14 Intervalos de confianza

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1 Solucioario 14 Itervalos de cofiaza ACTIVIDADES INICIALES 14.I. Calcula tal que P z < Z z α α = 0,87. P zα < Z zα = P Z zα P Z < zα = P Z zα 1= 0,87 P Z P Z P Z = 1,87 = 0,935. Buscado e el iterior de la tabla de la N(0, 1) se observa que el valor = 0,935 se obtiee si z α = 1, II. Calcula tal que P(Z ) = 0,867. Buscado 0,867 e el iterior de las tablas de la N(0, 1) se obtiee P(Z ) = 0,867 para = 1,115. ACTIVIDADES PROPUESTAS (PAU) Se hizo ua ecuesta a 35 persoas mayores de 16 años y se ecotró que 10 iba al teatro regularmete. Halla, co u ivel de cofiaza del 94%, u itervalo para estudiar la proporció de los ciudadaos que va al teatro regularmete. = p ˆ = 35 pˆ(1 pˆ) 0,38 0,6 = = 0,07 35 El valor crítico es tal que: P zα < Z zα = P Z zα 1= 0,94 P Z P Z = 0,97 Buscado e el iterior de la tabla de la N(0, 1) se observa que el valor P Z = 1,88. Sustituyedo estos valores e la expresió del itervalo de cofiaza, se tiee: pˆ(1 pˆ) pˆ zα = ( 0,38 1,88 0,07 ) = (0,39; 0,431) = 1,94 = 0,97 se obtiee si 74 Solucioario

2 14.. (PAU) Tomada al azar ua muestra de 500 persoas de ua determiada comuidad, se ecotró que 300 leía la presa regularmete. Halla, co ua cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de lectores etre las persoas de esa comuidad. = 500, p ˆ = = = 0,6, pˆ (1 pˆ) 0,6 0, 4 = = 0, El valor crítico es tal que: P zα < Z zα = P Z zα 1= 0,90 P Z pˆ(1 pˆ) Por tato: pˆ zα = ( 0,6 1,645 0,004 ) = (0,596; 0,604) = 0,95 z α = 1, (PAU) Sabemos que ua variable estadística se comporta como ua N( μ, 10). Para estimar μ extraemos ua muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Estima μ mediate u itervalo de cofiaza del 90% y del 95%. a) Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: σ x z α. El valor crítico es tal que: P zα < Z zα = P Z zα 1= 0,90 P Z 10 El itervalo pedido es: 37 1,645 = (35,355; 38,645). 100 b) Si la cofiaza es del 95%, = 1, El itervalo de cofiaza es: 37 1,96 = (35,04; 38,96). 100 = 0,95 z α = 1, (PAU) El peso de los alumos de Bachillerato de cierta ciudad tiee ua media descoocida y ua desviació típica σ = 5,4 kg. Tomamos ua muestra aleatoria de 100 alumos de Bachillerato de esa ciudad. Si la media de la muestra es de 60 kg, calcula co u ivel de cofiaza del 99% el itervalo de cofiaza para el peso medio de todos los alumos de Bachillerato de la ciudad. A ua cofiaza del 99% le correspode =,575. 5, 4 El itervalo pedido: 60,575 = (58,6095; 61,3905) (PAU) U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas que fabrica sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza Co ua muestra de su producció elegida al azar y u ivel de cofiaza del 95% ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (37,6; 39,). a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) Cuál sería el error de su estimació si hubiese utilizado ua muestra de tamaño 5 y u ivel de cofiaza del 86,9%? a) σ = 3600 σ = 60 N( μ, 60). Los itervalos de cofiaza para la media tiee la forma: σ x z = 60 x z α α = (37,6; 39,) El valor crítico es tal que: P zα < Z zα = P Z zα 1= 0,95 P Z 60 x 1, 96 = 37, 6 Por tato, se puede establecer las ecuacioes: 60 x + 1,96 = 39, Sumado las dos ecuacioes: x = 764, 8 x = 38, 4 b) E = σ 60 = 1, = 9,8. Restado: = 0,975 z α = 1, ,96 19,6 = = 144. Solucioario 75

3 Solucioario La altura media de los alumos de u cetro se distribuye segú ua ormal co desviació típica de 15 cm, y la de las alumas sigue ua ormal co desviació típica de 18 cm. Para estimar la diferecia de altura media de los chicos y las chicas se elige ua muestra al azar de 40 alumos y 35 alumas. Las alturas medias muestrales so: x = 170 cm x = 160 cm H Halla el itervalo de cofiaza para la diferecia de alturas medias al ivel del 90%. Chicos: H = 40 x H = 170 ŝ H = 15 Chicas: M = 35 x M = 160 ŝ M = Para el ivel de cofiaza del 90%: , = (3,67; 16,33) M Co el fi de hacer u estudio comparativo, se ha tomado ua muestra aleatoria de dos variables que se distribuye segú ua ormal. Dicha muestra está formada por 50 idividuos del tipo A y 30 del tipo B. Las medias y cuasivariazas muestrales so: x A = 3, x B = 4 s ˆA = 1,5 s ˆB =,3 Halla u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales para el ivel de cofiaza del 95%. Tipo A: A = 50 x A = 3, ˆ s A = 1,5 Tipo B: B = 30 x B = 4 s ˆB =,3 Para el ivel de cofiaza del 95%: 1,5,3 3, 4 1,96 + = ( 1,1; 0,47) (PAU) E ua població, ua variable aleatoria sigue ua ley ormal de media descoocida y desviació típica. Observada ua muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obteido ua media muestral igual a 50. Co u ivel de cofiaza del 97%, qué tamaño míimo debe teer la muestra para que la amplitud del itervalo que se obtega sea, como máximo, 1? Si la amplitud del itervalo ha de ser como máximo 1, el error máximo admisible será 0,5. σ,17 Etoces: E =,17 = 0,5 = = 8,68 = 75,34 0,5 Por tato, el tamaño de la muestra ha de ser, como míimo, (PAU) Se sabe que ua variable estadística se comporta como ua N( μ, 10). Para estimar μ se extrae ua muestra de tamaño 100, cuya media resulta ser igual a 37. Determia el tamaño de la muestra si se desea que el error cometido al estimar μ co u ivel de cofiaza del 99% o exceda de 0,575. Al ivel de cofiaza del 99% le correspode u =,575. Etoces: E = σ 10,575 10,575 = 0,575 = = 100 = ,575 Luego el tamaño de la muestra ha de ser, como míimo, Solucioario

