Resolucions de l autoavaluació del llibre de text
|
|
- Ángel Castellanos Herrera
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Pàg. 1 de 1 Tenim els vectors u(3,, 1), v ( 4, 0, 3) i w (3,, 0): a) Formen una base de Á 3? b) Troba m per tal que el vector (, 6, m) sigui perpendicular a u. c) Calcula u, ì v i ( u, v). a) Per tal que formin una base, han de ser linealment independents. Vegem-ho: =? 0. Formen una base de Á b) (, 6, m) (3,, 1) = 6 1 m (, 6, m) u ï 6 1 m = 0 ï m = 6 c) u = = 14 v = = 5 = 5 ì ì 15 cos ( u, v) = = 0,0179 ( u, v) = 143 1' 3'' 14 5 Troba un vector de mòdul 13 que sigui perpendicular als vectors u(4, 10, 7) i v( 1, 5, ). u Ò v = (115, 76, 0) u Ò v = = 99 = El vector buscat és u Ò v = (5, 1, 0). 3 L oposat també compleix les condicions demanades: ( 5, 1, 0). Solucions: (5, 1, 0) i ( 5, 1, 0) 3 Considera els punts P (, 3, 5) i Q (, 9, ): a) Troba el punt mitjà de PQ. b) Troba el punt simètric de P respecte de Q. c) Troba el punt R de PQ tal que PR = RQ a) Punt mitjà: (,, = 5, 3, ) ( ) b) Sigui S (a, b, g) el simètric de P respecte de Q. Llavors: + a 3 + b 5 + g = = 9 a = 14, b = 1, g = 1 = Per tant, el simètric de P respecte de Q és (14, 1, 1).
2 Pàg. de c) P (, 3, 5) R Q(, 9, ) PQ OR = (6, 1, 3) 1 = OP + PR = OP + PQ = (, 3, 5) + (, 4, 1) = (4, 1, 4) 3 4 Donats els punts P (3,, 0), Q (5, 1, 1) i R (, 0, 1): a) Troba la recta que passi per P i Q. b) Troba el pla que contingui P, Q i R. c) Troba la distància entre P i Q. a) PQ = (, 1, 1) x = 3 + l r: y = l z = l b) PR = ( 1,, 1) PQ Ò PR = (, 1, 1) Ò ( 1,, 1) = (3, 1, 5) π π: 3(x 3) + 1(y ) 5(z 0) = 0 3x + y 5z 11 = 0 c) dist (P, Q) = = 6 x 1 y + z 1 5 Donats el punt A( 1,, 3) i la recta r: = =, calcula raonadament: 1 1 a) La distància de A a r. b) El punt simètric de A respecte de r. R (1 + l, + l, 1 +l) és un punt genèric de r AR ( + l, 4 + l, + l) Cerquem R per tal que AR r ; és a dir, AR (1, 1, ): ( + l, 4 + l, + l) (1, 1, ) = + l 4 + l 4 +4l = 6l 6 AR r ï 6l 6 = 0 ò l = 1 Per tant, R (, 1, 3) és el peu de la perpendicular de A a r. a) dist (A, r) = dist (A, R) = = 1 = 3
3 BLOC II Geometria Pàg. 3 de b) El simètric de A respecte de r és el simètric, A' (a, b, g), de A respecte de R: 1 + a + b 3 + g = = 1 a = 5, b = 4, g = 3 = 3 Així, A'(5, 4, 3). 6 Calcula la posició relativa de la recta i el pla: (3, 1, 0) = d r // r (1, 1, 1) = n π π dr n π =? 0 x = + 3l r: y = l π: x + y + z = 0 z = 0 Per tant, d r no és perpendicular a n π. És a dir, la recta no és paral lela al pla ni hi està continguda. Conclusió: la recta talla el pla. x + y = 4 x 1 y + 1 z 7 Donades les rectes r: i s: = = y + z = comprova que s encreuen i calcula la distància entre aquestes i l equació de la perpendicular comuna. Equacions paramètriques de r. Anomenem y = l: x = 4 l r: y = l z = 5 l Equacions paramètriques de s: x = 1 + µ s: y = 1 µ z = 3µ R 0 S 0 = ( 3, 1, 5) Posició relativa: Vegem el rang de la matriu formada per les coordenades dels vectors d r, ds, R 0 S 0 : R 0 (4, 0, 5) dr ( 1, 1, 1) =? 0 S 0 (1, 1, 0) ds (1, 1, 3) Els tres vectors són linealment independents. Per tant, les rectes es creuen entre si.
