Concepto de derivada y de función derivada Recordemos que la pendiente de una recta nos indica la mayor o menor inclinación de ésta.

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1 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES.- CONCEPTO Y CÁLCULO DE DERIVADAS Concpto d drivada y d función drivada Rcordmos qu la pndint d una rcta nos indica la mayor o mnor inclinación d ésta. Cuando la gráfica d una función no s una rcta y qurmos mdir la pndint d la gráfica s utiliza la drivada. S l llama drivada n l punto a d una función f, y s rprsnta por f (a) al valor dl siguint límit f() f(a) f (a) lim a a f (a) rprsnta la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto A(a,f(a)). La rcta tangnt s la rcta qu pasa por A y la qu más s aproima a la gráfica d la función n las proimidads dl punto A. Y f(a) A a rtg f (a) pndint d la rcta tangnt X Usando la dfinición podmos dducir: Si f tin un trmo rlativo n a, ntoncs f a, pus la rcta tangnt s horizontal Si f ( a ) >, ntoncs f s crcint n a, pus la rcta tangnt tin pndint positiva Si f ( a ) <, ntoncs f s dcrcint n a, pus la rcta tangnt tin pndint ngativa ( ) S llama función drivada d una función f a la función h lim f f + h h f Si no ist l límit, s dic qu la función no s drivabl Tabla d drivadas Función constant: (c). Ejmplo: (6) Función potncia: ( k ) k. k, sindo k R () Ejmplo: ( ) Casos particulars ( ) ( ) Función ponncial: (a ) a. ln a, sindo a >, a Ejmplo: ( ). ln Caso particular ( ) Función logaritmo: [log a ()].ln a sindo a >, a Ejmplo: [log ()].ln Caso particular [ ln() ] - Página -

2 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Función sno: ( ) Función cosno: ( ) Función tangnt: ( ) / sn cos - / cos sn / tg + tg / arc sn / arc cos arc tg / + Función arco sno: ( ) Función arco cosno: ( ) cos Función arco tangnt: ( ) Drivada d la suma y rsta (a.f ± b.g) a. f ± b. g Ejmplo: ( + 5 ).( ) + 5. () Rglas d drivación Si f y g son dos funcions drivabls, s cumpl: Drivada dl producto (f. g) f. g + f. g Ejmplo: (. ln ) ( ). ln +.(ln ) ln +. ln + Drivada dl cocint f f g f g g g Ejmplo:.... Drivada d una función compusta Si u s una función, ntoncs [f(u)] f (u). u (Esta rgla s llama Rgla d la cadna ). Ejmplos u + [( +) 7 ] u u ln [(ln ) ] u + ( u ) u ( + ) u + u ( u + u [u 7 ] 7u6. u 7( +) 6. ( +) 6 (u ) u. u.ln. ( [log ( + )] u + u + u) u. u u u ) u ( + ) ( u ) u. ln.u +. ln. [log (u)] u u.ln. + ( + ) +.ln Drivada d una función lvada a otra función. g g Drivando n los dos mimbros h f h( ) f( ) ln [ h( ) ] ln f( ) g( ).ln [ f( ) ] g ( ) ln [ f( ) ] + g( ) h( ) f( ) ( ) Tomando ln ( ) ( ) ( ) f ( ) h ( ) h( ) g ( ) ln [ f( ) ] + g( ) f ( ) - Página -

3 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Drivadas sucsivas d una función La drivada sgunda d una función f s la drivada d f () y s rprsnta por f () Por jmplo, si f() 6 5, ntoncs la primra drivada s f () 8 y la sgunda drivada s: f () [f ()] (8 ) 6 Por l mismo procdiminto s pudn calcular f, f (iv, f (v, f (n f (n s llama drivada n-sima d f Drivabilidad d una función Una función f s drivabl n un punto a si s cumpln las siguints condicions: (C) f s continua n a (C) Eist f (a) Las funcions no dfinidas a trozos son drivabls n todos los puntos dond san continuas. Las funcions dfinidas a trozos pudn sr drivabls o no srlo. Para stas funcions s usa l siguint critrio: u(), si < a Sa f una función dfinida a trozos, f(), sindo u, v funcions drivabls v(), si a Entoncs f s drivabl n a si s cumpl: ) f s continua n a ) lim u () lim v () L En tal caso, f (a) L a a + Si una función f s drivabl n un punto a ntoncs la gráfica n l punto A( a, f(a) ) no tin roturas (pus s continua), ni tin pico (pus s pud trazar la rcta tangnt n A) Si una función s drivabl n un punto, s continua n dicho punto. Pro si la función s continua no tin por qué sr drivabl. Por jmplo, f ( ) s continua n, pro no s drivabl n Ejrcicio Dadas f ( ) + + y g( ) ln( 8) +, scribir la función g o f y calcular su drivada., si Ejrcicio Considra la función f: R R dfinida por f( ), si < <, si + a) Estudia su continuidad y drivabilidad. b) Dtrmina la función drivada d f. Ejrcicio Estudia la drivabilidad d la función f: R R dfinida por, si y f( ), si ó Ejrcicio Dtrmina a y b sabindo qu b > y qu la función f: R R dfinida como acos( ) +, si < f( ) b s drivabl. a ln( + ) +, si + Practica tú: Halla l punto d la gráfica y + + 5, n l cual la rcta tangnt sa paralla a la rcta y 8 Sol.: P(, 7) ln Halla la drivada d las siguints funcions: a) y sn d) y arctg(+ ) ) y tg ( ) f) f( ) ln g) y + - Página - + c) f( ) ln b) y ln ( sn( ) ) h) f( ) log( ) + i) g( ) sn ( )