4 EJERCICIOS Itervalo de cofiaza para el parámetro p de ua biomial (PAU) Se quiere coocer la permaecia media de los pacietes de u hospital, co el fi de estudiar ua posible ampliació del mismo. Se tiee datos referidos a las estacias, expresadas e días, de 800 pacietes, co los siguietes resultados: x = 8,1 días; s = 9 días. Se pide obteer u itervalo de cofiaza del 95% para la estacia media. Datos: = 800; x = 8,1 días; s = 9 días; 1 α = 0,95 = 1,96 σ Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza para la media poblacioal, x z α, se obtiee: 9 9 8,1 1,96 ; 8,1+ 1,96 = (7,5; 8,7). Por tato, la estacia media está etre 7,5 y 8,7 días (PAU) El Miisterio de Educació, Política Social y Deporte desea coocer el iterés de los padres por la itroducció de la primera Legua Extrajera e el primer curso de Primaria. Ecuestados 104 padres elegidos al azar, el 80% está a favor. Cuál es el itervalo de cofiaza para el porcetaje de los padres que está a favor de esta medida, co u ivel de cofiaza del 0,99? Datos: = 104; pˆ = 0,8; 1 α = 0,99 =,575 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza para ua proporció, obtiee: 0,80 0,0 0,80 0,0 0,80,575 ;0,80 +,575 = (0,768; 0,83) pˆ(1 pˆ) pˆ z, se α (PAU) Si al lazar 80 veces ua moeda se obtiee 45 caras, se puede aceptar que la moeda está trucada, co u ivel de sigificació del 5%? Datos: = 80; ˆp = = 0,565; 1 α = 0,95 = 1,96 0,565 0,4375 Se obtiee el itervalo de cofiaza: 0,565 1,96 80 = (0,4538; 0,671). Como 0,5 cae detro del itervalo hallado, o puede aceptarse que la moeda está trucada. Solucioario 77

5 Solucioario (PAU) Se seleccioa aleatoriamete ua muestra de 600 persoas e ua ciudad y se les preguta si cosidera que el tráfico e la misma es aceptablemete fluido. Respode afirmativamete 50 persoas. Cuál es el itervalo de cofiaza para la proporció de ciudadaos que e esa ciudad cosidera aceptable la fluidez del tráfico, co u ivel de cofiaza del 90%? 50 5 Datos: = 600; pˆ = = ; 1 α = 0,90 = 1, Itervalo de cofiaza obteido: , = (0,3836; 0,4498) (PAU) E ua ecuesta realizada a 800 persoas elegidas al azar del ceso electoral, 40 declararo su iteció de votar al partido A. a) Estima co u ivel de cofiaza del 95,45% etre qué valores se ecuetra la iteció de voto a dicho partido e todo el ceso. b) Discute razoadamete el efecto que tedría sobre el itervalo de cofiaza el aumeto o la dismiució del ivel de cofiaza. 40 a) Datos: = 800; pˆ = = 0,3; 1 α = 0,9545 = 800 pˆ(1 pˆ) Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza para ua proporció, pˆ zα, se obtiee: 0,3 0,7 0,3 0,7 0,3, 0,3 + = (0,68; 0,33) b) Si se quiere aumetar el ivel de cofiaza, el valor de Por tato, la amplitud del itervalo se hace mayor. aumetará tambié. Itervalo de cofiaza para la media poblacioal (PAU) El peso medio de ua muestra de 64 jóvees de 18 años ha sido de 70 kg. Sabiedo que los pesos de los jóvees de 18 años se distribuye co ua desviació típica de 1 kg, ecuetra el itervalo de cofiaza para la media de los pesos de la població de jóvees de 18 años, co u ivel de cofiaza del 95%. Datos: = 64; x = 70 kg; σ = 1 kg; 1 α = 0,95 = 1,96 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza para la media poblacioal, se obtiee: σ x z α, ,96, ,96 = (67,06; 7,94) Por tato, la media de pesos de la població estará etre 67 y 73 kg, aproximadamete. 78 Solucioario

6 (PAU) La vida media de ua muestra tomada al azar de 11 bombillas es de 3000 horas, y la desviació típica, de 0 horas. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la media poblacioal para u ivel de cofiaza del 99%. Datos: = 11; x = 3000 horas; σ = 0 horas; 1 α = 0,99 =, ,575 ; ,575 = (948,5; 3051,5) Por tato, la media de horas estará etre 948,5 y 3051, (PAU) Se ha aplicado ua prueba para medir el cociete itelectual a ua muestra de 100 uiversitarios españoles elegida de forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se ha obteido 98 putos. Sabiedo que las putuacioes de la prueba sigue ua distribució ormal de desviació típica de 15: a) Calcula, co ua probabilidad del 98%, etre qué valores se ecotrará la media de la població uiversitaria española. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) Datos: = 100; x = 98 putos; σ = 15 putos; 1 α = 0,98 =, ,33 ; 98 +,33 = (94,505; 101,495) > (94,5; 101,5) b) Esto sigifica que el cociete itelectual de los uiversitarios españoles está etre 94,5 y 101,5, co ua probabilidad del 98% (PAU) U experto e gestió de la calidad quiere estudiar el tiempo promedio que se ecesita para hacer tres perforacioes e ua pieza metálica. Se calcula el tiempo promedio de ua muestra aleatoria de 36 trabajadores, resultado,6 segudos. Supoiedo que el tiempo de perforació se distribuye segú ua ormal co desviació típica de 0,3 segudos: a) Ecuetra u itervalo de cofiaza del 99,4% para dicho tiempo promedio de perforació. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) Datos: = 36; x =,6 segudos; σ = 0,3 segudos; 1 α = 0,994 =,75 0,3 0,3,6,75 ;,6 +,75 = (,465;,7375) b) Esto sigifica que el tiempo promedio del 94% de las muestras de tamaño 36 estará etre,465 y,7375 segudos (PAU) La duració de la batería de cierto modelo de teléfoo móvil se puede aproximar por ua distribució ormal co ua desviació típica de 5 meses. Se toma ua muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtiee las siguietes duracioes (e meses): 33, 34, 6, 37, 30, 39, 6, 31, 36, 19 Halla u itervalo de cofiaza al 95% para la duració media de ese modelo de batería. x i Datos: = 10; x = = 31,1 meses; σ = 5 meses; 1 α = 0,95 = 1, ,1 1,96, 31,1 + 1,96 = (8; 34,) Por tato, la duració media para esta muestra estará etre 8 y 34, meses. Solucioario 79

