Capítulo 6. Contrastes de hipótesis. 1. Introducción.

Transcripción

1 Capítulo 6 Contrate de hipótei 1. Introducción. En mucha ocaione el objetivo que e perigue con la realización de un muetreo o de un experimento e poner a prueba alguna hipótei concebida previamente. Eta e, de hecho, la eencia del método científico: obervar, concebir hipótei y contratar dicha hipótei con nueva obervacione. Ahora bien i, como ocurre frecuentemente, la obervacione etán expueta a fuerte doi de variabilidad aleatoria, reulta difícil ditinguir el efecto que e deea medir de ee ruido de fondo. Pongamo un ejemplo encillo: en un etudio de la morfología de cierta epecie, un invetigador puede tener a priori buena razone para penar que lo macho deben er, en promedio, mayore que la hembra. A partir de una muetra aleatoria de 5 macho y 5 hembra, oberva en lo macho un peo medio de 2,54 kg, frente a 2,77 kg de media en la hembra. Contienen eto dato evidencia uficiente para refutar la hipótei de partida? E obvio que no todo lo animale tienen el mimo peo variabilidad natural y que, aún iendo cierta la hipótei de partida, cabe la poibilidad por efecto del azar de que dicha hipótei no e verifique. En ete capítulo e dearrollarán lo fundamento báico para la contrucción de contrate de hipótei: método que, teniendo en cuenta la preencia de la variabilidad y del azar, permitan etablecer regla para decidir i, dentro de cierto márgene de error, lo dato obtenido por muetreo o experimentación contienen evidencia uficiente para rechazar la hipótei de partida o i éta puede eguir aceptándoe como válida. Una vez etablecido lo fundamento de lo contrate de hipótei, e etudiarán en particular alguno contrate de uo frecuente en la práctica, referido a hipótei obre lo parámetro de ditribucione de probabilidad conocida. 1

2 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 2 Objetivo. Al finalizar ete capítulo el alumno deberá: 1. Conocer y comprender el concepto de contrate de hipótei. 2. Conocer y comprender lo do tipo de error poible en un contrate de hipótei y por tanto lo concepto de nivel de ignificación y potencia. 3. Conocer, comprender y er capaz de calcular en alguno cao el p-valor de un contrate. 4. Conocer y er capaz de aplicar contrate de hipótei frecuente en la práctica, en particular lo relativo a media, varianza y proporcione. 5. Ser capaz de ditinguir la condicione necearia para la aplicación de cada contrate de hipótei. 6. Ser capaz de calcular el tamaño de muetra neceario para la realización de un contrate con ignificación y potencia predeterminado. 7. Ser capaz de reolver problema práctico de contrate de hipótei utilizando el programa R. 2. Concepto báico. En la actividad científico-técnica práctica, el objetivo que e perigue en mucha ocaione con la realización de un muetreo o de un experimento e poner a prueba alguna hipótei concebida previamente. Por ejemplo: Se ha dieñado un nuevo método de depuración de agua, cuya caracterítica fíicoquímica inducen a uponer que reducirán la concentración de cierto contaminante biológico con mayor eficiencia que el método que e venía uando hata ahora. Será verdad eta upoición? Se cree que cierto compueto químico actúa obre lo pece que e crían en tanque de cultivo, reduciendo lo nivele de etré que preentan eto animale al tener que compartir un epacio reducido con un elevado número de congénere. E cierta eta conjetura?

3 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 3 Un método de análii químico A e mucho má caro que otro método B, pero e realmente mucho má precio? La taa de mortalidad en cultivo marino realizado en tanque cerrado e uperior a la que e produce en cultivo en mar abierto? Todo lo ejemplo que hemo citado e caracterizan por decribir ituacione en la que e impoible realizar un experimento u obervación que no confirme o demienta de una manera abolutamente egura la hipótei planteada. De ahí que lo procedimiento para tomar deciione obre la veracidad o faledad de eta hipótei hayan de er neceariamente procedimiento etadítico, con lo que e pretende mantener bajo control el riego de tomar deciione errónea. Una hipótei etadítica e una afirmación o conjetura con repecto a alguna caracterítica de interé de la ditribución de una variable aleatoria. Llamaremo hipótei nula H 0 ) a la hipótei de partida, que erá aceptada como válida i la evidencia en u contra e débil o inexitente. La hipótei alternativa H 1 ) erá la hipótei que erá aceptada en cao de que e rechace H 0. Un contrate de hipótei etadítico e una regla de deciión que permita elegir entre la do hipótei, H 0 y H 1, en función de la evidencia aportada por lo dato diponible y del riego de error que etemo dipueto a aumir. La hipótei etadítica pueden planteare de muy divera forma: En función de lo parámetro de la ditribución de probabilidad. Por ejemplo, el valor medio de cierta variable en una población e cero?, on iguale la media de do poblacione?, la proporción de ujeto con cierta caracterítica upera el 70 % de la población? En término de la forma de la ditribución de la variable de interé: e ditribuye una variable de igual forma en do poblacione?, e normal la ditribución de una variable?. En término de caracterítica de aociación: on do variable independiente?, la relación entre do variable e lineal? 3. Tipo de Error en lo contrate de hipótei. En un contrate de hipótei e poible cometer do tipo de error: Error tipo I: Rechazar la hipótei nula cuando e verdadera