4 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES cos ln() ( ln ) ln( sn) (sn + cos ) Sol.:a) y b) y c) f () d) y ) y tg. + tg sn f) f () g) y ln h) f () i) g () sn() + cos() + 6 ( + ) ln Estudia la drivabilidad d la función f: (, + ) R dfinida por Calcula su drivada ( ) +, si < f( ). +, si >, si < Sol.: f s drivabl n R +, f () + +, si > Estudiar la drivabilidad d la función f( ) n Sol.: No s drivabl aunqu sí s continua 5 S considra la función drivabl f: R R dfinida por Calcula los valors d a y b. Sol.:a, b 6 S sab qu la función f: R R dfinida por Dtrmina los valors d a y b. Sol.:a, b f( ) a a +, si < f( ) b a+, si + + b, si, s drivabl. 5+ a, si > a+ b, si 7 Considra la función f: R R la función dfinida por f( ) ( a+ b), si < Dtrmina a y b sabindo qu f s drivabl. Sol.:a, b ln( + sn) si < 8 Sa la función f ( ) + a+ b si a) Hallar a y b para qu sa continua n. Sol.:a R, b b) Hallar a y b para qu f() sa drivabl n. Sol.:a, b c) Calcular π f. Sol.: Si al calcular y ist lim α.- REGLAS DE L HÔPITAL f(), sindo α Ró α± llgamos a una indtrminación dl tipo g() f () lim ntoncs: α g () lim α f() lim g() α f () g () ó ( ) Ejrcicio 5 Sabindo qu ( + π ) cos( π). acos( ) lim sn( ) s finito, calcula a y l valor dl límit. - Página - ( ln) ( ), si Ejrcicio 6 Sa f: (, ) R la función dfinida por f( ) a, si a) Sabindo qu f s continua, calcula a b) Estudia la istncia d asíntota horizontal d la gráfica. En caso d qu ista, dtrmina su cuación.

5 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Practica tú: 9 Calcula: a) lim ln( + ) sn sn b) lim ln( ) c) lim arc tg sn sn( ) tan( ) sn( ) d) lim ) lim f) lim sn( ) ln( ) Sol.:a) pus por la izda s y por la dcha b) c) d) ) f) + Dada la función f ( ), para, dtrmina las asíntotas d su gráfica. Sol.: A.V.: A.H.:y (ln ) Sa f: (, + ) R la función dada por f ( ). Estudia la istncia d asíntota horizontal para la ( ) gráfica d sta función. En caso d qu ista, hállala. Sol.: A.H.:y Sabindo qu ln( + ) asn( ) + cos( ) lim s finito, calcula a y l valor dl límit. Sol.:a ; Sabindo qu lim m s finito, calcula m y l valor dl límit. Sol.: m ; Sabindo qu a + b+ cos( ) lim sn( ) s finito igual a, calcula los valors d a y b. Sol.:a, b + cos( ) a 5 Halla a y b sabindo qu s continua la función f: R R dfinida como f ( ) b, si Sol.:a, b.- ESTUDIO DE LA MONOTONÍA Y EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN. Estudiar la monotonía d una función f s avriguar los intrvalos d la rcta ral dond f s crcint, dcrcint o constant. Como la drivada rprsnta la pndint d la rcta tangnt: ( ) ( ) ( ) Si f Si f Si f > <, n un intrvalo, ntoncs f s crcint n dicho intrvalo, n un intrvalo, ntoncs f s dcrcint n dicho intrvalo, n un intrvalo, ntoncs f s constant n dicho intrvalo, si Una vz dtrminada la monotonía s pudn dducir cuals son los trmos rlativos (máimos y mínimos rlativos) rcordando qu: Si la función pasa d sr crcint a dcrcint y s continua, ntoncs hay un máimo rlativo Si la función pasa d sr dcrcint a crcint y s continua, ntoncs hay un mínimo rlativo - Página 5 -

6 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Si sólo qurmos calcular los trmos rlativos d una función f podmos usar l siguint procdiminto: º) Rsolvmos la cuación f (). Si no tuvis solución s porqu no hay trmos rlativos Si f ( ) > En s alcanza un mínimo rlativo º) En otro caso, sa una solución: Si f ( ) < En s alcanza un máimo rlativo Si f ( ) No s pud asgurar si hay o no trmo rlativo Ejrcicio 7 Dada una función f dfinida y drivabl n un intrvalo abirto (a, b) d los númros rals, si f s crcint n dicho intrvalo, ntoncs f'()>". Es cirto?. En caso afirmativo, razonar la rspusta y n caso contrario, ponr un contrajmplo. Ejrcicio 8 Sa f: [, π] R la función dfinida por f() (cos + sn ). (a) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. (b) Halla los trmos rlativos (locals) y absolutos (globals) d f. ln( ) Ejrcicio 9 Sa f: (,+ ) R la función dfinida por f ( ) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Ejrcicio Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto, y los trmos rlativos d (puntos dond s obtinn y valor qu alcanzan). f ( ) + Ejrcicio Sabindo qu la gráfica s la d f (), dduc la monotonía y trmos rlativos d la función f. Ejrcicio En una mprsa los ingrsos (n uros) dpndn d la dad. Si la dad,, s d 8 a 5 años, los ingrsos vinn dados por la fórmula + 7, mintras qu para dads iguals o supriors a 5 años los ingrsos stán dtrminados por la prsión,. Calcula cuál s l máimo d los ingrsos y a qué dad s alcanza. a + b Ejrcicio Halla los valors a, b y c sabindo qu la gráfica d la función f ( ) tin una asíntota + c vrtical n, una asíntota oblicua d pndint, y un trmo local d abscisa. Practica tú: 6 Sa f la función dfinida por f ( ), para y. ( + )( ) (a) Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.V.: ; A.H.:y (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.:crcint n (,) y dcrcint n(, ) (, ) { } { } (c) Calcula, si ist, algún punto d la gráfica d f dond ésta corta a Ia asíntota horizontal. Sol.: P(, ) + 7 Sa f la función dfinida por f ( ) para. (a) Estudia las asíntotas d la gráfica d la función. Sol.: A.V.: A.O.:y (b) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto, y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn Sol.: crcint n (, ) (,) y dcrcint n(,) ; Má.:P(, ) Mín.:Q(,) y valors qu s alcanzan). { } - Página 6 -