7 Solucioario (PAU) Se desea hacer u estudio de mercado para coocer el precio medio de los libros de texto. Para ello se elige ua muestra aleatoria de 11 libros de texto, ecotrado que tiee u precio medio de 3 euros. Si se sabe que los precios de los libros de texto sigue ua distribució ormal co desviació típica de 5 euros: a) Ecuetra u itervalo de cofiaza al 98,8% para el precio medio de los libros de texto. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) Datos: = 11; x = 3 ; σ = 5 ; 1 α = 0,988 =, ,51 ; 3 +,51 = (1,86; 4,14) b) Esto sigifica que el precio promedio del 98,8% de las muestras de tamaño 11 libros estará etre 1,86 y 4,14 euros (PAU) U estudio realizado sobre 144 usuarios de automóviles revela que la media aual de kilómetros recorridos es de Si el úmero de km recorridos aualmete sigue ua distribució ormal co desviació típica de 000 km: a) Calcula, co ua probabilidad del 97%, etre qué valores estará la media del úmero de km recorridos aualmete por la població total de usuarios de automóviles. b) Iterpreta el sigificado del itervalo obteido. a) Datos: = 144; x = km; σ = 000 km; 1 α = 0,97 =, ,17 ; ,17 = (17 638,3; ,7) b) Esto sigifica que la media de km recorridos por la població de usuarios de esos coches estará etre ,3 y ,7 km, co ua probabilidad de 0,97. Itervalo de cofiaza para la diferecia de medias 14.. Se sabe que los pesos medios de los caballos de carreras se distribuye ormalmete, los de la cuadra A co ua desviació típica de 45 kg, y los de la cuadra B co ua desviació típica de 51 kg. Se desea estimar la diferecia de pesos medios de los caballos de ambas cuadras; para ello se elige ua muestra de 50 caballos de la cuadra A y 38 caballos de la cuadra B. Se calcula los pesos medios muestrales y se obtiee: x A = 490 kg x B = 475 kg Halla el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias de pesos al ivel del 95%. Gaadería A: 1 = 50 caballos; x 1 = 490 kg; σ 1 = 45 kg Gaadería B: = 38 caballos; x = 475 kg; σ = 51 kg El itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales co σ 1 y σ coocidas del ivel del 95% viee dado por la expresió: σ1 σ x1 x 1, Sustituyedo los datos se obtiee: ,96 + = ( 5,46; 35,46) Por tato, al ivel del 95%, la diferecia de pesos medios poblacioales de ambas gaaderías se ecuetra e el itervalo ( 5,5; 35,5) kg. 80 Solucioario

8 14.3. Halla el itervalo de cofiaza al ivel del 90% para la diferecia de salarios medios de los trabajadores y las trabajadoras de ua gra empresa: a) Cuado se ha elegido ua muestra de 40 hombres y 35 mujeres, siedo el salario medio de los hombres 1051, y el de las mujeres, 1009, y las desviacioes típicas, de 90 y 78, respectivamete. b) Supoiedo que o se cooce las desviacioes típicas poblacioales y se calcula las cuasivariazas muestrales, que vale ŝ 1 = 87² y ŝ = 76². a) Datos: Trabajadores: 1 = 40 persoas; x 1 = 1051 ; σ 1 = 90 Trabajadoras: = 35 persoas; x = 1009 ; σ = 78 Al sustituir los datos e el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales co σ 1 y σ coocidas del ivel del 90% se obtiee: σ σ 1 x + 1 x 1, 64 = ,64 + = (10,19; 73,81) b) Como σ 1 y σ so descoocidas, el itervalo de cofiaza para la diferecia de medias viee dado por la sˆ1 sˆ expresió: x1 x zα + 1. Sustituyedo resulta: ,64 + = (11,13; 7,87) E u estudio sobre hábitos de alimetació e palomas se sabe que la distacia que recorre volado e ua pasada e busca de alimeto sigue ua distribució ormal tato e los machos como e las hembras. Las desviacioes típicas poblacioales so de 80 y 75 metros, respectivamete. Co el fi de estimar la diferecia de medias de distacias recorridas, se toma ua muestra formada por 40 machos y 35 hembras, y se determia las medias muestrales, que so, respectivamete, 30 y 140 metros. Halla u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales al ivel del 95%. Datos: Machos: 1 = 40 palomas; x 1 = 30 palomas; σ 1 = 80 palomas Hembras: = 35 palomas; x = 140 palomas; σ = 75 palomas Sustituyedo los datos e el itervalo de cofiaza: ,96 + = (54,9; 15,1) Para el cosumo de bombillas se puede elegir etre las marcas A y B. De ua muestra de 10 bombillas de la marca A se determió que la vida media era de 1500 horas, y la desviació típica, de 110 horas. De ua muestra de 180 bombillas de la marca B se determió que la vida media era de 1300 horas, y la desviació típica, de 90 horas. Halla u itervalo de cofiaza para la diferecia de las vidas medias e las poblacioes de las marcas A y B. Datos: Marca A: 1 = 10 bombillas; x 1 = 1500 horas; σ 1 = 110 horas Marca B: = 180 palomas; x = 1300 horas; σ = 90 horas El euciado o idica a qué ivel de cofiaza hay que calcular el itervalo. Si fuera al 95%: ,96 + = (176,33; 3,67) Solucioario 81

