Fluidodinámica: Estudio de los fluidos en movimiento

Transcripción

1 Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Rosario Curso Promoción Directa Física I Año 013 Fluidodinámica: Estudio de los fluidos en movimiento

2 Ecuaciones unitarias en el flujo de fluidos Ecuación de Continuidad Ecuación de Bernoulli

3 HIPOTESIS: fluido ideal El fluido es incomprensible. La temperatura no varía. El flujo es estable, y entonces la velocidad y la presión no dependen del tiempo. El flujo no es turbulento, es laminar. El flujo es irrotacional, de modo que no hay circulación. El fluido no tiene viscosidad

4 Ecuación de continuidad La figura representa un fluido que fluye en el interior de un tubo de tamaño no uniforme, en un flujo estable. En un intervalo de tiempo pequeño t, el fluido que entra por el extremo inferior del tubo recorre una distancia X 1 = v 1. t donde v 1 es la rapidez del fluido en ese punto. Si A 1 es el área de la sección transversal en esa región, entonces la masa contenida en la región interior más oscura es, M 1 =. vol 1 M 1 =. A 1. X 1 M 1 =. A 1. v 1. t Donde es la densidad del fluido.

5 Análogamente, el fluido que sale del extremo superior del tubo en el mismo intervalo t, tiene una masa M =. A. V. t Dado que la masa se conserva y el flujo es estable, la masa que entra por el fondo del tubo a través de A1 en el tiempo t debe ser igual a la masa que sale a través de A en el mismo intervalo. M 1 = M. A 1. V 1. t =. A.v. t A 1. v 1 = A. v

6 Ecuación de continuidad A 1. v 1 = A. V La condición A. v = constante, equivale al hecho de que la cantidad de fluido que entra por un extremo del tubo en un intervalo de tiempo dado es igual a la cantidad de fluido que sale del tubo en el mismo intervalo, suponiendo que no hay fuentes ni sumideros entre ambas secciones. El producto A. v representa el caudal volumétrico: A. v = Q

7 En 1738 el físico Daniel Bernoulli ( ) dedujo una expresión fundamental que correlaciona la presión con la rapidez del fluido y la elevación. A medida que un fluido se desplaza a través de un tubo de sección transversal y elevación variables, la presión cambia a lo largo del tubo. La ecuación de Bernoulli no es una ley física independiente, sino una consecuencia de la conservación de la energía aplicada al fluido ideal.

8 Ecuación de Bernoulli Considérese el flujo a través de un tubo no uniforme, en el tiempo t, como muestra la figura. Aplicaremos la ecuación de la energía a la porción de fluido contenida entre las secciones 1 y, en el intervalo correspondiente a un intervalo t, en el que el fluido se desplaza x 1 en la parte inferior y x en la parte superior del tubo. ΣW = Ec O bien: ΣW F no cons. = Ec + Ep

9 La fuerza que se ejerce sobre el extremo inferior del fluido es P 1. A 1, donde P 1 es la presión en el extremo inferior. El trabajo realizado sobre el extremo inferior del fluido por el fluido que viene atrás de él es: W 1 = F 1. X 1 = P 1. A 1. X 1 = P 1. Vol De manera análoga, el trabajo realizado sobre el fluido de la parte superior en el tiempo t es W = - P. A. X = - P. Vol

10 Recuérdese que el volumen que pasa a través de A 1 en el tiempo t es igual al volumen que pasa a través de A en el mismo intervalo. Por lo tanto el trabajo neto realizado por estas fuerzas en el tiempo t es W = P 1. Vol - P. Vol Una parte de este trabajo se invierte en cambiar la energía cinética del fluido, y otra modifica su energía potencial gravitatoria. Si m es la masa del fluido que pasa a través del tubo en el intervalo de tiempo t, entonces el cambio de energía cinética del volumen de fluido es: Ec = ½. m. v - ½. m. v 1

11 El cambio de energía potencial gravitatoria es: Ep = m. g. y - m. g. y 1 Si aplicamos que: W Ec Ep A este volumen de fluido tendremos: P 1. Vol - P. Vol = ½. m. v - ½. m. v 1 + m. g. y - m. g. y 1 Dividiendo ambos miembros por el Vol.: P 1 - P = ½.. v - ½.. v 1 +. g. y -. g. y 1 P 1 + ½.. v 1 +. g. y 1 = P + ½.. V +. g. y

12 Entonces: P + ½.. v +. g. y = constante La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial por unidad de volumen, tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.

