5. [ARAG] [JUN-B] El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene dado por la función

Transcripción

1 Selectividad CCSS 003 -(-) +b si. [ANDA] [JUN-A] a) Sea la función f() = a(-3) +3 si >. Halla a y b para que la función sea continua y derivable en =. b) Halla la función derivada de g() = e+ (-). (+) si 0 si 0 < <. [ANDA] [JUN-B] Sea la función f() = si 4 a) Represéntala gráficamente. b) Estudia su continuidad y derivabilidad. c) Calcula sus etremos y asíntotas horizontales y verticales. 3. [ANDA] [SEP-A] Sea la función f() = a) Determina su dominio y asíntotas. Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus máimos y mínimos relativos, si los hay. Estudia su crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. c) Represéntala gráficamente. si 4. [ANDA] [SEP-B] Sea la función f() = si <. - si > a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f en = y =. b) Represéntala gráficamente. 5. [ARAG] [JUN-B] El precio unitario de un bien, en función de la cantidad q que se oferta en el mercado, viene dado por la función p(q) = 000+3q. q a) Demostrar que al aumentar la cantidad ofertada disminuye el precio. b) Decir cuál será el precio de ese bien si la cantidad que hay en el mercado es ilimitada, por ejemplo si se puede importar cualquier cantidad, por grande que sea. c) Escribir, en función de la cantidad ofertada, los ingresos que genera ese bien, si se vende toda la cantidad que hay en el mercado. d) Calcular el precio para el que una empresa maimiza sus beneficios, suponiendo que es la única que ofrece ese bien y que los costes vienen dados por la función C(q) = 4(q+00)-50lnq. 6. [ARAG] [SEP-A] Se considera la función f() = 4-. a) Calcular su dominio de definición. Razonar la respuesta. b) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(). Razonar si eisten máimos y mínimos de f() y en caso afirmativo, decir cuáles son. c) Determinar los intervalos de concavidad y conveidad de f(). Razonar si eiste punto de infleión. +a si < 7. [ARAG] [SEP-B] Sea f() = si. a) Calcular los valores del parámetro a para los que f() es continua en =. b) Para qué valor del parámetro a f() tiene un máimo o un mínimo en = -? Determinar si es máimo o mínimo. c) Para a = 4, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(). Página de 6

