Observa que : OA + AB = OB a + AB = b AB = b a

Transcripción

1 .- PUNTOS EN EL ESPACIO Sistema de referencia Un sistema de referencia en el espacio es un conjunto formado por un punto de referencia O y la base ortonormal canónica B = i, j, k. Se representa así:. En un sistema de referencia, a cada punto P del espacio se le asigna el vector OP=(x,y,z), llamado vector de posición del punto P. El vector OP se suele representar por p (con minúsculas). Se definen las coordenadas del punto P como las componentes del vector p. Se representa así: P(x, y, z) Por ejemplo, el vector de posición del punto P(3,, ) es p=(3,-,) Vector determinado por dos puntos Sean dos puntos del espacio A(a, a, a 3 ) y B(b, b, b 3 ) Observa que : OA + AB = OB a + AB = b AB = b a Luego, para hallar AB restamos las coordenadas de B menos las de A Por ejemplo, si A(5,, 3) y B(, 4, ) entonces AB =(-,4,)-(5,-,3)=(-7,5,-) Ejercicio Del paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(,, 3), B(,, ) y C(3,, 3). Calcula las coordenadas del vértice D. Punto medio de un segmento. AB = AM b a = m a = m a. Despejando m se obtiene : Observa que ( ) a + b m = (-,4,)+(5,-,3) Por ejemplo, si A(5,, 3) y B(, 4, ) entonces m = =,, M,, Por un procedimiento similar se pueden obtener los puntos que dividen a un segmento en 3, 4, 5,., n partes iguales. Ejercicio Halla los puntos que dividen al segmento A(7, 5, ), B(,, 4) en tres partes iguales - Página -

2 Simétrico de un punto respecto de otro El punto simétrico de un punto A respecto de un punto M es el punto A que cumple AA = AM AA = AM a a = m a = m a Despejando,seobtiene a = m a ( ) Ejercicio 3 Calcula el simétrico del punto A(3, 9, ) respecto del punto B(,, 7) Puntos alineados Tres o más puntos del espacio están alineados si están contenidos en la misma recta. A, B y C están alineados AB // AC AB = kac, con k R (es decir, si AB y AC son proporcionales) Ejercicio 4 Determina a y b para que los puntos A(, 3, ), B(,, ) y C(a, 7, b) estén alineados. Puntos Coplanarios Cuatro o más puntos del espacio son coplanarios si están contenidos en el mismo plano. A, B, C y D son coplanarios AB, AC y AD son l.d. det( AB, AC, AD ) = Ejercicio 5 Halla m para que los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, 3) y D(m, m, ) sean coplanarios..- ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS Ecuaciones de la recta Sea r una recta del espacio de la que conocemos un punto A(a, a, a 3 ) y un vector d= (d, d, d 3 ) en la misma dirección que la recta (llamado vector director de la recta). La recta r se suele indicar así: r( A; d ) Si P(x, y, z) es un punto cualquiera de la recta, entonces AP // d AP = λd, con λ R p a = λd Ecuaciónvectorial r p = a+ λd r (x,y,z) = (a,a,a) + λ(d,d,d) : Página -

3 x= a + d. λ Igualando las componentes obtenemos las Ecuacionesparamétricas : r y= a + d. λ z = a3 + d3. λ Observa: - Para obtener puntos de r se le dan valores a λ. - Para que un punto P pertenezca a r, debe existir λ (solución de las ecuaciones) Si despejamos λ en las ecuaciones paramétricas e igualamos obtenemos la x a y a z a Ecuacióncontinua : r = = d d d 3 Operando en las igualdades anteriores resultan las Ecuacionesimplícitas : Observa: - Si se resuelve el sistema de ecuaciones se obtienen las ecuaciones paramétricas. - Para que un punto P pertenezca a r, debe cumplir las ecuaciones del sistema 3 Ax+ B Cz+ D= r A' x+ B ' C ' z+ D' = Ejercicio 6 Los puntos A(,, ) y B(,, 4) son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice C pertenece a 4x+ 3z= 33 la recta r: y = (a) Halla las ecuaciones de la recta s que contiene a los puntos A y B (b) Averigua si r contiene a alguno de los puntos, A ó B (c) Escribe las otras ecuaciones de r (d) Calcula las coordenadas del punto C sabiendo que r es perpendicular a la recta que pasa por A y C. Ecuaciones del plano Sea π un plano del espacio del que conocemos un punto A(a, a, a 3 ) y dos vectores l.i. u = (u, u, u 3 ), v = (v, v, v 3 ) contenidos en el plano (llamados vector directores del plano). El plano π se suele indicar así: π ( A ; u, v) Si P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano, entonces como AP es c.l. de u y v AP = λ u +µ v, con λ, µ R p a = λ u + µ v Ecuación vectorial π p = a+ λ u + µ v π (x,y,z) = (a,a,a) + λ (u,u,u) + µ (v,v,v ) Igualando las componentes obtenemos las : Ecuacionesparamétricas : - Página 3 - x= a + u. λ + v. µ π y= a + u. λ + v. µ z = a3 + u3. λ + v3. µ Observa: - Para obtener puntos del plano se le dan valores a λ y a µ. - Para que un punto P pertenezca al plano, deben existir λ y µ (solución de las ecuaciones) AP, u y v son l.d. det AP, u, v = Observa que los vectores Luego, ( ) Desarrollando el determinante, se obtiene la Ecuaciónimplícitaogeneral : π Ax+ B Cz+ D= Observa: - Si se resuelve la ecuación anterior se obtienen las ecuaciones paramétricas. - Para que un punto P pertenezca al plano, debe cumplir la ecuación

