Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

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1 E.E.I. CÁLCULO II Y ECUACIONES DIFERENCIALES Curso Lección 23 (Martes 25 abr 2017) Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. 1. Observaciones generales sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. 2. Solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales 3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. 4. Reducción de un sistema de dos ecuaciones de primer orden a una ecuación de segundo orden 5. Ejercicios 1. Observaciones generales sobre los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior al primero siempre se pueden reducir a sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden. Para hacer esto no hay más que dar nombre a las sucesivas derivadas de la incógnita (por ejemplo, u(x) = f (x), v(x) = f (x), w(x) = f (x), etc.), de forma que la derivada más alta pasa a ser una derivada primera. Después sólo queda expresar estas igualdades en términos de derivadas primeras solamente (es decir: u(x) = f (x), v(x) = u (x), w(x) = v (x), etc.), y utilizar esos nombres en lugar de las correspondientes derivadas de la incógnita en la ecuación dada. Así, una ecuación tal como 2(y ) 2 5 sen(y ) + xyy = 0 se sustituiria por el sistema y = u u = v xyv = 2v sen u. 2. Solución general de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales Un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para las funciones x(t), y(t) tiene la forma general: x = a 1 (t)x + b 1 (t)y + f 1 (t) y = a 2 (t)x + b 2 (t)y + f 2 (t). o, en forma vectorial, r (t) = A(t)r(t) + f(t). (1) donde r(t) es el vector formado por las funciones incógnitas y f(t) es el vector formado por los términos independientes, ( ( ) x f1 r =, f =. y) f 2 Si las funciones f 1 (t) y f 2 (t) son ambas idénticamente cero (son ambas la función cero) entonces el sistema es un sistema homogéneo. Una solución de este sistema en el intervalo [a, b] es un par de funciones x(t), y(t) tales que para todo punto t de dicho intervalo cumplen dichas ecuaciones. Por ejemplo, el par de funciones x = e 2t, y = 2e 2t es una solución en toda la recta real, [, + ], del sistema homogéneo: x = 4x y y = 2x + y. 1

2 Usando una expansión en serie de Taylor es fácil demostrar que dado t 0 en [a, b] y dados dos números cualesquiera x 0, y 0, existe a lo sumo una solución del sistema (1) en [a, b] y tal que x(t 0 ) = x 0 e y(t 0 ) = y 0. La linealidad del sistema implica (exactamente igual que para los sistemas de ecuaciones lineales algebraicas) que los sistemas homogéneos cumplen el Principio de Superposición: Toda combinación lineal de soluciones de un sistema homogéneo es de nuevo una solución del sistema. Por último, la solución general de un sistema como (1) es una solución particular cualquiera sumada a la solución general del sistema homogéneo asociado. La solución general de un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales homogéneas consiste en las combinaciones lineales de dos soluciones independientes. Esta independencia lineal la mide el siguiente determinante Wronskiano de las dos soluciones: ( ) x1 (t) x W (t) = det 2 (t) = det[r y 1 (t) y 2 (t) 1 (t) r 2 (t)]. Al igual que ocurría con el wronskiano de dos soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden definidas en un intervalo [a, b], esta función wronskiano tiene la propiedad de ser o bien idénticamente cero en [a, b] o bien ser distinto de cero en todo punto de [a, b]. Nuestro siguiente objetivo es estudiar la forma de hallar la solución general de los sistemas homogéneos, de los cuales un caso que aparece con mucha frecuencia es el de los sistemas con coeficientes constantes. 3. Sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. En esta sección vamos a estudiar la solución general de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden lineales y homogéneas. Según hemos visto, tal sistema es de la forma: x = a 1 x + b 1 y y = a 2 x + b 2 y (2) donde los coeficientes a 1, a 2, b 1, b 2 son constantes. Para resolverlo ensayamos una solución de la forma: x = Ae mt, y = Be mt, x = mae mt y = mbe mt (3) Lo cual nos lleva ( a la conclusión de que esto sólo es posible si m es un valor propio de la matriz de A coeficientes y es un vector propio de m. Los valores propios de la matriz de coeficientes son las B) raices del polinomio característico ( ) a1 m b det 1 = m 2 (a b 2 m 1 + b 2 )m + a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 y conviene distinguir tres casos: Caso 1: Autovalores reales distintos, (a 1 + b 2 ) 2 4(a 1 b 2 a 2 b 1 ) > 0. En este caso se obtienen los autovalores m 1,2 = 1 ( a1 + b 2 ± (a 1 + b 2 ) 2 4(a 1 b 2 a 2 b 1 ) ) y basta hallar un autovector para cada uno de ellos, lo cual nos proporciona dos soluciones independientes: x = A 1 e m1t x = A 2 e m2t, y = B 1 e m1t y = B 2 e m2t, y co ellas podemos dar la solución general: x = c 1 A 1 e m1t + c 2 A 2 e m2t y = c 1 B 1 e m1t + c 2 B 2 e m2t 2

