UNIDAD 9. PROBABILIDAD Matemáticas II. Ies do Barral.Curso 2017/ Experimentos aleatorios

Transcripción

1 1. Experimetos aleatorios U experimeto se llama aleatorio cuado o se puede predecir su resultado; además, si se repitiese el mismo experimeto e codicioes aálogas, los resultados puede diferir. a) El resultado del lazamieto de ua moeda o de u dado. b) El úmero de veces que hay que lazar u dado corriete, co las caras umeradas del 1 al 6, hasta que salga el úmero 6. c) El día de acimieto de la persoa que espera al autobús; o el tiempo que deberá esperar hasta que llegue el autobús Espacio muestral Cada uo de los resultados más simples de u experimeto aleatorio recibe el ombre de suceso elemetal. El cojuto de esos sucesos, se deomia espacio muestral asociado al proceso aleatorio; suele desigarse por la letra E. a) Los sucesos elemetales asociados al experimeto de lazar ua moeda so cara o cruz. El espacio muestral es E = {C, X. Los sucesos asociados co el lazamieto de u dado corriete, co las caras umeradas, so 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Así pues, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6. b) El úmero de veces que hay que lazar u dado corriete hasta que salga el úmero 6 varía desde 1 hasta ifiito. El espacio muestral será E = {1, 2, 3,. c) Los sucesos elemetales asociados al día de acimieto de ua persoa so cualquiera de los 365 días de u año. El tiempo de espera hasta que llegue u autobús es siempre mayor que 0, pero su máximo es difícil de predecir; pogamos que varía etre 0 y 30 miutos. Observació: De los ejemplos ateriores se deduce que el espacio muestral puede ser fiito (ejemplo a), ifiito umerable (ejemplo b) o ifiito cotiuo (ejemplo c). Probabilidad-1

2 1.2. Tipos de sucesos U suceso es cualquier subcojuto del espacio muestral. Puede ser elemetal (simple) o compuesto (formado por más de u resultado del experimeto). Suele desigarse mediate letras mayúsculas. Como subcojutos impropios de E, se cosidera y E. El suceso vacío,, o posee igú suceso elemetal, se cosidera como suceso imposible. El suceso E se cumple siempre; es el suceso seguro. Si A es u suceso cualquiera, el suceso cotrario de A, deotado por A c o, es el que se verifica cuado o se cumple A. (Está formado por los sucesos elemetales que o so de A; es el subcojuto complemetario de A, respecto a E). Los diagramas de Ve, permite represetar los distitos tipos de sucesos Los sucesos elemetales asociados al lazamieto de u dado corriete so {1, {2, {3, {4, {5 y {6. U suceso compuesto puede ser obteer u úmero par : P = {2, 4, 6. El suceso P se cumple cuado el resultado del lazamieto del dado es 2, 4 o 6. El suceso cotrario de obteer u úmero par es obteer úmero impar 1.3. Operacioes co sucesos Los sucesos puede operarse obteiédose otros uevos. Uió de A y B, A B, es u suceso que se verifica cuado lo hace A o B, o ambos. E otació cojutista: A È B = x Î E x Î A o x Î B A Itersecció de A y B, A B, es el suceso que se verifica cuado lo hace A y B a la vez. Está formado por los elemetos comues a A y a B. E otació cojutista: Cuado A B = A Ç B = x Î E x Î A y x Î B, los sucesos A y B se dice icompatibles. Probabilidad-2

