Soluciones a la ecuación de Schrödinger

Transcripción

1 Dploaura versara e Ceca y Tecología Fsca III Docee: Clauda Gozález Clase 7: Solucoes a la ecuacó de Scrödger: Problea de la parícula e ua caja cuacó de Scrödger Observacó: os coearos y dscusó para las clases 7 8 y 9 se ecuera juos al al de la clase 9 aes de Probleas III. Solucoes a la ecuacó de Scrödger esa udad vereos cuales so las leyes o posulados que rge a la ecáca cuáca. Aplcareos la eoría a sseas sples a de apreder cual es el procedeo usual para la obecó de la ucó de oda. a vez obeda la ucó de oda vereos que ella os da oda la oracó esee sobre el ssea. s así coo e ecáca cuáca el esudo de u ssea plca ecorar su ucó de oda. Falee e esa udad vereos la descrpcó que la ecáca cuáca ace de sseas reales coo áoos y oléculas. Problea de la parícula e ua caja l ssea de ua parícula e ua caja es de los sseas ás secllos para esudar e ecáca cuáca. S ebargo ese ssea os pere apreder coo se procede e ecáca cuáca para la búsqueda de la ucó de oda de u ssea. Adeás ese ssea srve coo prera aproacó al coporaeo de u elecró que esá lbre para overse dero de ua olécula grade y reca. l ssea de ua parícula e ua caja cosse de ua parícula coada ere dos paredes rígdas separadas ua dsaca coo se uesra e la Fgura. Fgura

2 Veaos aora las caraceríscas del ssea de ora al que os ayude a ecorar la ucó de oda que lo descrba. a parícula se ueve dero de la caja a velocdad cosae o perde gaa eergía y la agud de su cadad de oveo p es cosae vea que dgo la agud ya que el vecor p caba de dreccó al cocar co las paredes. Dero de la caja la parícula se ueve lbreee y o esá sujea a gú poecal por lo que su eergía poecal es cero. S ebargo e los puos de 0 y es decr los puos correspodees a las paredes rígdas el poecal se ace o. so plca que la parícula o puede escaparse de la caja. gráco del poecal ejercdo sobre la parícula segú su poscó se uesra e la Fgura. 0 Fgura De esa aera sabeos que la parícula esá ere 0 y esperaos que la ucó de oda sea 0 uera de esa regó recuerde que d dá la probabldad de ecorar la parícula e d. Tabé parece íscaee razoable que sea coua es decr ua ucó que o presee dscoudades y por lo ao sea dervable e odos los. S lo es eoces debe ser cero e 0 y. A esas dos úlas codcoes se les llaa codcoes de cooro. a eergía y la agud del oeo de esa parícula so cosaes recuerde la parícula esa aslada y co velocdad cosae dero de la caja. Debdo a eso podeos decr que la parícula esá e u esado esacoaro coo vos e el áoo de Bor. ecáca cuáca se dee u esado esacoaro coo u esado co eergía be deda y que o varía co el epo. oces coo el esado del ssea o varía co el epo su ucó de oda que e ecáca cuáca descrbe el esado del ssea coo ya vereos ás adelae e uo de los posulados apoco varará co el epo. Adeás s la eergía ee u valor be dedo y cosae y dero de la caja la parícula solo ee eergía céca porque 0 la agud del oeo ee u valor be dedo. sado la relacó de de Brogle λ/p podeos decr que u oeo be dedo correspode a ua λ be deda y coo ya vos e la udad aeror por el prcpo de cerdubre u p 0 plca u. sa suacó puede ser descrpa por ua ucó susodal de ya que la ucó seo o coseo es ua oda que esá deslocalzada e odo el espaco. Por lo ao podeos escrbr ua ora posble de la ucó coo: A s k dode π k y se le llaa úero de oda. λ Aora be vos que por las codcoes de cooro ψ0 cuado 0 y cuado. a ucó propuesa e cuple co la codcó a 0 pero para que cupla co la codcó a debe cuplrse que kπ co sedo u úero eero que puede valer 3ec. De esa ora la codcó de cooro a esablece que el úero de oda de ψ debe cuplr co la codcó:

3 π k y la logud de oda λ será: λ π co k p luego sabedo que p/λ y coo eeos que p λ p dode agregaos el subídce e p y λ para dcar que correspode a los valores de esas varables segú el valor de cosderado. Veos eoces que las eergías so las úcas eergías perdas o posbles para la parícula e ua caja. a eergía del ssea de ua parícula e ua caja esá por lo ao cuazada. sa cuazacó surgó e la búsqueda de la ucó de oda que descrbe al ssea. Para cada valor de elegdo edreos u valor de y ua ucó de oda que se escrbrá coo: π A s 6 dode eos reeplazado k por el valor dado por la ecuacó. S gracaos ψ y para dsos valores de eeos las Fguras 3a y b respecvaee. Fgura 3 Veaos u ejeplo que ulce lo apreddo asa aora. Supogaos que quereos calcular la eergía del vel ás bajo de ua parícula e ua caja s la parícula es u elecró e ua caja de que es el aaño aproado de u áoo. Teeos eoces que segú 5 el vel ás bajo será co y edrá ua gual a: 3

4 J s J 5eV kg 50 0 ese valor esá dero del orde de agud de los veles de eergía aócos así que el odelo de la parícula e ua caja s be es u odelo uy burdo de u áoo da al eos el orde de agud correco. S aora reeplazaos al elecró por u euró kg y 0-4 que correspode a las desoes del úcleo uco as cco que el áoo obedreos que 7 MeV. Por lo ao veos que el odelo os srve para eeraros que la eergía de las parículas e el úcleo so u lló de veces ás grades que la de los elecroes e el áoo y eso es así so pese e Hrosa. Falee calculeos para ua bola de bllar 0 kg y 5 el aaño de ua esa edreos que J. se valor a cco os dca que s be la eergía de la bola de bllar esá cuazada o observareos eecos cuácos cuado jugueos al bllar ya que los veles de eergía esá a poco separados ere sí que se puede cosderar a la eergía coo coua. a Fgura 4 a y b uesra las ucoes ψ y ψ para dsos valores de. Fgura 4 Acá veos que el coporaeo de la parícula dere de lo predco e ecáca clásca. Segú la ecáca clásca odas las poscoes so gualee probables esá de acuerdo co eso o?. so o es así segú la ecáca clásca que predce probabldades derees para dsos segú la dsrbucoes dadas e la gura 4b. Icluso ψ 0 e ceros puos. Así que usedes se preguará y yo abé coo es posble que por ejeplo para segú la Fgura 4b la probabldad de ecorar la parícula e el cero de la caja es cero!. Cóo eoces pasa la parícula de u lado para el oro? a respuesa esá al aplcar el prcpo de cerdubre que os dca que ψ e u puo dado o ee sgcado ísco. o que ee sgcado ísco es la probabldad e ua regó d alrededor de dode ψ ya o será cero es decr ψ d. Bueo s se ja a la ucó de oda que propusos e 6 le ala cuplr co ua codcó que vos e la Clase 5 de la dad y que es que debe esar oralzada para que π d A s d ega sgcado de probabldad que la parícula esé e d alrededor de. Así que la ucó de oda debe cuplr co: 4