9 Solucioario Los tiempos de reacció ate la palabra sorpresa se distribuye ormalmete tato etre los adolescetes como etre los adultos. La desviació típica poblacioal de dichos tiempos e el caso de los adolescetes es de 6 segudos, y e el de los adultos, de 7 segudos. Co el fi de estimar la diferecia de medias poblacioales, se escoge ua muestra formada por 40 adolescetes y 38 adultos, obteiédose tiempos medios de reacció de 15 y 14 segudos, respectivamete. Halla u itervalo de cofiaza para la diferecia de medias al ivel del 90%. Datos: Adolescetes: 1 = 40; x 1 = 15 segudos; σ 1 = 6 segudos Adultos: = 38; x = 14 segudos; σ = 7 segudos Sustituyedo los datos e el itervalo de cofiaza para la diferecia de las medias co desviacioes coocidas se obtiee: ± 1,64 + = ( 1,47; 3,47) Tamaño de ua muestra (PAU) Para estimar la proporció de habitates de ua ciudad que posee ordeador persoal se toma ua muestra de tamaño. Calcula el valor míimo de para garatizar, co u ivel de cofiaza del 95%, que el error de estimació o supera el %. (Como se descooce la proporció, se ha de partir del caso más desfavorable, que será 0,5.) Datos: pˆ = 0,5; 1 α = 0,95 = 1,96 Si E < 0,0 E = p ˆ (1 pˆ ) = 1,96 0,5 0,5 < 0,0 > 1, 96 0,5 0,5 0,0 = 401 El tamaño muestral debe ser de más de 401 habitates (PAU) Se va a realizar ua ecuesta etre la població española mayor de edad. Si se admite u marge de error del %, a cuátas persoas habrá que etrevistar co u ivel de cofiaza del 95%? Como o se cooce p, se toma pˆ = 0,5. Para α = 0,05, = 1,96 El tamaño de la muestra que se obtiee para esta situació es: = La muestra debe teer u tamaño superior a 401 persoas. pˆ (1 pˆ) E = (1,96) 0,5 0,5 0,0 = (PAU) El tiempo de coexió a iteret de los alumos de cierta uiversidad sigue ua distribució ormal co desviació típica de 15 miutos. Para estimar la media del tiempo de coexió, se quiere calcular u itervalo de cofiaza que tega ua amplitud meor o igual a 6 miutos, co u ivel de cofiaza del 95%. Determia cuál es el tamaño míimo de la muestra que es ecesario observar. Se sabe que σ = 15 miutos. Para 1 α = 0,95, = 1,96 Como la amplitud del itervalo de cofiaza es σ y es meor o igual que 6, etoces E = σ debe ser meor o igual que 3. Al sustituir e la expresió del error, resulta: E = 1,96 El tamaño muestral míimo debe ser ,8 96,04 8 Solucioario

10 (PAU) Se estima que el tiempo de reacció de u coductor ate u obstáculo imprevisto tiee ua distribució ormal co desviació típica de 0,05 segudos. Si se quiere coseguir que el error de estimació de la media o supere los 0,01 segudos co u ivel de cofiaza del 99%, qué tamaño míimo ha de teer la muestra de tiempos de reacció? Datos: σ = 0,05 segudos; E < 0,01 segudos Para ua cofiaza del 99%, =,575. Sustituyedo e la expresió del error máximo admisible todos los datos, se obtiee: 0,05 E =,575 < 0,01 > 1,875 > 165,77 El tamaño muestral míimo debe ser 166 coductores (PAU) E ua prueba ciclista cotrarreloj, la variable aleatoria tiempo que tarda u corredor e recorrer la distacia de kilómetros se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 3 miutos. Queremos estimar la media de la població. Cuál es el tamaño míimo que debería teer la muestra que hemos de tomar si queremos que el ivel de cofiaza sea del 94% y el error admisible o supere el valor de 0,8? Datos: σ = 3 miutos; E < 0,8 segudos. Para ua cofiaza del 94%, = 1,88. Como E = σ < 0,8 E = 1,88 3 < 0,8 > 49,7 Por tato, el tamaño de la muestra debe ser de 50 o más ciclistas (PAU) Para estimar la proporció de familias de ua determiada ciudad que posee microodas, se quiere utilizar ua muestra aleatoria de medida. Calcula el valor míimo de para garatizar que, a u ivel de cofiaza del 95%, el error e la estimació sea meor que 0,05. (Como se descooce la proporció, se ha de tomar el caso más desfavorable, que será 0,5.) El error máximo admisible para estimar la proporció, E, viee dado por la expresió: p ˆ (1 pˆ ) E = =0,05. pˆ (1 pˆ) De ella se deduce que: = E Como se descooce la proporció de la població, se toma pˆ = 0,5. Para ua cofiaza del 95%, = 1,96 0,5 0,5 Sustituyedo e la expresió para el tamaño muestral: = (1,96)² = 384,16. 0,05 El tamaño muestral será: = 385 familias. Solucioario 83