4 Ecuación normal de un plano Sea π un plano del espacio del que conocemos un punto A(a, a, a 3 ) y un vector n = (n, n, n 3 ) perpendicular al plano ( n se llama vector normal del plano) El plano π se suele indicar así: π ( A ; n ) Si P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano, entonces n AP, luego n. AP = Observa que AP = (x a,y a,z a) 3 Desarrollando el producto escalar obtenemos: Ecuaciónnormal : π n ( x a) + n ( y a) + n3 ( z a3) = Efectuando las operaciones se obtiene la ecuación implícita o general del plano: π Ax+ B Cz+ D= Recíprocamente, si π Ax+ B Cz+ D= es la ecuación general de un plano entonces n = (A, B, C) es un vector normal del plano Observa que si u y v son vectores directores del plano, entonces el vector n = u x v es un vector normal del plano pues el producto vectorial nos da un vector perpendicular a u y v Haz de planos paralelos Es un conjunto de infinitos planos paralelos entre sí. Si π Ax+ B Cz+ D= es uno de los planos, entonces el haz de planos paralelos a π es π k Ax+ B Cz+ k =, con k R (dando valores a k se obtienen infinitos planos paralelos a π) Ejercicio 7 Halla las ecuaciones del plano que pasando por el punto (3,, ) tiene de vectores directores (, 4, ) y (, 7, 3) Rectas dadas como intersección de planos Si una recta r viene dada como intersección de dos planos π : Ax+ B Cz+ D= r (ecuaciones implícitas) y n = (A, B, C) y n = (A, B, C ) π : A' x+ B ' C ' z+ D ' = son vectores normales a los planos. Entonces, u = n x n es un vector director de la recta - Página 4 -

5 Ejercicio 8 Halla las ecuaciones del plano que pasa por el punto (,, ) y es paralelo a las rectas x z= x - y z+ r = = y s x+ 3z= Haz de planos secantes Es un conjunto de infinitos planos que se cortan todos en la misma recta. π Ax+ B Cz+ D= y π A x+ B C z+ D = son dos planos secantes en la recta r Si entonces el haz de planos de base la recta r es πk ( Ax+ B Cz+ D) + k( A x+ B C z+ D ) =, con k R (dando valores a k se obtienen infinitos planos que contienen a la recta) Ejercicio 9 Sean los planos α: x y + z = β: x + y + 3z =. a) Halla las ecuaciones paramétricas de la recta r donde se cortan b) Calcula el plano que contiene a r y además pasa por el punto A(,, 5) Ecuación del plano que contiene tres puntos Se calcula el plano que pasa por un punto cualquiera A, B ó C de vector normal n = AB x AC Ejercicio Halla la ecuación del plano que contiene al triángulo: A(,, 3), B(,, ) y C(3,, 3). Ecuación del plano que pasa por un punto y contiene a una recta - Tomamos de r un punto A y un vector director d - Hallamos el plano π que pasa por P y tiene vectores directores d y AP x+ y z= 3 Ejercicio Halla la ecuación del plano que contiene a r: x z= y pasa por el origen de coordenadas. - Página 5 -