3 Caso 2: Autovalores complejos conjugados, (a 1 + b 2 ) 2 4(a 1 b 2 a 2 b 1 ) < 0. En este caso se obtienen dos autovalores complejos m 1,2 = 1 2( a1 + b 2 ± i 4(a 1 b 2 a 2 b 1 ) (a 1 + b 2 ) 2) = a ± bi. Si elegimos uno cualquiera de ellos, m = a + bi, podemos calcularle un autovector, cuyas componentes serán en general números complejos: ( ) A1 + A 2 i B 1 + B 2 i Esto nos proporciona una solución compleja: x = (A 1 + A 2 i)e (a+bi)t = (A 1 + A 2 i)e at e ibt = e at (A 1 + A 2 i)(cos bt + i sen bt) y = (B 1 + B 2 i)e (a+bi)t = (B 1 + B 2 i)e at e ibt = e at (B 1 + B 2 i)(cos bt + i sen bt) Si separamos las partes real e imaginaria de esta solución: x = e at (A 1 + A 2 i)(cos bt + i sen bt) = e at( ) (A 1 cos bt A 2 sen bt) + i(a 2 cos bt + A 1 sen bt) y = e at (B 1 + B 2 i)(cos bt + i sen bt) = e at( ) (B 1 cos bt B 2 sen bt) + i(b 2 cos bt + B 1 sen bt) se puede comprobar que éstas nos proporcionan dos soluciones reales independientes: x = e at (A 1 cos bt A 2 sen bt) y = e at (B 1 cos bt B 2 sen bt) x = e at (A 2 cos bt + A 1 sen bt) y = e at (B 2 cos bt + B 1 sen bt) Caso 3: Autovalores reales iguales, (a 1 + ( b 2 ) 2 4(a 1 b 2 a 2 b 1 ) = 0. En este caso sólo tenemos un A autovalor m = 1 2 (a 1 + b 2 ) y un autovector, lo que nos proporciona una solución: B x = Ae mt, y = Be mt. Para obtener una segunda solución independiente, ensayamos una de la forma: x = (p 1 + q 1 t)e mt, y = (p 2 + q 2 t)e mt. Al sustituir estas expresiones en las ecuaciones de nuestro sistema, se obtienen ecuaciones lineales para los coeficientes p 1, p 2, q 1, q 2. Vamos a ver cómo funciona esto con un ejemplo: Ejemplo: Consideremos el sistema: Al calcular la ecuación característica se obtiene: x = 3x 4y y = x y m 2 2m + 1 = 0 la cual tiene una sola solución: m = 1. Un autovector asociado a este autovalor es cualquier solución no trivial de A 2B = 0, por ejemplo A = 2, B = 1. Esto nos da la solución x = 2e t, y = e t. Para obtener una segunda solución independiente, ensayamos una de la forma: x = (p 1 + q 1 t)e t, y = (p 2 + q 2 t)e t. x = q 1 e t + (p 1 + q 1 t)e t = (q 1 + p 1 + q 1 t)e t, y = q 2 e t + (p 2 + q 2 t)e t = (q 2 + p 2 + q 2 t)e t. 3