3 (U suceso y su cotrario so icompatibles). Diferecia de A y B, A B, es el suceso que se verifica cuado lo hace A pero o B. Está formado por los elemetos de A que o so de B. E otació cojutista: Aálogamete, E las figuras adjutas se represeta el resultado de estas operacioes mediate diagramas de Ve. Puede observarse que: Al lazar u dado co seis caras umeradas del 1 al 6, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6. Si el experimeto cosiste e lazar 2 dados y observar sus resultados, los sucesos elemetales será: E = {(1, 1),.., (1, 6), (2,1),, (2,6),, (6,1),, (6,6); dode (1, 3) sigifica que e el primer dado ha salido u 1 y e el segudo u 3, y lo mismo e los demás casos. Si e este experimeto se cosidera los sucesos: A = "sacar putuacioes iguales" = {(1, 1), (2, 2),, (6, 6). B = "sacar úmeros pares" = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). Para tales sucesos se tiee: A c = sacar putuacioes distitas y B c = o sacar ambos pares = alguo de los resultados o es par Por lo tato A B = {(1,1),(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(4,2),(4,4),(4,6),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6). A B = {(2,2),(4,4),(6,6). A B = {(1,1),(3,3),(5,5). B A = {(2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 6), (6, 2), (6, 4) Alguas relacioes de iterés E lo que sigue, A, B y C desiga sucesos de u espacio muestral E. E todos los casos se cumple las siguietes propiedades: Comutativas: Asociativas: A - B = x Î E x Î A y x Ï B B - A = x Î E x Ï A y x Î B A - B = A - ( A Ç B) = B Ç A y B - A = B - ( A Ç B) = A Ç B A È B = B È A; A Ç B = B Ç A ( ) ( ) ( ) ( ) A È B È C = A È B È C = A È B È C A Ç B Ç C = A Ç B Ç C = A Ç B Ç C Probabilidad-3

4 Distributivas: ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) A È B Ç C = A È B Ç A È C A Ç B È C = A Ç B È A Ç C Complemetarias: Diferecia: Para comprobarlo basta observar co ateció las figuras ateriores. Leyes de Morga: ( ) c c c A È B = A Ç B ( ) c c c A Ç B = A È B El complemetario de la uió es la itersecció de los complemetarios El complemetario de la itersecció es la uió de los complemetarios E la siguiete figura se da ua explicació gráfica de la primera ley 2. Probabilidad: defiicioes y propiedades La probabilidad es ua medida de la posibilidad de que se cumpla u suceso aleatorio determiado. A cada probabilidad se le asiga u úmero, compredido etre 0 y 1. Si u experimeto aleatorio se repite u gra úmero de veces, la probabilidad de u determiado suceso se idetifica co la frecuecia relativa de tal suceso. La frecuecia relativa de u suceso es el cociete etre el úmero de veces que se ha cumplido el suceso y el úmero total de veces que se ha realizado el experimeto. Observació: Aquí se está admitiedo la llamada ley de los grades úmeros. El valor que se acepta es siempre aproximado; y, parece lógico afirmar que cuátas más veces se realice el experimeto más seguridad habrá e el resultado. E situacioes cocretas se podrá (deberá) dar ua cota de error Regla de Laplace c c A È A = E; A Ç A = Æ ( ) ( ) ( ) A - B = A - A Ç B; A - B È A Ç B È B - A = A È B Cuado los sucesos elemetales del experimeto aleatorio so equiprobables, la probabilidad del suceso A se calcula aplicado la regla de Laplace, que dice: Número de casos favorables a A p( A) = Número total de casos posibles Probabilidad-4

5 Ejemplo: Si e ua bolsa hay 4 rojas (R), 2 blacas (B) y 3 verdes (V), todas del mismo peso y tamaño, la probabilidad de extraer al azar ua bola roja, ua bola blaca o ua bola verde es: 2.2. Defiició axiomática de probabilidad La probabilidad puede defiirse afirmado que es ua fució P que asiga a cada suceso de u experimeto aleatorio u úmero real, debiedo cumplir los siguietes axiomas: 1. Para cualquier suceso A se cumple que: 0 P(A) La probabilidad del suceso seguro E es 1: P(E) = Si A y B so sucesos icompatibles, etoces: De estos axiomas se extrae alguas cosecuecias (propiedades) de iterés: Probabilidad del suceso cotrario Coociedo la probabilidad de u suceso A puede hallarse la de su cotrario A c, pues, como Por tato, la probabilidad del suceso imposible es 0: 2.3. Probabilidad de la uió de sucesos Para dos sucesos cualesquiera, A y B se tiee que: Si los sucesos so icompatibles: Para sucesos icompatibles dos a dos: Ejemplo: Si se sabe que las probabilidades de los sucesos A, B y A B so: P(A) = 0,5, P(B) = 0,7 y etoces: p( A È B) = 0,5 + 0, 7-0,3 = 0, Probabilidad de la diferecia de sucesos Para dos sucesos cualesquiera, A y B se tiee que: Es ua cosecuecia de que etoces p( R) = ; p( B) = ; p( V ) = p( A È B) = p( A) + p( B) c c c c A È A = E Þ p( A È A ) = p( E) = 1 Þ p( A) + p( A ) = 1 Þ p( A ) = 1 - p( A) p( A È B) = p( A) + p( B) - p( A Ç B) p( Æ ) = 0 p( A Ç B) = 0 y p( A È B) = p( A) + p( B) p( A È A È... È A ) = p( A ) + p( A ) +... p( A ) ( ) A = ( A - B) È A Ç B ( ) p( A) = p( A - B) + p A Ç B p( A - B) = p( A) - p( A Ç B), y como A B y A B so icompatibles, p( A Ç B) = 0,3 Probabilidad-5