5 π d A s d 0 coocedo la relacó s θ cosθ la resolucó de la egral 7 pruebe de acerla da: por lo ao A A 8 eso os dca que A o ee u valor arbraro cualquera a dereca de las apludes de las odas cláscas. a epresó al de la ucó de oda es eoces: π / s Veaos s lo vso asa aora cuple co el prcpo de cerdubre. a varable puede oar valores ere -/ ± / supogaos que elegos 0 coo cero de la caja. oces /. Adeás sabeos que p por lo que para esar la cerdubre e el oeo podeos oar la dereca ere dos veles que dere e su valor de. Así que podeos cosderar p /. so os coduce alee a que p que es ayor que por lo que se cuple el prcpo de cerdubre. Por úlo podeos preguaros s la ucó de oda obeda e 9 ee algua depedeca eporal coo la ee las odas cláscas po cosw o sw. a respuesa es que ay ua depedeca susodal respeco al epo pero o puede eer la ora po cosw o sw porque s la depedeca uera de ese po la egral de oralzacó ecuacó 7 depedería del epo y la ucó de oda oralzada a u epo dado o esaría oralzada a oros epos y por lo ao o edría sedo ísco de probabldad. vez de eso la depedeca eporal puede escrbrse coo e w 4 cosw s w a esa relacó se la llaa órula de uler seguro que ya la vero e algú curso de aeáca. dode w es deerada por la relacó de de Brogle ν ya que w π v π / w Noe que el valor absoluo de e w es. S ulplcaos la ucó de oda 9 por e el valor de ψ o caba. Por lo ao e cálculos de esados co eergía deda esados esacoaros se puede or ese acor que o aecará los resulados ya que lo que pora íscaee es el valor de ψ. S quséraos agregarlo podríaos escrbr la ucó de oda de u esado esacoaro coo el produco de ψ e w. cuacó de Scrödger a ecuacó de Scrödger es la ecuacó básca e ecáca cuáca para deerar y. No la dervareos ya que es u prcpo pero veaos coo se relacoa co las ecuacoes de de Brogle. Supogaos uevaee la parícula e ua caja. y para esá dadas por: π s p 7 5

6 ulzado la relacó de de Brogle p/λ eeos: p k λ 8π Aora dervado dos veces la ucó de oda respeco a se puede deosrar que k ulplcado a abos lados por eeos 8π 0 8π que reeplazado obeeos π que es la ora ás sple de la ecuacó de Scrödger depedee del epo íjese que e gú oeo ablaos de el epo coo varable ya que djos aeroree que esábaos aalzado u esado esacoaro que o varaba co el epo. Hasa aora ablaos de ua parícula lbre salvo por la uerzas e el sae e que coca co la pared. Supogaos eoces que aora eeos ua eergía poecal que o varía co el epo pero que es deree de cero. a eergía oal de la parícula será p cosderado eso y usado que ue obeda cuado la eergía poecal 0 recuerde que dero de la caja el poecal es cero escrbos que es la ecuacó de Scrödger depedee del epo para casos e que la eergía poecal o es ula. Cóo sabeos que esa ecuacó es correca? Porque ucoa sus predccoes cocuerda co la epereca. Vea que segú la ecuacó s es solucó eoces C sedo C ua cosae abé será solucó. so da la lberad de poder sepre elegr ua C al que la Adeás para que sea solucó de la ecuacó debe ser coua y d. abé ya que abas cosas so codcoes ecesaras para que esa la dervada seguda salvo s. Aplqueos aora la ecuacó de Scrödger a la parícula e ua caja. a eergía poecal vale 0 0 e el reso del espaco Por lo ao 0 salvo dero de la caja. Debeos resolver la ecuacó dero de la caja que coo 0 eoces se correspode co la ecuacó. Rescrbedo eoces la ecuacó de Scrödger para el caso de poecal ulo eeos 3 6