11 Solucioario PROBLEMAS (PAU) U estudio realizado sobre 100 usuarios revela que u automóvil recorre aualmete u promedio de km co ua desviació típica de 50 km. a) Determia u itervalo de cofiaza, al 99%, para la catidad promedio de kilómetros recorridos. b) Cuál debe ser el tamaño míimo de la muestra para que el error cometido o sea superior a 500 km, co igual cofiaza? a) Datos: = 100; x = km; σ = 50 km; 1 α = 0,99 =,575 La expresió del itervalo de cofiaza para la media poblacioal es: σ σ x zα, x + zα Sustituyedo e ella, se obtiee: ,575, ,575 = (14 60,63; ,38) σ b) Si el error máximo admisible, E, viee dado por E = y o debe superar los 500 km: 50 E =,575 < 500 > 11,5875 > 134,7 Por tato, la muestra deberá estar compuesta, al meos, por 135 usuarios (PAU) U psicólogo escolar quiere estimar la media de tiempo de reacció de los alumos de 1.º de Primaria. Para ello ha elegido ua muestra de 35 iños y ha obteido los siguietes tiempos de reacció, e miutos: 1,3; 0,8; 1,1; 1,0; 1,; 0,9; 1,5; 0,6; 1,; 1,4; 1,3; 1,1; 1,; 1,5; 1,3; 0,9; 1,; 1,3; 1,1;1,5; 0,8; 0,9; 1,1; 1,; 1,4; 1,; 0,9; 1,0; 1,1; 1,0; 1,; 0,9; 0,8; 1,1; 1,1. Halla el itervalo de cofiaza para la media de tiempo de reacció al ivel del 90%. Se calcula la media y la variaza muestral: x = 1,117 y Como 1 α = 0,90 = 1,64 ŝ = Al ser σ descoocida y = 35 grade, se aproxima mediate ŝ. ( x1 x) = 0,048 ŝ =, Sustituyedo estos valores e la expresió del itervalo de cofiaza: 0,16 1,117 1,64 =(1,057; 1,177) 35 Por tato, el tiempo de reacció está etre 1,057 y 1,177 miutos, co ua cofiaza del 90%. 0 = 0,16 84 Solucioario

12 (PAU) E ua ecuesta se preguta a persoas cuátos libros lee al año, y se obtiee ua media de 5 libros. Se sabe que la població tiee ua distribució ormal co desviació típica. a) Halla u itervalo de cofiaza al 80% para la media poblacioal. b) Para garatizar u error de estimació de la media poblacioal o superior a 0,5 co u ivel de cofiaza del 95%, a cuátas persoas como míimo sería ecesario etrevistar? a) Datos: = ; x = 5 libros; σ = libros Para 1 α = 0,80 = 1,8 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza: 5 1,8 = (4,9744; 5,056) b) El error máximo admisible, E, viee dado por E = Para ua cofiaza del 95%, = 1,96 σ y es meor que 0,5. Al sustituir e E se obtiee: E = 1,96 < 0,5 > 15,68 15,68² = 45,9 El tamaño muestral míimo debe ser de 46 persoas (PAU) Ua muestra aleatoria extraída de ua població ormal de variaza igual a 100 preseta ua media muestral de 160. Sabiedo que el tamaño de la muestra es de 144, se pide: a) Calcular u itervalo de cofiaza del 95% para la media poblacioal. b) Calcular u itervalo de cofiaza del 90% para la media poblacioal. c) Si se quiere teer ua cofiaza del 95% de que el error máximo es de 1,, cuátas observacioes adicioales debe tomarse? a) Datos: = 144; x = 160; σ = 10 Para 1 α = 0,95 = 1,96 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza: ,96 = (158,37; 161,63) 144 b) Para 1 α = 0,90 = 1,64 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza: ,64 = (158,63; 161,37) 144 c) El error máximo admisible, E, viee dado por E = σ y es meor que 1,. Para ua cofiaza del 95% se obtiee: E = 1,96 10 < 1, Despejado de la expresió el tamaño muestral se obtiee: > 16,33 16,33 = 66,77 Se debe realizar = 13 observacioes adicioales. Solucioario 85

13 Solucioario Se quiere estudiar el efecto del tratamieto co u medicameto para estabilizar el ritmo cardíaco. Para ello se mide el úmero de pulsacioes e 40 persoas que ha seguido el tratamieto y se obtiee que x = 65,, y e 30 persoas que o se ha sometido al tratamieto, teiédose x = 70,. La variaza de las persoas o tratadas es 5,1, y la de las tratadas, 4,3. Calcula el itervalo de cofiaza co u 95% de cofiaza para la diferecia de las medias. Datos: Co tratamieto: 1 = 40; x 1 = 65,; σ 1 = 4,3; Si tratamieto: = 30; x = 70,; σ = 5,1 Para ua cofiaza del 95%, = 1,96. El itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales co σ 1 y σ coocidas del ivel del 95% viee dado por la expresió x σ1 σ x 1, , 3 5,1 Al sustituir e ella se obtiee: 65, 70, 1, = ( 8,73; 136,43) (PAU) Las ausecias e días de u empleado de ua empresa para u determiado año se aproxima por ua distribució ormal de media μ días y desviació típica σ = días. Se pretede estimar μ usado la media x de las ausecias e ese año de trabajadores seleccioados de forma aleatoria e la empresa. a) Si supoemos que μ = 6,3 y = 5, cuál es la probabilidad de que la media muestral x esté compredida etre 6,1 y 6,5 días? b) Qué tamaño debería teer la muestra aleatoria para poder estimar μ usado la media muestral x co u error máximo (diferecia etre μ y X) de ±0, días co ua cofiaza del 95%? a) La media de las muestras de tamaño obteidas e ua població de media μ y desviació típica σ, se distribuye segú ua ormal N σ μ,.etoces, la media de las muestras X sigue ua ormal N(6,3; 0,4). X 6,3 Tipificado la variable Z = : 0,4 6,1 6,3 6,5 6,3 P(6,1 < X < 6,5) = P < Z < 0, 4 0, 4 = P( 0,5 < Z < 0,5) = P(z < 0,5) P(z < 0,5) = = 0, = 0,383 b) El error máximo admisible, E, viee dado por E =, siedo σ la desviació típica poblacioal;, el σ tamaño muestral, y, el valor crítico. Para ua cofiaza del 95%, = 1,96, σ = y E < 0,, se tedrá: E = 1,96 < 0, > 19,6 > 384,16 El tamaño muestral debe ser de al meos 385 días (PAU) Para hacer u estudio sobre el precio/día de ua habitació doble e hoteles de cuatro estrellas e ua ciudad costera, se elige ua muestra de 64 de estos hoteles y se obtiee u precio/día medio de 56 co ua desviació típica de 6. a) Determia el itervalo de cofiaza para el precio/día medio de ua habitació doble e u hotel de cuatro estrellas e esa ciudad co u ivel de cofiaza del 97%. b) Halla el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de, co u ivel de sigificació del 1%. a) Datos: = 64; x = 56 ; σ = 6 ; para 1 α = 0,97 =,17 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza para la media poblacioal, se obtiee: σ x zα = ,17, 56 +,17 = (54,375; 57,675) b) Para ua sigificació del 1% (cofiaza del 99%), =,575, σ = 6 y E < : E =,575 6 < > 7,75 > 59,7 El tamaño muestral debe ser superior o igual a Solucioario

