e x Integración numérica Tema 2: Cá álculo umérico Fórmulas de cuadratura. Fórmulas de Newton-Cotes. Fórmulas del trapecio y Simpson. Errores.

Transcripción

1 Tem : Itegrcó umérc Tem : Itegrcó ó umérc Prolem Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newto-Cotes. Fórmuls del trpeco Smpso. Errores. Clculr l sguete tegrl: e d

2 Usremos l tegrcó umérc cudo, por el motvo que se, o podmos o o quermos usr l Regl de Brrow pr clculr u tegrl ded dd. Tem : Itegrcó ó umérc Motvos: d F F Cálculo de prmtv complcdo. Sólo dspoemos de uos pocos vlores de, pero o coocemos l ucó. o dmte prmtv epresle medte ucoes elemetles, como por ejemplo: se d

3 So sttes ls tegrles que o dmte prmtvs epresles medte composcó de ucoes elemetles; por ejemplo: Tem : Itegrcó ó umérc e d d log se d log d se d se d Etre otrs muchs más.

4 Tem : Itegrcó ó umérc L de será promr el vlor de u tegrl dd susttuedo el vlor del tegrdo por otr ucó que l prome de mer ecete. Procederemos susttuedo por su polomo terpoldor e el tervlo de tegrcó [,]. d P d

5 Idce: Tem : Itegrcó ó umérc Fórmuls de cudrtur. Fórmuls de Newto-Cotes: Fórmul del Trpeco. Fórmul compuest de los Trpecos. Fórmul de Smpso. Fórmul compuest de Smpso.

6 Fórmuls de cudrtur. Tem : Itegrcó ó umérc So órmuls que permte promr o clculr el vlor de u tegrl ded. S cotu e u tervlo to I [,], podremos ecotrr ormulcoes pr promr el vlor de u tegrl Ls órmuls será del tpo: d 0 c 0 c 0 c LL c

7 Fórmuls de cudrtur. Tem : Itegrcó ó umérc Cosdermos u ucó cotu e u tervlo [,] de su domo. Tomremos el soporte : Cosdermos el soporte S {,,..., }. 0 Todos los putos está ordedos de meor mor guo se repte. Semos que pr estos odos este u polomo terpoldor de Lgrge, lo sumo de grdo, de l orm: P 0 L

8 álculo umérco ó umérc Fórmuls de cudrtur. I TEGRACIÓ UMÉRICA. Cosdermos el soporte S susttumos l ucó por el polomo de Lgrge, podemos escrr: d d I L 0 Cá Tem : Itegrcó d L L 0 0 Como los so costtes A L d 0 0 Hcedo: A L d

9 Fórmuls de cudrtur. Tem : Itegrcó ó umérc E detv: I d 0 El error cometdo será l tegrl del error de terpolcó: El error cometdo será l tegrl del error de terpolcó: ε d! 0 0 A... A d Ahor sólo lt determr los coecetes A

10 Fórmuls de cudrtur. Tem : Itegrcó ó umérc Prtmos de A d Como los polomos ulres de Lgrge sólo depede de los odos del soporte [o depede de l ucó Cosdermos ], podemos el soporte usr pr determrlo culquer ucó, por ejemplo del tpo: L

11 Cálculo de los coecetes. : Tem : Itegrcó ó umérc Formmos el sstem sguete pr clculr los coecetes:... Cosdermos el soporte A 0... A A A A... A A Sstem de V der Mode.

12 Resolucó del sstem. Tem : Itegrcó ó umérc Sstem sempre comptle determdo > solucó úc. L 0 L M M M 0 L Cosdermos el soporte A A M A M 0

13 Cálculo del determte Tem : Itegrcó ó umérc A 0 M 0 Cosdermos el soporte M A cd l le restmos l teror multplcd por 0 L L L Iremos reducedo el determte hst dr co: M det A 0 j < j 0 que j cudo j

14 Fórmuls de ewto-cotes Tem : Itegrcó ó umérc Ls órmuls de ewto-cotes se otee por el procedmeto descrto, tegrcó del polomo terpoldor de Lgrge, pero cosderdo soportes equespcdos. Cosdermos el soporte S el tervlo de tegrcó [,] lo prtmos e trozos gules, cd trozo medrá: h

15 Fórmuls de ewto-cotes Tem : Itegrcó ó umérc E ests codcoes, los coecetes tee l propedd de que: Lo que Cosdermos os permtrá el que soporte solo tegmos que clculr l mtd de ellos. Estos coecetes sólo depede del pso o de los putos cocretos del soporte, por lo que: A A A k k

16 Fórmuls de ewto-cotes Tem : Itegrcó ó umérc S S S S {, h} {, h, h} Ejemplo: s h: A A 0 A A 0 h A A 0 E el soporte de dos putos;. h h A A A 0. A E el de tres putos;.

