Colegio Sor Juana Inés de la Cruz Sección Preparatoria. Academia de Ciencias Exactas Ing. Jonathan Quiroga Tinoco

Transcripción

1 Colegio Sor Jun Inés de l Cruz Sección Preprtori Acdemi de Ciencis Excts Ing. Jonthn Quirog Tinoco Mteril Didáctico: Guí de preprción pr el Exmen Extrordinrio Mtemátics II Segundo Semestre Ciclo Escolr: Agosto 016 Julio 017

2 Exmen ejemplo Instrucciones: Los siguientes ejercicios pertenecen un exmen muy similr hy que deberá plicr en l fech indicd. Respond cd ejercicio bsándose en l informción de ls siguientes págins. 1. Un poste de 7 metros de ltur colocdo de form perpendiculr l suelo se sujetrá con un cuerd con un ángulo de 7 de inclinción con respecto l piso qué longitud debe tener dich cuerd?. Clcule l ltur de un edificio que se observ desde un punto en que el ángulo de elevción es de 66 y l lejrse 11 metros del punto el ángulo mide A ciert hor del dí un poste inclindo de 6 metros de ltur proyect un sombr de 1 metros con 55 centímetros. Si el ángulo de elevción del Sol en ese instnte es de 36 cuál es l inclinción del poste con respecto l eje verticl? 4. Un vionet prte de l ciudd de Tehucán hci l Ciudd de México (5 kilómetros de distnci) pero el piloto despeg tomndo un rumbo equivocdo que lo sepr 14 l Oeste de l rut originl. Después de 13 minutos l vionet h recorrido 44 kilómetros y el piloto se d cuent de su error cuál debe ser el ángulo que debe corregir pr regresr hci l Ciudd de México? 5. Un rbusto de m de ltur proyect un sombr de 73 centímetros. En ese mismo momento un árbol proyect un sombr de 1 metros. Considerndo que l luz del Sol incide con el mismo ángulo sobre mbos qué ltur tiene dicho árbol?

3 Apuntes Instrucciones: Ls siguientes págins incluyen informción sobre cómo resolver los ejercicios que hn de plnterse en el exmen. Anlice l sección que más le interese y proced ls siguientes págins dónde encontrrá decens de ejercicios resueltos. Presentción L trigonometrí es un rm de l mtemátic, cuyo significdo etimológico es "l medición de los triángulos". Deriv de los términos griegos τριγωνο trigōno triángulo y μετρον metron medid. En términos generles, l trigonometrí es el estudio de ls rzones trigonométrics: seno, coseno; tngente, cotngente; secnte y cosecnte. Interviene direct o indirectmente en ls demás rms de l mtemátic y se plic en todos quellos ámbitos donde se requieren medids de precisión. L trigonometrí se plic otrs rms de l geometrí, como es el cso del estudio de ls esfers en l geometrí del espcio. Posee numeross plicciones, entre ls que se encuentrn: ls técnics de tringulción, por ejemplo, son usds en stronomí pr medir distncis estrells próxims, en l medición de distncis entre puntos geográficos, y en sistems de nvegción por stélites. Triángulos Es un polígono de tres ldos, es decir, un porción de plno limitd por tres segmentos unidos, dos dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitn el triángulo se denominn ldos, y los extremos de los ldos, vértices. En un triángulo se considern dos tipos de ángulos: interior (formdo por dos ldos) y exterior (formdo por un ldo y l prolongción de otro). Considerciones : En todo triángulo, l sum de los ángulos interiores es igul dos rectos. En todo triángulo, un ángulo exterior es igul l sum de los dos ángulos interiores no dycentes. Dos triángulos son igules cundo tienen igules un ldo y sus dos ángulos dycentes. Dos triángulos son igules cundo tienen dos ldos igules y el ángulo comprendidos. Dos triángulos son igules cundo tienen los tres ldos igules.

4 En todo triángulo, myor ldo se opone myor ángulo. Si un triángulo tiene dos ldos igules, sus ángulos opuestos son tmbién igules. En todo triángulo, un ldo es menor que l sum de los otros dos y myor que su diferenci. Clsificción de los Triángulos Según sus ldos Equiláteros (sus tres ldos igules) Isósceles (dos ldos igules y uno desigul) Escleno (tres ldos desigules) Según sus ángulos Rectángulos (un ángulo recto) Acutángulos (tres ángulos gudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso) Elementos de los Triángulos Bisectriz es l semirrect que divide un ángulo en dos prtes igules. Incentro es el punto de intersección de ls tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de l circunferenci inscrit. Meditriz de un segmento es l rect perpendiculr l mismo en su punto medio. Circuncentro es el punto de intersección de ls tres meditrices de un triángulo. Es el centro de l circunferenci circunscrit.

