El Teorema de Stone-Weierstrass

Transcripción

1 Capítulo 3 El Teorema de Stone-Weierstrass Vamos a ver en esta lección el teorema clásico de Weierstrass y la importante generalización del mismo dada por Stone. El teorema de Weierstrass El teorema de Weierstrass establece que cada función continua sobre un intervalo [a, b] de R puede ser aproximada uniformemente por polinomios o, dicho de otro modo, que los polinomios constituyen una familia uniformemente densa de C[a, b]. Cuando se trata de aproximar una función por polinomios, parece inevitable pensar en los polinomios de interpolación (polinomios que toman el mismo valor que la función en un número finito de puntos dados) 1, como buenos aproximantes. Sin embargo, los polinomios de interpolación de una función no convergen, en general, ni siquiera puntualmente hacia la función. Por ejemplo, Berstein [4] demostró que los polinomios de interpolación de la función x en [ 1, 1], para puntos igualmente separados, sólo convergen en los puntos 1, 1 y 0. También es famoso el ejemplo de Runge: los polinomios de interpolación de la función (incluso analítica) 1/(1 + x 2 ), para puntos equidistantes del intervalo [ 5, 5], diverge para x 3, 63...(Ver [18]). Por otra parte sólo para las funciones analíticas puede garantizarse que los polinomios de Taylor converjan uniformemente. Se observa, pues, 1 Es bien conocido que para cada n + 1 puntos del plano {(x i, y i): x 1 < x 2 <... x n+1} existe un único polinomio de grado menor o igual que n que pasa por ellos. 31

2 32 El Teorema de Stone-Weierstrass 3.1 que la aproximación uniforme de una función continua mediante polinomios debe ir por otros derroteros (Ver Cheney [6]). La demostración que vamos a hacer del teorema de Weierstrass es debida a Berstein. Teorema 3.1 Para una función continua f definida sobre el intervalo [0, 1], la sucesión de polinomios B n (f)x = converge uniformemente hacia la función f. f(k/n) ( ) n k x k (1 x) n k Demostración. Denotemos por r k (x) = ( n k) x k (1 x) n k, con lo que podremos escribir, B n (f)x = n f(k/n)r k(x). Llamaremos a B n (f) el polinomio n-ésimo de Berstein de la función f. Tendremos necesidad de conocer los polinomios de Berstein de las funciones 1, x y x 2 : B n (1)x = B n (x)x = B n (x 2 )x = = x = x n r k (x) = (k/n)r k (x) = k=1 ( n ) k x k (1 x) n k = ( x + (1 x) ) n = 1, (k/n) ( ) n x k (1 x) n k ( n 1 k 1) x k 1 (1 x) n k = x, (k/n) 2 r k (x) = x n n 1 j=0 = n 1 n (j + 1) ( n 1 j n 1 x j=0 j n 1 = n 1 n x2 + 1 n x. k=1 k k ( ) n 1 k 1 x k 1 (1 x) n k ) x j (1 x) n 1 j ( n 1 ) j x j (1 x) n 1 j + x n n 1 ( n 1 ) j x j (1 x) n 1 j j=0

3 3.1 El Teorema de Stone-Weierstrass 33 Veamos que B n (f) converge uniformemente hacia f. (Observemos que esto es verdad para f = 1, x o x 2 ). Hemos de probar que para ε > 0 existe un índice ν tal que Si n ν, f(x) B n (f)(x) ε x, o lo que es lo mismo, teniendo en cuenta que n r k(x) = 1, que Si n ν, (f(x) f(k/n))r k (x) ε x [0, 1]. Puesto que f es uniformemente continua en [0,1], debe existir un δ > 0 tal que si x y < δ entonces f(x) f(y) < ε. Sean x [0, 1] y n N cualesquiera y consideremos los conjuntos I 1 = {k : 0 k n, x k/n δ}, Entonces (3.1) I 2 = {k : 0 k n, x k/n > δ}. n (f(x) f(k/n))r k (x) f(x) f(k/n) r k (x) k I 1 + k I 2 f(x) f(k/n) r k (x) ε + k I 2 f(x) f(k/n) r k (x). Sea M una cota superior de la función f en [0,1]. Observemos que la condición k I 2 significa que (x k/n) 2 > δ 2. Luego k I 2 1 < 1 δ 2 (x k/n)2. Se tiene entonces que f(x) f(k/n) r k (x) 2M δ 2 (x k/n) 2 r k (x) k I 2 k I 2 2M δ 2 (x k/n) 2 r k (x) = 2M δ 2 ( x 2 r k (x) 2x (k/n)r k (x) + (k/n) 2 r k (x) ) = 2M δ 2 ( x 2 2x 2 + n 1 n x2 + 1 n x) = 2M 2M δ 2 x(1 x) n δ 2 n.

