Fórmulas de Vieta. Entrenamiento extra Qué es el tiempo? Por: Argel. 5x 3 11x 2 + 7x + 3

Transcripción

1 Fórmuls de Viet Entrenmiento extr Qué es el tiempo? Por: Argel Resumen En el presente mteril se trtrá con un cuestión relciond con ls ríces de un polinomio, en l que se estblece un serie de relciones entre ls ríces de un polinomio con los coeficientes de este, ls que se expresn en un serie de ecuciones que se conocen como ls fórmuls de Viet Ls fórmuls de Viet Cundo se trt con situciones relcionds ls ríces de un polinomio es común trtr de pensr en fctorizciones que nos permitn obtener cd un de ls ríces del polinomio en cuestión, sin embrgo, no siempre se tiene un fctorizción que hg l obtención de ests ríces en lgo sencillo, ls fórmuls de Viet permiten obtener informción cerc de ls ríces de un polinomio l observr los coeficientes en este polinomio Normlmente cundo se trbj con ls fórmuls de viet se consider un polinomio mónico, es decir, consideremos el siguiente polinomio n x n + n x n + + x + 0 En el cso que se tiene que n = se dice que el polinomio es mónico A pesr de est considerción, es importnte tomr en cuent que unque inicilmente el polinomio no se mónico, normlmente es posible convertirlo en un polinomio mónico prtir de un división de n Por ejemplo, en el siguiente polinomio 5x 3 x + 7x + 3 Efectivmente este polinomio no es mónico, en prticulr se tiene que 3 = 5, entonces vmos convertirlo en un polinomio mónico (lo cul no implic drle bnns) x 3 5 x x Con lo nterior, consideremos un polinomio x + px + q el cul tiene ríces y b Entonces podemos expresr este polinomio como (x )(x b) Entonces si hcemos l expnsión de este, se obtiene x ( + b)x + b por lo tnto p = ( + b) y q = b Este es el cso más sencillo de ls fórmuls de viet, te suen conocido?, es probble que y hs tenido l oportunidd de trbjr con ests ides, cundo en l escuel te mostrbn l mner de fctorizr un ecución cudrátic probblemente te dijeron que estbs buscndo dos números que multiplicdos te dbn un prte y con su sum pudiers obtener l otr Ahor consideremos, el cso que plic pr los polinomios de grdo 3, entonces si se tiene un polinomio x 3 + px + qx + r, el cul tiene tres ríces que denominremos, b y c (x )(x b)(x c) Olimpid Mexicn de Mtemátics en Bj Cliforni 05

2 En l expnsión x 3 ( + b + c)x + (b + bc + c)x bc Comprndo coeficientes se concluye p = ( + b + c), q = b + bc + c, r = bc Con esto se tienen ls fórmuls de viet pr un polinomio cúbico, ests fórmuls son generlizbles Tomndo el polinomio mónico x n + n x n + + x + 0 con un cntidd n de ríces x, x,, x n n = (x + + x n ) n = (x x + + x x n + x x x n x n ) n j = ( ) j i i j n 0 = ( ) n x x x n x i x i x ij Sin necesidd de ls recordr ls fórmuls se puede usr ests relciones si se tom en cuent el ptrón existente entre los primeros csos de ls fórmuls de viet, sugerimos que lo intentes l desrrollr ls ecuciones de viet pr un polinomio de grdo cutro El uso de est herrmient con un mnipulción correct del álgebr involucrd puede ser muy útil pr trtr con diversos problems, pr ello se recomiend tomr en cuent diverss fctorizciones y productos notbles Ejemplo Ejemplo Encuentre un cudrátic cuys ríces son 3 + i y 3 i Denotremos ls ríces como y b Considerndo ls fórmuls de Viet, sbemos que los coeficientes de l cudrátic son b y + b Por lo tnto (3 + i + 3 i) = 6 (3 + i)(3 i) = 9 4i Sin embrgo i =, con lo que se obtiene b = 3 y que l cudrátic es Ejemplo x 6x + 3 Se f (x) un polinomio cúbico con ríces r, r, r 3 tles que ( ) ( ) f + f = 997 f (0) Encuentre + + r r r r 3 r 3 r Consideremos un polinomio cúbico de l form x 3 + x + bx + c, por ls fórmuls de Viet tenemos que = (r + r + r 3 ) Olimpid Mexicn de Mtemátics en Bj Cliforni 05

3 ( Ahor es necesrio obtener f (0), f Usndo lo nterior Ahor multiplicmos todo por y notmos que b = r r + r r 3 + r 3 r c = r r r 3 ) ( ) y f f (0) = c ( ( ) 3 ( ) ( f = + + b + c ) ) ( f ) ( = ) 3 ( + ) ( + b ) + c ( f Por lo que hemos concluido el problem 3 Agregdos culturles ) ( ) + f f (0) Existe un técnic conocid como Viet jumping c = c c c + = 997 = = 990 = 997 c = r + r + r 3 r r r 3 = r r + r r 3 + r r 3 Técnicmente est es l primer list que se cre en el ño 4 Ejercicios Se r, r, r 3 ls ríces de l cúbic x 3 + 3x + 4x 4 Encuentre el vlor de r r + r r 3 + r r 3 Supong que el polinomio 5x 3 + 4x 8x + 6 tiene tres ríces nturles, b y c Encuentre el vlor de ( + b + c) + b( + + c) + c( + + b) 3 Sen y b ls ríces de l ecución x 6x + 5 = 0, encuentre ( + )(b + ) 4 Sen m y n ls ríces de l ecución cudrátic 4x + 5x + 3 = 0 Encuentre (m + 7)(n + 7) 5 Sen, b y c ls ríces de l ecución x 3 8x +7x 0 = 0 Demuestre que bc > b+bc+c (+b+c) Olimpid Mexicn de Mtemátics en Bj Cliforni 05 3