4 Al sustituir estas expresiones en las ecuaciones de nuestro sistema, se obtienen ecuaciones q 1 + p 1 + q 1 t = 3(p 1 + q 1 t) 4(p 2 + q 2 t), q 2 + p 2 + q 2 t = (p 1 + q 1 t) (p 2 + q 2 t), (4) que deben ser válidas para todo t. Igualando los coeficientes de t se obtiene: q 1 = 3q 1 4q 2, q 2 = q 1 q 2. De aquí: q 1 = 2, q 2 = 1. Teniendo en cuenta estos valores e igualando los términos independientes en (4) se obtiene: 2 + p 1 = 3p 1 4p 2, 1 + p 2 = p 1 p 2. De aquí: p 1 = 1, p 2 = 0, con lo que la segunda solución es: x = (1 + 2t)e t y = te t y la solución general es: x = (2c 1 + c 2 + 2c 2 t)e t, y = (c 1 + c 2 t)e t. 4. Reducción de un sistema de dos ecuaciones de primer orden a una ecuación de segundo orden Consideremos un sistema general de dos ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: x = a(t)x + b(t)y + f(t) y = c(t)x + d(t)y + g(t). (5) Este sistema se puede reducir a una ecuación diferencial lineal de segundo orden de la siguiente forma: Primero despejamos el término b(t)y de la primera ecuación y calculamos la derivada de la expresión resultante: b(t)y = x a(t)x f(t), b y + by = x a x ax f (t) (donde, por claridad, hemos omitido el argumento de las funciones a, a, b y b ). De esta forma obtenemos una expresión para b(t)y y otra para b(t)y que podemos introducir en la segunda ecuación previamente multiplicada por b(t), y obtenemos una ecuación lineal de segundo orden para x(t), x ( a + d + b b ) x + ( ad bc + ab a b b ) x = g(t) + f (t) ( ) d + b b f(t) El caso en el que b(t) es constante, b = 0 y la ecuación para x(t) se simplifica: x ( a + d ) x + ( ad bc a ) x = g(t) + f (t) df(t) Si el sistema de partida tenía cofeicientes constantes, entonces esta ecuación también tiene coeficientes constantes y podemos resolverla por los métodos ya estudiados. (Obsérvese que también resultaría esta ecuación con coeficientes constantes para cualquier sistema con a (t) y b(t) constantes siempre que la matriz de coeficientes tenga traza y determinante constantes.) Ejemplo: Vamos a aplicar este método al siguiente sistema: x = 2x + y y = x + 2y + e 2t. 4

5 Despejando en la primera ecuación y = x 2x y sustituyendo y e y = x 2x en la segunda ecuación: x 2x = x + 2x 4x + e 2t o sea: x 4x + 3x = e 2t. La ecuación característica tiene raíces: m 12 = 2 ± 4 3, m 1 = 3, m 2 = 1. Dos soluciones independientes de la homogénea son x 1 = e 3t e x 2 = e t. Usando coeficientes indeterminados, una solución particular es de la forma x p = Ae 2t y operando se encuentra que A tiene que ser A = 1, con lo que la solución es x = c 1 e 3t + c 2 e t e 2t y = c 1 e 3t c 2 e t. 5. Ejercicios 1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: x = 2x y = 3y. x = 4y y = x + 4y. x = x 2y y = 5x y. 2. Resuelve el siguiente problema de valores iniciales: y = 3x y x(0) = 1 y(0) = Halla la solución general de cada uno de los siguientes sistemas: x = 3x 4y y = x y. x = 3x + 4y y = 2x + 3y. y = 5x + 2y. d) x = 5x + 4y y = x + y. 4. Usa el método de reducción a una ecuación de segundo orden para hallar la solución general de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: x = 2x + y y = 4x + 3y. x = x + 5y y = 2x 5y. y = 3x y. 5. (Variación de parámetros para sistemas) Considera el sistema general x = a(t)x + b(t)y + f(t) y = c(t)x + d(t)y + g(t). Demuestra que si r 1 (t) = ( x 1 (t), y 1 (t) ) y r 2 (t) = ( x 2 (t), y 2 (t) ) son dos soluciones independientes del sistema homogéneo asociado, entonces dos funciones de la forma x = v 1 (t)x 1 (t) + v 2 (t)x 2 (t) y = v 1 (t)y 1 (t) + v 2 (t)y 2 (t) serán una solución particular del sistema completo si y sólo si las funciones v 1 (t) y v 2 (t) son una solución del sistema v 1(t)x 1 (t) + v 2(t)x 2 (t) = f(t) v 1(t)y 1 (t) + v 2(t)y 2 (t) = g(t). 5