4 BLOC II Geometria Pàg. 4 de El vector genèric RS ( 3 + l + µ, 1 l µ, 5 + l +3µ) té el seu origen a r i el seu extrem a s. RS r ï RS d r ï ( 3 + l + µ) + ( 1 l µ) ( 5 + l +3µ) = 0 7 3l 5µ = 0 RS s ï RS d s ï ( 3 + l + µ) ( 1 l µ) + 3( 5 + l + 3µ) = l + 11µ = 0 Per tant, els peus de la perpendicular comuna a totes dues rectes són: l = 1, µ = l = 1 R(5, 1, 6) µ = S(3, 3, 6) RS (,, 0) // (1, 1, 0) dist (r, s) = dist (R, S) = + +0 = = Recta perpendicular comuna: x = 3 + l y = 3 + l z = 6 Troba l equació del pla que passa pel punt P(1, 0, 1), que és paral lel a la recta r: i que és perpendicular al pla a: x y + z + 1 = 0. (1,, 0) Ò (0, 0, 1) = (, 1, 0) // (, 1, 0) = d r Sigui π el pla buscat i n el seu vector normal. Aleshores: π // r ò d r n πq ò n (, 1, 1) Per tant, n = (, 1, 0) Ò (, 1, 1) = (1,, 4). Equació de π: 1(x 1) (y 0) 4(z + 1) = 0 x y 4z 5 = 0 x y = 0 z = 0 9 Troba l equació de la recta que passa per l origen de coordenades i talla perpendicularment la recta AB, essent A (, 0, ) i B( 1,, 1). x = 3l = ( 3,, 1) = AB d r r: y = l és la recta AB z = l Prenem un vector genèric OR amb origen en O i extrem variable en r: OR ( 3l, l, l) Obliguem que OR r : ( 3l, l, l) ( 3,, 1) = 0 ï 6 + 9l + 4l + l = 0 ï 14l = 0 ï l = 4 = Per a l =, obtenim R,, i OR,, // (,, 10) // (1, 4, 5) La recta cercada és: ( x = l y = 4l z = 5l ) ( )
5 Pàg. 5 de 10 Siguin el pla π:3x y + z 1 = 0 i les rectes: x = l x = 3l r: y = + l s: y = +4l z = 3 l z = 3 a) Troba l angle que formen r i s. b) Calcula l angle format entre r i π. c) Troba l angle que forma π amb el pla q format per r i s. dr ( 1, 1, ) //r, ds (3, 4, 0)//s, n(3,, 1) π d a) cos ( ) = r ì d s 1 ì r, s = = 0,0165 ( r, s ) = 5 19' d r d s 6 5 ì ì 7 ì b) sin ( r, π ) = cos ( d r, n) = = 0,76376 ( r, π ) = 49 47' 49'' 6 14 c) r i s es tallen evidentment en (0,, 3). Determinen un pla el vector normal del qual és n' = ( 1, 1, ) Ò (3, 4, 0) = (, 6, 7) ì ì 3 + ( ) ( 6) + 1 ( 7) 9 ì cos ( π, q ) = cos ( n, n' ) = = = 0,63495 ( π, q ) = 50 35' 1'' Calcula la distància que hi ha entre els plans: a: x + y z + 1 = 0 b: 4x + y z + 7 = = =? ; per tant, a i b són paral lels. 4 7 El punt A (0, 0, 1) é a. Per tant: dist (a, b) = dist (A, b) = = = 1, Calcula el valor de m perquè r i s estiguin en el mateix pla: x (1/) y 1 r: = = 1 1 x 1 x + y + z + m = 0 r: = 1 y = z s: 3x 4z + 1 = 0 z 1 dr = (1, 1, 1) s: d s = (1, 1, 1) Ò (3, 0, 4) = ( 4, 7, 3) Evidentment, les rectes no són paral leles. Vegem com ha de ser m perquè es tallin.
6 Pàg. 6 de Convé expressar les dues rectes com a intersecció de dos plans. Obligarem que els plans tinguin algun punt comú: x 1 r: = z x z = 1 1 y = z y + z = 1 x + y + z = m s: 3x 4z = 1 Perquè el sistema tingui solució, cal que el determinant de la matriu ampliada sigui zero = m ; m = 0 ï m = m Si m = 4, totes dues rectes es tallen. Per tant, estan en un mateix pla. x + y = 0 13 Troba un punt de la recta s: x = y = z tal que la seva distància a la recta r: sigui igual a 1 z = 3 unitat. Un punt genèric de r: R(l, l, 3) Un punt genèric de s: S(µ, µ, µ) Totes dues rectes es tallen a (3, 3, 3). s 1 (3, 3, 3) 1 Z r Com que és perpendicular a r des de s, la coordenada z ha de distar 1 en totes dues rectes. Per tant, hi ha dos punts de s la distància a r dels quals és 1: (,, ) i (4, 4, 4). Y X 14 Calcula les equacions de la recta r' si sabem que és la projecció ortogonal de la r sobre π: x = l r: y = + 3l π: x y + z + 4 = 0 z = 3 La recta r' és intersecció de dos plans: el π i un pla a que conté r i és perpendicular a π. Un vector normal a a és perpendicular al vector direcció de r i al vector normal a π. Per tant: (1, 3, 0) Ò (1, 1, ) = (6,, 4) // (3, 1, ) = n; n a (0,, 3) é a a: 3(x 0) (y + ) (z 3) = 0 a r 3x y z + 4 = 0 La recta és r': 3x y z + 4 = 0 x y +z + 4 = 0 π r'