13 Aplicaciones Ecuación de Bernoulli Tubo de Venturi: Tubo horizontal que presenta un estrangulamiento Sirve para determinar la rapidez del flujo de los fluidos

14 Comparemos la presión en el punto 1 con la presión en el punto. Puesto que el tubo es horizontal y 1 = y La ecuación de Bernoulli nos dará P 1 + ½.. v 1 = P + ½.. v Dado que el agua no retrocede en el tubo, su rapidez en el estrechamiento, v, debe ser mayor que v 1. Como P 1 + ½.. v 1 = P + ½.. v v > v 1 significa que P debe ser menor que P 1

15 Aplicaciones Ecuación de Bernoulli Atomizador: Corriente de aire que pasa sobre un tubo abierto reduce la presión encima del tubo Disminuye la presión Sube el líquido por el tubo y sale en forma de fino rocío P 1 + ½.. v 1 = P + ½.. v

16 Aplicaciones Ecuación de Bernoulli Sustentación del ala de un avión: La velocidad del aire por encima del ala es mayor que la velocidad por la parte inferior. Esto se logra por la forma del ala La presión hidrodinámica en la parte superior es menor que en la parte inferior La sustentación es una fuerza neta orientada hacia arriba

17 Aplicaciones Ecuación de Bernoulli Tubo de Pitot: Permite determinar la velocidad de un fluido Es utilizado para determinar la velocidad de un avión P 1 + ½.. V 1 = P + ½.. V

18 Análisis usando Continuidad y Bernoulli Ejemplo: Un tanque abierto al ambiente Con qué velocidad sale el agua por un orificio? La presión en la superficie será la atmosférica. La presión justamente fuera del orificio será la atmosférica. Como el área del orificio es mucho más pequeña que el área de la superficie, la velocidad del agua en la superficie es despreciable comparada con la velocidad del agua fuera del orificio. A 1. v 1 = A. V V = A 1. v 1 A P 1 + ½.. v 1 +. g. y 1 = P + ½.. v +. g. Y p o +. g. h = p o + ½.. v. g. h = ½.. v v =. g. h 1

19 Análisis usando Continuidad y Bernoulli Ejemplo: Una Tubería Horizontal que cambia de Diámetro Dada la diferencia en presión y las áreas, cuál es el flujo? Nuestro punto de partida son las fórmulas generales A 1. v 1 = A. V P 1 + ½.. v 1 +. g. y 1 = P + ½.. v +. g. y Los términos en y se cancelan. p 1 > p. Conozco (p 1 - p ) > 0. Tengo dos ecuaciones y dos incógnitas. Puedo resolver. A 1. v 1 = A. V P 1 -P = ½.. (v - v 1 )

20 Pérdida de carga en flujo real Si el fluido es viscoso, se producen pérdidas de energía mecánica por la fricción interna, entre capas del propio fluido (trabajo de fuerzas internas), y por la fricción con las paredes del conducto (trabajo de fuerzas exteriores). La ecuación de Bernoulli, que representa la conservación de la energía, puede corregirse para considerar estos efectos

21 Si el fluido fluye desde la sección 1 hacia la sección, entonces se incluye un término pf en el º término de la ecuación, que contempla las pérdidas de energía por unidad de volumen entre ambas secciones: P 1 + ½.. v 1 +. g. y 1 = P + ½.. V +. g. y + pf

22 Si además entre las secciones 1 y, se intercala una bomba (que entrega energía al fluido) o una turbina (que extrae energía del fluido), se incluyen los términos correspondientes según corresponda: p B y p T P 1 + ½.. v 1 +. g. y 1 = P + ½.. V +. g. y + pf + pt Cada uno de esos términos tiene unidades de energía por unidad de volumen (o presión). Expresados en términos del caudal volumétrico Q, y de la potencia P de la bomba (B) o de la turbina (T), resultan: p T = P T. Q