5 Altur es el segmento perpendiculr comprendido entre un vértice y el ldo opuesto. Ortocentro es el punto de intersección de ls tres lturs de un triángulo. Rzones trigonométrics Medin es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del ldo opuesto. Bricentro es el punto de intersección de ls tres medins de un triángulo. El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usremos pr definir ls rzones seno, coseno y tngente, del ángulo, correspondiente l vértice A, situdo en el centro de l circunferenci. El seno (brevido como sen, o sin por llmrse "sĭnus" en ltín) es l rzón entre el cteto opuesto sobre l hipotenus. El coseno (brevido como cos) es l rzón entre el cteto dycente sobre l hipotenus, L tngente (brevido como tn o tg) es l rzón entre el cteto opuesto sobre el cteto dycente,

6 Rzones trigonométrics inverss Triángulo ABC proporcionl con un ángulo inscrito en un circunferenci de centro A y rdio 1 L Cosecnte: (brevido como csc o cosec) es l rzón invers de seno, o tmbién su inverso multiplictivo: En el esquem su representción geométric es: L Secnte: (brevido como sec) es l rzón invers de coseno, o tmbién su inverso multiplictivo: En el esquem su representción geométric es: L Cotngente: (brevido como cot o ct) es l rzón invers de l tngente, o tmbién su inverso multiplictivo: En el esquem su representción geométric es: Normlmente se emplen ls relciones trigonométrics seno, coseno y tngente, y slvo que hy un interés específico en hblr de ellos o ls expresiones mtemátics se simplifiquen mucho, los términos cosecnte, secnte y cotngente no suelen utilizrse. Relciones entre ls rzones trigonométrics 1 Sen Csc 1 Csc Sen 1 Sec Cos 1 Cos Sec 1 Tg Ctg Ctg 1 Tg Identiddes fundmentles: Sen Cos 1 Tg 1 Sec Tg Sen 1 Cos Sec 1 Tg Cos 1 Sen Sen Cos Sen Cos.Tg

7 Ctg 1 Csc Ctg Csc 1 Ctg Cos Sen Cos Sen.Ctg Equivlenci entre ls funciones trigonométrics Seno Coseno Tngente Cotngente Secnte Cosecnte Rzones trigonométrics de los ángulos notbles Angulo Sen Cos Tg Sec Csc Ctg

8 Signos de ls rzones trigonométrics en los diferentes cudrntes Cudrnte Sen Cos Tg Ctg Sec Csc I II III IV Reducción de ángulos l primer cudrnte Rzones trigonométrics de un ángulo del primer cudrnte: Sen (90º- ) = Cos Csc (90º- ) = Sec Cos (90º- ) = Sen Sec (90º- ) = Csc Tg (90º- ) = Ctg Ctg (90º- ) = Tg Rzones trigonométrics de un ángulo del segundo cudrnte: Sen = Sen (180º - ) Cos = -Cos ( 180º - ) Tg = -Tg (180º - ) Sec = -Sec (180º - ) Csc = Csc (180º - ) Ctg = -Ctg (180º - ) Rzones trigonométrics de un ángulo del tercer cudrnte: Sen = - Sen ( - 180º ) Cos = - Cos ( - 180º ) Tg = Tg ( - 180º ) Sec = - Sec ( - 180º ) Csc = - Csc ( - 180º ) Ctg = Ctg ( - 180º ) Rzones trigonométrics de un ángulo del curto cudrnte: Sen (360º- ) = -Sen Cos (360º- ) = Cos Tg (360º- ) = - Tg Sec (360º- ) = Sec Csc (360º- ) = - Csc Ctg (360º- ) = - Ctg Funciones trigonométrics de un ángulo negtivo ) si el ángulo α es gudo

9 Sen( ) Sen Cos( ) Cos Tg ( ) Tg Ctg( ) Ctg Sec ( ) Sec Csc( ) Csc b) Si el ángulo α es negtivo no es gudo. Si el ángulo α es negtivo, y l medid en vlor bsoluto es myor que 90º; se sum con 360º pr convertirlo en positivo y luego se plic lgun de ls fórmuls nteriores, según el cudrnte donde se ubique el residuo de l división. Funciones trigonométrics pr ángulos myores que 360º Se divide l medid del ángulo α ddo entre 360º y se tom como medid equivlente el residuo de l división y luego según el cudrnte donde se ubique dicho residuo, se plic l fórmul correspondiente. Triángulos rectángulos Hipotenus: Ctetos: b y c Proyección del cteto b: Pb Proyección del cteto c: Pc Altur: h Ángulo recto: = 90º Ángulos gudos:

10 RELACIONES MÉTRICAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS AREA OTRAS RELACIONES CASOS DE RESOLUCIÓN 1º HIPOTENUSA Y ÁNGULO º CATETO Y ÁNGULO 3º HIPOTENUSA Y CATETO 4º DOS CATETOS

11 Triángulos no rectángulos Tiene todos sus ángulos gudos Tiene un ángulo obtuso RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS R = Diámetro de l circunferenci circunscrit º grdos sexgesimles rd rdines g grdos centesimles OTRAS RELACIONES en culquier triángulo

12 RESOLVER UN TRIÁNGULO Resolver un triángulo culquier consiste en clculr todos sus elementos : sus tres ldos y sus tres ángulos. Pr resolver un triángulo debemos conocer, l menos, tres de sus elementos, uno de los cules necesrimente debe ser un ldo. En todo triángulo, un ldo es menor que l sum de los otros dos y myor que su diferenci. Teorem del seno: sen b sen Teorem del coseno: c sen sen b sen c sen b sen c sen sen b c b. c. Cos b c. c. Cos c b. b. Cos Áre de un triángulo oblicuángulo: 1-. Cundo se conoce ls longitudes de sus ldos. P b c A p (p - ).(p - b).(p - c) -. Cundo se conoce l longitud de dos ldos y l medid del ángulo comprendido entre ellos:. b. Sen. c. Sen b. c. Sen A A A

13 3-. Cundo se conoce l longitud de un ldo y l medid de dos ángulos (los ángulos l extremo del ldo conocido): A. Sen. Sen. Sen A b. Sen. Sen. Sen c A. Sen. Sen. Sen Rzones trigonométrics de l sum y diferenci de dos ángulos: Sen Cos Sen. Cos Sen. Cos Cos. Cos Sen. Sen Tg Tg Tg 1 Tg. g Rzones trigonométrics del ángulo doble: Sen = Sen. Cos Tg Tg 1Tg Cos Cos 11 Sen Cos Sen Rzones trigonométrics del ángulo mitd: Sen 1 Cos Cos 1 Cos Tg 1 Cos 1 Cos Sen 1 Cos 1- Cos Sen

14 Fórmuls de fctorizción de l sum y diferenci de Senos y Cosenos y Tngentes: Sen Sen Sen Cos Sen Sen Cos Sen Cos Cos Cos Cos Cos - Cos Sen Sen Sen( ) Tg Tg Cos. Cos Sen( ) Tg Tg Cos. Cos Formulrio: rzones trigonométrics Seno Coseno Tngente Cosecnte Secnte

15 Cotngente Identiddes trigonométrics fundmentles sen² α + cos² α = 1 sec² α = 1 + tg² α cosec² α = 1 + cotg² α Rzones trigonométrics de l sum y diferenci de ángulos Rzones trigonométrics del ángulo doble

16 Rzones trigonométrics del ángulo mitd Trnsformciones de sums en productos Trnsformciones de productos en sums

17 Teorem de los senos Teorem del coseno Teorem de ls tngentes Áre de un triángulo Fórmul de Herón:

18 Ejercicios Instrucciones: A continución, precen decens de ejercicios resueltos, revíselos pr poderlos tomr como guí en l resolución de su exmen de ejemplo. Recuerde: no podrá utilizr ningun de est informción en su exmen. Primer prte 1.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes dtos ( ángulos y el ldo común): Â 60º Solución: ; Bˆ 40º ; c 5cm (Existe un único triángulo con estos dtos) Como se conocen dos ángulos: Aˆ y Bˆ, se hll Ĉ : Â Bˆ Ĉ 180º Ĉ 180º Â Bˆ 180º 60º 40º 80º Y, plicndo el teorem del seno, se hlln los ldos y b: 5 sen 60º sen 80º 5 sen 60º 4,397cm sen 80º b 5 sen 40º sen 80º 5 sen 40º b 3,64cm sen 80º.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes dtos ( ldos y el ángulo comprendido): Â 40º Solución: ; b 7cm ; c 10cm (Existe un único triángulo con estos dtos) Aplicndo el teorem del coseno, se determin el ldo : b c b c cosâ cos 40º cos 40º 6, 46 cm El ángulo Bˆ se determin plicndo el teorem del seno: 6,46 40º sen 7 sen Bˆ ˆ 7 sen 40º sen B 0,6965 6,46 o bien, plicndo el teorem del coseno: Bˆ rc sen 0, º 08'54' '