7 Pàg. 7 de x 5y 1 = 0 15 Donada la recta r: i el pla b: x 3y z + 6 = 0, troba l equació d un plan paral lel x + 5z + 7 = 0 a b que disti de la recta r 3 unitats. Per tal que el problema tingui solució, cal que la recta sigui paral lela al pla. Comprovem que és així: dr = (, 5, 0) Ò (1, 0, 5) = ( 5, 10, 5) // (5,, 1) n = (1, 3, 1) b (5,, 1) (1, 3, 1) = 0 ò d r n ò r // b La recta és paral lela al pla. Obtenim un punt de la recta donant un valor a x. Per exemple, per a x = R(, 1, 1). Un pla qualsevol paral lel a b és de la forma: a: x 3y z + k = 0. La distància de r a a és igual a la distància de R a a i ha de ser 3: dist (R, a) = 3( 1) ( 1) + k = k = ±3 11 k = Solució: hi ha dos plans que compleixen aquesta funció: a 1 : x 3y z 3 11 = 0 i a : x 3y z = El pla x y + 3z 6 = 0 es talla amb els eixos de coordenades en els punts P, Q i R. a) Calcula l àrea del triangle PQR. b) Troba el volum del tetràedre format per P, Q, R i l origen de coordenades. Punts de tall amb els eixos: P (3, 0, 0), Q(0, 6, 0), R(0, 0, ) a) PQ = ( 3, 6, 0), PR = ( 3, 0, ) c 1 1 Àrea PQR = PQ Ò PR = ( 1, 6, 1) = 3 14 u b) Per trobar el volum del tetaedre podem seguir dos mètodes. 1r MÈTODE. Fent servir el producte mixt: V = [ PQ, PR, PO ] = 3 0 = 6 u n MÈTODE. Tenint en compte que el tetaedre és la sisena part d un ortoedre les dimensions del qual són 3, 6 i : 1 V = 3 6 = 6 u 6 3 P Q X Z R O Y
8 Pàg. de 17 Donada l esfera x + y + z x + 6y 39 = 0, troba n: a) El centre i el radi. b) L equació del pla tangent en el punt P (1, 3, 7). a) Centre: C (1, 3, 0) Radi: r = 7 b) (1, 3, 7) pertany a la superfície esfèrica? = 0. Sí, hi pertany, perquè compleix l equació. (També podríem haver comprovat que dist (P, C) = 7.) El vector CP és perpendicular al pla tangent, π: CP (0, 0, 7) // (0, 0, 1), perpendicular a π. L equació del pla tangent a la esfera en el punt P és: π: 0(x 1) + 0(y + 3) + 1(z 7) = 0 z = 7
Deduce razonadamente en que casos los planos π 1 y π 2 son o no paralelos:
GEOMETRÍA Junio 98 Deduce razonadamente en que casos los planos y son o no paralelos: a) : x + y + z = y : x + y z = 4 b) : x y + z = 4 y : x y + z = Obtén la distancia entre los planos y cuando sean paralelos.
Más detallesGEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. MATEMÀTIQUES-1
GEOMETRIA ANALÍTICA DEL PLA. 1. Vectors en el pla.. Equacions de la recta. 3. Posició relativa de dues rectes. 4. Paral lelisme de rectes. 5. Producte escalar de dos vectors. 6. Perpendicularitat de rectes.
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2012
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 1 SÈRIE 3 1.- Digueu per a quin valor del paràmetre m els plans π 1 : x y +mz = 1, π 2 : x y +z = m, π 3 : my +2z = 3, tenen com a
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Un vector fijo es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo). Módulo del vector : Es la longitud del segmento AB, se representa por. Dirección del
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: ax + by = k a x + b y = k Coeficients de les incògnites: a, a, b, b. Termes independents:
Más detallesACTIVITATS. a) b) c) d) INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat. dv, 18 de març Alumne:
INS JÚLIA MINGUELL 2n Batxillerat Matemàtiques Tasca Continuada 4 «Matrius i Sistemes d equacions lineals» Alumne: dv, 18 de març 2016 LLIURAMENT: dm, 5 d abril 2016 NOTA: cal justificar matemàticament
Más detallesResultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos
DE S L U S RE S I V I C LES Resultat final, sense desenvolupar, dels exercicis i problemes proposats de cada unitat i de l apartat Resolució de problemes. En queden exclosos aquells exercicis que requereixen
Más detallesVECTORS EN EL PLA. EQUACIÓ VECTORIAL DE LA RECTA ESQUEMA 1. VECTORS EN EL PLA 2. OPERACIONS AMB VECTORS 3. EQUACIONS PARAMÈTRIQUES DE LA RECTA
VECTORS EN EL PL. EQUCIÓ VECTORIL DE L RECT ESQUEM 1. VECTORS EN EL PL 2. OPERCIONS M VECTORS 3. EQUCIONS PRMÈTRIQUES DE L RECT 1. VECTORS EN EL PL En un sistema d eixos cartesians, cada punt es descriu
Más detalles1. RECTA TANGENT I NORMAL 2. DETERMINACIÓ DE PARÀMETRES 3. CREIXEMENT I DECREIXEMENT 4. VELOCITAT I ACELERACIÓ - PUNTS SINGULARS
APLICACIONS DE LA DERIVADA 1. RECTA TANGENT I NORMAL. DETERMINACIÓ DE PARÀMETRES 3. CREIXEMENT I DECREIXEMENT 4. VELOCITAT I ACELERACIÓ - PUNTS SINGULARS 1. RECTA TANGENT I NORMAL 1.1 Trobeu l equació
Más detallesI. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES DIBUIX TÈCNIC
DIBUIX TÈCNIC I. SISTEMA DIÈDRIC 3. DISTÀNCIES I ANGLES 1. Dist. d un punt a una recta - Abatiment del pla format per la recta i el punt 2. Dist. d un punt a un pla - Canvi de pla posant el pla de perfil
Más detalles8 Geometria analítica
Geometria analítica INTRODUCCIÓ Els vectors s utilitzen en diverses branques de la física que fan servir magnituds vectorials, per això és important que els alumnes en coneguin els elements i les operacions.