4 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 4 Error tipo II: Aceptar la hipótei nula cuando e fala. En general, llamaremo: α = P Error Tipo I) = P Rechazar H 0 H 0 e cierta) β = P Error Tipo II) = P Aceptar H 0 H 0 e fala) De eta forma, al realizar un contrate de hipótei on poible la iguiente ituacione: Realidad H 0 cierta H 0 fala Deciión Aceptar H 0 Deciión correcta 1-α) Error II β) Rechazar H 0 Error I α) Deciión Correcta 1-β) La probabilidad α de cometer un error tipo I e conoce como Nivel de ignificación del contrate. Aimimo, la probabilidad de no cometer un error tipo II: 1 β = P Rechazar H 0 H 0 e fala) e conoce como Potencia del contrate. Amba probabilidade, pue, miden la probabilidad de rechazar la hipótei nula: α cuando e cierta y 1 β cuando e fala. La ituación ideal e que α ea lo má pequeña poible y 1 β lo má grande poible. Ello en la práctica e traduce en tener mucha información mucho dato). Cuando no e poible diponer de toda la información que ería deeable ituación muy frecuente en lo etudio reale) en general e procurará que α ea pequeña, aún a cota de que β pueda er grande y por ende 1 β pequeña). 4. Contrate de Significación. Supongamo que e deea decidir i el valor deconocido) de cierto parámetro θ pertenece o no a un conjunto Θ 0. Ete parámetro etá aociado a la ditribución de probabilidad de cierta variable aleatoria X, de la que e poible extraer una muetra aleatoria X 1, X 2,..., X n ) que contiene información obre θ. El procedimiento general de lo contrate o prueba de ignificación e el iguiente:

5 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 5 1. Fijar la hipótei nula H 0 :θ Θ 0 ) y alternativa H 1 : θ / Θ 0 ). 2. Determinar un etadítico de contrate dependiente de lo dato, T X 1, X 2,..., X n ), cuya ditribución de probabilidad ea conocida cuando H 0 e cierta. 3. Fijar la probabilidad α de error de tipo I nivel de ignificación del contrate), y determinar una región crítica R C de tal manera que: P T X 1, X 2,..., X n ) R C H o e cierta) = α 4. Obtener una muetra aleatoria X 1, X 2,..., X n ) y utilizar la iguiente regla de deciión: Si T X 1, X 2,..., X n ) R C rechazar H 0. En cao contrario aceptar H 0. Obervacione: 1. Con eta regla de deciión e tiene que la probabilidad de error tipo I e: P Error Tipo I) = P Rechazar H 0 H 0 e cierta) = = P T X 1, X 2,..., X n ) R C H o e cierta) = α 2. Al mimo tiempo, la probabilidad de error tipo II queda, en principio, indeterminada: P Error Tipo II) = P Aceptar H 0 H 0 e fala) = = P T X 1, X 2,..., X n ) / R C H o e fala) i bien, como veremo, puede calculare para la alternativa de interé, e incluo prefijare de antemano, fijando un tamaño de muetra adecuado. 3. Para entender el fundamento de lo contrate de ignificación tengamo en cuenta que, una vez tomado lo dato, ólo pueden ocurrir do coa: que T caiga en R C o que no lo haga. Entonce:

6 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 6 a) Si T / R C etaría ocurriendo algo que era muy probable que ocurriee i H 0 fuera cierta ya que, tal como e ha definido R C, e tiene que: P T X 1, X 2,..., X n ) / R C H o e cierta) = 1 α Por tanto, el reultado del tet en ete cao e el eperado i H 0 e cierta, por lo que nada e opone a aceptar dicha hipótei. Nótee, no obtante, que aceptar H 0 no ignifica que hayamo demotrado que H 0 ea cierta, ino ólo que lo dato no la contradicen. Dicho de otra forma aceptamo H 0 no porque hayamo podido probar que e cierta, ino porque no hemo podido probar que e fala. b) Si T R C etaría ocurriendo algo que, de er H 0 cierta, muy difícilmente podía haber ocurrido. Pero como de hecho ha ocurrido, ello no indica que lo dato contienen una fuerte evidencia de que H 0 e poiblemente fala o, lo que e lo mimo, una fuerte evidencia de que H 1 e poiblemente cierta. 4. Nótee la no imetría de la do poible concluione del contrate: a) Cuando e acepta H 0 e porque la evidencia en u contra e débil. b) Cuando e acepta H 1 e porque la evidencia a u favor e fuerte. Por eta razón, cuando planteamo un contrate de hipótei e debe colocar como hipótei alternativa aquella de la que queramo tener fuerte evidencia a u favor en cao de que finalmente ea aceptada. La hipótei nula, en cambio, e la que e aceptará por defecto i no hay fuerte evidencia en u contra e incluo i no hay fuerte evidencia a u favor). Por todo ello, cuando un tet concluye con la aceptación de H 0 e dice que ha reultado no ignificativo, y cuando concluye con u rechazo e dice que ha reultado ignificativo. 5. La región crítica R C uele denominare también región de rechazo de H 0 ). La región complementaria e denomina Región de Aceptación, R A. Obviamente P T X 1, X 2,..., X n ) R A H o e cierta) = 1 α La región de aceptación contiene, pue, lo valore del etadítico T X 1, X 2,..., X n ) que, con mucha probabilidad, podrían obervare por puro azar i H 0 fuee cierta.

7 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 7 Ejemplo 6.1. La alga de cierta epecie que e cultivan con fine farmacológico on muy enible al ph del agua. Se ha obervado que el dearrollo de eta alga e óptimo cuando el ph promedio e 1, y diariamente e realizan controle con el objetivo de aplicar medida correctora añadir aditivo químico al agua) i el ph e aparta de ete valor. Eto controle coniten en tomar 5 muetra de agua y evaluar el ph medio. En un día en que el ph medio de la cinco muetra e de 1.2 con una deviación típica de 0.4. ería precio aplicar alguna medida correctora? e upone que la ditribución del ph e normal) 1. Si llamamo µ al ph medio real del agua, el problema puede planteare como el contrate de hipótei: { H 0 : µ = 1 H 1 : µ 1 iendo la información diponible la aportada por una muetra de cinco valore de ph, {X 1, X 2, X 3, X 4, X 5 }. 2. Como no conocemo el valor de µ, podemo etimarlo mediante la media muetral X. Si H 0 fuera verdad, entonce el valor de X debería parecere a 1. Ello ignifica que la hipótei nula H 0 debería rechazare i X e aleja de 1, eto e, i X 1 e un valor grande. Como de grande? Para reponder a eta pregunta obervemo que i H 0 e cierta e tiene que: T X 1,..., X 5 ) = X 1 / 5 t 4 3. Podemo uar ahora la tabla de la t de Student para encontrar el valor t 4,α/2 tal que: ) X 1 P / 5 > t 4,α/2 H 0 cierta = α De eta forma, la región crítica e R C =, t 4,α/2 ] [ t4,α/2, ). 4. El contrate conite entonce en rechazar H 0 i / R 5 C y aceptar H 0 en cao contrario. Con lo dato de ete ejemplo e obtiene X 1 / = 1, ,4/ = 1,11. Aimimo, i elegimo 5 α = 0,05 reulta t 4,0,025 = 2,776. Como el valor 1.11 no etá en la región de rechazo X 1 / 5 concluimo que puede aceptare H 0. Dicho de otra forma, i H 0 fuera cierta, ería muy improbable que X 1 / > 2,776; o de manera 5 equivalente, lo ma probable ería que 2,776. Como el valor obervado, 1.11, etá dentro de lo que e muy probable obervar cuando H 0 e cierta, concluimo que no exite evidencia uficiente para rechazar H 0. X 1