6 3. Técicas de recueto La determiació del úmero de sucesos elemetales e muchos experimetos aleatorios requiere cotar co exactitud y rapidez tato el úmero total como el úmero de casos favorables del suceso e cuestió. Las técicas de recueto facilita ese cálculo. El método básico de recueto se cooce co el ombre de pricipio multiplicativo, que dice: "Si u suceso puede darse de m maeras distitas e primera opció y a cotiuació puede suceder de modos diferetes, etoces tiee m maeras de suceder". Por tato, para cotar hay que determiar cuátas eleccioes hay que hacer y cuátas opcioes hay e cada elecció sucesiva. Diagramas de árbol Cuado el úmero de eleccioes es reducido puede recurrirse a los diagramas de árbol, que so esquemas gráficos e los que se idica el úmero y ombre de las sucesivas eleccioes. Tambié suele idicarse la probabilidad de cada ua de esas opcioes 4. Probabilidad codicioada. La probabilidad de u suceso A puede verse modificada si ha ocurrido previamete otro suceso B. Para medir la ifluecia etre esos sucesos, se defie la probabilidad de A codicioada por B, desigádose como P(A/B). Ejemplo: Cosideramos el experimeto cosistete e el lazamieto de dos dados. Sea B el suceso sacar putuacioes mayores que 4 y A el suceso los dos resultados so iguales, etoces: ( se sabe que se ha sacado putuacioes putuacioes iguales 2 1 p( A / B) = = = putuacioes mayores de mayores que 4, la probabilidad de que ambas sea iguales ) Si embargo, lo que se sabe es que ha salido u resultado doble y queremos calcular la probabilidad de que sea mayores de 4. putuacioes mayores de p( B / A) = = = putuacioes iguales 6 3 Nota: Podemos observar p(a)=1/6, p(b)=1/9 puede verse que las probabilidades codicioadas so distitas; y puede observarse que: Probabilidad-6

7 E geeral, la probabilidad codicioada de u suceso A por otro B es 4.1. Sucesos depedietes e idepedietes Dos sucesos so depedietes cuado la realizació de uo de ellos codicioa la probabilidad del otro p( A Ç B) 2 36 p( A Ç B) p( B / A) = = = ; p( A / B) = = = 6 6 p( A) 4 4 p( B) De las fórmulas de la probabilidad codicioada se obtiee las siguietes igualdades: Dos sucesos A y B so idepedietes cuado la probabilidad de que suceda A o se ve afectada porque haya sucedido o o B. Por tato, la p( A / B) = p( A) ; igualmete, p( B / A) = p( B) E cosecuecia, cuado dos sucesos so idepedietes se cumple que: 5. Probabilidad total y teorema de Bayes Si u suceso B está codicioado por otros sucesos A i, icompatibles dos a dos y tales que A È A È A È È A = E la probabilidad del suceso B es: Esta expresió se cooce co el ombre de probabilidad total. El teorema de Bayes permite el cálculo de probabilidades a posteriori, pues se obtiee después de cotar co ua iformació adicioal. Por ejemplo, coocido que se ha producido el suceso B, cuál es la probabilidad de que se haya realizado el suceso Ai? Eso es, cuáto vale p(a i /B)? Por la probabilidad codicioada se sabe que: p( A / B) = p( A Ç B) = p( B) p( A / B) p( A Ç B) = p( A) p( B / A) p( A Ç B) = p( A) p( B) p( B) = p( A ) p( B / A ) + p( A ) p( B / A ) p( A ) p( B / A ) p( A Ç B) p( B) p( Ai Ç B) p( Ai ) p( B / Ai ) p( Ai / B) = Þ p( Ai / B) = p( B) p( B) Probabilidad-7