k Out[4]= H + + L La suma de la serie vedrá dada por el límite de la sucesió de sumas parciales obteida ateriormete I[43]:= Limit@A, D Out[43]= Como el resultado es, la sucesió de sumas parciales de la serie es covergete (sumable) y su suma es. ü EJEMPLO. Estudio de la serie = Defiimos el térmio geeral : ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ HLogHLL I[44]:= a _ := HLog@DL Codició ecesaria de covergecia I[45]:= Limit@a, D Out[45]= 0 Aplicamos el criterio de la raíz -ésima I[46]:= LimitA è!!!!!! a, E Out[46]= 0 Al ser el límite meor que el criterio de la raiz os permite afirmar que la serie es covergete. Si itetamos calcular el térmio geeral de la sucesió de suma parciales de la serie para hallar el valor de la suma de la serie, el programa o lo calcula I[47]:= A _ = a k k= Out[47]= Log@kD k k=

11 practica.b Tampoco os da el valor de la suma de la serie I[48]:= a = Out[48]= Log@D = Por los resultados vemos que, e este caso, Mathematica o os proporcioa i el térmio geeral de la sucesió de sumas parciales i la suma directamete. à Si embargo podemos obteer u Valor aproximado de la suma de ua serie de varias formas: co el comado N o co las fucioes NSum y EulerSum. La fució EulerSum está icluida e el paquete NumericalMath`NLimit` y opera co gra eficacia cuado la serie es alterada o cuado el térmio geeral es del tipo p() r, siedo p() u poliomio e. ) Utilizado el comado N (os da u valor aproximado) I[49]:= NA a E = Out[49]= 3.46 I[50]:= NA a, 0E = Out[50]= ) Utilizado la istrucció NSum (os da u valor aproximado de la suma de la serie) I[5]:= NSum@a, 8,, <D Out[5]= ) Utilizado la istrucció EulerSum (icluida e el paquete NumericalMath`NLimit`) I[5]:= << NumericalMath`NLimit` I[53]:= EulerSum@a, 8,, <D Out[53]= 3.46

12 practica.b ü Ejemplo.3 Estudiar la serie H = L H 3 + L º) Escribimos el térmio geeral de la serie I[54]:= a _ := i k j y z { H 3 + L Como se trata de ua serie alterada estudiamos su covergecia absoluta (estudiamos la serie de los valores absolutos y aplicamos el criterio del cociete) I[55]:= LimitA Abs@a +D Abs@a D, E Out[55]= Como el límite obteido es meor que, la serie es absolutamete covergete. Calculamos su suma: I[56]:= NA a E = Out[56]= Y u valor aproximado: I[57]:= EulerSum@a, 8,, <D Out[57]= ü Ejemplo.4 Probar que la serie = H L se H π Les covergete. 3 Obteer u valor aproximado de la serie co ua precisió de 3 cifras decimales. º) Escribimos el térmio geeral de la serie I[58]:= a _ := H L SiA π 3 E º) Aplicamos el criterio de Leibiz y vemos si se cumple las dos codicioes: a) lim Ø»a» = 0 b) La sucesió {»a»} es decreciete I[59]:= Limit@Abs@a D, D Out[59]= 0

13 practica.b 3 I[60]:= FullSimplify@Abs@a D > Abs@a + D, Itegers fl > 0D Out[60]= SiA π 3 E > SiA π H + L 3 E Luego Mathematica o es capaz de resolver la desigualdad aterior. Utilizado la represetació gráfica de los térmios de la sucesió {»a»} I[6]:= ListPlot@Table@Abs@a D, 8,, 00<DD; Se observa que la sucesió {»a»} es decreciete y tiede a cero. Por tato se cumple las codicioes de Leibiz y la serie dada es covergete. Si otamos por {A } a la sucesió de sumas parciales y por S a la suma de la serie, se cumple que»s-a» <»a +». Por tato si queremos coseguir ua aproximació co 3 cifras decimales exactas basta lograr que»a +» < ÅÅÅÅ 0-3. Esto puede hacerse de la siguiete forma: I[6]:= = ; WhileATrue, IfAAbs@a + D < 0 3, Prit@"=", D; Break@D, = + EE =8 Luego basta sumar los 8 primeros térmios. El valor aproximado será I[64]:= Clear@D; 8 NA a k E k= Out[65]= El valor aproximado que os da el programa es

14 practica.b 4 I[66]:= NSum@a, 8,, <D Out[66]= EJERCICIOS PROPUESTOS: Dada la sucesió {a }={ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ } Se pide: a) Geerar los 50 primeros térmios y represetarlos gráficamete. b) Estudiar la mootoía y la acotació. c) Calcular el límite.. Dada la sucesió de úmeros reales {b }=9I + ÄÄÄÄ M cosh pl= Se pide: Estudiar la covergecia 3. Estudiar el carácter de la serie ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ y, si es posible, calcular la suma. H4 -L H4 +3L 4. Hallar u valor aproximado de la suma de la serie H-L seh ÄÄÄÄ p L =