6 3.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS Posiciones relativas de dos rectas Sean dos rectas r( A; d ) y s( B; d ) r s ( A) Si dr ds AB r y s son paralelas ( B) Si dr ds AB r y s soncoincidentes ( ) r y det,, AB = r y s son C Si d ds ( dr ds ) Si además d d r s r y s son En este caso, el punto de corte se obtiene resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas ( D) Si det,, AB lasrectas secruzan ( dr ds ) Si además d d r s las rectas secruzan perpendicularmente x = t x y z Ejercicio Sean las rectas r = = ; s y = + t a) Calcula m para que sean paralelas m 3m z = mt b) Halla m para que sean perpendiculares c) Averigua si para m = las rectas se cortan o se cruzan - Página 6 -

7 Posiciones relativas de dos planos α Ax+ B Cz+ D= ( n = vector normal deα) β A x+ B C z+ D = ( n = vector normal de β ) α β Planos coincidentes Planos paralelos Si n n α β A B C D y además = = = los planos soncoincidentes A B C D A B C D y además = = los planos son paralelos A B C D ( en este caso, el sistema formado por las ecuaciones de los planos es un SI) Si nα n β Los planos son ( se cor tan en una recta) Si además n n ( o sea, n. n = ) Los planos son α β α β!"# Posiciones relativas de tres planos Las distintas posiciones relativas dibujadas dependerán del carácter del sistema formado por las ecuaciones de los planos. π ax+ z= Ejercicio 3 Estudia la posición relativa en función de "a" de los planos: π x+ a z = π 3 x+ az = - Página 7 -

8 Posiciones relativas de una recta y un plano Sean una recta r( A; d ) y un planoπ Ax+ B Cz+ D= ( n= vector normal a π ) Recta contenida en el plano Recta paralela al plano Si n d y si A π, y si A π, entonces la recta está contenida en el plano entonces la recta y el plano son paralelos Recta y plano secantes Si n Recta perpendicular al plano d La recta y el plano son sec antes. Si además n d, la recta es perpendicular al plano En este caso, el punto de corte se calcula resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la ecuación del plano. Ejercicio 4 Estudia la posición relativa de las siguientes rectas con el plano 3x y + 4z = x= 6t x y z+ y z a) = = b) x = = c) y= 4+ t z= 8t 4.- PROBLEMAS GEOMÉTRICOS VARIADOS Plano que pasa por un punto y es perpendicular a una recta Hallamos el plano que pasa por P de vector normal d r x y 5= Ejercicio 5 Calcula la ecuación del plano que pasa por P( 3,, 6) y es ortogonal a la recta r: y z + = - Página 8 -

9 Simétrico de un punto respecto de una recta Hallamos el punto de corte, M, entre la recta r y el plano que pasa por P y es perpendicular a r. Después, calculamos P usando que M es el punto medio de PP 3x+ y = Ejercicio 6 Calcula el simétrico del punto P( 3,, 6) respecto de la recta r: x + y z = Recta que pasa por un punto y es perpendicular a un plano Tomamos como vector director de r cualquier vector normal del plano Ejercicio 7 Halla la ecuación de la recta que pasa por (,, ) y es perpendicular al plano que contiene a los puntos (,, 3), (5,, ) y (3,, 3). Simétrico de un punto respecto de un plano Hallamos el punto de corte, Q, entre el plano y la recta que pasa por P y es perpendicular al plano. Después, calculamos P usando que Q es el punto medio de PP Ejercicio 8 Calcula el simétrico del punto P(,, 5) respecto del plano π x + y z + 8 =. Recta que pasa por un punto y corta perpendicularmente a otra recta - Calculamos la ecuación del plano π que pasa por A y es perpendicular a s - Hallamos el punto de corte del plano y la recta, B - La recta que buscamos, r, es la que pasa por A y B Ejercicio 9 Halla la ecuaciones de la recta r, que contiene al punto P(3, 5, 4) y corta perpendicularmente a la recta - Página 9 -

10 Plano que contiene a dos rectas secantes Calculamos el plano que pasa por un punto cualquiera de r o s, de vector normal n = d x d r s Ejercicio Calcula la ecuación del plano que contiene a las rectas Plano que contiene a una recta y es perpendicular a otro plano Calculamos el plano que pasa por un punto cualquiera de r, de vector normal d x n r Ejercicio Halla la ecuación del plano perpendicular a π: x + y z + =, y que contiene a la recta Recta perpendicular común a dos rectas que se cruzan perpendicularmente - Se calcula el plano α perpendicular a r y que contiene a s - Se calcula el plano β perpendicular a s y que contiene a r La recta perpendicular común es t = α β (Si r y s no fuesen perpendiculares n α = d s x d t, n β = d r x d t siendo d = d x d Ejercicio Halla la perpendicular común a t r s ) VARIADOS Ejercicio 3 Halla un plano que contenga a x+ z = r x+ z = y sea perpendicular a 4x+ z = s x+ z+ = - Página -

