Facultad de Economía y Empresa. Microeconomía I. Prof. Carlos R. Pitta
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- Lucas Suárez Carrizo
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1 Facultad de Economía y Empresa Microeconomía I Prof. Carlos R. Pitta
2 Resumen: Requisitos Matemáticos
3 Optimización Las teorías económicas asumen que un agente se encuentra buscando el valor óptimo de alguna función Los consumidores buscan maximizar su utilidad Las firmas maximizar sus ganancias A continuación revisaremos las matemáticas empleadas en este tipo de problemas
4 Funciones de una Variable Ejemplo simple: El administrador de una firma quiere maximizar sus ganancias (π) * = f(q) f(q) Ganancias Máximas * ocurren en q* q* Cantidad
5 Funciones de una Variable Variando q veremos dónde ocurre el máximo beneficio Un incremento de q 1 a q ocasiona un incremento en * = f(q) q 0 1 q 1 q q* Cantidad
6 Funciones de una Variable Si el producto se incrementa más allá de q*, las ganancias caerán Un incremento de q* a q 3 origina una caída en * = f(q) q 0 3 q* q 3 Cantidad
7 Derivadas La derivada de = f(q) es el límite de /q para cambios pequeños de q d dq df dq f( q1 h) f( q1) lim h0 h Su valor dependerá del valor de q 1
8 Valor de una derivada en un punto El evaluar una derivada en el punto q = q 1 puede ser escrito como sigue: d dq q q 1 En nuestro ejemplo previo, d dq q q 1 0 d dq q q 3 0 d dq q q* 0
9 Condición de Primer Orden para un Máximo Para que una función de una variable alcance su máximo valor en un punto, la derivada en ese punto debe ser cero: df dq q q* 0
10 Condiciones de Segundo Orden La Condición de Primer Orden (d/dq) es una condición necesaria pero no suficiente para conseguir un máximo Si la función de ganancias tuviera forma de U, la CPO sugeriría elegir q*, con lo que sería minimizada * q* Cantidad
11 Condiciones de Segundo Orden Esto significa que, para que q* sea un óptimo, d dq 0 para q q* d y 0 para q q * dq En q*, d/dq debe ser decreciente La derivada de d/dq debe ser negativa en q*
12 Segundas Derivadas La derivada de una derivada se llama segunda derivada La segunda derivada puede ser escrita como: d dq d f or dq or f "( q)
13 Condición de Segundo Orden La Condición de Segundo Orden para representar un máximo local es: d dq qq* f "( q) qq* 0
14 Reglas para Derivar db 1. si b es una constante, entonces 0 dx d[ bf ( x)]. Si b es una constante, entonces bf '( x) dx 3.Si b es constante, entonces dx dx b bx b1 d ln x 1 4. dx x
15 Reglas para Derivar x da 5. a dx x ln a para toda constante a Un caso especial de esta regla es de x /dx = e x
16 Reglas para Derivar Suponga que f(x) y g(x) son dos funciones de x y f (x) y que g (x) existe Entonces: d[ f ( x) g( x)] 6. f '( x) g'( x) dx d[ f ( x) g( x)] 7. f ( x) g'( x) f '( x) g( x) dx
17 Reglas para Derivar 0 ) ( que siempre ) g( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( 8. x g x x g x f x g x f dx x g x f d
18 Reglas para Derivar si y = f(x) y x = g(z) y si tanto f (x) como g (x) existen, entonces: 9. dy dz dy dx dx dz df dx dg dz Es la llamada regla de la cadena Nos permite estudiar cómo una variable (z) afecta a otra variable (y) por medio de su influencia en alguna variable intermedia (x)
19 10. de dx Reglas para Derivar Algunos ejemplos de la Regla de la Cadena ax ax de d( ax) d( ax) dx ln( ax ) d ln( ax e ax a ae d ) d( ax ) a dx (d ax ) dx ax x d[ln( x )] d[ln( x )] d( x ) 1 1. x dx d( x ) dx x x ax
20 Ejemplo: Maximización de Ganancias Suponga que la relación entre ganancias y producto es = 1,000q - 5q La CPO para un máximo es d/dq = 1,000-10q = 0 q* = 100 Dado que la segunda derivada siempre es -10, q = 100 es un máximo global (CSO se satisface)
21 Funciones con varias variables La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de muchas variables Pues estamos sujetos a disyuntivas La dependencia de una variable (y) de una serie de otras variables (x 1,x,,x n ) se escribe como: y f( x1, x,..., xn)
22 Derivadas Parciales La derivada parcial de y con respecto a x 1 se escribe como: y x 1 f ó ó f x ó f 1 x 1 1 Al calcular las derivadas parciales, todas las otras x s se mantienen constantes
23 Derivadas Parciales Una definición más formal de la derivada parcial es: f x, 1 x..., x n ( f x1 h,x,...,x n ) ( f x1,x,...,x lim h 0 h n )
24 Calculando derivadas parciales y entonces, ), ( 1.Si cx bx f x f bx ax f x f cx x bx ax x x f y y entonces, ), (.Si bx ax bx ax bx ax be f x f ae f x f e x x f y
25 Calculando derivadas parciales y entonces, ln ln ), ( 3.Si x b f x f x a f x f x b x a x x f y
26 Derivadas Parciales Las derivadas parciales son las expresiones matemáticas del supuesto ceteris paribus Muestran como los cambios en una variable afectan el resultado cuando las demás influencias son permanecen constantes
27 Elasticidad Las Elasticidades miden el efecto proporcional que el cambio en una variable tiene sobre otra No tiene unidades La elasticidad de y con respecto a x es e y, x y y x x y x x y y x x y