8 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 8 Ejemplo 6.2. Supongamo ahora que la alga de nuetro ejemplo e dearrollan bien i µ 1, pero mueren i µ > 1, iendo µ el ph medio del agua del tanque de cultivo. Si en 7 análii de agua hemo obtenido un ph medio de 1.1, con deviación típica 0.3, hay evidencia uficiente para rechazar H 0? En ete cao, el contrate que e plantea e de la forma: H 0 : µ 1 H 1 : µ > 1 Obviamente, aún iendo cierta H 0 podría ocurrir por azar que la media muetral X fuee algo mayor que 1, pero no mucho mayor. Por tanto la hipótei nula H 0 debería rechazare i el valor de X 1 e má grande de lo que cabría eperar por azar cuando µ 1. Para determinar como de grande debe er X 1 para rechazar H 0 podemo utilizar como etadítico de contrate: T X 1,..., X 7 ) = X 1 S/ 7 Cuando H 0 e cierta, el valor de µ para el que cabría eperar valore má alto de X por azar e µ = 1, en cuyo cao el etadítico T X 1,..., X 7 ) igue una ditribución t de Student con 6 grado de libertad. Por tanto tenemo que: ) X 1 P S/ 7 > t 6,α µ = 1 = α Ademá, i µ < 1 eta probabilidad erá má pequeña y por tanto: ) ) X 1 P S/ 7 > t X 1 6,α H 0 cierta = P S/ 7 > t 6,α µ 1 α De eta forma, i H 0 e cierta, e muy difícil que T X 1,..., X 7 ) ea mayor que t 6,α, por lo que la región crítica o de rechazo para ete tet e R C = [t 6,α, ). Si T X 1,..., X 7 ) cayera en ete intervalo etaría ocurriendo algo muy difícil de er H 0 cierta, por lo que H 0 debe rechazare. Con lo dato aportado en el ejemplo e obtiene X 1 S/ = 1, ,3/ = 0,882. Aimimo, i elegimo 7 α = 0,05 reulta t 6,0,05 = 1,943 y la región crítica e R C = [1,943, ). Como el valor no etá en eta región concluimo que puede aceptare H 0.

9 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 9 H 0 : θ = θ 0 Nota: Lo contrate de la forma reciben el nombre de contrate bilaterale o H 1 : θ θ 0 H 0 : θ θ 0 de do cola u región crítica e bilateral). Lo contrate de la forma ó H 1 : θ < θ 0 H 0 : θ θ 0 e denominan contrate unilaterale o de una cola. H 1 : θ > θ P-valor de un contrate. Tal como hemo vito, en la contrucción del contrate de hipótei juega un papel importante el nivel de ignificación α. Ete valor repreenta la probabilidad que conideramo aceptable de cometer un error tipo I: rechazar la hipótei nula cuando e cierta. En ete entido, el valor de α e arbitrario. En el ámbito científico e habitual utilizar lo valore 0.05, 0.01 e incluo Pero cualquier otro valor podría er igualmente válido en la práctica hay coneno en que, en cualquier cao, α nunca debe er mayor que 0.1). Obviamente, cuanto má pequeño ea el valor de α, má difícil e rechazar H 0 cuando e cierta. Una vez obtenida una muetra X 1, X 2,... X n, e define el p-valor del contrate como el valor mínimo de α para el cual e poible rechazar H 0 con eo dato. Aí, por ejemplo: Si con lo dato diponible, el valor má pequeño de α que permite el rechazo de H 0 e 0.4, ello querría decir que ólo ería poible rechazar H 0 i etuviéramo dipueto a aceptar una probabilidad del 40 % de rechazarla iendo cierta lo que obviamente no reultaría razonable). Si con lo dato diponible, el valor mínimo de α que conduce al rechazo de H 0 e 0.02, ello ignifica que ería poible rechazar eta hipótei incluo i exigimo un riego del 2 % de rechazarla iendo cierta; pero no podríamo rechazarla i el riego aumible fuee del 1 %. De eta forma, una vez obtenida la muetra, podríamo baar nuetra deciión en la iguiente regla baada en el p-valor: Si p valor α aceptar H 0. Si p valor < α rechazar H 0