11 Ejercicio 4 Halla un plano paralelo a π: x + y z + = que contenga a la recta Ejercicio 5 Calcula la recta simétrica de la recta respecto del plano π x + y z + 8 =. x y z Ejercicio 6 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta de ecuaciones r = = y es paralelo a la recta que pasa por los puntos (,, ) y (,, ) x= + λ Ejercicio 7 Halla la recta que corta a r x = y = z y a s x = y = y es paralela a t y= 3λ z = + λ Ejercicio 8 Considera los planos π : 3x y + z 4 = ; π : x y + z = y π 3 : x + z 4 = Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3,, ), es paralela al plano π y corta a la recta intersección de los planos π y π 3. x+ z= Ejercicio 9 Halla la ecuación de la recta contenida en el plano y + z =, que es perpendicular a r: y + z = y pasa por P(,, ). Ejercicio 3 Determina una recta que sea paralela al plano de ecuación x + y + z = 3, que corte a la recta de ecuaciones x =, z =, y que también corte a la recta de ecuaciones z =, y =. Ejercicio 3 Dadas las rectas Para a =, calcula la recta que pasa por (,, ) y se apoya en r y s. ACTIVIDADES PROPUESTAS.- PUNTOS EN EL ESPACIO Dados los puntos A(,, 3) y B(, 5, 7). Calcula las coordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales. 3 7 Sol. : P, 3,, Q, 4, Sol. : P,, 7 Calcula el simétrico del punto P(, 5, ) respecto del punto Q(, 3, 4) ( ) 3 Halla m y n para que A(, 3, ), B(,, ) y C(m, 7, n) estén en la misma recta Sol.: m=, n= 5 4 Calcula el valor de k para que los puntos A(,, ), B(,, ), C(,, ) y D(k,, ) sean coplanarios Sol.: k= 5.- ECUACIONES DE RECTAS Y PLANOS 5 Sean los puntos A(, 3, ), B(, 5, ) y C(3,, 4). Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto C y es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B. Sol.: (x,y,z) = (3,, 4) +λ(,, ) 6 Los puntos A(,, 5) y B(,, ) son vértices consecutivos de un rectángulo ABCD. El vértice C, consecutivo a B, está en la recta. Determina los vértices C y D. Sol.: C(, 5, ) ; D(, 5, 3) 7 Halla a y b para que el punto P(, a, b) pertenezca a la recta x 3 z r = 3= 7 Sol.: a =, b= 3 - Página -

12 x= + t 8 Calcula la ecuación de la recta que pasa por (,, ) y es paralela a la recta r : y= 3t z = 5 7t Sol.: (x, y,z) = (,, ) +λ(,3, 7) 9 Determina las ecuaciones del plano paralelo a los vectores (3,, 4) y (,, ) y que contiene al origen de coordenadas Sol.: x+ 5 z= Halla la ecuación del plano que es perpendicular al segmento que une los puntos P(,, ) y Q (3,, 3) y que pasa por su punto medio. Sol.: x+ z+ 3= Sean los planos α: x y + z + = β: x y + z =. a) Halla las ecuaciones de la recta r donde se cortan Sol.: r (x,y,z) = (,,) +λ(,3,) b) Calcula el plano que contiene a r y además pasa por el punto A(5,, ) Sol.: x+ 3y 4z+ = Halla la ecuación del plano que contiene a los puntos A(,, ), B(, 3, ) y C(,, ). Sol.: x+ 5z 9= 3 Calcula la ecuación del plano que pasa por el origen y contiene a la recta Sol.: x+ z= 4 Calcula la ecuación del plano que pasa por A(8,, 3) y es perpendicular a r Sol.: x+ 3z 4= 5 Determina la ecuación del plano perpendicular al segmento AB, siendo A(,, ), B(,, ) y que contiene al punto C(,, ). Sol.: x z 5= 6 Calcula la ecuación del plano que contiene al punto (4, 3, 5) y es paralelo a las rectas x z= Sol.: x z+ 4= 3x y z= 4 x+ y z= 3 7 Halla la ecuación del plano que corta perpendicularmente a r en el punto (,, ). x z= Sol.: x+ 3 5z = 3.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS 8 Estudia la posición relativa de las rectas r y s. En el caso de que sean secantes, calcula el punto de corte. y x z= a) r x = = z s Sol.: paralelas 3x y z= 4 b) Sol.: son secantes en el punto (,, 4) 9 Halla los valores de a para que sean ortogonales las rectas Sol.: a=± 3 Sean r y s las rectas dadas por: a) Halla el valor de m para que ambas rectas se corten. Sol.: m= b) Para m =, calcula la ecuación del plano que contiene a r y s. Sol.: x+ 7 6z 3= - Página -