14 (PAU) U laboratorio farmacéutico afirma que el úmero de horas que u medicameto de fabricació propia tarda e curar ua determiada efermedad sigue ua variable ormal co desviació típica igual a 8. Se toma ua muestra de 100 efermos a los que se les admiistra el medicameto y se observa que la media de horas que tarda e curarse es igual a 3. a) Ecuetra u itervalo de cofiaza, co u ivel de cofiaza del 99%, para la media del úmero de horas que tarda e curar el medicameto. b) Si el ivel de sigificació es igual a 0,05, cuál es el tamaño de la muestra que habría que cosiderar para estimar el valor de la media co u error meor de 3 horas? a) Datos: = 100; x = 3 horas; σ = 8 horas; 1 α = 0,99 =,575 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza se obtiee: 8 3,575 = (9,94; 34,06) b) Para ua cofiaza del 95%, = 1,96, σ = 8 y E < 3: E = 1,96 El tamaño muestral debe ser superior a 7 efermos. < 3 > 5,66 > 7, (PAU) U fabricate de electrodomésticos sabe que la vida media de estos sigue ua distribució ormal co media μ = 100 meses y desviació típica σ = 1 meses. Determia el míimo tamaño muestral que garatiza, co ua probabilidad de 0,98, que la vida media de los electrodomésticos e dicha muestra se ecuetre etre 90 y 100 meses. Como la probabilidad ha de ser 0,98, el ivel de cofiaza es del 98% y etoces, La amplitud del itervalo de cofiaza es de 10 meses; por tato, E < 5: E =,33 1 < 5 > 5,59 > 31,7 El tamaño muestral debe ser superior a 31 electrodomésticos. =, (PAU) Se ha tomado ua muestra de los precios de u mismo producto alimeticio e 16 comercios, elegidos al azar e u barrio de ua ciudad, y se ha ecotrado los siguietes precios: 95, 108, 97, 11, 99, 106, 105, 100, 99, 98, 104, 110, 107, 111, 103, 110 Supoiedo que los precios de este producto se distribuye segú ua ormal de variaza 5 y media descoocida: a) Cuál es la distribució de la media muestral? b) Determia el itervalo de cofiaza, al 95%, para la media poblacioal. a) Se calcula la media muestral: x = 104. La media de las muestras X se distribuye segú ua ormal N 5 104, = N(104; 1,5). 16 σ b) Para ua cofiaza del 95%, = 1,96, y el itervalo es x 1, Sustituyedo se obtiee: 104 1,96 ; ,96 = (101,55; 106,45) Solucioario 87

15 Solucioario (PAU) Tomada al azar ua muestra de 60 alumos de la uiversidad, se ecotró que u tercio hablaba el idioma iglés. a) Halla, co u ivel de cofiaza del 90%, u itervalo para estimar la proporció de alumos que habla el idioma iglés etre los alumos de la uiversidad. b) A la vista del resultado aterior se pretede repetir la experiecia para coseguir ua cota de error del 0,01 co el mismo ivel de cofiaza del 90%. Cuátos idividuos ha de teer la muestra? a) Datos: = 60; pˆ = 1 3 ; 1 α = 0,90 = 1,645 Sustituyedo e la expresió del itervalo de cofiaza: 1 pˆ(1 pˆ) pˆ zα, 1 1 1, , + 1, b) De la expresió del error máximo admisible, E = 1 Como se desea que E = 0,01 = (1,645) 3 3 = 6013,4 0,01 El tamaño muestral ha de ser al meos de 6014 alumos = (0,3; 0,43) pq, se deduce: = pq = E PARA PROFUNDIZAR (PAU) Se desea obteer la media de ua variable aleatoria que se distribuye ormalmete co ua desviació típica de 3,. Para ello se toma ua muestra de 64 idividuos obteiédose ua media de 3,5. Co qué ivel de cofiaza se puede afirmar que la media de la població está etre 31,5 y 33,5? Si la desviació típica de la població fuera 3, qué tamaño míimo debería teer la muestra co la cual estimamos la media poblacioal si queremos que el ivel de cofiaza sea del 99%, y el error admisible o supere el valor de 0,75? Para respoder a la primera preguta, puesto que la media de la població está etre 31,5 y 33,5, la amplitud es de uidades, y el error máximo, de 1 uidad. σ La expresió del error máximo admisible es: E = 3, E este caso, = 64, σ = 3, y E = 1. Luego: 1 = =,5 64 Para =,5 se obtiee de la tabla N(0, 1) el valor de probabilidad, que es 0,9938; etoces, α = 1 0,9938 α = 0,014; 1 α = 0,9876. Luego la cofiaza es del 98,76%. Para respoder a la seguda preguta, teiedo e cueta que E = Para σ = 3, =,575, 1 α = 0,99 y E < 0,75 se tedrá: 0,75 >,575 Por tato, el tamaño míimo debe ser = 107 idividuos. σ = 3 σ E > (,575) 3 0,75 = 106,09 88 Solucioario