10 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 10 Ejemplo 6.3. La región crítica para el rechazo de H 0 en el ejemplo 6.1 era de la forma R C =, t4,α/2 ] [ t4,α/2, ). Con lo dato del ejemplo, el valor del etadítico de contrate fue X 1 / 5 = 1,11. El valor má pequeño de α que permitiría entonce el rechazo de H 0 ería el que produjee t 4,α/2 = 1,11 para que la región de rechazo contenga al valor del etadítico de contrate). Para hallar ete valor de α bata tener en cuenta que, por definición: Por tanto P t 4 t 4,α/2 ) = α 2 P t 4 1,11) = α 2 La tabla de la t de Student no permite calcular eta probabilidad de forma encilla, pero podemo calcularla con R : P t 4 1,11) = 1 P t 4 < 1,11) = 1-pt1.11,4) = 0,1646 Aí pue: de donde: α 2 = 0,1646 α = 0,3292 De eta forma, para lo dato del ejemplo, el p-valor valor mínimo de α que conduce al rechazo de H 0 ) e Siguiendo la regla del p-valor, ólo rechazaríamo H 0 i etuviéemo dipueto a aumir una probabilidad de rechazar dicha hipótei iendo cierta. Como no e el cao habíamo elegido α = 0,05), aceptamo H Potencia de un contrate. Tal como hemo eñalado, cuando e realiza un contrate de ignificación, la regla de deciión e etablece de tal forma que el riego de cometer un error tipo I rechazar la hipótei nula cuando e cierta e como mucho α, el nivel de ignificación del tet. De eta forma, i e rechaza la hipótei nula, abemo a priori que exite muy poco riego de equivocarno. Pero qué ocurre i e acepta la hipótei nula? cuál e el riego de aceptar una hipótei nula fala? La probabilidad de cometer ete error error tipo II) e la que hemo denotado como β. Su valor complementario 1 β recibe el nombre de potencia del contrate y repreenta la probabilidad de

11 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 11 rechazar H 0 cuando e fala. Tal como hemo definido lo contrate de ignificación: 1 β = P T X 1, X 2,..., X n ) R C H o e fala) Ejemplo 6.4. Con lo dato del ejemplo 6.1 en el contrate: { H 0 : µ = 1 H 1 : µ 1 hemo aceptado la hipótei nula µ = 1) aún cuando la media muetral era 1.2. Cuál e la probabilidad de que etemo cometiendo un error de tipo II en ete contrate? Para reponder a eta pregunta obervemo que eta probabilidad e: P Error Tipo II) = P Aceptar H 0 H 0 e fala) = = P T X 1, X 2,..., X n ) / R C H o e fala) = / ) X 1 = P / 5 t 4,α/2 µ 1 = P t 4,α/2 X / ) 1 / 5 t 4,α/2 µ 1 Para calcular eta probabilidad hemo de tener en cuenta que realizamo el contrate bajo el upueto de que la variable X que e mide en ete cao el ph) e N µ, σ), por lo que el etadítico X µ / 5 igue una ditribución t de Student con 4 grado de libertad. Cuando H 0 e fala e tiene que µ 1 y por tanto: β µ) =P P P P P t 4,α/2 X 1 / 5 t 4,α/2 t 4,α/2 X µ + µ 1 / 5 t 4,α/2 X µ t 4,α/2 µ 1 / ) µ 1 = / ) t 4,α/2 µ 1 = / 5 + µ 1 / / 5 t 4,α/2 ) µ 1 = / 5 X µ / 5 t 4,α/2 µ 1 / 5 t 4,α/2 µ 1 / 5 t 4 t 4,α/2 µ 1 / 5 / µ 1 / ) µ 1 = Aí pue, la probabilidad de error tipo II correponde, geométricamente, al área bajo la función de denidad de una t 4 entre lo valore t 4,α/2 µ 1 / y t 5 4,α/2 µ 1 /. La figura 1 muetra 5 )

12 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 12 gráficamente eta área para divero valore de µ. Tal como puede apreciare en eta figura, a medida que el valor [ de µ e aleja de 1, el término ] µ 1 / e hace mayor en valor aboluto, por lo que el intervalo t 5 4,α/2 µ 1 /, t 5 4,α/2 µ 1 / e 5 va deplazando hacia la izquierda i µ > 1, o hacia la derecha i µ < 1). Como conecuencia de ete deplazamiento, el área que comprende la función de denidad obre ete intervalo eto e, el valor de la probabilidad de error II, β e va haciendo cada vez menor. La interpretación de ete comportamiento de β e batante intuitiva: en nuetro contrate etamo tratando de decidir i la verdadera media de la población e 1; erá má fácil equivocare aceptando que e 1 cuando realmente e 0.9 ó 1.1 el verdadero valor µ etá cerca de 1) que cuando la verdadera media e un valor má alejado de 1, como el 0.2 ó el 1.8. Podemo también calcular numéricamente lo valore de β para divero valore alternativo de µ. Para el contrate del ejemplo 6.1 habíamo elegido α = 0,05, reultando t 4,0,025 = 2,776; aimimo, teníamo que = 0,4. Por tanto, la probabilidad de error tipo II en ete cao e, dependiendo del valor de µ: β µ) =P P 0,4/ 5 t 4 2,776 µ 1 ) 0,4/ = 5 2,776 µ 1 t 4 2,776 µ 1 ) 0,4/ 5 P t 4 2,776 µ 1 0,4/ 5 La tabla de la t de Student no e preta a calcular eta probabilidade, pero podemo utilizar R : ) β µ)=pt2.776-mu-1)/0.4/qrt5)),4)-pt2.776-mu-1)/0.4/qrt5)),4) La iguiente tabla muetra lo valore de la probabilidad de error tipo II, aí como la potencia que e alcanza para divero valore de µ:

13 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 13 µ β µ) Potencia = 1 β µ) Aimimo, la figura 2 repreenta gráficamente eto valore, motrando la funcione de error tipo II y potencia para ete contrate. En eta figura vemo nuevamente que la probabilidad de error tipo II, β µ), e tanto mayor cuanto má próximo eté µ a 1, alcanzando u máximo cuando µ coincide con el valor epecificado en la hipótei nula µ = 1). El comportamiento de la función de potencia probabilidad de rechazar H 0 cuando e fala e, como cabe eperar, juto en invero: i el verdadero valor de µ etá cerca de 1, el contrate apena tiene potencia para ditinguir ambo valore; cuánto má lejo eté µ de 1, mayor e la potencia del contrate. 6. Tamaño de muetra para una ignificación y potencia preepecificada. El contrate de hipótei que hemo planteado en el 6.1 e un cao particular de contrate de la forma: { H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 en el que la hipótei nula que e pone a prueba e i puede aceptare que el valor de la eperanza µ de una variable X con ditribución normal e µ 0. Si e dipone de una muetra aleatoria de n obervacione de eta variable, iendo X u media y S u deviación típica, la regla de deciión para ete contrate, fijado un nivel de ignificación α e, generalizando el procedimiento que hemo vito en el ejemplo 6.1: Rechazar H 0 i X µ 0 / n > t n 1,α/2 y aceptar H 0 en cao contrario.

14 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 14 Aimimo, generalizando el reultado obtenido en el ejemplo 6.4, la probabilidad de error tipo II para ete contrate viene dada por: β µ) = P t n 1,α/2 µ µ 0 / n t n 1 t n 1,α/2 µ µ / ) 0 / µ µ 0 n que, como ya hemo vito, repreenta el área [ comprendida por la denidad t ] de Student con n 1 grado de libertad obre el intervalo t n 1,α/2 µ µ 0 /, t n n 1,α/2 µ µ 0 / ver figura 1). n Obérvee que ete intervalo puede expreare también de la forma: [ t n 1,α/2 µ µ 0) n, t n 1,α/2 µ µ 0) ] n lo que hace evidente el hecho de que aún cuando µ µ 0) tomae un valor pequeño, eligiendo un valor adecuado de n tamaño de la muetra) podemo hacer el término µ µ 0) n todo lo grande que queramo. Ello ignifica que, tal como vimo en nuetro análii de la figura 1, podemo deplazar el intervalo anterior hacia la izquierda o la derecha, egún el igno de µ µ 0 ) hata que el área comprendida obre el mimo eto e, la probabilidad de error II ea tan pequeña como e quiera. Eto no permite reponder a la cuetión iguiente: cuál debe er el tamaño n de la muetra i e deea que cuando µ = µ 0 + la probabilidad de error tipo II en el contrate anterior ea un valor prefijado β o, de modo equivalente, que la potencia ea 1-β, manteniendo al mimo tiempo un nivel de ignificación preepecificado α? Para ello, utilizando la ecuación 6.1, y teniendo en cuenta que µ µ 0 =, debemo encontrar el valor de n tal que: β =P t n 1,α/2 n t n 1 t n 1,α/2 ) n = =P t n 1 > t n 1,α/2 ) n P t n 1 > t n 1,α/2 ) n = =P Z > z α/2 ) n P Z > z α/2 ) n = =1 P Z > z α/2 ) n P Z > z α/2 ) n = 1 β aquí hemo hecho do aproximacione; en primer lugar hemo upueto que n va a reultar tan grande que la ditribución t n puede aproximare por la normal etándar Z; y en egundo lugar hemo upueto que el valor z α/2 n e tan grande en valor aboluto que el área a u S derecha e prácticamente uno). Utilizando la notación habitual z β para el percentil de la normal 6.1)