7 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8 Sa f: R R la función dfinida por f(). (a) Dtrmina los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: Má.:P(, ) Mín.:Q(,) (b) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.H.:y 9 Sa f : R R la función dfinida por f() ( ). (a) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.: crcint n (,) y dcrcint n(, ) (, ) (b) Calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: Má.:P(,) Mín.:Q(, 9 ) Sa f la función dfinida por f( ) para. a) Estudia y calcula las asíntotas d la gráfica d f. Sol.:A.V.: b) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) d f. Sol.: crcint n (, ) y dcrcint n(,); Mín.:P(, ) ln Sa la función f : (,+ ) R dfinida por f( ). a) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sol.:A.V.: A.H.:y b) Halla los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) y los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.: crcint n (, ) y dcrcint n(, ); Má.:P(, ) + si >, Sa la función f : R R dfinida por f( )., si (a) Calcula, si s posibl, las drivadas latrals d f n. Sol.:f ( ) ; f ( + ) (b) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d la función f. Sol.:crcint n (,) y dcrcint n(,) (, ) Sa f : R R la función dfinida por f(). Sol.:f s drivabl n R. No s drivabl n, aunqu sí s continua a) Estudia la drivabilidad d f. { } b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.: crcint n (, ) y dcrcint n(,) c) Calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: Mín.:P(,) Sa f : R R la función dfinida por f(). Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula sus trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.:crcint n (,) (, ) y dcrcint n (, ) (,); Mín.:(,) y (,) ; Má.:(,) 5 Sabindo qu la gráfica s la d f () dtrmina la monotonía y las abscisas d los trmos rlativos d la función f Sol.:crcint n (,,5) (;,5) y dcrcint n (,5;) (,5; ); Mín.: ; Má.:,5,,5 6 La gráfica d la función f () s la parábola d vértic (, ) qu corta al j d abscisas n los puntos (, ) y (, ). A partir d dicha gráfica, studia la monotonía y trmos d f. Sol.:crcint n (,) y dcrcint n (, ) (, ); Mín.: ; Má.: 7 S sab qu la función f: R R dfinida por f() + a + b + c tin un punto d drivada nula n qu no s trmo rlativo y qu f(). Calcula a, b y c. Sol.:a, b, c - Página 7 -

8 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8 S sab qu la función f: R R dfinida por f() a + b + c + d, tin trmos rlativos n (, ) y (, ). Calcula a, b, c y d. Sol.:a, b, c, d 9 Halla los trmos rlativos d f( ) (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) ( )( ) y sus intrvalos d crciminto y d dcrciminto. Sol.: Má.:P( 5, ) ; crcint n(, 5 ) 5 { } y dcrcint n(, ) { 9 } + si < < + a, S sab qu la función f: (, + ) R, f( ), s continua n (, + )., si + (a) Halla l valor d a. Es f drivabl n? Sol.:a ; No s drivabl n (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. Sol.: crcint n(, ) ; dcrcint n(, ) a, si Sa f: R R la función drivabl dfinida por f( ) b + ln, si > a) Calcula a y b. Sol.:a, b b) Para a y b calcula los trmos absolutos d f n l intrvalo [, ] (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: Má. absol.: P(,) Mín. absol.:q(, + ln) + + a b, si Considra la función f: [, ] R dfinida por f( ) c, si < (a) Sabindo qu f s drivabl n todo l dominio y qu vrifica f() f(), dtrmina los valors d a, b y c. Sol.:a, b, c (b) Para a, b y c halla los trmos absolutos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: Má.absol.:P(,) 7, P (,) Mín.absol.:Q(, ).- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN Ejrcicio D ntr todos los númros rals positivos, halla l qu sumado con su invrso da suma mínima. Ejrcicio 5 D ntr todos los rctángulos qu tinn uno d sus vértics n l orign d coordnadas, l opusto d st vértic n la curva y con >, uno d sus lados situado sobr l smij positivo d abscisas y otro lado sobr l smij positivo d ordnadas, halla l qu tin ára mínima. Ejrcicio 6 Un rctángulo stá inscrito n un smicírculo d 5 cm d radio, d forma qu uno d sus lados stá contnido n l diámtro dl smicírculo y l lado opusto tin sus vértics sobr la smicircunfrncia. Calcula las dimnsions dl rctángulo sabindo qu s l d mayor prímtro posibl. Ejrcicio 7 Un alambr d mtros d longitud s divid n dos trozos. Con uno d llos s forma un triángulo quilátro y con l otro un cuadrado. Halla la longitud d dichos trozos para qu la suma d las áras sa mínima. Ejrcicio 8 D un trrno s dsa vndr un solar rctangular d 8 m dividido n parclas iguals como las qu aparcn n l dibujo. S quirn vallar las linds d las trs parclas (los bords y las sparacions d las parclas). Dtrmina las dimnsions dl solar y d cada una d las trs parclas para qu la longitud d la valla utilizada sa mínima. - Página 8 -

