Definiciones Un conjunto es una colección de objetos distintos. Notaremos. A = {a, b, c, d, } por extensión

Transcripción

1 CONJUNTOS Definiciones Un conjunto es una colección de objetos distintos. Notaremos A = {a, b, c, d, } por extensión A = {x / x tiene la propiedad P} por comprensión El cardinal de un conjunto es el número de elementos que posee. Notamos card A o Los conjuntos pueden ser, según el cardinal finitos numerables infinitos no numerables 1

2 El conjunto vacío es el conjunto sin elementos y lo notamos. A es subconjunto de B si a A se tiene que a B. Notamos A B y decimos que A está contenido en B A es igual a B si y sólo si A B y B A Se define el conjunto de las partes de un conjunto S como el conjunto de todos los subconjuntos de S Notamos (S) = {A / A S} Ejemplo Si S = {a, b, c} entonces (S) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, S} 2

3 OPERACIONES CON CONJUNTOS Sean A y B dos conjuntos, se definen la unión de conjuntos como el conjunto A B = { x / x A o x B }., A B la intersección de conjuntos como el conjunto A B = { x / x A y x B }. A B, el complementario de un conjunto A X como el conjunto A = {x X / x A}., 3

4 el producto cartesiano de conjuntos como el conjunto A B = {( a, b ) / a A, b B} card (A B) = (card A). (card B) A B C D E F G H 1 (1, C) 2 (2, B) 3 (3, A) 4 (4, D) 5 (5, H) 6 (6, F) 7 (7, G) 8 (8, E) 4

5 RELACIONES BINARIAS Definiciones Una relación binaria R entre dos conjuntos A y B es un subconjunto del producto cartesiano A B. Si R A B y (a, b) R, se dice que a está relacionado con b mediante R y lo notamos a R b. Si R A A, se dice que R es una relación en el conjunto A. Si R A B se definen dominio de R = { a A / b B con (a, b) R} A. rango de R = { b B / a A con (a, b) R} B. 5

6 Ejemplo Si A = {a, b, c}, B = {1, 2, 3, 4}, R = {(a, 2), (a, 3), (c, 2)} entonces dominio de R = {a, c} y rango de R = {2, 3}. Definiciones Sean R relación de A en B y S relación de C en D tales que C B. La composición de R y S es la relación (S R) de A en D tal que si a R b y b S c entonces a (S R) c. La relación inversa de la relación R de A en B es la relación R de B en A tal que si a R b entonces b R a. 6

7 Ejemplo Si R = {(a, 2), (a, 3), (c, 2)} entonces R = {(2, a), (3, a), (2, c)} APLICACIONES Definiciones Una aplicación f de A en B, f : A B es una relación binaria entre dos conjuntos A y B tal que a cada elemento de A se le asocia un único elemento de B. a A un único b B tal que a f b Se utilizan las notaciones (a, b) f a f b f (a) = b 7

8 dominio de f = { a A / b B con f (a) = b } A. rango o imagen de f = { b B / a A con f (a) = b } B. Notamos rango de f im f f (A) la imagen recíproca de un elemento b B es f (b) = { a A / f (a) = b } A Entonces b B se tiene que,, C f (b) = a A, si b no es imagen de ningún a A si b es imagen de un único a A si b es imagen de más de un a A 8

9 Definiciones Sea f : A B una aplicación f es inyectiva si y sólo si a, a A, a a se tiene que f (a ) f (a ). f es sobreyectiva si y sólo si b B, a A tal que f (a ) = b. f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y f es sobreyectiva b B, un único a A tal que f (a ) = b. 9

10 MATRIZ DE UNA RELACIÓN Sea R relación de A = {x 1, x 2,, x m } en B = {y 1, y 2,, y n } Se define la matriz asociada a la relación R como con 1, si 0, si La relación f : A B es una aplicación si y sólo si en cada fila de existe un único 1. La aplicación f : A B es inyectiva si y sólo si en cada columna de existe a lo sumo un 1. La aplicación f : A B es sobreyectiva si y sólo si en cada columna de existe al menos un 1. 10

11 RELACIONES EN UN CONJUNTO Definiciones Sea R una relación en un conjunto A. R es reflexiva si a R a aa R es irreflexiva si a R a a A R es simétrica si a R b entonces b R a, a, b A R es asimétrica si a R b entonces b R a, a, b A R es antisimétrica si a R b y b R a entonces a = b, a, b A R es transitiva si a R b y b R c entonces a R c, a, b, c A R es circular si a R b y b R c entonces c R a, a, b, c A 11

12 Sea A = {x 1, x 2,, x n } y la matriz asociada a la relación R. Se verifica que: R es reflexiva si 1 i{1, 2,, n} R es irreflexiva si 0 i{1, 2,, n} R es simétrica si 1 entonces 1, ij{1, 2,, n} R es asimétrica si 1 entonces 0, ij{1,, n} 0 12

13 R es antisimétrica si 1 entonces 0, ij{1,, n} 0 o 1 R es transitiva si 1 y 1 entonces 1, ij, k{1, 2,, n} R es circular si 1 y 1 entonces 1, ij, k{1, 2,, n} 13

14 RELACIONES DE EQUIVALENCIA Definiciones Una relación R en un conjunto A es una relación de equivalencia si verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. La clase de equivalencia de un elemento a A es el conjunto [a] = { x A / x R a} El conjunto cociente de A por la relación de equivalencia R es A R a / a A 14

15 Ejemplo Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y la relación de equivalencia en A, R = {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (5, 1), (5, 3), (5, 5)}. Entonces 1 1, 3,5, 2 2,4, 1, 2. Propiedades Las clases de equivalencia verifican las siguientes propiedades 1. a [a], a A. 2. [a] = [b] a R b. 3. Si [a] [b] entonces [a] [b] =. 15