16 (PAU) E u istituto de ivestigacioes dermatológicas se está ivestigado ua afecció cutáea de tipo cacerígeo. Se elige 40 ratas de ua misma raza aleatoriamete y se les provoca el cácer citado; a cotiuació se las frota co u medicameto. Se elige como variable de respuesta el úmero de horas que tarda el cácer e desaparecer. Se obtiee los siguietes resultados: x = 10 horas y s = 101 horas. Se admite que la variable de respuesta sigue ua distribució ormal. a) Calcula el itervalo de cofiaza para la media de la variable de respuesta, al ivel del 90%. b) Si σ = 99 horas, calcula el itervalo de cofiaza al 99% para la media de la variable de respuesta elegida. c) Qué tamaño de muestra se ecesita para que, al ivel de cofiaza del 95%, la logitud del itervalo sea de 5 horas, supuesto σ = 99 horas? a) Datos: = 40; x = 10; ŝ = 101 El itervalo de cofiaza para la media al ivel del 90% es: sˆ x 1,64 = ,64 = ( 16,19; 36,19) 40 b) El itervalo de cofiaza para la media al ivel del 99% es: σ x, 58 = 99 10,58 = ( 30,38; 50,38) 40 c) La logitud del itervalo de cofiaza da el marge de error. Como la amplitud del itervalo es 5, el error máximo admisible es E =,5. zα σ La expresió del tamaño de la muestra es: = E 1, Para 1 α = 0,95 = 1,96 =,5 Se ecesita, al meos, 605 ratas. = 604,4 ratas (PAU) Ua ecuesta realizada sobre 40 avioes comerciales revela que la atigüedad media de estos es de 13,41 años co ua desviació típica muestral de 8,8 años. a) Etre qué valores, co u 90% de cofiaza, se ecuetra la autética media de la flota comercial? b) Si se quiere obteer u ivel de cofiaza del 95% cometiedo el mismo error de estimació que e el apartado aterior y supoiedo tambié que s = 8,8 años, cuátos elemetos debería compoer la muestra? a) La distribució de las medias muestrales de tamaño obteidas e ua població ormal se ajusta a la ormal N σ 8,8 x,. E este caso, N 13,41; : N(13,41; 1,31). 40 σ σ El itervalo de cofiaza para la media poblacioal es: x zα, x + zα Si 1 α = 0,90 = 1,645 Sustituyedo todos los datos se obtiee: (13,41 1,645 1,31; 13,41 + 1,645 1,31) = (11,6; 15,56) σ b) Despejado de E = se obtiee: = s E Si α = 0,05, = 1,96. Como, además, s = 8,8 y E =,15, resulta: = (1,96) 8,8,15 Se debería revisar 57 avioes. = 56,98 Solucioario 89

17 Solucioario (PAU) U fabricate de lámparas de bajo cosumo sabe que el tiempo de duració, e horas, de las lámparas que fabrica sigue ua distribució ormal de media descoocida y desviació típica 180 horas. Co ua muestra de dichas lámparas elegida al azar y co u ivel de cofiaza del 97%, obtuvo para la media el itervalo de cofiaza (10 07,1; 10 17,9). a) Calcula el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño de muestra utilizado. b) Si se quiere que el error de su estimació sea como máximo de 4 horas y se utiliza ua muestra de tamaño 5, cuál será etoces el ivel de cofiaza? a) La media muestral se ecuetra e el cetro del itervalo dado: x = 10 07, ,9 = horas. Como x = 196 b) El error viee dado por E = Como E 4: 4 σ = 10 07, ,17 = 10 07,1,17 = 7,9 = σ α Por tato, para el valor de = se tiee que = 1 0,977 α = 0,0456. Luego el ivel de cofiaza será de 1 0,0456 = 0,9544, es decir, del 95,44% (PAU) El sueldo, e euros, de los empleados de ua fábrica sigue ua distribució ormal de media μ = 1500 y desviació típica σ = 400. Se elige al azar ua muestra de 5 empleados de esa fábrica. a) Cuál es la probabilidad de que la media de sus sueldos esté compredida etre 140 y 1600 euros? b) Si solo se cooce la desviació típica, σ = 400, y descoocemos la media μ de los sueldos de los empleados de esa fábrica, qué tamaño de la muestra deberíamos tomar para estimar μ co u ivel de cofiaza del 95%, si se admite u error máximo de 100 euros? a) Sea X la variable que expresa el sueldo, e euros, de los empleados de la fábrica; etoces, X sigue ua ormal N(1500, 400). Si X es el sueldo medio de 5 empleados de la fábrica, etoces: X N , = N(1500, 80) P140 x 1600) = P 80 = 0, Z 80 = P( 1 Z 1,5) = 0, , = b) Si 1 α = 0,95 = 1,96 Sustituyedo e la expresió del error, E = σ, se obtiee: = 1,96 = 7,84 = 61,47 Luego hemos de tomar ua muestra de, al meos, 6 empleados. 90 Solucioario