9 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ejrcicio 9 S dispon d un cartón cuadrado d 5 cm d lado para construir una caja sin tapadra a partir dl cartón. Para llo, s corta un cuadrado d cm d lado n cada una d las squinas. Halla l valor d para qu l volumn d la caja sa máimo y calcula dicho volumn. Ejrcicio La hipotnusa d un triángulo rctángulo mid 9 cm. Si s hac girar alrddor d uno d sus cattos, l triángulo ngndra un cono. Qué mdidas han d tnr los cattos dl triángulo para qu l volumn dl cono ngndrado sa máimo? (Rcurda qu l volumn dl cono s V (/)πr h). Practica tú: Dtrmina dos númros rals positivos sabindo qu su suma s y qu l producto d sus cuadrados s máimo. Sol.:Los númros son 5 y 5 D ntr todos los rctángulos situados n l primr cuadrant qu tinn dos d sus lados sobr los js coordnados y un vértic n la rcta r d cuación + y (vr figura), dtrmina l qu tin mayor ára Sol.:El d basy altura 5 Considra l rcinto limitado por la curva y / y la rcta y 9. D ntr todos los rctángulos situados como l d la figura, dtrmina l qu tin ára máima. Sol.: Un cuadrado d lado 6 6 En l primr cuadrant rprsntamos un rctángulo d tal manra qu tin un vértic n l orign d coordnadas y l vértic opusto n la parábola y +. Dtrmina las dimnsions dl rctángulo para qu su ára sa máima. Sol.:Dimnsions: 7 D ntr todos los triángulos rctángulos d hipotnusa unidads, dtrmina las dimnsions dl d ára máima. Sol.:cattos: 5 cada uno 8 D ntr todos los rctángulos cuya ára mid 6 cm, dtrmina las dimnsions dl qu tin diagonal d mnor longitud. Sol.: Un cuadrado d lado cm 9 Calcula la bas y la altura dl triángulo isóscls d prímtro 8 y d ára máima. 8 Sol.: bas: altura: Tnmos qu fabricar dos chapas cuadradas con dos matrials distintos. El prcio d cada uno d stos matrials s y uros por cntímtro cuadrado, rspctivamnt. Por otra part, la suma d los prímtros d los dos cuadrados tin qu sr mtro. Cómo hmos d lgir los lados d los cuadrados si qurmos qu l cost total sa mínimo? Sol.:Cuadrados d lados5 cm y cm, rspctivamnt Un alambr d longitud mtro s divid n dos trozos, con uno s forma un cuadrado y con l otro una circunfrncia. Calcula las longituds d los dos trozos para qu la suma d las áras d ambos rcintos sa mínima. π Sol.: m y m π+ π+ - Página 9 -

10 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Una vntana normanda consist n un rctángulo coronado con un smicírculo. D ntr todas las vntanas normandas d prímtro m, halla las dimnsions dl marco d la d ára máima. Sol.: radio: m bas dl rctángulo: m altura dl rctángulo: m π+ π+ π+ Una hoja d papl tin qu contnr 8 cm d tto. Los márgns suprior infrior han d sr d cm cada uno y los latrals cm. Calcula las dimnsions d la hoja para qu l gasto d papl sa mínimo. Sol.:Dimnsions:5 cm cm Un granjro dsa vallar un trrno rctangular d pasto adyacnt a un rio. El trrno db tnr 8 m para producir suficint pasto para su ganado. Qué dimnsions tndrá l trrno rctangular d modo qu utilic la mínima cantidad d valla, si l lado qu da al río no ncsita vallado? Sol.:Dimnsions: m 6 m 5 Qurmos hacr junto a la carrtra un crcado rctangular para unos caballos n una zona llana. Cada mtro dl lado dl crcado qu stá junto a la carrtra nos custa uros, mintras qu para l rsto dl crcado nos custa uros l mtro. Cuáls son las dimnsions dl prado d ára máima qu podmos crcar con uros? 5 Sol.: Dimnsions: 75 m m 6 S dsa construir una caja d bas cuadrada con una capacidad d 8 cm. Para la tapa y la suprfici latral s usa un matrial qu custa /cm y para la bas s mpla un matrial un 5% más caro. Halla las dimnsions d la caja para qu su cost sa mínimo. Sol.:Dimnsions:cm cm 5 cm 7 S dsa construir una lata d consrva n forma d cilindro circular rcto qu tnga una suprfici total d cm. Dtrmina l radio d la bas y la altura d la lata para qu l volumn sa máimo. Sol.: radio: cm altura: cm π π 5.- ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y NORMAL La rcta tangnt a la gráfica d una función f n pasa por l punto A(, f( )) y su pndint s f ( ) La rcta normal a la gráfica d una función f n pasa por l punto A(, f( )) y s prpndicular a la rcta tangnt. Su pndint s. r f ( ) tg : y f ( ).( ) + f( ) r N : y.( f ( ) ) + f( ) Para podr calcular dichas cuacions s ncsario qu istan tanto f( ) como f ( ). Una vz calculados, sustituimos n la fórmula antrior los valors: " ", " f( )" y " f ( )" y dspués rducimos fctuando las opracions. - Página -

11 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Ejrcicio Sa f la función dfinida por f( ) para >, ln( ) Calcula la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Ejrcicio Sa f: R R la función dfinida por f(). Calcula la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Ejrcicio Sa f: R R la función dfinida por f() y sa r la rcta d cuación + y 6. (a) Dtrmina, si s posibl, un punto d la gráfica d f n l qu la rcta tangnt sa r. (b) Hay algún punto d la gráfica d f n l qu la rcta normal a la gráfica sa r? Justifica la rspusta. Ejrcicio San f: R R y g: R R las funcions dfinidas por f() + a + b y g() c ( + ). S sab qu las gráficas d f y g s cortan n l punto (, ) y tinn n s punto la misma rcta tangnt. (a) Calcula los valors d a, b y c. (b) Halla la cuación d dicha rcta tangnt. Practica tú: 8 Sa f: R R la función dfinida por f() ( + + ). a) Calcula las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.H.:y b) Halla los puntos d la gráfica d f cuya rcta tangnt s horizontal. Sol.:P(, 5 ), Q(, ) c) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y + 9 Dtrmina un punto d la curva d cuación máima. Sol.: P(,) y n l qu la pndint d la rcta tangnt sa 5 Sa la función f: (,+ ) R dfinida por f() / + ln() (a) Halla los trmos absolutos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) n l intrvalo [/, ]. Sol.: Mín.:P(,) Má.:Q(, ) (b) Dtrmina la cuación d Ia rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y + 5 Sa f: R R la función dfinida como f( ) ( + ). Halla las cuacions d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa 6 y n l punto d abscisa. 6 8 Sol.: En 6: rtg:y + 8, rn:y ;En : rtg:y +, rn:y 6 5 Sa la función f: R R dfinida por f() ln( + + ). (a) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.:dcrcint n (, ) (, ) ycrcint n (,); Má.:(, ln ) ;Mín.:(,) (b) Dtrmina la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y + 5 Dada la parábola y. (a) Halla la cuación d la rcta tangnt a la parábola qu s paralla a la rcta + y +. Sol.: y (b) Halla las cuacions d las rctas tangnts qu pasan por l punto (, ). Sol.: y, y Sa f: R R la función dfinida por f() Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y Obtén la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f( ) n l punto d abscisa. Sol.: y 9 - Página -

