Reinaldo Núñez Universidad Sergio Arboleda

Transcripción

1 ACERCA DEL TRIÁNGULO DE PASCAL Reinldo Núñez Universidd Sergio Aroled El Triángulo de Psl es un onepto que se ve en l seundri undo se desrroll ( ) n o lguns vees omo un simple uriosidd. Se quiere mostrr prte de l riquez mtemáti que ofree este triángulo pr prtir un onstruión, explorr diferentes suesiones, her extensiones los enteros módulo n y sus reliones on el triángulo Sierpinski; tmién es útil, medinte un proeso de opi, pr onstruir l pirámide de Psl pr el desrrollo de ( ) n y lguns reliones mtriiles. RESEÑA HISTÓRICA El Triángulo de Psl dee su nomre l mtemátio Blise Psl, siglo XVII, sin emrgo, vrios mtemátios ntes de Psl y lo onoín y plin este onoimiento. Por ejemplo, en Chin y Persi lo desurieron de form independiente lrededor del siglo XI. Chi Hsien (. 5), un mtemátio hino, demostró que el Triángulo se podí usr pr extrer ríes udrds y úis de números; vrios lgerists hinos usn el triángulo pr resolver euiones de orden superior tres. El Triángulo de Psl fue esrito de l form omo lo onoemos por el mtemátio hino Zhu Shijie. UNA CONSTRUCCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL Un form de onstruir el Triángulo de Psl onsiste en usr ténis de onteo. Oservemos el siguiente desrrollo: ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Núñez, R. (). Aer del Triángulo de Psl. En P. Perry (Ed.), Memoris del º Enuentro de Geometrí y sus Apliiones (pp. 9-98). Bogotá, Colomi: Universidd Pedgógi Nionl.

2 A prtir de esto se tiene que l últim expresión está dd por l siguiente regl de onteo: en d desrrollo se uentn ls que se enuentrn en d ftor, es deir: Pr el primer ftor se tiene que su expresión es se enuentrn tres () letrs, luego se expres omo. En el segundo ftor se tiene, en ést y en d uno de los tres () sumndos hy dos (), luego se expres omo En el terer ftor se tiene hy dos (), luego se expres omo. y en d sumndo En el último ftor tenemos que no hy ningun, luego se expres. De form generl, si se ontinur on est onstruión se tendrí l representión del Triángulo de Psl que se muestr en l Figur. El Triángulo de Psl puede expresrse en form de triángulo isóseles omo en l Figur.. Figur. Triángulo de Psl omintori Figur. Triángulo de Psl isóseles Tmién se puede onoer en form de un triángulo retángulo. 9

3 Figur. Triángulo de Psl retángulo EXPLORACIÓN Triángulo de Sierpinski El Triángulo de Sierpinski es un frtl onstruido prtir de ulquier triángulo. Figur. Construión del Triángulo de Sierpinski Ahor ien, tomndo el Triángulo de Psl y seleionndo un olor pr los números impres y otro pr los pres se enuentr un relión muy prtiulr on el nterior frtl. Figur 5. Triángulo de Psl su relión on el triángulo de Sierpinski 95

4 Suesiones del Triángulo de Psl Suesión de Número de Fioni L suesión de Fioni es,,,,, 5, 8,,,... Cd número de l suesión está dd por l sum de los dos nteriores. En el Triángulo de Psl se pueden enontrr los números de est suesión de l siguiente form: primero dee siturse un uno en el triángulo, posterior esto se tom el número sore éste y se trsld l ldo dereho, oteniendo sí un número de l suesión de Fioni. Figur. Suesión de Fioni en el Triángulo de Psl Otrs suesiones En l siguiente representión del Triángulo de Psl se pueden oservr suesiones omo: l onstnte (en l primer olumn); los números nturles (segund olumn); números tringulres (terer olumn) y los números tetrédrios en l olumn utro. Figur 7. Triángulo de Psl y otrs suesiones 9

5 REPRESENTACIÓN DEL TRIÁNGULO EN Z Y Z L siguiente es l onstruión del Triángulo de Psl en Z y Z ; ests onstruiones tienen un ptrón preido l del triángulo de Sierpinski. Figur 8. Representión del Triángulo de Psl en Z Figur 9. Representión del Triángulo de Psl en Z LA PIRÁMIDE DE PASCAL L Pirámide de Psl se onstruye de l siguiente mner: olomos en l punt un uno (). Pr el siguiente nivel olomos en d esquin del triángulo. El terer y urto nivel se onstruyen sumndo los números que están en los ldos lterles del triángulo omo se muestr en l Figur. Figur. Pirámide de Psl Figur. Pirámide de Psl Figur. Pirámide de Psl Continundo el proedimiento nterior se tienen los niveles quinto y sexto, oteniendo l pirámide que se muestr en l Figur. Finlmente se tiene l pirámide de l Figur. 97

6 98 Ahor ien, desrrollndo se puede ver que se otienen los números de l pirámide nterior. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MATRICES DE PASCAL Ls Mtries de Psl son mtries infinits que ontienen los oefiientes inomiles. Algunos ejemplos: : Son mtries expresds de form tringulr inferior. ( ) L, L, L, L Figur. Mtries de Psl inferiores : Son mtries expresds de form tringulr inferior. ( ) U, U, U, U Figur. Mtries de Psl superiores definid omo