2 Selectividad CCSS [ASTU] [JUN] El peso que una plancha de cierto material es capaz de soportar depende de la edad de la misma según la siguiente función (el peso P en toneladas; t representa la edad en años de la plancha): 50-t si 0 t 3 P(t) = 56-0t t+ si t > 3 a) Es el peso una función continua de la edad? Según vaya pasando el tiempo, la plancha cada vez aguantará menos el peso? b) Dicen que por mucho tiempo que transcurra, la plancha siempre aguantará más de 40 toneladas. Estás de acuerdo? c) Esboza el dibujo de la gráfica P(t) cuidando la concavidad y conveidad de la función. 9. [C-LE] [JUN-B] Dada la función f() = +a+b: a) Determina los valores de a y b sabiendo que pasa por el punto (,3) y alcanza un etremo en el punto de abscisa = -. b) Representa gráficamente la función. 0. [C-LE] [SEP-B] Dada la curva de ecuación y = , se pide: a) Halla los máimos y mínimos de la curva, así como los puntos de infleión. b) Represéntala gráficamente (de forma aproimada). c) Halla las rectas tangentes a la curva, que sean paralelas a la recta de ecuación y = 5.. [C-MA] [JUN] El número de personas que utiliza las instalaciones de una piscina de verano viene epresado por la función f(t) = 0t 3-0t +450t, en donde t epresa el tiempo transcurrido desde la apertura de la piscina, de la mañana (instante t = 0), hasta el cierre de la piscina que se produce a las 9 horas. a) Cuántas personas quedan a la hora de cerrar la piscina? b) A qué hora el número de personas es mayor? Cuántas hay en ese momento? c) A qué hora el número de personas es menor? Cuántas hay en ese momento? d) Periodos en los que el número de personas crece o decrece.. [C-MA] [SEP] El precio en euros de cada acción de una empresa viene determinado, en el transcurso de una sesión bursátil, por la función f(f) = t 3-6t +9t+, en donde t epresa el tiempo transcurrido desde el inicio de la sesión. Suponiendo que ésta comienza a las 0 horas (instante t = 0) y finaliza, por problemas técnicos, tres horas y media después, se pide: a) El precio de la acción al cabo de dos horas. b) Hora en que la acción alcanza su valor máimo. Cuál es es valor? c) Horas en que la acción alcanza su valor mínimo. Cuál es es valor? d) Periodos en los que el precio de la acción sea creciente o decreciente. 3. [CANA] [JUN-A] Una empresa de transporte estima que sus ganancias (en miles de euros) durante los próimos años seguirán la fórmula g(t) = t, donde la variable t =,,3,4,... representa el tiempo en años medido a partir del presente. 5t+5 a) Hallar las ganancias correspondientes a los años primero y quinto. b) Determinar si las ganancias aumentan o disminuyen con el paso del tiempo. Razonar la respuesta. c) Se estabilizan las ganancias cuando t crece? Hacia qué valor? Razonar la respuesta. 4. [CANA] [JUN-B] El precio en euros de un artículo perecedero, que empieza a venderse el primer día de un determinado mes,varía t +8 si 0 t 4 4 con el tiempo (en días) según la fórmula siguiente: P(t) =. Se pide: - t +t+5 si 4 < t 0 4 a) Cuál es el precio inicial del artículo? b) Dibujar la gráfica de P(t) entre el día y el 0. c) En qué periodo de tiempo aumenta el precio? d) Cuál es el precio máimo que alcanza el artículo y en qué día se obtiene? 5. [CANA] [SEP-A] Una empresa tiene dos fabricas. Los fgastos, en cientos de euros, de cada fábrica en función del número de trabajadores, se obtienen según las funciones: Página de 6

3 Selectividad CCSS 003 f() = +-4 ; g() = +8+ ; a) Si los ingresos, en cientos de euros, en función del número de trabajadores son h() =48, con qué número de trabajdores maimiza el beneficio la primera fábrica? b) Si lo que se quiere es tener el mismo gasto en las dos fábricas, con qué número de trabajadores se consigue? 6. [CANA] [SEP-B] El coste de producción de unidades diarias de un determinado producto es y el precio de venta de una de ellas está en función de la producción total es 50-4 euros por cada unidad. a) Hallar el precio de venta si se producen unidades. b) Determinar los ingresos al producir unidades. c) Determinar los beneficios al producir unidades. d) Establecer el número de unidades que deben venderse diariamente para que el beneficio sea máimo. 7. [CATA] [JUN] Como resultado del test efectuado con un nuevo modelo de automóvil a fin de determinar su consumo de gasolina, se ha observado que, para velocidades comprendidas entre 5 y 75 km/h, el consumo C() de gasolina, epresado en litros consumidos en 00 km, realizados a la velocidad constante de km/h, se puede aproimar por la función C() = 7,5 0,05 + 0,0005. a) Determine el consumo a las velocidades de 50 km/h y de 50 km/h. b) A qué velocidad se obtiene el mínimo consumo? Cuál es dicho consumo mínimo? c) Haga un estudio del crecimiento y decrecimiento de la función C() en el intervalo [5,75]. Determine las velocidades que corresponden a consumo máimo, así como dicho consumo. 8. [CATA] [SEP] Determine si las gráficas de la función f () = + y de la recta y = son tangentes en algún punto. En ese caso, determine dicho punto. Eiste algún otro punto de intersección entre la recta y la gráfica de la función? 9. [CATA] [SEP] Disponemos de material para poder impermeabilizar 00 m de superficie. Queremos construir un estanque debase rectangular cuya longitud mida el triple de su amplitud y con la profundidad adecuada para gastar todo el material. Interesaqueel volumen de agua que embalse sea máimo. a) Escriba la relación que hay entre la altura y el lado menor de la base del estanque. b) Escriba la función que epresa la capacidad del estanque en función del lado menor de la base. c) Calcule las dimensiones del estanque para que la capacidad sea máima. (Los resultados se han de precisar hasta los centímetros.) d) Determine el volumen. 0. [ETR] [JUN-A] Un centro comercial abre a las 0 horas y cierra a las horas. Se ha comprobado que elnúmero de personasque acuden a dicho centro puede representarse, en función de la hora del día, en la forma: N(t) = t + t +, 0 t, ( 0). Sabiendo que a las 8 horas se registra la máima afluencia de clientes con un total de 64 personas y que cuando el centro comercial abre no hay ningún cliente esperando: a) Determinar, justificando la respuesta, los coeficientes, y. b) Representar la función obtenida.. [ETR] [JUN-B] Un club deportivo ha observado que la cantidad de espectadores que asisten a cada partido es función delprecio de la entrada según la epresión: N() = , siendo N() el número de espectadores cuando el precio de laentrada es euros. Determinar, justificando las respuestas: a) Qué epresión nos proporciona los ingresos de cada partido en función del precio de la entrada? b) El precio que deben cobrar por cada entrada para hacer máimos los ingresos por partido. c) Cuál será el valor de los ingresos máimos? d) Cuántos espectadores por partido se esperan para dicho precio de la entrada?. [ETR] [SEP-A] En cierta población, el consumo de agua en cm 3, en función de la hora del día, viene dado por: Página 3 de 6