Más detallesUNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS
UNITAT 3: SISTEMES D EQUACIONS 1. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB DUES INCÒGNITES L equació x + y = 3 és una equació de primer grau amb dues incògnites : x i y. Per calcular les solucions escollim un valor
Más detallesBLOQUE II GEOMETRÍA. Resolución a) Para que los tres vectores formen una base, han de ser L.I. Veámoslo:
II BLOQUE II GEOMETRÍA Página 6 Considera los vectores u(3,, ), v ( 4, 0, 3) y w (3,, 0): a) Forman una base de Á 3? b) Halla m para que el vector (, 6, m) sea perpendicular a u. c) Calcula u, ì v y (
Más detallesSOLUCIONARI Unitat 11
SOLUCIONARI Unitat 11 Comencem Dóna la intepetació geomètica de les solucions dels sistemes següents: a) b) Execicis ì3x + y - z x - y + 5z = - îx + y = 3 Resolem el sistema: ang M = ang M' = 3 i el sistema
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 16 PAU cx by + 2z = b. 2a+b c = a+c 2b 1 b = a b c
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 6 PAU 0 SÈRIE 4.- Sabem que el vector (,, ) és solució del sistema ax + by + cz = a+c bx y + bz = a b c. cx by + z = b Calculeu el valor
Más detallesEXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT
Treball d estiu/r Batillerat CT EXERCICIS MATEMÀTIQUES r BATXILLERAT. Aquells alumnes que tinguin la matèria de matemàtiques pendent, hauran de presentar els eercicis el dia de la prova de recuperació.
Más detallesXXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA
XXXV OLIMPÍADA MATEMÀTICA Primera fase (Catalunya) 10 de desembre de 1999, de 16 a 0h. 1. Amb quadrats i triangles equilàters de costat unitat es poden construir polígons convexos. Per exemple, es poden
Más detalles1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS
1. SISTEMA D EQUACIONS LINEALS 1.1 Equacions lineals Una equació lineal està composta de coeficients (nombres reals) acompanyats d incògnites (x, y, z,t..o ) s igualen a un terme independent, i les solucions
Más detallesLLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES
LLOCS GEOMÈTRICS. CÒNIQUES Pàgina REFLEXIONA I RESOL Còniques obertes: paràboles i hipèrboles Completa la taula següent, en què a és l angle que formen les generatrius amb l eix, e, de la cònica i b l
Más detalles10 Àlgebra vectorial. on 3, -2 i 4 són les projeccions en els eixos x, y, y z respectivament.
10 Àlgebra vectorial ÀLGEBR VECTORIL Índe P.1. P.. P.3. P.4. P.5. P.6. Vectors Suma i resta vectorial Producte d un escalar per un vector Vector unitari Producte escalar Producte vectorial P.1. Vectors
Más detallesGeometria / GE 3. Desplaçaments S. Xambó
Geometria / GE 3. Desplaçaments S. Xambó Definició de desplaçament Una condició equivalent Desplaçaments directes i inversos Exemple (simetria respecte d una varietat lineal) Desplaçaments de la recta
Más detallesSemblança. Teorema de Tales
Semblança. Teorema de Tales Dos polígons són semblants si el angles corresponents són iguals i els costats corresponents són proporcionals. ABCDE A'B'C'D'E' si: Â = Â',Bˆ = Bˆ', Ĉ = Ĉ', Dˆ = Dˆ', Ê = Ê'
Más detallesSISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS
UNITAT SISTEMES D EQUACIONS. MÈTODE DE GAUSS Pàgina Equacions i incògnites. Sistemes d equacions. Podem dir que les dues equacions següents són dues dades diferents? No és cert que la segona diu el mateix
Más detallesSOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE
30 SOLUCIONS DE LES ACTIVITATS D APRENENTATGE Activitat 1 Completa la taula següent: Graus Minuts Segons 30º 30 x 60 = 1.800 1.800 x 60 = 108.000 45º 2.700 162.000 120º 7.200 432.000 270º 16.200 972.000
Más detallesGEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ 1.2. CLASSIFICACIÓ
GEOMETRIA PLANA 1. ELS ANGLES 1.1. DEFINICIÓ Representem un punt A en un pla i tracem dues semirectes amb origen en aquest punt. El punt A serà el vèrtex de l angle i cada semirecta serà el costat. 1..
Más detallesFUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. MATEMÀTIQUES-1
FUNCIONS EXPONENCIALS I LOGARÍTMIQUES. 1. Funcions exponencials. 2. Equacions exponencials. 3. Definició de logaritme. Propietats. 4. Funcions logarítmiques. 5. Equacions logarítmiques. 1. Funcions exponencials.