15 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 15 etándar tal que P Z > z 1 β ) = 1 β tenemo que: z α/2 n = z 1 β = z β de donde, depejando n, reulta: Obérvee que el valor de n: n = zα/2 + z β ) E proporcional al cuadrado de la uma z α/2 + z β. Como eto valore on má grande a medida que α y β on má pequeño, el tamaño de la muetra e incrementa cuando e deea que la probabilidade de lo errore I y II diminuyan. E proporcional a la varianza 2, por lo que cuanto mayor ea la variabilidad en la variable que e mide mayor habrá de er el tamaño de la muetra. E intuitivamente claro que debe er aí. Si lo valore de X fueen muy homogéneo poca variabilidad), una muetra pequeña podría repreentar bien el comportamiento de la variable; a medida que lo valore de X on má heterogéneo erá precia má información má dato para repreentarla. E inveramente proporcional al cuadrado de la diferencia que e pretende detectar entre el verdadero valor medio µ y el valor µ 0 que e pone a prueba. Ello ignifica que cuanto menor ea la diferencia que e pretende detectar, mayor habrá de er el tamaño de muetra. El valor de 2 no e conoce habitualmente ante de realizar el muetreo, por lo que para planificar el tamaño adecuado de muetra, habrá que utilizar un valor de 2 obtenido en una muetra piloto o publicado en la literatura en etudio imilare. Señalemo por último que en eta ección hemo dearrollado el cálculo del tamaño de la muetra ólo para contratar i el valor eperado µ de una variable e igual a un valor preepecificado µ 0. No obtante, el mimo patrón de idea e aplica para el cálculo del tamaño muetral en otro contrate de hipótei, con la lógica modificacione derivada del tipo de dato y de la forma de la regla de deciión. Aimimo, la obervacione que e acaban de realizar obre la relación del tamaño de muetra con la magnitude de α, β, y la variabilidad reultan de aplicación general en todo lo contrate de hipótei. Ejemplo 6.5. Volviendo al ejemplo 6.1, recordemo que el crecimiento de la alga allí decrita requiere que el ph medio del agua ea 1. Supongamo ademá que la alga tienen cierta tolerancia a variacione en el ph y que u dearrollo en cualquier cao e óptimo i el ph medio

16 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 16 e mantiene entre 0.8 y 1.2. Se deea planificar el número de muetra de agua diaria que deben tomare i e deea realizar el contrate { H 0 : µ = 1 H 1 : µ 1 con un nivel de ignificación 0.05, y garantizando una potencia 0.9 de que e rechazará H 0 i µ cae por debajo de 0.8 o por encima de 1.2. Uando la información aportada por la muetra del ejemplo 6.1, uaremo como etimador piloto de la varianza el valor 2 = 0,4 2 = 0,16. La diferencia mínima que interea detectar en ete cao e = 0,2, ya que e no dice que la alga muetran tolerancia con valore de ph que difieran de 1 en 0.2 unidade entre 0.8 y 1.2). Dado que e deea detectar eta diferencia con potencia 1 β = 0,9, e tiene β = 0,1 y z β = z 0,1 = 1,28. Para el nivel de ignificación α = 0,05 e tiene z α/2 = 1,96, y por tanto: n = zα/2 + z β ) = 1,96 + 1,28)2 0,16 0,2 2 = Significación etadítica y relevancia práctica. Ya hemo eñalado má arriba que cuando en un contrate e rechaza la hipótei nula, tal reultado e uele exprear diciendo que el contrate ha reultado ignificativo. E neceario tener aquí cierta precaución con la terminología, ya que la palabra ignificativo en ete contexto uele er mal interpretada. La definición que proporciona el diccionario del adjetivo ignificativo e que tiene importancia por repreentar o ignificar algo. Por ello, el hablante habitual cuando emplea eta palabra la entiende normalmente como referida a algo importante. Sin embargo, en el contexto de un contrate de hipótei etadítico, el que un reultado haya ido ignificativo indica implemente que dicho reultado no puede explicare como efecto del azar. Que ea importante o no, e algo que habrá de er valorado en función de la implicacione práctica que pueda tener dicho reultado. Aí, en el ejemplo 6.5 hemo vito que con una muetra de 42 obervacione del ph del agua hay una probabilidad del 90 % de detectar i el ph medio difiere en má de 0.2 unidade del valor medio deeado µ = 1. El lector puede utilizar la mima fórmula para comprobar que, con la mima potencia, i la muetra fuee de tamaño 672 e podría detectar una diferencia de 0.05 unidade,