18 PAU) Se ha obteido que el itervalo de cofiaza correspodiete al 95% de ua variable es (6,66; 8,34). Calcula la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obteer el itervalo, sabiedo que la desviació típica es igual a 3. Explica cada uo de los pasos realizados. Datos: σ = 3; α = 0,95 = 1,96 Por tato, el itervalo de cofiaza para la media poblacioal es: 3 3 x 1,96, x + 1,96 = (6,66; 8,34) 3 x 1, 96 = 6, 66 Igualado los extremos de los itervalos, 3 x + 1, 96 = 8, 34 Resolviedo este sistema se obtiee: = 49, x = 7, (PAU) E el juzgado de cierta ciudad se presetaro e el año 005 u total de 5500 deucias. Se seleccioó ua muestra aleatoria de u 5% de ellas. Etre las deucias seleccioadas se determió que 55 había sido producidas por violecia doméstica. Determia, justificado la respuesta: a) La estimació putual que podríamos dar por el porcetaje de deucias por violecia doméstica e esa ciudad e el año 005. b) El error máximo que cometeríamos co dicha estimació putual co u ivel de cofiaza del 99%. a) El tamaño muestral fue de ,05 = 75 deucias. De ellas, 55 había sido producidas por violecia 55 doméstica; luego la proporció de deucias por violecia doméstica fue de = 0,0, el 0%. 75 p ˆ (1 pˆ ) b) El error máximo admitido, E, viee dado por E =, siedo pˆ = 0, = 75 y el valor de la variable ormal correspodiete a ua cofiaza 1 α = 0,99 =,575 0,0 0,80 Sustituyedo, E =,575 = 0, Se puede cometer u error máximo del 6,%. Esto es, el porcetaje de deucias por violecia doméstica perteece al itervalo (0, 0,06; 0, + 0,06) = (0,138; 0,6). Por tato, estará etre el 13,8% y el 6,%. Elige la úica respuesta correcta e cada caso: RELACIONA Y CONTESTA El peso de los bebés recié acidos se distribuye segú ua ley ormal co desviació típica de 31 gramos. E u estudio estadístico realizado a 169 iños se ha obteido el itervalo de cofiaza (315,96; 347,04) para el peso medio. Calcula el ivel de cofiaza co el que se ha costruido dicho itervalo. A) 90% B) 95% C) 99% D) 97% E) Niguo de los ateriores La respuesta correcta es la B. Solucioario 91

19 Solucioario 14.. E ua determiada població se toma ua muestra al azar de 56 persoas. De esta muestra, el 0% de las persoas lleva gafas graduadas y el 80% restate o. Calcula el itervalo de cofiaza aproximado para la proporció poblacioal de las persoas que lleva gafas graduadas para u ivel de cofiaza del 95%. A) (0,10; 0,30) B) (0,151; 0,49) C) (0,14; 0,84) D) (0,179; 0,74) E) Niguo de los ateriores La respuesta correcta es la B Se sabe que el coteido de fructosa de cierto alimeto sigue ua distribució ormal cuya variaza es coocida teiedo u valor de 0,5. Se desea estimar el valor de la media poblacioal mediate el valor de la media de ua muestra, admitiédose u error máximo de 0, co ua cofiaza del 95%. Cuál ha de ser el tamaño de la muestra? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 La respuesta correcta es la D Ua marca de automóviles asegura que el cosumo medio de uo de sus modelos de gasolia es de 9,36 litros por cada 100 kilómetros co ua desviació típica de 1,4 litros. Determia el míimo tamaño muestral que garatiza, co ua probabilidad del 0,96, que el cosumo medio e dicha muestra está compredido etre 9,11 y 9,61 litros. A) 15 B) 131 C) 13 D) 135 E) Niguo de los ateriores La respuesta correcta es la E, puesto que el tamaño míimo muestral para esta situació es La media de las medidas de los diámetros de ua muestra aleatoria de 00 bolas de rodamieto fabricadas por cierta máquia fue de 0,84 cm, y la desviació típica, de 0,04 cm. Halla los límites de cofiaza al 95% para el diámetro medio de las bolas fabricadas por esa máquia. A) (0,7; 0,9) B) (0,91; 0,993) C) (0,75; 0,85) D) (0,818; 0,830) E) Niguo de los ateriores La respuesta correcta es la E. 9 Solucioario

20 Señala e cada caso las respuestas correctas: Se ha tomado ua muestra aleatoria de 100 idividuos a los que se ha medido el ivel de glucosa e sagre, obteiédose ua media muestral de 110 mg/cm 3. Se sabe que la desviació típica de la població es de 0 mg/cm 3 y que el ivel de cofiaza es del 90%. a) Obté u itervalo de cofiaza al 90% para el ivel de glucosa e sagre e la població. b) Qué error máximo se comete co la estimació aterior? A) (100, 110) B) Error máximo E = 3,9 C) (106,71; 113,9) D) Error máximo E = 3,1 E) Niguo de los ateriores Las respuestas correctas so la B y la C Se ha estudiado ua muestra formada por 40 iños de 6 años y se ha observado que 15 de ellos da positivo e ua prueba de falta de cocetració. Halla el itervalo de cofiaza al ivel del 95% para el parámetro proporció de positivos ate el test de baja cocetració para la població formada por todos los iños españoles de 6 años y el error máximo cometido. A) (0,5; 0,55) B) Error máximo E = 0,15 C) (0,34; 0,579) D) Error máximo E = 0,1185 E) Niguo de los ateriores La respuesta correcta es la E. El itervalo de cofiaza es (0,187; 0,48), y el error máximo admisible, 0,93. Elige la relació correcta etre las dos afirmacioes dadas: Se tiee dos poblacioes, N(μ 1, σ 1 ) y N(μ, σ ). Se elige uas muestras de tamaños 1 y, siedo las medias muestrales x 1 y x, respectivamete. Para el ivel de cofiaza de 1 α se tiee: a) El itervalo de cofiaza para la diferecia de medias poblacioales co las desviacioes típicas muestrales coocidas es: 1 σ σ x1 x ± zα + 1 b) El error máximo admitido es: A) a b B) a b, pero b / a C) b a, pero a / b D) a y b so excluyetes etre sí. E) Nada de lo aterior E = σ1 σ + 1 La respuesta correcta es la B, puesto que el error máximo admitido es la mitad de la amplitud del itervalo de cofiaza. Si embargo, si se cooce el error, lo úico que es posible saber es la amplitud del itervalo de cofiaza, o sus extremos. Solucioario 93

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