28 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, y = a + bx + otros términos e y, x y x x y b x y b a x bx e y,x no es una constante Es importante recordar el punto en el cual la elasticidad será calculada
29 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, y = ax b e y, x y x x y abx b1 x ax b b
30 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, ln y = ln a + b ln x e y, x y x x y b ln y ln x Las elasticidades pueden ser calculadas a través de diferenciación logarítmica
31 Derivadas Parciales de do Orden Las derivadas parciales de una derivada son llamadas derivadas parciales de segundo orden ( f / x x j i ) x j f x i f ij
32 Teorema de Young Bajo condiciones generales, el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial no importa f f ij ji
33 Uso de derivadas de do orden Las derivadas parciales de segundo orden juegan un papel muy importante en muchas teorías económicas Uno de los más importantes es la derivada parcial propia de segundo orden, f ii Muestra cómo y/x i cambia a medida que x i crece Si f ii < 0, esto indica una eficacia marginal decreciente
34 Funciones de varias variables Suponga que un agente desea maximizar y = f (x 1,x,,x n ) El cambio en y a partir de un cambio en x 1 (manteniendo las otras x s constantes) es dy f x 1 dx 1 f dx 1 1 El cambio en y es igual al cambio en x 1 multiplicado por la pendiente (medida en la dirección de x 1 )
35 Diferenciales Totales Suponga que y = f(x 1,x,,x n ) Si todas las x s se mueven un pequeño monto, el efecto total sobre y será: dy f f dx1 dx... x x 1 f x n dx n dy f dx f dx f n dx n
36 Condiciones de Primer Orden (CPO) para un máximo Una condición necesaria para un máximo de la función f(x 1,x,,x n ) es que dy = 0 para cualquier combinación de pequeños cambios en las x s Esto solo puede ocurrir si: f1 f... fn 0 Un lugar en donde esta condición se cumpla Es llamado un punto crítico
37 Condiciones de Segundo Orden (CSO) Dicha condición no es suficiente para asegurar un máximo Necesitamos examinar las derivadas parciales de segundo orden de la función f
38 Encontrando un máximo Suponga que y es una función de x 1 y x y = - (x 1-1) - (x - ) + 10 y = - x 1 + x 1 - x + 4x + 5 La condición de primer orden indica que: x x y x x y Es decir 1 1 * * x x
39 Funciones Implícitas Una función explícita que es mostrada con una variable dependiente (y) como una función de una o más variables independientes (x) tal que y = mx + b puede ser escrita como una función implícita y mx b = 0 f(x,y,m,b) = 0
40 Derivadas de Funciones Implícitas Algunas veces será útil calcular derivadas directamente a partir de funciones implícitas sin resolver las variables directamente El diferencial total de f(x,y) = 0 es Esto significa que: 0 = f x dx + f y dy dy dx f f x y
41 Frontera de Posibilidades de Producción Ejemplo anterior: x + 0.5y = 00 Puede reescribirse: f(x,y) = x + 0.5y - 00 = 0 Dado que f x = x y f y = 0.5y, el costo de oportunidad entre x e y es: dy dx f x x 4x f 0 5. y y y
42 Teorema de la Función Implícita Es posible que no siempre sea posible resolver funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones explícitas únicas de la forma y = f(x) Las condiciones necesarias imponen restricciones sobre las varias derivativas parciales de las funciones En muchas aplicaciones económicas, estas condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o un mínimo)
43 Teorema de la Envolvente El Teorema de la Envolvente se refiere a cómo cambios en el valor óptimo de la función cambian cuando variamos un parámetro de la función Esto es más fácil de ver usando un ejemplo
44 Teorema de la Envolvente Suponga que y es una función de x y = -x + ax Para diferentes valores de a, esta función representa una familia de parábolas invertidas Si se le asigna a a un valor específico, entonces y se transforma en una función de x solamente, y el valor de x que maximiza y puede ser calculado
45 Teorema de la Envolvente Valores óptimos de x e y para distintos valores de a Valor de a Valor de x* Valor de y* / 1/ / 9/ / 5/
46 Teorema de la Envolvente y* A medida que a se incrementa, el valor Máximo de y crece La relación entre a e y es cuadrática a
47 Teorema de la Envolvente Suponga que estamos interesados en cuánto cambia y* a medida que a cambia Podemos averiguarlo de dos formas: Calculando la pendiente de y directamente Manteniendo constante a x en su valor óptimo y calculando y/a directamente
48 Teorema de la Envolvente Para calcular la pendiente de la función, debemos solucionar el valor óptimo de x para cualquier valor de a dy/dx = -x + a = 0 x* = a/ Sustituyendo, tenemos y* = -(x*) + a(x*) = -(a/) + a(a/) y* = -a /4 + a / = a /4
49 Teorema de la Envolvente Por lo tanto, dy*/da = a/4 = a/ Ahorramos tiempo usando el Teorema de la Envolvente! Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser calculado manteniendo x en x* y calculando y/a directamente a partir de y
50 Teorema de la Envolvente Manteniendo x = x* y/ a = x y/ a = x* = a/ Es el mismo resultado que encontramos anteriormente!