4 5 Problems (URSS, 986) Ls ríces del polinomio x + x + b + = 0 son números nturles Muestre que + b no es un primo Si, b, c, p y q son números enteros, con q 0, (p, q) = y p q ríz de l ecución x + bx + c = 0, muestre que p divide c y q divide 3 Sen, b y c números positivos reles con < b < c tles que + b + c =, + b + c = 50, y 3 + b 3 + c 3 = 6 Encuentre + b + 3c 4 Encuentre tods ls triplets de números complejos que stisfcen el siguiente sistem de ecuciones + b + c = 0 b + bc + c = 0 bc = 0 5 Sen, b y c números reles, con y c diferentes de cero Sen α, β ls ríces del polinomio x + bx + c y α, β ls ríces del polinomio cx + bx + Muestre que si α, β, α, β son números positivos, entonces (α + β)(α + β ) 4 6 Supong k es un número tl que el polinomio cúbico P(x) = x x + k tiene tres ríces enters que son números primos Cuántos vlores distintos puede tener k? 7 Pr qué vlores reles positivos de m, ls ríces de x y x de l ecución cumplen que x = x? ( m ) x x + m 3 = 0 8 Si α, β son ls ríces de l ecución x + x + 3 = 0, cuál es l ecución cudrátic cuys ríces son ( ) ( ) α α y β β 9 Ibero,986 Encuentre tods ls triplets de enteros (, b, c) tles que: + b + c = 4 + b + c = 0 bc = Los números nturles, b, c y d cumplen que 3 + b 3 = c 3 + d 3 y + b = c + d Muestre que dos de estos números coinciden Si α, β y γ son ls ríces de x 3 x = 0, clcule Sen r, s y t tres ríces de l ecución (r + s) 3 + (s + t) 3 + (t + r) 3 + α α + + β β + + γ γ 8x x = 0 Olimpid Mexicn de Mtemátics en Bj Cliforni 05 4

5 3 Irlnd, 007 Si, b y c son ls ríces del polinomio P(x) = x 3 007x + 00, determine el vlor de ( )( b )( c ) + b + c + 4 Brzil,0 Considere el polinomio f (x) = x 3 + x 4x + ) Muestre que si r es un ríz de f (x) entonces r + r 3 tmbién es un ríz de f (x) b) Sen α, β, γ ls tres ríces de f (x), en lgún orden Determine todos los vlores posibles de α β + β γ + γ α 5 Chin, 008 Se P(x) = x 3 + bx + cx + d un polinomio con coeficientes reles Si P(x) tiene tres ríces reles positivs y P(0) < 0, muestre que b d 7bc 0 6 Filipins, 03 Si p es un constnte rel tl que ls ríces de l ecución x 3 6px +5px +88 = 0 formn un secuenci ritmétic, encuentre p 7 Encuentre ls soluciones del sistem 8 Es el polinomio x 05 9 reducible en Z? x + y + z = w x + y + z = w 9 OMCC, 00 Sen, b y c números reles tles que l ecución x + bx + c = 0 tiene dos soluciones reles distints p, p y l ecución cx + bx + = 0 tiene dos soluciones reles distints q, q Se sbe que los números p, q, p, q en ese orden, formn un progresión ritmétic Muestr que + c = 0 0 Sen x, x,, x n, los ceros diferentes de del polinomio P(x) = x n, n Demuestre que = n x x x n Muestre que el polinomio con coeficientes reles P(x) = x +nx n +n x n + n 3 x n 3 ++ x + 0, no puede tener tods sus ríces reles IMO shortlist, 98 Determine todos los vlores reles del prámetro pr los cules l ecución 6x 4 x 3 + ( + 7)x x + 6 = 0 tiene exctmente cutro ríces reles distints que formn un progresión geométric 3 Rusi,997 Existe un conjunto S de número reles diferentes de cero tles que pr culquier entero positivo n existe un polinomio P(x) con grdo lo menos n, con tods ls ríces y coefficientes que son de S? 4 Rusi, 003 Ls longitudes de los ldos de un triángulo son ls ríces de un ecución cúbic con coeficientes rcionles Muestre que ls lturs son ls ríces de un ecución de grdo seis con coeficientes rcionles 5 IMO Longlist,983 Ls tres ríces de l ecución x 4 px 3 + qx rx + s = 0 son tn A, tn B, tn C, donde A, B y C son los ángulos de un triángulo Determine l curt ríz como un función de p, q, r, s(únicmente) 6 El polinomio Q(x) = x 3 x + 35 tiene tres ríces reles distints Encuentr números y b tles que el polinomio x + x + b permut cíclicmente ls ríces de Q, es decir que si r, s y t son ls ríces de Q (en cierto orden) entonces P(r) = s, P(s) = t y P(t) = r Olimpid Mexicn de Mtemátics en Bj Cliforni 05 5