12 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES + c, si < < 56 S sab qu la función f: (, ) R dfinida por f( ) s drivabl n l, si < intrvalo (, ). (a) Dtrmina l valor d c. Sol.: c (b) Calcula la función drivada f. Sol.:, si < < f (), si < (c) Halla las cuacions d las rctas tangnts a la gráfica d f qu son parallas a la rcta d cuación y. 5 Sol.: y +, y +, si < 57 Considra la función drivabl f : R R dfinida por f( ) a+ b, si (a) Calcula a y b. Sol.: a, b (b) Halla la cuación d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y + ( + a), si 58 Sa la función f: R R dada por f( ) b + c. Calcula las constants a, b y c sabindo qu, si > + f s drivabl y qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa tin pndint. Sol.: a, b 7, c 59 D una función f: [, ] R s sab qu f() y qu la gráfica d su función drivada s la qu aparc n l dibujo (a) Halla la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa Sol.: y + (b) Estudia la monotonía y trmos d f. Sol.:conva n (, ) (, ) y cóncava n (, ) 6.- ESTUDIO DE LA CURVATURA Y PUNTOS DE INFLEXIÓN DE UNA FUNCIÓN. Estudiar la curvatura d una función s avriguar los intrvalos d la rcta dond s conva (forma d U) ó cóncava (forma d ). La drivada sgunda, f (), nos prmit avriguarlo: Si f ( ) >, n un intrvalo, ntoncs f s conva n dicho intrvalo Si f ( ) <, n un intrvalo, ntoncs f s cóncava n dicho intrvalo Si f ( ), n un intrvalo, ntoncs f s una lína rcta n dicho intrvalo Una vz dtrminada la curvatura s pud dducir los puntos d inflión Los puntos d inflión son puntos dond la función s continua y pasa d sr conva a sr cóncava o al rvés. - Página -

13 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Si sólo qurmos calcular los puntos d inflión d una función f, podmos usar l siguint procdiminto: º) Rsolvmos la cuación f (). Si la cuación no tuvis solución ntoncs no hay puntos d inflión. º) En otro caso, sa una solución: Si f ( ) En hay un punto dinf lión Si f ( ) No s pudasgurar si hayono puntod inflión Ejrcicio 5 Estudia la curvatura y puntos d inflión d la función f( ), si < + si, Ejrcicio 6 Calcula los puntos d inflión d la gráfica d f: [, π] R dfinida por f() (sn + cos ). Ejrcicio 7 Sa f: R R la función dfinida por f() a +b +c + d. Calcula los valors d a, b, c y d sabindo qu f vrifica: El punto (, ) s un punto d inflión d la gráfica f f tin un mínimo local n l punto d abscisa La rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa tin pndint Ejrcicio 8 Una función polinómica d grado pud tnr dos máimos? Y algún punto d inflión? Razonar las rspustas. Practica tú: 6 Sa f: R R la función dfinida como f().( ). (a) Halla los trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan) Sol.: Mín.:P(, ) (b) Dtrmina, si istn, l punto d inflión d la gráfica d f. Sol.: Infl.:I(, ) 6 Considra la función f: R R dfinida por f() ( + ) ( ) ( ). Dtrmina los intrvalos d concavidad y d convidad d f. Tin puntos d inflión la gráfica d f? Sol.: conva n, y cóncava n, ; Infl.: I, 7 ( ) ( ) ( ) + 6 Halla los puntos d inflión d la gráfica d la función f( ). Sol.:I 8 5 (, ) ; I, Sa f: R R la función dfinida por f() ln ( + ). Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d inflión d abscisa ngativa. Sol.: y + ln 6 Sa f: R R la función dfinida por f() + + a + b. Dtrmina a y b sabindo qu la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión s la rcta y +. Sol.: a 6, b 9 65 Sa f: R R la función dfinida por f () + a + b + (a) Dtrmina a, b R sabindo qu la gráfica d f pasa por l punto (, ) y tin un punto d inflión d abscisa. Sol.: a, b 7 (b) Calcula las cuacions d las rctas tangnt y normal a la gráfica d f n l punto d inflión. 7 Sol.: rtg: y +, rn: y Sa f: R R la función dada por f() a + b + c + d. Halla los coficints a, b, c y d sabindo qu f prsnta un trmo local n l punto d abscisa, qu (, ) s punto d inflión d la gráfica d f y qu la pndint d la rcta tangnt n dicho punto s. Sol.: a, b, c, d - Página -