Más detallesOptimització amb restriccions d igualtat. Multiplicadors de Lagrange
Capítol 7 Optimització amb restriccions d igualtat Multiplicadors de Lagrange La realitat ens imposa models amb restriccions Per exemple, la producció d una empresa està condicionada, entre d altres factors,
Más detallesFUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES
FUNCIONS I FÓRMULES TRIGONOMÈTRIQUES Pàgina 8. Encara que el mètode per a resoldre les preguntes següents se sistematitza a la pàgina següent, pots resoldre-les ara: a) Quants radiants corresponen als
Más detallesz 2 4z + 5 = 0, z = x + iy, i 1,
Àlgebra i Geometria I Tema I NOMBRES COMPLEXOS 1- Necessitat dels nombres complexos i definició (a) Les solucions de les equacions polinòmiques El nombre imaginari i 1 Els enters Z, els racionals Q i els
Más detallesEls nombres complexos
Els ombres complexos Els ombres complexos Defiició Oposat Represetació Forma bioòmica z = a + bi, o bé z = (a, b) esset a la part real i b, la part imagiària. a = r cos α b = r si α z = a bi Cojugat z
Más detallesFeu el problema P1 i responeu a les qüestions Q1 i Q2.
Generalitat de Catalunya Consell Interuniversitari de Catalunya Organització de Proves d Accés a la Universitat PAU. Curs 2005-2006 Feu el problema P1 i responeu a les qüestions Q1 i Q2. Física sèrie 4
Más detallesTrigonometria Resolució de triangles.
Trigonometria Resolució de triangles. Raons trigonomètriques d un angle agut. Considerarem el triangle rectangle ABC on A = 90º Recordem que en qualsevol triangle rectangle Es complia el teorema de Pitàgores:
Más detallesTEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS:
TEMA 3: Polinomis 3.1 DEFINICIONS: Anomenarem monomi qualsevol expressió algèbrica formada per la multiplicació d un nombre real i d una variable elevada a un exponent natural. El nombre es diu coeficient
Más detalles«CARACTERÍSTIQUES DELS VECTORS»
«CARACTERÍSTIQUES DELS VECTORS» 1. QUÈ ÉS UN VECTOR Treballem en 2D, és a dir: al pla, on utilitzarem coordenades cartesianes per referir els seus punts. Un vector és una fletxa que té el seu origen (
Más detallesGeometria. Àrees i volums de cossos geomètrics
Geometria. Àrees i volums de cossos geomètrics Àrea de figures planes... Àrea dels paral lelograms... Àrea del quadrat... Àrea del rectangle... 3 Àrea del rombe... 4 Àrea del paral lelogram... 4 Àrea dels
Más detallesGEOMETRIA ANALÍTICA. PROBLEMES AFINS I MÈTRICS
GEOMETRIA ANALÍTICA. PROBLEMES AFINS I MÈTRICS Pàgina 7 REFLEXIONA I RESOL Punt mitjà d un segment Pren els punts P(, ), Q(0, ) i representa ls en el pla: P (, ) Q (0, ) Localitza gràficament el punt mitjà,
Más detallesA A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Realitzeu l'operació següent i doneu el resultat el màxim simplificat que pugueu:
TOT 1r 15-16 -1/10 PRIMERA MODEL A Codi B1A1C115-16 A1- a) Enuncieu i raoneu breument el teorema del residu b) Aplicant el teorema del residu, trobeu els valors de k pels quals el residu de la divisió
Más detallesCAMPS DE FORÇA CONSERVATIUS
El treball fet per les forces del camp per a traslladar una partícula entre dos punts, no depèn del camí seguit, només depèn de la posició inicial i final. PROPIETATS: 1. El treball fet pel camp quan la
Más detallesUnitat didàctica 2. Polinomis i fraccions algebraiques
Unitat didàctica. Polinomis i fraccions algebraiques Refleiona L Andrea té una bona col lecció d espelmes que decoren la seva habitació. Totes les espelmes cilíndriques tenen la mateia alçària: cm. Epressa,
Más detallesInstitut d Educació Secundària. x b) A partir de la gràfica d aquesta funció, indica quin és el domini i el recorregut.