19 b c c cos Bˆ cos Bˆ c b c Bˆ 44º 08'54'' Y solmente nos rest hllr el ángulo Ĉ :  Bˆ Ĉ 180º Ĉ 180º  Bˆ 180º 40º 44º08'54'' 95º51'06'' 3.- Resuelve el triángulo ABC, del que se conocen los siguientes dtos (3 ldos): 35m ; b 0 m ; c 40 m Solución: Como el ldo myor es menor que l sum de los otros dos ( triángulo con estos dtos. c b ), existe un único Se comienz determinndo el ángulo correspondiente l ldo menor, que tiene que ser gudo. Aplicndo el teorem del coseno: b c c cos Bˆ Bˆ rc cos0,866 30º cos ˆ B c b c ,866 Después, plicndo el teorem del seno, se determin el ángulo  : 35 0 sen 30º ˆ 35 sen 30º sen A 0,875 0 Aˆ rc sen 0,875 61º 0' 4' ' Finlmente, se hll el ángulo Ĉ :  Bˆ Ĉ 180º Ĉ 180º  Bˆ 180º 61º 0' 4' ' 30º 88º 57'18' ' 4. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes dtos ( ldos y el ángulo opuesto uno de ellos) : ) Cˆ 140º ; b 11cm ; c 17cm Solución: Como conocemos el ldo c y su ángulo opuesto y el ldo b, plicndo el teorem del seno determinmos el ángulo Bˆ : b c sen Bˆ sen Cˆ ˆ ˆ b senc 11 sen 140º sen B c 17 Como el seno es positivo en el primer y segundo cudrnte, obtenemos dos soluciones: B ˆ 4º34'38' ' y B ˆ 180º 4º34'38' ' 155º 5' ' '

20 Como b c Bˆ Cˆ y B ˆ Cˆ 180º (por tnto, l únic solución válid es l 1ª) Existe, por tnto, un único triángulo que verific estos dtos. B ˆ 4º34'38' ' Como conocemos Bˆ y Cˆ, se determin el ángulo  :  Bˆ Ĉ 180º A ˆ 180º 4º34'38' ' 140º 15º 5' ' ' Y, plicndo el teorem del seno, se obtiene el ldo : c sencˆ c 17 sen sencˆ sen 140º 15º 5' ' ' 7 cm 5. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes dtos ( ldos y el ángulo opuesto uno de ellos) : ) Bˆ 0º ; b 3cm ; c 8cm Solución: Como conocemos el ldo b y su ángulo opuesto y el ldo c, plicndo el teorem del seno determinmos el ángulo Ĉ : c b sencˆ sen Bˆ ˆ ˆ c sen B 8 sen 0º senc 0.91 b 3 Como el seno es positivo en el primer y segundo cudrnte, obtenemos dos soluciones: C ˆ 65º47 ' 7 '' y C ˆ 180º 65º47 ' 7 '' 114º1'33' ' Como b c Bˆ Cˆ y B ˆ Cˆ 180º (ls dos soluciones son válids). Existen, por tnto, dos triángulos que verificn estos dtos. Primer triángulo: Pr C ˆ 65º47 ' 7 ''. Se obtiene el ángulo  : A ˆ 180º 0º 65º47 ' 7 '' 94º1'33' ' Y, plicndo el teorem del seno, se obtiene el ldo : b sen Bˆ Segundo triángulo: Pr Se obtiene el ángulo  : b 3 sen94º1 '33'' 8.75cm sen Bˆ sen 0º C ˆ 114º1'33' '.