4 34 El Teorema de Stone-Weierstrass 3.1 De lo anterior se deduce que también el segundo sumatorio en 3.1 puede hacerse menor que ε, independientemente de cúal sea x, sin más que tomar n suficientemente grande. Por tanto la sucesión de polinomios de Berstein de la función f converge uniformemente a f. Nota. Nótese que la demostración del teorema anterior está basada fundamentalmente en el hecho de que los polinomios de Berstein correspondientes a las funciones 1, x y x 2 convergen uniformemente a estas funciones. Este hecho fue destacado y utilizado por el matemático ruso Korovkin, que consiguió de esta manera, una fructífera generalización del teorema de Weierstrass (Ver [6]). Nota. El teorema de Weierstrass se generaliza sin dificultad a un intervalo compacto [a, b] de R. En efecto: Sea f : [a, b] R continua y sea g = f ϕ donde ϕ(t) = (b a)x + a. La función g está definida entonces en [0,1]. Si B n (g) son los polinomios de Berstein para la función g, es claro que la sucesión B n (f) = B n (g) ϕ 1 converge uniformemente a f y se obtiene fácilmente que B n (f)x = 1 (b a) n f ( (b a)k/n + a ) (x a) k (b x) n k. El teorema de Stone La generalización más importante del teorema de Weierstrass es la de Stone. Su teorema, conocido como el teorema de Stone-Weierstrass, caracteriza en términos sumamente sencillos las álgebras de funciones continuas que son uniformemente densas en C(X), para X compacto. Este es un teorema de gran interés, no sólo práctico, en cuanto que permite la construcción de nuevos ejemplos, sino también teórico. Sin él no se concibe, actualmente, un estudio serio de los anillos de funciones continuas y su relación con la topología del espacio. En todo lo que sigue X denotará un espacio topológico compacto. X sustituirá así al intervalo [0,1], que era el espacio marco para la sección anterior. Sobre C(X) consideraremos la norma de la convergencia uniforme. Necesitaremos algunas definiciones y resultados previos antes de establecer el teorema de Stone-Weierstrass: Definición 3.2 Una familia F de funciones de C(X) se dice que separa puntos de X si para cada par de puntos distintos de X, x y, existe

5 3.4 El Teorema de Stone-Weierstrass 35 alguna función f F tal que f(x) f(y). La familia F se dice que separa puntos fuertemente si para cada par de puntos distintos de X, x y, y para cada par de números reales α, β existe alguna función f F tal que f(x) = α, f(y) = β. Lema 3.3 Todo subespacio vectorial F de C(X) que separa puntos de X y contiene las funciones constantes, separa puntos fuertemente. Demostración. Sean x, y dos puntos distintos de X, α, β dos números reales y f F una función que separe x de y. Vamos a probar que existe alguna función de la forma λf +µ (y por tanto perteneciente a F) que toma el valor α en x y el valor β en y. Bastará resolver el sistema λf(x) + µ = α λf(y) + µ = β que tiene solución única ya que f(x) f(y). Concretamente resulta: λ = α β f(x) f(y) ; µ = α α β f(x) f(y) f(x). Lema 3.4 (Kakutani-Stone) Si F es un retíulo vectorial (i.e., F es un espacio vectorial que satisface la condición: si f, g F entonces sup(f, g) F e inf(f, g) F), que separa puntos de X y contiene a las funciones constantes, entonces F es uniformemente denso en C(X). Demostración. Sea ε > 0, f F y x X. Para cada t x sea f t una función de F tal que f t (t) = f(t); f t (x) = f(x). Tal función existe puesto que F separa puntos fuertemente. Sea entonces V t = {z : f t (z) > f(z) ε}. V t es un conjunto abierto que contiene, obviamente, a x y a t y sobre él la función f t no sobrepasa, por debajo, en más de ε a la función f. Cuando t recorre X \ {x} los conjuntos V t constituyen un recubrimiento abierto de X que, como X es un espacio compacto, admitirá un subrecubrimiento finito, es decir X = V t1 V t2... V tk. Consideremos la función de F, g x = sup(f t1,..., f tk ). Entonces si z es un punto de X que pertenece, por ejemplo, al abierto V tj, se tiene: g x (z) f tj (z) > f(z) ε.