7 as solucoes de esa ecuacó derecal ee la ora As k y Bcos k co k y A y B cosaes. so puede corarlo dervado dos veces respeco a cualquera de esas ucoes y verá que cuple co 3. Veaos eoces s esas ucoes cuple co las codcoes íscas propas del problea coo ser las codcoes de cooro que debe cuplrse para que sea coua e los puos 0 y y por cosguee sea válda la ecuacó de Scrödger e esos puos. a codcó de 0 cuado 0 la cuple solaee As k por lo que B debe ser cero. Para sasacer 0 cuado debe cuplrse que kπ para que la ucó seo se aga cero. coclusó las dos codcoes de cooro se sasace s π co lo que despejado eeos π 4 oe eoces que rápdaee obuvos los sos resulados para y que los obedos e la seccó aeror. Deegáoos u oeo a releoar sobre lo que vos. Obuvos de dos oras dsas la y del problea de la parícula e ua caja. Preraee e la seccó aeror aalzaos la ísca del problea y eso os peró probar ua posble ucó de oda que uos corrgedo asa acerla cuplr co las codcoes de cooro y oralzacó. No uvos que resolver la ecuacó de Scrödger gracas a que coocíaos perecaee la ísca de uesro problea. sa es ua ora basae corree de proceder e ecáca cuáca cuado el problea es suceeee coplejo coo para acer uy dícl la resolucó dreca de la ecuacó de Scrödger. Se suele propoer preraee solucoes posbles y se las vá corrgedo para que cupla co las caraceríscas del problea. a seguda ora que vos de obeer y ue ua ora ás rápda y dreca: resolvos la ecuacó derecal de Scrödger. el caso esudado de la parícula e ua caja ese úlo procedeo ue el ás rápdo. Pero o sepre es así ya que la resolucó de la ecuacó derecal suele presear seros probleas aeácos. procedeo usual e ecáca cuáca es el de splcar suceeee el problea edae aproacoes de al ora de llegar a ua suacó e que la ecuacó de Scrödger pueda resolverse. a vez coocda la que resuelve al problea splcado se ace correccoes sobre esa para obeer la correspodee al problea as coplejo. Ora cosa ás aes de erar co el ssea de ua parícula e ua caja. s ecesaro rearcar que e ese ssea se obee cosas be dsas segú s lo esudaos usado la ecáca clásca o la ecáca cuáca por supueso sepre que el ssea sea croscópco coo ya vos. as derecas ás poraes so: a probabldad de ecorar la parícula e dsos lugares de la caja. Segú la ecáca clásca ese la sa probabldad de ecorarla e cualquer poscó eras que la ecáca cuáca dá probabldades que varía segú ver Fgura 4b. Resolvedo la ecuacó de Scrödger obeeos que solo esá perdos ceros valores de dados por 4. S ebargo segú la ecáca clásca la parícula podría eer la que queraos. a aplud de la ucó de oda solo puede oar ceros valores de acuerdo co 8 eras que e geeral la aplud de ua oda clásca puede oar cualquer valor. a oracó sobre la parícula que obeeos e ecáca clásca es be dsa de la oracó que se obee e ecáca cuáca. ecáca clásca puede segur la rayecora se puede ver a la parícula coo se ueve y reboa co la pared coo se uesra e la gura. cabo e ecáca cuáca solo obeeos oracó de la dsrbucó de la probabldad e los dsos puos de la caja gura 4b y esa dsrbucó o varía co el epo. se abé ua versó de la ecuacó de Scrödger que cluye al epo coo varable. No la ecesaos para calcular los veles de y e los esados esacoaros para los cuales se usa. Solo se la ecesa cuado se quere esudar por ejeplo dealles de la rascó ere esados. a ora de la ecuacó de Scrödger depedee del epo es 7

8 5 que usado la ecuacó podeos escrbrla coo 6 Vaos a deducr aora la ecuacó de Scrödger depedee del epo ecuacó a parr de la ecuacó de Scrödger depedee del epo ecuacó 6 osrado así que la ecuacó 6 es u prcpo de la ecáca cuáca ás geeral que abarca abé el caso especal de la ecuacó. Busqueos eoces solucoes a 6 que pueda escrbrse coo 7 co lo que eeos que 8 9 lzado 8 y 9 e 6 eeos 0 dvdedo 0 a abos ebros por eeos l éro del lado zquerdo del sgo gual de la ecuacó o depede de la coordeada eras que el éro del lado dereco o depede del epo. Por lo ao coo eeos algo que o depede de que es gual a algo que o depede del epo abos ee que ser gual a ua cosae que o depede de del epo. A esa cosae la llaaos así que 3 Iegrado respeco a obeeos que C l por lo que aplcado la ucó epoecal a abos lados eeos / / c Ae e e Coo podeos clur A coo u acor e o perdeos geeraldad oédolo as que escrbos / e 4 Mulplcado aora 3 a abos lados por eeos 5 que o es ora que la ecuacó de Scrödger depedee del epo vsa e la ecuacó. Acabaos de obeer eoces la ecuacó de Scrödger depedee del epo a parr de la ecuacó de Scrödger depedee del epo. a ucó de oda oal que resuelve a la ecuacó de Scrödger depedee del epo cuado o depede del epo coo acabaos de supoer será / e 6 que correspode a u esado de eergía cosae es decr u esado esacoaro. 8