13 π x+ z = Determina que condición deben cumplir a y b para que los planos π x y z= se corten en una π 3 ax+ z= b misma recta Sol.: a b= Considera el plano mx + 5y + z = y la recta a) Calcula m y n para que la recta sea perpendicular al plano. Sol.: m= 3, n= 5 b) Halla m y n para que la recta esté contenida en el plano. Sol.: m=, n= 3 Estudia la posición relativa del plano π: x + y z + =, y la recta r: Sol.: Son paralelos 4.- PROBLEMAS GEOMÉTRICOS VARIADOS 4 Calcula el punto simétrico de A(8,, 3) respecto de la recta r: Sol. : P ( 4, 8, 8) 5 Halla el punto simétrico de P(,, 5) respecto de la recta - Página 3 - x z= r x + y + = Sol. : P ( 6,, ) Calcula el punto simétrico del punto (,, 4) respecto del plano x y 5z + 9 =. Sol. : P,, x α z= x- 7 Dadas las rectas r y s = = z, se pide : y z = 3 β a) Calcula α y α para que sean ortogonales y coplanarias. Sol.: α=, β= b) Para α = / y α =, halla la ecuación del plano que contiene a r y a s. Sol.: x+ y z = 8 Halla la ecuación del plano que contiene a la recta x = y = z y es perpendicular al plano x + y z = Sol.: x y= x y 3= 9 Calcula la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a. 3x z+ 6= Sol.: 6x 9 z+ = x = 3 Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta r z 9= x= 5λ y contiene a la recta s : y = + 3λ Sol.: 8x+ 6 z 8= z= + λ 3 Sea r la recta que pasa por los puntos A(,, ) y B(,, ), y sea s la recta que pasa por los puntos C(,, ) y D(,, ). Calcula la ecuación del plano π que contiene a s y es paralelo a r. Sol.: x+ z = x+ y= 3 Considera los puntos A(,, ) ; B(,, ) y la recta r x + z = a) Determina la ecuación del plano que es paralelo a r y pasa por A y B. Sol.: x+ z+ = b) Determina si la recta que pasa por los puntos P(,, ) y Q(3, 4, 3) está contenida en dicho plano. Sol.: No 33 Calcula la ecuación de la recta que pasando por el origen es paralela al plano x y + z = y al plano que pasa por los puntos (,, ) ; (,, ) y (,, ). Sol.: (x,y,z) (,, ) =λ 34 Halla la ecuación de la recta, s, que pasa por P(,, ), está contenida en el plano π: x 3y 3z =, y es x= z 3 perpendicular a la rectar Sol.: (x, y,z) = (,, ) +λ(,, ) y = z + 4