Generalitat de Catalunya Departament d Educació Institut d Educació Secundària Jaume Balmes Departament de Matemàtiques MS Àlgebra i uncions I Nom: Grup: ) Resol les següents equacions: a) 7+ 3+ c) 3 +
Más detallesÀmbit de les matemàtiques, de la ciència i de la tecnologia M14 Operacions numèriques UNITAT 2 LES FRACCIONS
M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions UNITAT LES FRACCIONS 1 M1 Operacions numèriques Unitat Les fraccions 1. Concepte de fracció La fracció es representa per dos nombres enters que s anomenen
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2006 Matemàtiques aplicades a les ciències socials
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 006 SÈRIE 1 Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detalles1.4 Derivades: Unitat de síntesi (i repàs)
1.4 Derivades: Unitat de síntesi (i repàs) 11. Problemes de: optimització, extrems ( ), punts d inflexió ( ), rectes tangents (T) i interpretació de gràfiques (G): A.- Considereu tots els prismes rectes
Más detallesEls triangles. El costat AB és oposat al vèrtex C i a l angle C. Propietats bàsiques
Els triangles Els triangles Es denomina amb la seqüència de vèrtexs:. és un angle interior, denominat senzillament angle del triangle. ' és un angle exterior.. ' Propietats bàsiques El costat és oposat
Más detallesPROBLEMAS MÉTRICOS. Página 183 REFLEXIONA Y RESUELVE. Diagonal de un ortoedro. Distancia entre dos puntos. Distancia de un punto a una recta
PROBLEMAS MÉTRICOS Página 3 REFLEXIONA Y RESUELVE Diagonal de un ortoedro Halla la diagonal de los ortoedros cuyas dimensiones son las siguientes: I) a =, b =, c = II) a = 4, b =, c = 3 III) a =, b = 4,
Más detallesHi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples:
2 PROGRESSIONS 9.1 Progressions aritmètiques Hi ha successions en que a partir del primer terme tots els altres es troben sumant una quantitat fixa al terme anterior, aquí hi ha alguns exemples: La successió
Más detallesProva d accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d esports i Ensenyaments d arts plàstiques i disseny 2010
Prova d accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d esports i Ensenyaments d arts plàstiques i disseny 2010 Matemàtiques Sèrie 1 Dades de la persona aspirant Qualificació
Más detalles10 Calcula la distancia que separa entre dos puntos inaccesibles A y B.
1 De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45 y C = 105. Calcula los restantes elementos. 2 De un triángulo sabemos que: a = 10 m, b = 7 m y C = 30. Calcula los restantes elementos. 3 Resuelve el triángulo
Más detallesα los dos ángulos le llamaremos "ángulo de los vectores VECTORES ANEXO TEMA 4 Vectores BASE. Recuerda: PLANO Son paralelos ESPACIO Son paralelos
ANEXO TEMA 4 Vectores BASE. Recuerda: Rag ( u ) = son L. D. Rag ( u Rag ( u Rag ( u ) = son L. I ) < son L.D. ) = son L.I. VECTORES PLANO Son paralelos No paralelos Son coplanarios Imposible ESPACIO Son
Más detallesProblemes de Geometria Computacional
Problemes de Geometria Computacional Curs 006 007 Mercè Mora Vera Sacristán Joan Trias Departament de Matemàtica Aplicada II Facultat d Informàtica de Barcelona Universitat Politècnica de Catalunya Índex
Más detallesProblemas de Geometría Analítica del Espacio
1) Dados los vectores u(4, 4, 8), v( 2,, 5), w(3, 5, 8) y a(22,, 11). Hallar los valores de x, y, z que verifican la combinación lineal a = x u + y v + z w. 2) Dados los vectores a( 5, 19, n) y b( h, 3,
Más detalles2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre
D11 2.5. La mesura de les forces. El dinamòmetre Per mesurar forces utilitzarem el dinamòmetre (NO la balança!) Els dinamòmetres contenen al seu interior una molla que és elàstica, a l aplicar una força
Más detallesÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX 3 COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT DE CÀLCUL
Francesc Sala, primera edició, abril de 1996 última revisió, desembre de 2007 ÍNDEX 1 DEFINICIÓ 2 PER A QUÈ SERVEIX COM ES REPRESENTA 4 PRIMER CONCEPTE 5 ESCALA DE REDUCCIÓ I ESCALA D AMPLIACIÓ 6 PROCEDIMENT
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesDIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA
DIAGRAMA DE FASES D UNA SUBSTANCIA PURA Que es una fase? De forma simple, una fase es pot considerar una manera d anomenar els estats: sòlid, líquid i gas. Per exemple, gel flotant a l aigua, fase sòlida
Más detallesBLOQUE 2 : GEOMETRÍA
BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación
Más detallesH. Itkur Rectes -1/13. PUNTS ALINEATS Abans de donar el concepte de recta, ens qüestionarem quan tres punts són alineats.
H. Itku Rectes -/3 CONCEPTE DE RECT PUNTS LINETS bans de dona el concepte de ecta, ens qüestionaem quan tes punts són alineats. En aquest gàfic veiem claament que BC són alineats, mente que BD no ho són.
Más detallesAPLICACIONS DE LA DERIVADA
0 APLICACIONS DE LA DERIVADA Pàgina 7 Relació del creiement amb el signe de la primera derivada Analitza de la mateia manera la corba següent: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f'
Más detallesEl conjunt dels nombres complexos
El conjunt dels nombres complexos Jesús Ríos Garcés 2 Índex 1 El conjunt dels nombres complexos 5 1.1 Suma de nombres complexos.................. 6 1.2 Producte de nombres complexos................ 7 1.3
Más detallesSÈRIE 4 PAU. Curs DIBUIX TÈCNIC
SÈRIE 4 PAU. Curs 2004-2005 DIBUIX TÈCNIC L examen consta de la realització de tres dibuixos: el dibuix 1, una de les dues opcions del dibuix 2 i una de les dues opcions del dibuix 3. Escolliu entre l
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesEquacions i sistemes. de primer grau
Equacions i sistemes de primer grau 1. Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució. Equacions de primer grau amb dues incògnites. Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.
Más detallesMAT 2 MATerials MATemàtics
MAT 2 MATerials MATemàtics Versió per a e-book del treball no. 5 del volum 2013 www.mat.uab.cat/matmat Teorema de Pitàgoras 3D Miquel Dalmau Vilaldach, Francesc Tomàs Pons Teorema de Pitàgoras Si un amic
Más detalles8. Reflexiona: Si a<-3, pot se a<0?
