7 L ímites de funciones. Continuidad

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1 7 L ímits d funcions. Continuidad Página 05 f () = + Pinsa y ncuntra límits a) + ; + ; + + ; ; ; ; 9 0; 0; 0 ) 0; 0; 0 f ) + ; + ; 0 g) + ; + h) ; f () = a) 0 0, Página 0 a) a) f () = ; f () = ; f () = + ; f () no ist; f () = + f () = f () = f () = + f () = f () = + f () no ist f () = + f () = f () = + ) f ) f () no ist f () no ist f () no ist f () no ist a) 55

2 Página 07 a) 5 f () = ; f () = ; f () = + f () = + ; f () = ; f () = + + f () = ; f () = + f () = ; f () = ; 7 0 Página 0 h = 00 Página 09 f () = ; f () = ; f () = + ; lm f () = ; + 0 a) Dado un númro k (arbitrariamnt gran, podmos ncontrar otro númro h (tan grand como sa ncsario) tal qu si > h, ntoncs f () < k. f () = í 0 0 Dado un númro k (arbitrariamnt gran, podmos ncontrar otro númro h (tan grand como sa ncsario) tal qu si < h, ntoncs f () > k. h Dado un númro k (arbitrariamnt gran, podmos ncontrar un númro δ > 0 tal qu si δ < < c + δ, ntoncs f () < k. O k c c + δ δ h k O O k Dado un númro k (arbitrariamnt gran, podmos ncontrar un númro δ > 0 tal qu si c δ < < c + d, ntoncs f () < k. Página 0 O k c δ δ c c + δ. El límit d la difrncia d dos funcions s igual a la difrncia d sus límits.. El límit dl producto d dos funcions s igual al producto d sus límits.. El límit dl cocint d dos funcions s igual al cocint d sus límits, simpr qu l límit dl dnominador no sa 0 (para qu no s produzca una división ntr 0). 5. El límit d la potncia d dos funcions s igual a la potncia d sus límits, simpr qu la bas d la potncia sa positiva (para qu tnga sntido la potncia d ponnt ral).. El límit d la raíz d una función s igual a la raíz d su límit. En l caso d qu la potncia sa d índic par, admás, la función db sr no ngativa (para qu s puda hallar dicha potncia). 7. El límit dl logaritmo d una función s igual al logaritmo d su límit (para qu tnga sntido l límit y l rsultado, s ncsario qu tanto la función como su límit san positivos). Página a) + + Indtrminación. + ) f ) Indtrminación. g) Indtrminación. h) 0 i) 0 j) 0 k) ± l) ± m) ± n) + ñ) 0 o) Indtrminación. p) No ist. q) 0 r) + s) Indtrminación. Página a) Indtrminación. Indtrminación. + 0 ) Indtrminación. f ) ± g) Indtrminación. h) + Página δ Son infinitos cuando + las prsions a),,, f), g) i). 5

3 a) ;,5 ; 5 ; ; ; log Página log = 0; 5 = + ; +, 5 = Página 5 a) ) + f ) + a) 0 + ) + f ) 0 Página a) /5 + 0 ) 5 f ) 5 g) + h) 5 i) 5 a) /5 ) / f ) Página 7 5 a) 0 Página 9 a) ) f ) No ist. g) h) i) j) + a) 0 ) f ) g) 5 h) Página a) 7 a) ) No ist f (). 5 Página a) a) f () no ist. f () = + + Página 5 a) ) f ) ln Página 7 g) h) 5 Hay una raíz n (, ). Hay una raíz n (0, ). Hay una raíz n (;,5). Hay una raíz n (,5; ). Por l torma d Bolzano, ist c (0, ) tal qu F (c ) = 0; s dcir, ist c (0, ) tal qu las dos funcions s cortan n s punto. a) f () = s continua n [, ]. Por l torma d Wirstrass, podmos asgurar qu tin un máimo y un mínimo absolutos n s intrvalo. f () = s continua n [, ]. Por tanto, también tin un máimo y un mínimo absolutos n s intrvalo. f () = s continua n [, 5]. Por tanto, tin un máimo y un mínimo absolutos n s intrvalo. f () = no s continua n [0, ], pus s discontinua n =. No podmos asgurar qu tnga máimo y mínimo absolutos n s intrvalo. D hcho, no tin ni máimo ni míminimo absolutos pusto qu: f () = y f () = + + ) f () = s continua n [ 5, 0]. Por tanto, tin + máimo y mínimo absolutos n s intrvalo. f) La función f () = s continua n, lugo lo s n l intrvalo [0, ]. Por tanto, por l torma d Wirstrass, alcanza su máimo y mínimo absolutos n dicho intrvalo. Página Hazlo tú. a) 0 0 Hazlo tú. a)