14 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 7.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES Para rprsntar gráficamnt una función s convnint analizar: ) El dominio d dfinición Los puntos dcortconl j X sonlas solucions dlacuación f( ) ) Puntos d cort con los js: El puntodcortconl jy s P(, f() ) Si f( ) f( ), ntoncs f s simétrica rspctodl jy ( sdicqu f s par) ) Simtría: Si f( ) f( ), ntoncs f s simétrica rspcto dl origndcoordnadas ( sdicqu f simpar) ) Priodicidad: Si f( + T) f(), ntoncs la gráfica d f s rpit n intrvalos d longitud T. S dic qu f s priódica d priodo T 5) La continuidad, las asíntotas vrticals y la posición d la gráfica rspcto d llas 6) Las asíntotas horizontals u oblicuas y la posición d la gráfica rspcto d llas 7) La monotonía y los trmos rlativos. 8) La curvatura y los puntos d inflión Ejrcicio 9 Sa f la función dfinida como f( ) para y. (a) Estudia y halla las asíntotas d la gráfica d f (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f. (c) Con los datos obtnidos sboza la gráfica d f. Ejrcicio Sa f: R R la función dfinida por f() ( ).. (a) Halla las asíntotas d la gráfica d f. (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula, si istn, sus trmos rlativos o locals y sus trmos absolutos o globals (puntos n los qu s obtinn y valors qu alcanza la función). (c) Esboza la gráfica d f. Ejrcicio Sa f: R R la función dfinida por f( ) (a) Estudia su continuidad y drivabilidad. (b) Dtrmina sus asíntotas y sus trmos rlativos. (c) Esboza la gráfica d f. Ejrcicio Dada la función: f( ) sn si - Página -, si <, dfinida n l intrvalo crrado y acotado [ π,π] cos a) Calcular los puntos dl intrvalo dado dond f() alcanza sus valors máimo y mínimo absoluto. b) Dibujar la gráfica d f() n l intrvalo dado. Practica tú: Sa f: R R la función dfinida por f( ) + + (a) Calcula los puntos d cort d la gráfica d f con los js coordnados. 8 Sol.: P(, ), Q(, 8) 5. S pid: (b) Halla las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.H.: y (c) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula sus trmos rlativos o locals (puntos n los qu s obtinn y valors qu alcanza la función). Sol.:dcrcint n (, ) (, ) y crcint n (, ); Mín.:(, ) ; Má.:(, 5 ) 5 5 5

15 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES (d) Esboza la gráfica d f Sa f la función dfinida para por f( ) (a) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.V.:, A.O.: y (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula sus trmos rlativos o locals (puntos n los qu s obtinn y valors qu alcanza la función). Sol.:crcint n (, ) (, ) y dcrcint n (,); Mín.:(, ) ; Má.:(, ) (c) Esboza la gráfica d f + 69 Sa f : R R la función dfinida por f( ) + + (a) Estudia si istn y calcula, cuando sa posibl, las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.H.: y (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto, los trmos rlativos y los valors qu alcanza n llos la función f. Sol.:crcint n (, ) (, ) y dcrcint n (,); Mín.:(, ) ; Má.:(, ) (c) Esboza la gráfica d f. 7 Sa f: R R la función dfinida por f() +. a) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto d f, así como los trmos rlativos o locals d f. Sol.:crcint n (, ) y dcrcint n (, ); Mín.:(,) b) Dtrmina los intrvalos d concavidad y convidad d f. Sol.:conva n R c) Dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.O.: y (n ) - Página 5 -

16 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES d) Esboza la gráfica d f 7 Sa f la función dfinida para por f( ) + (a) Halla las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.V.:, A.H.: y (n ) (b) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.:crcint n (, ) y dcrcint n (, ) (c) Dtrmina los intrvalos d concavidad y d convidad d f. Sol.:cóncava n (, ) ; conva n (, ) (d) Esboza la gráfica d f. f 7 Sa f: R R la función dfinida por ( ) a) Estudia y dtrmina las asíntotas d la gráfica d f. Sol.: A.H.: y b) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f y calcula sus trmos rlativos (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.:crcint n (, ) (,) y dcrcint n (, ) (, ); Má.:, y, ; Mín.:(, ) ( ) ( ) c) Esboza la gráfica d f. 7 Dada la función: f( ) sn + cos. Dfinida n l intrvalo crrado y acotado [, π ]. S pid a) Calcular los puntos dl intrvalo dado dond f() alcanza sus valors máimo y mínimo absoluto. Sol.:Mín. absoluto n 5π ; Má.absoluto n π b) Dibujar la gráfica d f() n l intrvalo dado. - Página 6 -

17 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES 8.- TEOREMAS EN FUNCIONES DERIVABLES Torma d Roll Sa f: [a, b] R una función continua n [a, b] y drivabl n (a, b) tal qu f(a) f(b). Entoncs, ist c (a, b) tal qu f (c) Intrprtación gométrica Si una función vrifica las hipótsis dl torma d Roll, ist al mnos un punto c dl intrvalo abirto (a, b) dond la tangnt a la curva n s punto (c, f(c)) s paralla al j d abscisas. Ejrcicio Dtrmina si las siguints funcions satisfacn n l intrvalo dado, las hipótsis dl Torma d Roll. En caso afirmativo calcula l valor intrmdio c qu vrifica la conclusión dl mismo. a) f ( ) n l intrvalo [, ] b) f( ) n l intrvalo [, ] Ejrcicio Compruba qu la función Roll. Avrigua dónd cumpl la tsis f( ), si + < 5 ( ), si - Página 7 - cumpl las hipótsis dl Torma d Ejrcicio 5 Calcula b para qu la función f() + cumpla las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo [, b]. Dónd s cumpl la tsis? vrifica las hipótsis dl torma d Roll n l intrvalo π I, π y halla l valor d c qu prdic dicho torma. Avrigua, dspués si cumpl sas hipótsis n l intrvalo π 8 I, π. Si la rspusta s ngativa, pud afirmars qu la drivada no s anula n ningún punto dl intrior d dicho intrvalo? Razona las rspustas. Ejrcicio 6 Dmustra qu la función f( ) ln( cos) Practica tú: 7 Dtrmina si las siguints funcions satisfacn n l intrvalo dado, las hipótsis dl Torma d Roll. En caso afirmativo calcula l valor intrmdio c qu vrifica la conclusión dl mismo. a) f( ) n l intrvalo [, ] b) f ( ) + n l intrvalo [, ] c) f() + n [, ] d) + si < f ( ) n l intrvalo [, ] Ln+ si Sol.:a) Si; c ; c ; b) No ; c) Sí; c ; d) No 75 La función f: [, ] R f( ) toma l mismo valor n los trmos dl intrvalo Encontrar su drivada y comprobar qu no s anula nunca. Contradic sto l torma d Roll? Sol.: No, porqu no s drivabl n (,) al no sr drivabl n 76 S pud aplicar l torma d Roll a la función f ( ) n l intrvalo [, ]? Razona la rspusta. Sol.: No, porqu no s continua (ni drivabl) n