ACTIVITATS 1. Expressa amb nombres enters: a) L avió vola a una altura de tres mil metres b) El termòmetre marca tres graus sota zero c) Dec cinc euros al meu germà 2. Troba el valor absolut de: -4, +5,
Más detallesCossos geomètrics. Objectius. Abans de començar. 1. Poliedres...pàg. 138 Definició Elements d un poliedre
8 Cossos geomètrics. Objectius En esta quinzena aprendràs a: Identificar que és un poliedre. Determinar els elements d un poliedre: Cares, Arestes i Vèrtexs. Classificar els poliedres. Especificar quan
Más detallesGeometría 1. Ejercicio 2.
Geometría 1 1 3 7 A = 2 a b Ejercicio 1. Dada la matriz c a d halla a, b, c d sabiendo que Ejercicio 2. i.el ector cuas coordenadas son las que aparecen en la primera columna de A es ortogonal al ector
Más detalles4.7. Lleis de Newton (relacionen la força i el moviment)
D21 4.7. Lleis de ewton (relacionen la força i el moviment) - Primera Llei de ewton o Llei d inèrcia QUÈ ÉS LA IÈRCIA? La inèrcia és la tendència que tenen el cossos a mantenirse en repòs o en MRU. Dit
Más detallesEls nombres enters són els que permeten comptar tant els objectes que es tenen com els objectes que es deuen.
Els nombres enters Els nombres enters Els nombres enters són els que permeten comptar tant els objectes que es tenen com els objectes que es deuen. Enters positius: precedits del signe + o de cap signe.
Más detallesProblemes de dinàmica:
Problemes de dinàmica: 1- Sobre una massa M = 5 kg, que es troba en repòs a la base del pla inclinat de la figura, s'aplica una força horitzontal F de mòdul 50 N. En arribar a l'extrem superior E, situat
Más detallesÀlgebra Lineal M1 - FIB. Continguts: 5. Matrius, sistemes i determinants 6. Espais vectorials 7. Aplicacions lineals 8.
Àlgebra Lineal M1 - FIB Continguts: 5 Matrius, sistemes i determinants 6 Espais vectorials 7 Aplicacions lineals 8 Diagonalització Anna de Mier Montserrat Maureso Dept Matemàtica Aplicada II Setembre 2014
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesUnitat 9. Els cossos en l espai
Unitat 9. Els cossos en l espai Pàgina 176. Reflexiona Si et fixes en la forma dels objectes del nostre entorn, descobriràs els cossos geomètrics. Els cossos geomètrics sols existeixen en la nostra ment.
Más detallesUn sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera:
Dossier de sistemes d'equacions lineals. / Un sistema lineal de dues equacions amb dues incògnites és un conjunt de dues equacions que podem representar de la manera: k b a k b a Coeficients de les incògnites:
Más detallesGuia docent. 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres
Guia docent 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables dels estimadors 2. Estimació per intervals dels paràmetres 1 1. Estimació puntual de paràmetres a. Característiques desitjables
Más detallesTOT 1r /13 INDEX PRÈVIA. PRIMERA Global 1a Recuperació 1a. SEGONA Global 2a Recuperació 2a. TERCERA Global 3a FINAL 1 ÍNDEX
TOT 1r 08-09 -1/13 INDEX PRÈVIA PRIMERA Global 1a Recuperació 1a SEGONA Global a Recuperació a TERCERA Global 3a FINAL 1 TOT 1r 08-09 -/13 PRÈVIA MODEL A Codi B1 A0 08-09 1- Resol les següents operacions
Más detallesDistricte Universitari de Catalunya
Proves d Accés a la Universitat per a més grans de 25 anys Convocatòria 2013 Dibuix tècnic Sèrie 3 Fase específica Opció: Enginyeria i arquitectura Bloc 1 A/B Bloc 2 A/B Bloc 3 A/B Qualificació Qualificació
Más detallesApunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part: Matemàtica Discreta Tema 3: Relacions binàries en un conjunt
Apunts de Matemàtica Discreta i Àlgebra Primera part: Matemàtica Discreta Tema 3: Relacions binàries en un conjunt Robert Fuster Darrera actualització: 4 de novembre de 2006 Índex Unitat Temàtica 8. Relacions
Más detallesMAGNITUDS. UNITATS. ÀLGEBRA VECTORIAL
1 Física bàsica per a la universitat // J. Fort, J. Saurina, J. J. Suñol, E. Úbeda // ISBN 84-8458-18-3 TEM 1 MGNITUDS. UNITTS. ÀLGEBR VECTORIL Objectius Conèier la distinció entre magnitud física escalar
Más detallesPrograma Grumet Èxit Fitxes complementàries
MESURA DE DENSITATS DE SÒLIDS I LÍQUIDS Activitat 1. a) Digueu el volum aproximat dels següents recipients: telèfon mòbil, un cotxe i una iogurt. Teniu en compte que un brik de llet té un volum de 1000cm3.