17 Fórmuls de ewto-cotes Tem : Itegrcó ó umérc Es mportte resltr que los coecetes l depeder eclusvmete del soporte, los podremos usr pr Cosdermos el cálculo culquer el soportetegrl sempre que se mteg el mecodo soporte. Por ello, podemos coclur co ls sguetes ormulcoes: A

18 álculo umérco ó umérc Fórmul de ewto-cotes pr I TEGRACIÓ UMÉRICA. 0 h A A }, { h S S Cá Tem : Itegrcó Est es l llmd órmul del Trpeco. ] [ ] [ h h h h h h d I

19 Fórmul de ewto-cotes pr Tem : Itegrcó ó umérc S h S {, h, h} A A 0 A h h h d h h h [ ] Recuerd que Est es l llmd órmul de Smpso. h

20 Fórmul del Trpeco. Tem : Itegrcó ó umérc d h

21 Tem : Itegrcó ó umérc A Iterpretcó geométrc de l órmul del Trpeco. Are de u trpeco. h h -.

22 Fórmul del Trpeco. Tem : Itegrcó ó umérc Sedo Error. d ε d ϑ '' ϑ ε ε M e ϑ [, ] M

23 Ejemplo. Clculr: 8 d Tem : Itegrcó ó umérc Aplcdo l órmul del Trpeco: I 6. Error: ε M '' 6; M como. ε 6.

24 Ejemplo. Clculr: 8 d Tem : Itegrcó ó umérc Solucó ect: εecto Error ecto: d 5

25 Iterpretcó geométrc de l órmul de Smpso. Tem : Itegrcó ó umérc Susttumos por l práol que ps por los putos: [, ] [, ] [, ]

26 Fórmul de Smpso. Tem : Itegrcó ó umérc d 6 Práol

27 Fórmul de Smpso. Tem : Itegrcó ó umérc Error. d d ε ε ϑ 880 Sedo M M ϑ e [, ]

28 Ejemplo. Clculr: d 0 Tem : Itegrcó ó umérc Aplcdo l órmul de Smpso: I

29 Ejemplo. Clculr: d 0 Tem : Itegrcó ó umérc Acotcó del error 5 5 ε ϑ 880 ε M M ϑ ϑ Luego M. 5 M ε

30 Fórmul compuest de los Trpecos. Tem : Itegrcó ó umérc - Tommos sempre putos: - rect que ps por ellos: 0 A A A 0 h h h m h-/ A h/ 0 A h/ A h/ Are A A A h/ 0

31 Fórmul compuest de los Trpecos. Tem : Itegrcó ó umérc d Sedo: ; Error: 0 ε M M '' ϑ e [,]

32 Fórmul compuest de los Trpecos; estmcó del error. Tem : Itegrcó ó umérc Sedo: ; 0 Estm có del error: Sedo ' ε [ ' ' ] l dervd prmer de l ucó.

33 Trpecos. Tem : Itegrcó ó umérc d 0

34 Ejemplo. Clculr: d Tem : Itegrcó ó umérc º Aplcdo l órmul compuest de los Trpecos co. º Acotr el error. º Avergur l prtcó ecesr pr grtzr u error meor que u cetésm.

35 Ejemplo. Clculr: d Tem : Itegrcó ó umérc º Aplcdo l órmul compuest de los Trpecos co. d L prtcó será: {,,, } sus mágees: {,/,/,/ }, por Lo tto: d

36 Ejemplo. Clculr: d Tem : Itegrcó ó umérc º Acotr el error. M '' ϑ ε '' M '' Clrmete decrecete e el tervlo de tegrcó.. 0.5

37 Ejemplo. Clculr: d Tem : Itegrcó ó umérc º Avergur l prtcó ecesr pr grtzr u error meor que u cetésm Luego hcedo su ríz cudrd: Bstrá co tomr prmer úmero turl que lo cumple.

38 álculo umérco ó umérc Fórmul compuest de Smpso h-/ Cá Tem : Itegrcó h h h h h A A 0 h

39 Fórmul compuest de Smpso. Tem : Itegrcó ó umérc d E I P Dode E sum de ls mágees de los putos etremos. I sum de ls mágees de los putos de suídce mpr P sum de ls mágees de los putos de suídce pr. 0

40 Fórmul compuest de Smpso Tem : Itegrcó ó umérc d Sedo: ; Error: 0 ε E I P 80 5 M M ϑ e [,]

41 Fórmul compuest de Smpso; estmcó del error. Tem : Itegrcó ó umérc Sedo: ; 0 Estm có del error: Sedo ε [ ] 80 l dervd tercer de l ucó.

42 Ejemplo. Clculr: 5 d Tem : Itegrcó ó umérc º Aplcdo l órmul compuest de Smpso co. º Acotr el error. º Avergur l prtcó ecesr pr grtzr u error meor que u mlésm.

43 Ejemplo. Clculr: 5 d Tem : Itegrcó ó umérc º Aplcdo l órmul compuest de Smpso co. 5 d 5 E I P L prtcó será: {,,,, 5} sus mágees: {, 8/,, 6/, 0/ } Por lo tto: E I P

44 Ejemplo. Clculr: 5 d Tem : Itegrcó ó umérc º Aplcdo l órmul compuest de Smpso co. 5 d

45 Tem : Itegrcó ó umérc Ejemplo. º Acotr el error. Clculr: M ϑ Y su dervd es: 80 egtv sempre > 6 5 d e [,5] L dervd curt e vlor soluto es decrecete > el mámo lo lczrá e u etremo del tervlo de tegrcó M 96

46 Tem : Itegrcó ó umérc Ejemplo. Cot del error. ε Clculr: M d

47 Ejemplo. Clculr: 5 d Tem : Itegrcó ó umérc º Avergur l prtcó ecesr pr grtzr u error meor que u mlésm Bstrá co tomr el prmer etero pr mor que dch ctdd:

48 Ejemplo. Clculr, co los dtos proporcodos, el áre de l gur sguete. Tem : Itegrcó ó umérc X Y

49 Podemos usr culquer de los métodos estuddos. Por los Trpecos: Tem : Itegrcó ó umérc A

50 Por Smpso: Tem : Itegrcó ó umérc A E I P 0 0