21 A ˆ 180º 0º 114º1'33'' 45º 47 ' 7 '' Y, plicndo el teorem del seno, se obtiene el ldo : b sen Bˆ b 3 sen sen Bˆ sen 0º 45º 47 ' 7 '' 6.9 cm 6. Resuelve el triángulo ABC que verifique los siguientes dtos ( ldos y el ángulo opuesto uno de ellos) : ) Aˆ 40º ; 30cm ; b 40cm Solución: Como conocemos el ldo y su ángulo opuesto y el ldo b, plicndo el teorem del seno determinmos el ángulo Bˆ : b sen Bˆ ˆ ˆ b sen A 40 sen 40º sen B Como el seno es positivo en el primer y segundo cudrnte, obtenemos dos soluciones: B ˆ 58º59'13' ' y B ˆ 180º 58º59'13' ' 11º 00' 47' ' Como b Aˆ Bˆ y A ˆ Bˆ 180º (ls dos soluciones son válids). Existen, por tnto, dos triángulos que verificn estos dtos. Primer triángulo: Pr B ˆ 58º59'13' '. Como  Bˆ Ĉ 180º, se obtiene el ángulo Ĉ : C ˆ 180º 58º59'13' ' 40º 81º00' 47' ' Y, plicndo el teorem del seno, se obtiene el ldo c: c sencˆ Segundo triángulo: Pr sencˆ 30 sen c sen 40º B ˆ 11º 00' 47' '. 81º00' 47' ' Como  Bˆ Ĉ 180º, se obtiene el ángulo Ĉ : C ˆ 180º 11º 00' 47' ' 40º 18º59'13' ' Y, plicndo el teorem del seno, se obtiene el ldo c: c sencˆ sencˆ 30 sen c sen 40º 18º59'13' ' 46,1cm 15,18cm

22 Segund prte 1. Clcul l ltur del edificio de l figur si 15º, 0º y d 10m C h 5º b 0º A 160º 10 m 15º B h b sen 0º Clculmos b. Aplicndo el teorem del seno: b c sen Bˆ sen Cˆ c sen Bˆ 10 sen15º b 9, 7 sen Cˆ sen 5º m h b sen 0º 9,7 sen 0º 10, 16m. Dos individuos A y B observn un globo que se elev verticlmente. L distnci entre los individuos es de km. En cierto momento, los ángulos de elevción del globo desde los observdores son 66º y 7º, respectivmente. Determin que ltur se encuentr el globo, en ese momento, y l distnci cd observdor.

23 C b h A 66 º x - x Km 7 º B Resolveremos el problem utilizndo el método de l doble observción (o de ls tngentes): h tg 66º x h tg 7º x x tg 66º x tg 66º tg 7º h x tg 66º h x tg 7º x tg 66º tg 7º x tg 7º x tg 66º x tg 7º tg 7º tg 7º tg 7º x 1,156Km tg 66º tg 7º x tg 7º h x tg 66º 1,156tg 66º,6 Km igulndo mbs expresiones: h ( x),7 Km b h x,8 Km Como este ño y sbemos resolver culquier triángulo podemos utilizr otro procedimiento pr resolver este problem: A ˆ Bˆ Cˆ 180º Cˆ 180º Aˆ Bˆ 180º 66º 7º 4º Clculmos y b plicndo el teorem del seno:

24 c sen Cˆ c b sencˆ sen Bˆ c sen 66º, 73 sen Cˆ sen 4º Km c sen Bˆ sen 7º b,84km sencˆ sen 4º Finlmente se clcul h: h b sen 66º ó h sen 7º h b sen 66º, 6 km Como vemos, este º método, es mucho más fácil. 3.- Un nten de televisión se encuentr situd sobre un colin. Desde un punto A (en el terreno llno) el extremo superior de l nten se ve bjo un ángulo de 50º y el extremo inferior bjo un ángulo de 43º. Si l colin tiene un ltur de 10 metros, clcul l ltur de l nten. C C h B 133º h B 10 m 7º c 47º 10 m 50º 50º A 43º x A 43º Se clcul el ldo c: sen º c 175, m c sen 43º 95 Ahor se procede igul que ntes: Se clcul el ángulo C ˆ 180º Aˆ Bˆ 180º 7º 133º 40º Finlmente, se clcul h, plicndo el teorem del seno: c h sencˆ c 175,95 sen 7º h 33,36 m sencˆ sen 40º Tmbién se puede hcer plicndo el método de l doble observción: 10 tg 43º x 10 h tg 50º x 10 x tg 43º 10 h x tg 50º 10 tg 43º tg 50º 10 33,36m