6 36 El Teorema de Stone-Weierstrass 3.4 Se deduce, pues, que la función g x no sobrepasa, por debajo, en más de ε a la función f en ningún punto z de X. Además g x coincide con f en el punto x, es decir g x (x) = f(x). Procediendo con las funciones g x como hicimos antes con las funciones f t, o sea construyendo el recubrimiento de X mediante los abiertos U x = {z : g x (z) < f(z) + ε} y extrayendo un subrecubrimiento finito, se obtiene una función g = inf(g x1,-..., g xp ) de F que no sobrepasa a la función f en más de ε, ni por abajo ni por arriba, es decir f(z) ε < g(z) < f(z) + ε, z X. Teorema 3.5 (Stone-Weierstrass) Todo álgebra F de C(X) que separa puntos y contiene a las funciones constantes es uniformemente densa en C(X) (i.e., densa respecto a la norma de la convergencia uniforme en C(X)). Demostración. Todo se reduce a probar que la clausura uniforme de un álgebra de C(X) es un retículo vectorial. Pues entonces, aplicando el teorema de Kakutani, cl(f) resultaría ser un conjunto denso en C(X), lo que implicaría, por ser cerrado, que cl(f) = C(X). Teniendo en cuenta las fórmula sup(f, g) = 1/2(f + g + f g ), inf(f, g) = 1/2(f + g f g ), y que en todo espacio normado la adherencia de un subespacio vectorial es un espacio vectorial, sólo falta probar que (3.2) f cl (F) f cl (F). Sea ε > 0 y consideremos g F tal que g f < ε. Entonces también se verifica que g f g f < ε. Por lo tanto, para demostrar 3.2 sólo será preciso demostrar a su vez que g F g cl (F). Sea M tal que g(x) M para todo x X (g es continua sobre un compacto). La función g es la composición de las funciones X g [ M, M] R x g(x) g(x)

7 3D El Teorema de Stone-Weierstrass 37 Por el teorema de Weierstrass la función t t puede aproximarse uniformemente por polinomios, es decir que para ε > 0 existe un polinomio P (t) = a 0 + a 1 t + + a k t k tal que t P (t) ε, para todo t [ M, M]. Como para cada x X, t = g(x) [ M, M], se tiene que g(x) a0 + a 1 g(x) + + a k g k (x) ε, x X. Entonces, teniendo en cuenta que F es un álgebra que contiene a las funciones constantes, la función a 0 + a 1 g + + a k g k F y por lo tanto la desigualdad anterior prueba que g cl (F). Corolario 3.6 Si K es un compacto de R n, entonces los polinomios sobre K constituyen una familia uniformemente densa de C(K). Demostración. La familia P de polinomios sobre K está formada por las funciones del tipo a i1 i 2...i n x i 1 1 x i 2 2 x in n, (i k = 0, 1,...), finitas luego es obvio que constituye un álgebra que contiene a las funciones constantes. Además separa puntos: Sean a, b son dos puntos distintos de K, supongamos, por ejemplo, que la coordenada k de a es diferente que la de b, es decir a k b k, entonces el polinomio P (x) = x k toma un valor distinto en a que en b. Del teorema anterior se deduce, pues, que P es uniformemente denso en C(K). Ejercicios 3A Obtener los polinomios de Berstein de la función x sobre el intervalo [ 1, 1]. 3B Demostrar que las siguientes familias de funciones de C[0, 1] son uniformemente densas en C[0, 1]: Las poligonales. Las funciones de clase C. Las funciones lipschitzianas. 3C Demostrar que el espacio vectorial de C[0, 1] generado por las funciones {e nx : n Z}, es uniformemente denso en C[0, 1]. 3D Demostrar que, en C(R), los polinomios no sólo no son uniformemente densos, sino que, además, es imposible que una sucesión de polinomios pueda converger uniformemente en todo R a una función que no sea un polinomio.

8 38 El Teorema de Stone-Weierstrass 3E 3E Demostrar que todo álgebra E de funciones de C[0, 1], cerrada uniformemente, que contiene a las funciones constantes, es cerrada respecto a la composición con funciones continuas definidas sobre R, es decir f E ϕ f E, ϕ C(R). (Por ejemplo, si f E entonces sen f E). 3F Probar que ni el álgebra, ni el retículo de C[0, 1] generados por la función h(x) = x es uniformemente denso en C[0, 1]. Calcular las clausuras respectivas. Qué hipótesis de los teoremas de densidad se incumplen? 3G Demostrar que la familia, L, de los polinomios de grado impar, es uniformemente densa en C[0, 1], a pesar de no constituir un álgebra ni contener a las funciones constantes. 3H Demostrar que una condición necesaria para que una familia F de C(X) con X compacto sea uniformemente densa es que F separe puntos. Como aplicación, véase que la familia F de polinomios que tienen todos sus términos de grado par, no puede ser densa en C[ 1, 1] Y en C[0, 1]?. 3I Demostrar que si una función f, continua sobre el intervalo [a, b], satisface la condición entonces f = 0. b a x k f(x)dx = 0, k 0,