Más detallesTEMA 2 LA MECÀNICA DEL MOVIMENT
TEMA 2 LA MECÀNICA DEL MOVIMENT ÍNDEX: Introducció 2.1.- Les palanques de moviment. 2.2.- Eixos i Plans de moviment. 2.3.- Tipus de moviment INTRODUCCIÓ En aquest tema farem un estudi del cos des del punt
Más detallesLes Arcades. Molló del terme. Ermita la Xara. Esglèsia Sant Pere
Les Arcades Molló del terme Ermita la Xara Esglèsia Sant Pere Pàg. 2 Monomi Un monomi (mono=uno) és una expressió algebraica de la forma: *+,-=/, 1 on R N., rep el nom d indeterminada o variable del monomi,
Más detalles44 Dinàmica. Càlcul de la resultant de forces aplicades sobre un cos. Tercera llei de Newton. Forces d acció i reacció
44 Dinàmica DINÀMICA P.. P.2. P.3. P.4. P.5. P.6. Càlcul de la resultant de forces aplicades sobre un cos Descomposició de forces en un pla Primera llei de Newton. Aplicacions Segona llei de Newton. Aplicacions
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detalles1. QUÈ ÉS EL BADMINTON?
ESPORTS DE RAQUETA: EL BÀDMINTON Apunts Nivell 4t ESO 1. QUÈ ÉS EL BADMINTON? El bàdminton és un esport d adversari que es juga en una pista separada per una xarxa. Es pot jugar individualment o per parelles,
Más detallesLa Lluna, el nostre satèl lit
F I T X A 3 La Lluna, el nostre satèl lit El divendres 20 de març tens l oportunitat d observar un fenomen molt poc freqüent: un eclipsi de Sol. Cap a les nou del matí, veuràs com la Lluna va situant-se
Más detalles3r B d'eso Capítol 9: Geometria a l espai. Globus terraqüi
Matemàtiques orientades a les ensenyances acadèmiques : 41 3r B d'eso Capítol 9: Geometria a l espai. Globus terraqüi Autores: Milagros Latasa Asso i Fernanda Ramos Rodríguez Il lustracions: Milagros Latasa
Más detallesCOMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD
COMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PROVES D ACCÉS A LA UNIVERSITAT PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATÒRIA: SETEMBRE
Más detallesGEOMETRÍA. que pasa por el punto P y es paralelo a π. (0,9 puntos) b) Determinar la ecuación del plano π
GEOMETRÍA 1.- Se considera la recta r : ( x, y, z) = ( t + 1, t,3 t), el plano π: x y z = 0y el punto P (1,1,1). Se pide: a) Determinar la ecuación del plano π 1 que pasa por el punto P y es paralelo a
Más detallesoperacions inverses índex base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari:
Potències i arrels Potències i arrels Potència operacions inverses Arrel exponent índex 7 = 7 7 7 = 4 4 = 7 base Per a unificar ambdues operacions, es defineix la potència d'exponent fraccionari: base
Más detallesEl camp elèctric. Com una acció directa a distància. Com una acció indirecta a través del camp elèctric.
El camp elèctric Volem estudiar la interacció entre càrregues elèctriques en repòs (electrostàtica), cosa que correspon a l estudi de l anomenat camp elèctric. Quan les càrregues elèctriques es mouen les
Más detallesLa circumferència i el cercle
10 La circumferència i el cercle Objectius En aquesta quinzena aprendràs a: Identificar els diferents elements presents en la circumferència i el cercle. Conèixer les posicions relatives de punts, rectes
Más detallesFISICA I QUIMICA 4t ESO ACTIVITATS CINEMÀTICA
FISICA I QUIMICA 4t ESO ACTIVITATS CINEMÀTICA 1. Fes els següents canvis d'unitats amb factors de conversió (a) 40 km a m (b) 2500 cm a hm (c) 7,85 dam a cm (d) 8,5 h a segons (e) 7900 s a h (f) 35 min
Más detallesObjectius. Crear expressions algebraiques. MATEMÀTIQUES 2n ESO 83
5 Expressions algebraiques Objectius Crear expressions algebraiques a partir d un enunciat. Trobar el valor numèric d una expressió algebraica. Classificar una expressió algebraica en monomi, binomi,...
Más detallesCapítol 5, Espais vectorials
Capítol 5, Espais vectorials 5.1 Combinació lineal de vectors Una combinació lineal d'un grup de vectors v 1, v 2,...,v n d'un espai vectorial E sobre un cos K és un altre vector que s'obté de la forma:
Más detallesOficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 10 PAU 2005
Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina de 0 PAU 005 SÈRIE Avalueu cada pregunta en punts i mitjos punts, però no en altres decimals. Ara bé, dins de cada pregunta podeu utilitzar
Más detallesUNITAT 3 OPERACIONS AMB FRACCIONS
M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions UNITAT OPERACIONS AMB FRACCIONS M Operacions numèriques Unitat Operacions amb fraccions Què treballaràs? En acabar la unitat has de ser capaç de
Más detallesGuia d utilització de les opcions de cerca del Vocabulari forestal
Programa del «Diccionari de Ciència i Tecnologia» Secció de Ciències i Tecnologia Guia d utilització de les opcions de cerca del Vocabulari forestal BARCELONA 2010 ÍNDEX 1 EXPLICACIÓ DE LES OPCIONS DE
Más detalles