18 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES + m+ n, si < 77 Sa la función f: [, ] R dfinida por f( ) p+, si (a) Dtrmina m, n y p sabindo qu f s continua n l intrvalo crrado [, ], drivabl n l intrvalo abirto (, ) y qu f() f(). Sol.:m, n 5, p (b) Sgún l torma d Roll, n qué punto dl intrvalo s anula la drivada d la función? Sol.: En c Torma dl valor mdio d Lagrang Sa f: [a, b] R una función continua n [a, b] y drivabl n (a, b). Entoncs ist un punto c (a, b) tal qu f( b) f( a) f'( c) b a Intrprtación gométrica Si una función stá n las hipótsis dl torma dl valor mdio, ist un punto (c, f(c)) d la curva, dond la rcta tangnt a la curva n dicho punto s paralla a la curda d trmos (a, f(a)) y (b, f(b)). Ejrcicio 7 S considra la función f ( ) y los puntos dl plano A(, ) y B(, ). Razóns qu ist algún punto d la gráfica d f n l qu la rcta tangnt s paralla a la rcta AB y hálls dicho punto Ejrcicio 8 S considra la función + n si < f ( ) + m si a) Dtrmina m y n para qu s cumplan las hipótsis dl torma dl valor mdio n l intrvalo [, ] b) Halla los puntos dl intrvalo cuya istncia garantiza l torma. Ejrcicio 9 Utilizando l torma dl valor mdio d Lagrang dmostrar qu: a) Para cualsquira númros rals a < b, s vrifica qu snb sna b a arctg arctg < + b) Para >, ( ) ( ) Ejrcicio San f() y g() dos funcions drivabls para todo valor d, qu vrifican qu f() g() y qu f'() > g'() para. S pud asgurar qu f() > g() para >? Razona la rspusta indicando n qu rsultados d basas. Practica tú: 78 Dtrmina si las siguints funcions satisfacn n l intrvalo dado, las hipótsis dl torma dl valor mdio d Lagrang. En caso afirmativo, calcula l valor intrmdio c qu vrifica la conclusión dl mismo. a) f() n [, ] b) f() ( ) ( + ) n [, ] 6, si < c) f(), n [, 6] d) f( ), si n [, ] ± Sol.:a) Sí, c b) Sí, c c) Sí, c± d) Sí, c, c a si < 79 Calcula a y b para qu f ( ) cumpla las hipótsis dl torma dl valor mdio + b si n l intrvalo [, 6]. Dónd cumpl la tsis? 9 Sol.:a, b 9 ; Valor intrmdio:c - Página 8 -

19 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS Calcula la función drivada: a) ( ) + d) y ln ( tg( ) ) y 5ln ( ) + y b) y ln(. ) c) y + + 5( + ) 6 ln(tg )(+ tg ) tg Sol.:a) y b) y c) y d) y ) y + ( + ) Sa f : R R la función dfinida por f(). 5 + (a) Esboza la gráfica d f. (b) Estudia la drivabilidad d f n. Sol.:Es drivabl; f () Sabindo qu **************************** cos( ) + bsn( ) lim s finito, calcula b y l valor dl límit. Sol.:b ; l límit val Sabindo qu asn( ) lim s finito, halla l valor d a y l d dicho límit. Sol.:a ; l límit val 5 S sab qu lim α sn( ) s finito. Dtrmina l valor d α y calcula l límit. Sol.: α ; l límit val 6 Escrib las cuacions d las asíntotas d Ia gráfica d las funcions: a) f( ) b) ln( ) f( ) c) - Página 9 - d) f( ) f( ) + ln( ) Sol.: a) A.V.:, A.H.: y (n ) b) A.V.:, A.H.: y (n ) c) A.H.: y c) A.H.: y (n ) 7 Sa la función f: [, ] R dfinida por f() 8ln(). (a) Halla los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d f. Sol.:dcrcint n (, ) y crcint n (, ) (b) Calcula los trmos absolutos y rlativos d la función f (abscisas dond s obtinn y valors qu s Sol.: Má.absol:, ; Mín. rlat. y absol:(, 8 ln) alcanzan). ( ) 8 Sa la función f: R R dfinida por f() ( + ). (a) Calcula lim f( ) y lim f( ) Sol.:, rspctivamnt (b) Halla los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu s alcanzan), dtrminando si Sol.:Má.:, ; Mín.:(,) son máimos o mínimos. ( ) + 9 Sa f: (,+ ) R la función dfinida por f( ) Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu alcanzan). Sol.:dcrcint n (, ) y crcint n (, ); Mín.:(, )