4 Página 9 Hazlo tú. a) + 0 / ) + f ) Página a) a) + 0 Página 0 5 Hazlo tú. a) 9 Hazlo tú. Para < 0 y para > 0 s una función continua. En = 0 no ist l límit porqu los límits latrals son distintos. La función prsnta n = 0 una discontinuidad invitabl d salto finito. Página 7 Hazlo tú. Si a = + k con k n. Hazlo tú. y b = 0, la función s continua Por l torma d Bolzano, ist al mnos un punto c dπ, 5π n tal qu F ( = 0, s dcir: f ( g ( = 0 f ( = g ( Las gráficas s cortan, al mnos, n l punto d abscisa = c. Página a) a = a 0 o = La función s continua cuando porqu las funcions qu intrvinn son continuas al sr funcions polinómicas. Si a, ntoncs la función tin una discontinuidad invitabl d salto finito n = al istir los límits latrals n dicho punto y sr distintos. a) No ist ningún valor d k ya qu los límits latrals n l punto = 0 no istn. f () = f () = 0 a) 5 / + ) + f ) g) h) a) 0 + ) f ) 0 g) + h) + 5 a) /9 ) f ) + a) 0 7 a) = + ; + = + ; log ) f ) a) lm í ( + 5) = ; ( ) = 0; + = = 0 log + = + ; = ; + f () = 0; f () = + ; ( + 5) = + ( ) = 0 + f () = f () = = f p = + 9 a) 0 0 Indtrminado. + 0 a) = ; =+ + 5

5 a) a) = + = 0 ( + 9+ ) = 0 + ( + 9+ ) = + Página a) / /5 a) 5 cos = ; cos = + 0 sn sn 0 + ln b a ) f ) 0 g) 9 h) 0 i) 0 j) 0 k) 0 l) 0 5 a) f () = f () = f () = f () = + f () = f () = f () = + f () = 0 a) 7 a) La función s continua cuando ya qu las funcions qu intrvinn lo son. Cuando k = la función también s continua n =. La función s continua cuando ya qu las funcions qu intrvinn lo son. Cuando k = la función también s continua n =. Cuando a = y b = la función s continua n todo su dominio. 9 a) La función s continua cuando 0 y ya qu las funcions qu intrvinn lo son. f () = = f ( 0 ) Es continua n = 0. 0 f () = = f ( ) Es continua n =. La función s continua cuando 0 y π ya qu las funcions qu intrvinn lo son. g () = 0 = g( 0 ) Es continua n = 0. 0 El límit ist y prsnta una discontinuidad invitabl d salto finito n = π. El dominio d dfinición s {0} ya qu no stá dfinida cuando = 0. Cuando 0 y la función s continua porqu las funcions qu intrvinn lo son. h () = = h( ) Es continua n =. El dominio d dfinición s {} ya qu no stá dfinida cuando =. Cuando y la función s continua porqu la función qu intrvin lo s. En = prsnta una discontinuidad invitabl d salto infinito. Como ist l límit pro no coincid con l valor d la función, tin una discontinuidad vitabl n =. 59

6 0 a) En = hay una discontinuidad invitabl d salto infinito. En = hay una discontinuidad vitabl. En = hay una discontinuidad invitabl d salto infinito. En = hay una discontinuidad vitabl. a) I) En = y n = 0. II) En =. I) f () = + ; lm f () = ; f () = + 0 í II) f () = 0; f () = + a) + ) = ; =+ ( ) + ( ) f ) + g) 0 h) Página 5 a) 0 + ) f ) / Cuando a =, la función s continua también n = 0 ya qu f (0) = f () y, por tanto, lo s n l intrvalo 0 (, + ). 5 Cuando a = 0, la función s continua n = 5, ya qu f (5) = f (). 5 Cuando b = 5/ la función s continua n = 0, ya qu f (0) = f (). 0 Para qu la función sa discontinua n =, b = 5. El dominio d dfinición s {, }. En = : ( )( ) + ( )( ) = = + ; La discontinuidad s invitabl d salto infinito. En = : ( )( ) = + 7 a = ; b = 0 a) k =. Admás, s continua n todo Á ya qu l cocint d polinomios solo s anula cuando =. k =. Esta función también s continua n todo Á porqu l cocint solo s anula cuando =. 9 Cuando b = la función s continua n Á. 0 Para k = la función s continua n = 0 ya qu f (0) = f (). 0 No pud istir ningún valor ya qu l límit no ist porqu los límits latrals son distintos. a) El dominio d dfinición s (, ) (, + ) y n él la función s continua. La función s continua n l intrvalo (, + ). La función s continua n su dominio, s dcir, n (, ) [, + ). La función s continua n su dominio, Á {kπ} con k. La función s continua cuando al star dfinida mdiant funcions continuas. Cuando m = o m = la función s continua n =. Si m y m la función tin una discontinuidad invitabl d salto finito n =. a) a = 0 5 El dominio d dfinición s {, }. La función s continua n él. En = prsnta una discontinuidad invvitabl d salto infinito. En = tin una discontinuidad invitabl d salto infinito. Si y, la función s continua. 7 t = a) Si =, la función s continua. Si =, la discontinuidad s d salto (finito). f () = ; g () = + ; h () = + ; f () = ; f () = g () = + h () = + f () = 9 Hay una discontinuidad d salto (finito) n = 0. Página 0 a =, b = 0 0