17 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 17 y con una muetra de 1867 obervacione e podría detectar una diferencia de 0.03 unidade. Ello ignifica que, i e hacen lo correpondiente contrate de hipótei con eo tamaño muetrale, la diferencia citada, en cao de encontrare, erían declarada ignificativa. Pero dede luego no erían importante: i la alga e dearrollan bien cuando el ph medio e aparta hata 0.2 unidade de 1, qué importancia tendría haber encontrado que el ph medio e ignificativamente ditinto de 1 porque e aparta de ee valor en 0.03 unidade? Aí pue, en general con una muetra lo uficientemente grande cualquier diferencia puede reultar etadíticamente ignificativa, por muy irrelevante que u valor reulte en la práctica. Obviamente también e cierto lo contrario: i la muetra e demaiado pequeña, diferencia importante pueden reultar no ignificativa recuérdee: aceptar la hipótei nula no ignifica que ea cierta). E reponabilidad del invetigador, por tanto, fijar la diferencia mínima que e conidera relevante o importante y determinar el tamaño de muetra para que e pueda detectar dicha diferencia con una ignificación y potencia adecuado. Sólo en eta condicione podrá er el reultado de un contrate ignificativo y relevante a la vez. 8. Relación entre intervalo de confianza y contrate de hipótei. En el capítulo anterior hemo etudiado la contrucción de intervalo de confianza para lo parámetro de cierta ditribucione de probabilidad. Recordemo que [θ 1 X), θ 2 X)], donde θ 1 X) y θ 2 X) on variable aleatoria que dependen de una muetra X = {X 1, X 2,..., X n }, e un intervalo de confianza a nivel 1 α para el parámetro θ i la probabilidad de que el intervalo contenga a dicho parámetro e 1 α, eto e: P θ [θ 1 X), θ 2 X)]) = 1 α Entonce, i e dipone de un intervalo de confianza para θ, para reolver el contrate de hipótei: H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ θ 0 puede utilizare como regla de deciión: Si θ 0 [θ 1 X), θ 2 X)] aceptar H 0 ; en cao contrario, rechazar H 0.

18 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 18 En efecto, la probabilidad de error tipo I cuando e utiliza eta regla e: P error I) = P rechazar H 0 H 0 cierta) = θ 0 / [θ 1 X), θ 2 X)] θ = θ 0 ) = = P θ / [θ 1 X), θ 2 X)]) = α Ejemplo 6.6. En el ejemplo 6.1 debíamo decidir, a partir de 5 muetra de ph de un tanque de agua, i podía aceptare que el ph medio era 1. Para ello planteábamo el contrate: H 0 : µ = 1 H 1 : µ 1 partiendo del upueto adicional de que el ph igue una ditribución normal. El intervalo de confianza para la media µ de una ditribución normal con varianza σ 2 deconocida e, tal como vimo en el capítulo anterior: [ X n t n 1,α/2, X + ] t n 1,α/2 n Por tanto, podríamo utilizar como regla de deciión para el contrate: Si 1 [ X n t n 1,α/2, X + n t n 1,α/2 ], aceptar H 0 y en cao contrario rechazar H 0. E fácil comprobar que: X 1 [ 1 X n t n 1,α/2, X + ] t n 1,α/2 X n n t n 1,α/2 1 X + t n 1,α/2 0 X 1 + t n 1,α/2 t n 1,α/2 X 1 n n n t n 1,α/2 X 1 / n t n 1,α/2 X 1 / n t n 1,α/2 n t n 1,α/2 n t n 1,α/2 Por tanto la regla de deciión baada en el intervalo de confianza e exactamente la mima que ya habíamo obtenido en el ejemplo 6.1 por otro procedimiento.

19 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 19 μ=0.9 μ=1.1 β β t α 2 + μ 1 5 t α 2 + μ 1 5 t α 2 + μ 1 5 t α 2 + μ 1 5 μ=0.6 μ=1.4 β β t α 2 + μ 1 5 t α 2 + μ 1 5 μ=0.3 μ=1.7 β t α 2 + μ 1 5 β t α 2 + μ 1 5 Figura 1: Probabilidad de error tipo II para divero valore de µ en el contrate de hipótei del ejemplo 6.1.

20 CAPÍTULO 6. CONTRASTES DE HIPÓTESIS 20 Perror II) Potencia µ µ Figura 2: Funcione de error tipo II izquierda) y potencia derecha) para el contrate de hipótei del ejemplo 6.1