4 Selectividad CCSS 003 C(t) = 7 9 t si 0 t < 9 t + t+ si 9 t < t si 0 t < 4 Sabiendo que es una función continua y que a las 5 horas se alcanza el máimo consumo de 53 m 3, determinar los valores de, y. Justificar la respuesta. 3. [ETR] [SEP-B] El número de vacas eistentes en una eplotación ganadera varía con el tiempo de acuerdo con la función: f(t) = -t 3 + 9t - 5t + 0, donde t es el número de años transcurridos desde que se abrió dicha eplotación. Se pide: a) Con cuántas vacas comenzó? b) Al cabo de seis años, con cuántas vacas se cuenta? c) Cuáles han sido los números máimo y mínimo de animales durantes estos seis años? d) En ese tiempo determinar los períodos de crecimiento y decrecimiento de la ganadería. Justificar las respuestas. 4. [MADR] [JUN-B] Dada la función f() = -, a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Calcular sus asíntotas. c) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f() en = [MURC] [JUN] Una empresa fabrica 30 máquinas diarias, que pueden ser de dos tipos: A y B. Si fabrica máquinas de tipo A e y de tipo B, el coste de producción es de y euros al día. a) Cuántas máquinas de cada tipo debe fabricar, para minimizar el coste de producción diario? b) Encuentre ese coste de producción mínimo. 6. [MURC] [JUN] Dada la curva: y =, se pide: -4 a) Dominio y asíntotas. b) Simetrías y cortes con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos, si los hay. e) Una representación aproimada de la misma. 7. [MURC] [SEP] Determine las dimensiones del marco rectangular de área máima que se podría construir con metros lineales de perfil de aluminio. 8. [MURC] [SEP] Dada la curva y = -3-9, se pide: a) Dominio y asíntotas. b) Simetrías y cortes con los ejes. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máimos y mínimos. e) Una representación aproimada de la misma. 9. [RIOJ] [JUN] Sea la función f() = 3-4. a) Obtener sus cortes con los ejes, máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Obtener las ecuaciones de las rectas tangentes en los puntos de corte con los ejes. c) Representarla gráficamente. 30. [RIOJ] [JUN] El encargado del alquiler de hamacas de una playa ha comprobado que, cobrando la hora a 5 euros, vende diariamente 00 horas. Por cada 0 céntimos que aumenta el precio, vende horas menos al día. El ayuntamiento de la ciudad le cobra un canon de 4 euros por hora de hamaca. a) A qué precio será máimo el beneficio diario del encargado? Página 4 de 6