14 35 Dadas las rectas a) Halla un punto de cada una de ellas, de tal forma, que el vector que los una sea perpendicular a ambas. Sol. : P 5,, 6 r, Q, 5, 6 s ( ) ( ) b) Calcula la ecuación de la recta que las corta perpendicularmente Sol.: (x, y,z) = (5,, 6) +λ (,, ) ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Determina la relación que debe existir entre a y b para que los puntos (,, ) ;(a, b, ) ;(a,, b) y (, a, b) sean coplanarios. Sol.: ab+ ab= ab Cuál es la ecuación del plano que pasa por el punto (, 3, 5) y es paralelo al plano x + y 4z =? Sol.: x+ y 4z 5= 3 Halla la ecuación del plano que contiene a (3, 4, 5) y es paralelo a los vectores (3,, ) y (,, ) Sol.: x+ 4 7z+ 6= 4 Se considera el triángulo de vértices A(, 4, ), B(3,, ) y C(, 3, 5). Halla la ecuación del plano que contiene a dicho triángulo Sol.: x 3 z = x+ z= 5 Halla la ecuación del plano que contiene a r y pasa por P(,, ). Sol.: z= y + z = x+ z x y 3= 6 Estudia la posición relativa de las rectas = = ; Sol.: Las rectas se cruzan 3 3y z+ 6= 7 Determina a para que x+ z = r y ax+ z = ax+ z = s sean perpendiculares. Sol.: a=, a= x+ z+ = 8 Considera los planos π, π y π 3 dados respectivamente por las ecuaciones x + y = ; ay + z = ; x + ( + a)y + az = a + a) Cuánto ha de valer a para que no tengan ningún punto en común? Sol.: a= b) Para a =, determina la posición relativa de los planos. Sol.: Se cortan en una recta 3x y= 5 9 Halla el punto de intersección del plano x + y z = y la recta x + y 4z = 3 x y z Considera el plano π: x y + nz = y la recta r = =, con m m 4 (a) Calcula m y n para que la recta r sea perpendicular al plano π. Sol.: m= 8, n= (b) Calcula m y n para que la recta r esté contenida en el plano π. Sol.: m= 4, n= Determina b para que la recta. Sol. : P(,, 4 ) x - y z r = = no corte al plano π: x 4y +5z = 6 Sol.: b= 9 3 b 6 Considera los puntos A(,, ) y B(,, 3). Halla la ecuación del plano perpendicular al segmento AB y que pasa por A. Sol.: x+ y z = x y 4= 3 Calcula la ecuación del plano que pasa por P(,, ) y es perpendicular a r. y + z 8 = Sol.: x+ y z+ = y 3 z+ 4 Halla el simétrico de A( 3,, 7) respecto de la recta r x + = = Sol. : A ( 3, 3, 3) 5 Calcula el punto simétrico del punto P(,, 3) respecto del plano π: x + y z =. Sol. : P ( 3,, ) - Página 4 -

15 6 Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r: (,, 5) + k(,, 3) y s: x = = z 5 6 Sol.: x+ 4 z= x+ y = 4 7 Determina la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a π: x + y z = x y = z Sol.: z = x= x 8 Halla la ecuación del plano que contiene a y es paralelo a = = z+ 3. y z= 3 Sol.: 5x 6 3z = x+ y= 9 Calcula la ecuación de la recta paralela al plano x + z = y corta perpendicularmente a la recta y + z = en el punto (,, ). Sol.: (x,y,z) = (,, ) +λ(,, ) Sean α el plano que pasa por los puntos (,, ) ;(,, ) y (,, ), y β: x + y + 3z =. a) Comprueba que el punto P(,, ) no pertenece a ninguno de los planos b) Halla la ecuación de la recta r paralela a los dos planos que pasa por P. Sol.: (x,y,z) = (,, ) +λ(,, ) Considera las rectas a) Comprueba que r y s son secantes. b) Obtén la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. Sol.: (x,y,z) (,, ) (,, ) = +λ Sea r la recta que pasa por A(,, ) y B(,, ) y π el plano que pasa por C(,, ) y es perpendicular a r. Calcula el punto P en el que se cortan r y π. 3 3 Sol. : P,, 3 Sea π el plano determinado por los puntos P(,, ), Q(,, ) y R(,, a), y sea la recta a) Obtén la ecuación de π. Sol.: ax+ a z a= b) Determina el valor de a para el que r y π son paralelos. Sol.: a= c) Halla el valor de a para el que r y π son perpendiculares. Sol.: a= 4 Considera las rectas a) Obtén la ecuación del plano que contiene a r y es paralelo a s. Sol.: x= b) Calcula la ecuación del plano que contiene a r y es perpendicular a s. Sol.: z= c) Halla la ecuación de la recta que corta perpendicularmente a r y a s. Sol.: (x,y,z) =λ (,, ) x+ z= 5 Calcula el valor del parámetro k para que la recta r sea paralela al plano x y z = π: kx + y + kz =. Sol.: k= x z+ 6 Dados el punto A(3, 5, ) y la recta r = =, halla el punto B de r tal que el vector AB sea 4 Sol. : B, 3, 5 paralelo al plano π: 3x y + z + 5 =. ( ) 7 De una recta r se sabe que está contenida en el plano de ecuación x y =, que (,,) pertenece a r, y que el vector (,, ) es perpendicular a r. Determina la ecuación de la recta r. Sol.: (x,y,z) (,, ) =λ 8 Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(,, ) y corta perpendicularmente a la recta Sol.: (x, y,z) = (,, ) +λ(,, 4) - Página 5 -