25 4. Un bucedor desciende l fondo de un lgo pr recoger un objeto siguiendo un tryectori rectilíne que form un ángulo de 30º con l superficie del lgo. Cumple su objetivo y regres sliendo l superficie siguiendo otr tryectori rectilíne que form un ángulo de 35º con l superficie del lgo. Sbiendo que l distnci entre el punto de entrd y el de slid es de 100 metros, verigu cul es l profundidd del lgo. Se resuelve igul que el nº Un brco A enví un S.O.S. y ls señles son recibids por dos estciones de rdio B y C, que distn entre sí 80 km. L visul que v desde l estción B l brco form un ángulo de 80º con l visul que v de l estción B l C y l visul que v desde l estción C l brco form un ángulo de 70º con l visul que v de l estción C l B. A qué distnci de cd estción A se encuentr el brco? c b B 80º 70º 80 km C A ˆ Bˆ Cˆ 180º Aˆ 180º Bˆ Cˆ 180º 80º 70º 30º Clculmos b y c plicndo el teorem del seno: b sen Bˆ 80 sen 80º b 157,57Km sen Bˆ sen 30º c sencˆ sencˆ 80 sen 70º c 150,35Km sen 30º

26 6.- Clcul l distnci d = AC: d 8,4 km 9 km 40º Aplicndo el teorem del coseno: b c c cos Bˆ donde b = d (distnci AC) d c c Bˆ cos 8,4 9 8,4 9 cos 40º 6 km 7.- Determin cunto mide el ldo de un triángulo culquier, sbiendo que  y que el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo mide 6 cm. mide 30º B 6 cm 60º O 30º A 6 cm C El ángulo inscrito es l mitd del ángulo centrl que brc el mismo rco. Por tnto, el ángulo centrl es de 60º. Aplicndo el teorem del coseno l triángulo COB se hll l longitud del ldo cos60º cos 60º 6cm

27 (lógico, y que el triángulo COB es equilátero. Sus 3 ángulos internos son igules. Por tnto, sus 3 ldos deben ser igules). B ˆ Cˆ 10º y Bˆ Cˆ Bˆ Cˆ 60º 8.- Sbiendo que l longitud del ldo de un octógono regulr es 1 cm. Determin: ) El rdio de l circunferenci circunscrit. b) El áre del octógono. R R,5º º 30' R 1 cm 45º 6 cm 1 cm 6 cm Se hll el ángulo centrl: 360º 45º 8 Clculmos R: 360º n,5º º 30 ' 6 6 sen R 15, 68cm R sen º 30' Pr hllr el áre necesitmos clculr previmente l potem: 6 6 tg º 30' 14, 49cm tg º 30' P 8 114,49 A 695,5cm Not: Se puede hcer de vris forms (explicr en clse) Cómo se hll el ángulo interno en un polígono regulr de n ldos? 180º n n

28 9.- Determin los ángulos de un rombo, sbiendo que sus digonles miden 6 y 1 cm. 6 cm 3 cm 3 tg 0,5 6 90º 63º 6' 06' ' rctg 0,5 6º 33'54' ' 16º 5'1' ' 53º 07' 48' ' 10.- Determin el perímetro y el áre de un decágono regulr, sbiendo que el rdio de l circunferenci circunscrit l decágono mide 8 cm. Igul que el ejercicio nterior.

29 11.- Determin el perímetro y el áre de un prlelogrmo cuys digonles miden 4 y 16 cm, respectivmente, y se cortn formndo un ángulo de 10º. A Clculo b, plicndo el teorem del coseno l triángulo DOC ó AOB Clculo, plicndo el teorem del coseno l triángulo BOC ó AOD P b Pr clculr el áre, necesito hllr l ltur h Considero el triángulo rectángulo AEC: h sen h 4 sen 4 Bst determinr, plicndo el teorem del coseno l triángulo AOB Finlmente, A b h D 8 cm 10º 1 cm 8 cm 1.- Hllr ls distncis AC y BC O b 60º 1 cm B h E C Se clcul el ángulo Ĉ C ˆ 180º Aˆ Bˆ 180º 60º 45º 75º Clculmos = BC y b = AC plicndo el teorem del seno: c c 80 sen 60º 71,73m sencˆ sencˆ sen 75º c b c sen Bˆ 80 sen 45º b 58,56m sencˆ sen Bˆ sencˆ sen 75º

30 13.- Hllr l distnci AC. Solución:.653 metros 14.- Hllr l distnci c = AB Aplicndo el teorem del coseno c b b coscˆ c b b Cˆ cos cos 40º 334, 8m

31 15.- Hllr l ltur h del fro. Se clcul (plicndo el teorem del coseno) c b b coscˆ coscˆ b c b cos b c b , º 4' 4' ' Se clcul 180 º 180º 94º 4' 4' ' 85º 35'18' ' Se clcul h 65 cos h 65 cos85º 35'18' ' 5m