20 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Sa f: R R la función dfinida por f() ln ( + ). Dtrmina los intrvalos d crciminto y dcrciminto y los trmos rlativos d la función f (puntos dond s alcanzan y valor d la función). Sol.: dcrcint n (, ) y crcint n (, ); Mín.:(, ) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto d la función f : [, π] R dfinida por Sol.: crcint n, π, y dcrcint n, π π π π f() (sn + cos ). ( ) ( ) ( ) La gráfica d la función drivada, f, d una función f s una parábola qu corta al j OX n los puntos (, ) y (, ) y tin su vértic n (, ). Estudia, a partir d lla, la monotonía y trmos d la función f. Sol.:dcrcint n (,) y crcint n (, ) (, ); Mín.: ; Má.: ***************************** Sa f: [,+ ) R la función dfinida como f(). Dtrmina l punto P d la gráfica d f qu s ncuntra a mnor distancia dl punto A(,). Cuál s la distancia? ( ) Sol.: P, ; La distancia s Dtrmina los puntos d la parábola d cuación y 5 qu stán más próimos al orign d coordnadas. Calcula la distancia ntr los puntos obtnidos y l orign d las coordnadas. 9 Sol.: P,, P, ; La distancia s 5 Entr todos los triángulos rctángulos d 5 mtros d hipotnusa, dtrmina los cattos dl d ára máima. Cuál s sa ára máima? 5 5 Sol.:Cada uno d los cattos mid m y l ára máima s m 6 D todos los triángulos cuya bas y altura suman cm, qué bas tin l d ára máima? Sol.: cm 7 D ntr todos los rctángulos d prímtro 8 cm, dtrmina las dimnsions dl qu tin diagonal d mnor longitud. Sol.: Un cuadrado d lado cm 8 Un alambr d m d longitud s divid n dos trozos. Con uno d los trozos s construy un cuadrado y con l otro un rctángulo cuya bas s dobl qu su altura. Calcula las longituds d cada uno d los trozos con la condición d qu la suma d las áras d stas dos figuras sa mínima. 8 9 Sol.: m y m S quir construir un dpósito n forma d prisma d bas cuadrada sin tapadra qu tnga una capacidad d 5 m. Qué dimnsions ha d tnr l dpósito para qu su suprfici sa mínima? Sol.:bas:cuadrado d lado m ; altura:5 m Qurmos fabricar una caja con bas cuadrada, d tal manra qu la altura d la caja más l prímtro d la bas sumn 6 cm. Dtrmina sus dimnsions para qu contnga l mayor volumn posibl. Sol.:bas:cuadrado d lado cm ; altura: cm S quir construir un bot d consrvas cilíndrico, con tapa, d un litro d capacidad. Calcula las dimnsions dl bot para qu n su construcción s utilic la mnor cantidad posibl d hojalata. Sol.: radio: dm altura: π dm π S dsa construir un dpósito cilíndrico crrado d ára total igual a 5 m. Dtrmina l radio d la bas y la altura dl cilindro para qu ést tnga volumn máimo. π 6 π Sol.: radio: m altura: m π π ************************************* Considra la función f: R R dfinida por f() ( + )( )( ). Halla las cuacions d las rctas tangnt y normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: rtg: y, rn: y - Página -

21 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Sa f: (, + ) R la función dfinida por f() ln( +). (a) Dtrmina, si istn, los puntos d la gráfica d f n los qu la rcta tangnt a la gráfica s paralla a la rcta d cuación y +. Sol.: P(, ln8) (b) Halla la cuación d la rcta tangnt y d la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: rtg: y ( ) + ln8, rn: y ( ) + ln8 5 Sa f: (,+ ) R la función dfinida por f() ln() (a) Dtrmina los intrvalos d crciminto y d dcrciminto y los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.: dcrcint n, y crcint n, ; Mín.:, (b) Calcula la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: rtg: y + k, si 6 Sa la función continua f: R R dfinida por f ( ), si (a) Calcula l valor d k. Sol.: k (b) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d la función f n l punto d abscisa. Sol.: rtg: y a +, si 7 Sa f: R R la función dfinida por f( ) : b, si > (a) Halla a y b sabindo qu f s drivabl n R. Sol.: a b 7 (b) Dtrmina la rcta tangnt y la rcta normal a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: rtg: y, rn: y ***************************************** 8 Sa f: R R dfinida por f() + a + b + c. a) Halla a, b y c para qu la gráfica d f tnga un punto d inflión d abscisa / y qu la rcta tangnt n l punto d abscisa tnga d cuación y 5 6. Sol.: a b 6 c 5 b) Para a, b 9 y c 8, calcula los trmos rlativos d f (abscisas dond s obtinn y valors qu Sol.:Má., 7 ; Mín.:(, 5) alcanzan). ( ) 9 Sa f: R R la función dfinida por f() + a + b + c. Dtrmina a, b, c sabindo qu la gráfica d f tin tangnt horizontal n l punto d abscisa y un punto d inflión n (, 5). Sol.: a b 9 c 6 Sa f: R R la función dfinida por f() + a + b + c. S sab qu un punto d inflión d la gráfica d f tin abscisa y qu f tin un mínimo rlativo n d valor 9. Calcula a, b y c. Sol.: a b c 5 Sa f: R R la función dfinida por f() ( ). (a) Calcula los trmos rlativos d f (puntos dond s obtinn y valors qu s alcanzan). Sol.:Mín.:(, ) (b) Dtrmina la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n su punto d inflión. Sol.: y D la función f: R R dfinida por f () a + b + c + d s sab qu tin un máimo n, y qu su gráfica corta al j OX n l punto d abscisa y tin un punto d inflión n l punto d abscisa. Calcula a, b, c y d sabindo, admás, qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa tin pndint 9. Sol.: a b c d S sab qu la función f: R R dfinida por f() a + b + c + d s tal qu f() y qu su gráfica tin un punto d inflión n (, ). Conocindo admás qu la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa s horizontal, calcula a, b, c y d. Sol.: a b c d - Página - >

22 º BACHILLERATO (LOMCE) MATEMÁTICAS II TEMA 8.- DERIVACIÓN DE FUNCIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES Dtrmina l valor d las constants c y d sabindo qu la función f: R R, f() + + c + d tin como rcta tangnt n su punto d inflión a la rcta y +. Sol.: c 6 d 5 a+ b, si < 5 S sab qu la función f : [, 5] R dfinida por f( ) s drivabl n l +, si 5 intrvalo (, 5). (a) Calcula las constants a y b. Sol.: a 7 b (b) Halla la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d f n l punto d abscisa. Sol.: y **************************************** 6 Dtrmina los lmntos qu stims ncsarios y haz la gráfica d las siguints funcions: a) 9 f( ) b) f( ) + c) f( ) + d) + f( ) ) f() ( + ). - Página -