7 a) = [ln ( + ) ln ()] = ln d + n = ln + = ln = 0 a) No hay ningún valor d a para l qu l crciminto s mantnga continuo. t lm í T (t) = 0 a) a = 0,7 f () no s continua n =. Por tanto, f no s continua n l intrvalo [0, ]; lugo no cumpl las hipótsis dl torma d Bolzano n dicho intrvalo. 5 Por l torma d Bolzano sabmos qu ist al mnos un punto c (, ) tal qu: h ( = 0 f ( g ( = 0 f ( = g ( Es dcir, ist al mnos un punto c (, ) n l qu las gráficas d f () y g () s cortan (ya qu las dos funcions toman l mismo valor). f (0) = ; f () = 5 Por l torma d los valors intrmdios o torma d Darbou, la función toma todos los valors comprndidos ntr y 5, s dcir, toma todos los valors dl intrvalo [, 5]. 7 Por l torma d Bolzano, podmos asgurar qu ist c (, 9) tal qu g ( = 0; s dcir, la función g () tin al mnos un cro n l intrvalo [, 9]. g (0) = 9 a) V V F F ) V f ) V g) V h) V 50 a) Dado ε > 0, ist h tal qu, si < h, ntoncs f () < ε. Dado k, podmos ncontrar h tal qu, si > h, ntoncs f () < k. Dado k, podmos ncontrar δ tal qu, si δ < <, ntoncs f () > k. Dado k, podmos ncontrar δ tal qu, si < < + δ, ntoncs f () < k. ) Dado k, podmos ncontrar δ tal qu, si δ < < + δ, ntoncs f () > k. f) Dado ε > 0, ist δ > 0 tal qu, si δ < < + δ, ntoncs f () < ε. 5 Si b = 0 y a 0, la función tin una discontinuidad vitabl n = 0. Si b 0 y a = b, la función tin una discontinuidad vitabl n =. Página 7 5 a) a) k = La función s discontinua n = 0 para cualquir valor d k ya qu no ist l límit n = 0. k = 5 a=, b= 55 Tnmos qu sn < < tg. Dividindo ntr sn, quda: < < > sn > cos sn cos Tomando límits cuando 0, quda: sn 0 ; s dcir: sn = 0 5 a) 0 57 Por l torma d Bolzano, sabmos qu ist c (0, ) tal qu g ( = 0, s dcir, f ( c = 0, o bin f ( = c. f( = c 0 c f() y =

8 Autovaluación a) 0 a) En = 0, tin una discontinuidad d salto infinito. En =, tin una discontinuidad vitabl = = a) El dominio d dfinición s { }. Cuando y 0 la función s continua porqu las funcions qu intrvinn lo son. En = prsnta una discontinuidad invitabl d salto infinito. Al sr los límits latrals distintos y finitos, n = 0 tin una discontinuidad invitabl d salto finito. f () = = + f () = = + b 0 para qu la función sté bin dfinida. Si a = y b =, la función s continua n = 0. 5 La función g s continua n [0, ] y signo d g (0) signo d g (). Por l torma d Bolzano, istirá un c (0, ) tal qu g ( = 0; s dcir, ist un c (0, ) tal qu f (c + ) = f (. Por l torma d los valors intrmdios, f () toma todos los valors dl intrvalo [; 5,007]. Por tanto, istirá un 0 < c < 5 tal qu f ( =. Es dcir, c + c =.