5 Selectividad CCSS 003 b) Para dicho precio, cuántas horas venderá? A cuánto ascenderá el beneficio obtenido? 3. [RIOJ] [SEP] Sean las funciones f () = ln, f () =. Calcula y simplifica las derivadas de: f () f () y f ()/f (). 3. [RIOJ] [SEP] Sea la función f() = a) Halla la ecuación de la recta tangente en =. b) Calcula los cortes en los ejes, máimos, mínimos y puntos de infleión. c) Representarla gráficamente. 33. [RIOJ] [SEP] Una empresa petrolera dispone de un stock de barriles que podría vender a 30 euros/barril. Sin embargo, el mercado del petróleo se encuentra en fase alcista, estimándose que el precio del barril aumentará 0'5 euros cada semana que transcurra. Los costes de almacenamiento ascienden a 000 euros/semana, y además cada semana se pierden pedidos de 000 barriles debido a los clientes que acuden a otros proveedores. Calcula cuándo interesa vender el stock para obtener el máimo beneficio posible, y a cuánto asciende dicho beneficio. 34. [VALE] [JUN-A] Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros,, viene dado por y = 50-, donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio -0, determinar de forma raqzonada el precio que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido. 35. [VALE] [JUN-B] Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. 36. [VALE] [SEP-A] El coste total en euros de la producción de litros de un determinado producto viene dado por C() = Definir la función que determina el coste medio por litro introducido y determinar de forma razonada conqué producción dicho coste será mínimo. Cuál es el valor de dicho coste? 37. [VALE] [SEP-B] La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad durante los 0 primeros días de un determinado mes se puede aproimar por la función c() ,6, donde representa el tiempo transcurrido en días. a) Estudiar de forma razonada el crecimiento y decrecimiento de la concentración de ozono en relación con los díastranscurridos. b) Cuál es la concentración máima de ozono alcanzada durante esos 0 días? Justificar la respuesta. Soluciones. a), 5 b) e+ (-) (-) 3. a) b) Con: - {0}. Der: - {0,} c) Min: (0,0); a.v. =0 3. a) D: - {}; A: = ; y = -; Con. y der: - {} b) Dec: ; conv: 3 (,+ ) c) a) Con:,. Der: no b) 5. b) '5 c) 000+3q 6. a) - {4} b) ma: 0; min: 8 c) conv: (-,4); p.i: no 7. a) -3 b) c) crec: (-,) 8. a) continua y decreciente b) agunata más de 36 tm c) a) 8, -7 b) 0. a) ma: 3; min: -3; p.i: 0 c) y = 5-6; y = a) 700 b) 9; 700 c) ; 0 d) crece de a 5 y de 7 a 9.. a) 3 b) ; 5 c) 0, 3; d) crec: (0,) (3,3'5) 3. a) , b) disminuyen c) se acercan a a) 8 b) c) (0,4) d) (4,9) 5. 9; ; 564; 443; a) 5'65 b) 00; 5 c) crec: (00,75); 5, 75; 6'4 8. (,); Página 5 de 6

6 Selectividad CCSS 003 no 9. a) y = b) V = c) 4'3, 4'7, 3'54 d) 35'6 0. a) -, 36, -60 b) a) b) 4 c) 4800 d) , 30, a) 0 b) 38 c) 45, 3 d) crec: (,5) 4. a) crec en b) = -, =, y = 0 c) y = 5. a) 0, 0 b) 0333'33 6. a) -{-,}; = -, =, y = 0 b) simétrica respecto del origen; (0,0) c) Decrec en d) no e) '50'5 8. a) ; no b) no; ,0 ; (0,0); 3+3 5,0 c) crec: (-,-) (3,+ ) d) ma: -; min: 3 9. a) (-,0), (0,0), (,0); ma: , min: ; p.i: 0 b) y = 8+6; y = -4; y = 8-6 c) a) 9'5 b) 0; ln+; -ln 3. a) y = -+ b) (0,0), (,0); min: 3 3 ; p.i: 0, c) 33. hoy, , 0, ; 40; a) crec: (0,'5) b) 83'75 Página 6 de 6