51 Teorema de la Envolvente El cambio en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de esa función puede ser encontrado derivando parcialmente la función objetivo y manteniendo constante x (o varias x s) en su valor óptimo dy * da y a { x x * ( a)}
52 Teorema de la Envolvente Este resultado puede ser extendido al caso en donde y es una función de varias variables y = f(x 1, x n,a) Encontrar un valor óptimo para y requiere resolver n ecuaciones de primer orden y/x i = 0 (i = 1,,n)
53 Teorema de la Envolvente Los valores óptimos para estas x s serán entonces una función de a x 1 * = x 1 *(a) x * = x *(a)... x n *= x n *(a)
54 Teorema de la Envolvente Sustituyendo en la función objetivo original nos da el valor óptimo de y (y*) y* = f [x 1 *(a), x *(a),,x n *(a),a] Al diferenciar tenemos: dy da * f dx1 f dx... x da x da 1 f x n dx da n f a
55 Teorema de la Envolvente Debido a que las condiciones de primer orden, todos los términos excepto f/a son iguales a 0 si las x s se encuentran en sus valores óptimos Por lo tanto, dy * da f a
56 Maximización con restricciones Qué pasaría si no todos los valores de x s están disponibles? Los valores de x puede necesitar ser > 0 Las decisiones de un consumidor se encuentran limitadas por su capacidad de compra Un método usado para resolver problemas de Maximización con Restricciones es el Multiplicador Lagrangeano
57 Método de los Multiplicadores de Lagrange Suponga que deseamos encontrar los valores de x 1, x,, x n que maximizan y = f(x 1, x,, x n ) sujetos a la restricción g(x 1, x,, x n ) = 0
58 Método de los Multiplicadores de Lagrange El método del Multiplicador Lagrangeano comienza escribiendo la expresión: L = f(x 1, x,, x n ) + g(x 1, x,, x n ) es llamado un Multiplicador Lagrangeano Cuando la restricción es operativa, L = f g(x 1, x,, x n ) = 0
59 Método de los Multiplicadores de Lagrange Condiciones de Primer Orden L /x 1 = f 1 + g 1 = 0 L /x = f + g = 0.. L /x n = f n + g n = 0 L / = g(x 1, x,, x n ) = 0
60 Método de los Multiplicadores de Lagrange Las Condiciones de Primer Orden, por lo general, pueden ser resueltas para x 1, x,, x n y La solución tendrá dos propiedades: los x s obedecerán a la restricción estos x s incrementarán los valores de L (y por lo tanto de f) tanto como sea posible
61 Método de los Multiplicadores de Lagrange El Multiplicador Lagrangeano () tiene una importante interpretación económica Las Condiciones de Primer Orden implican que: f 1 /-g 1 = f /-g = = f n /-g n = Los numeradores f i miden el beneficio marginal de una unidad más de x i Los denominadores g i reflejan el peso adicional de la restricción al usar más x i
62 Método de los Multiplicadores de Lagrange En los valores óptimos de x i s, el cociente del beneficio marginal al costo marginal de x i debería ser el mismo para todo x i es el cociente costo-beneficio para todo x i beneficio marginal de costo marginal de x i x i
63 Método de los Multiplicadores de Lagrange Si la restricción es relajada ligeramente, no importará qué x i cambia provee una medida de cómo la relajación de la restricción afectará a y Provee un precio sombra a la restricción
64 Método de los Multiplicadores de Lagrange Un valor de alto indica que cada x i tiene un alto cociente costo-beneficio Un valor de bajo indica que cada x i tiene un bajo cociente costo-beneficio = 0 implica que la restricción no es operativa
65 Dualidad Cualquier problema de Maximización con Restricciones tiene un problema dual en minimización restringida Lo que focaliza la atención sobre las restricciones del problema original
66 Dualidad Los individuos maximizan su utilidad sujeto a una restricción presupuestaria Problema Dual: los individuos minimizan sus gastos para lograr un determinado nivel de utilidad
67 Dualidad Las firmas minimizan los costos de los insumos para producir un nivel determinado de producto Problema Dual: Las firmas maximizan el producto para un nivel dado de costo de los insumos comprados
68 Maximización con Restricciones Suponga que un granjero tiene cierto largo de una tela metálica para cercar (P) y desea cercar la mayor área rectangular posible sean x e y los largos de los lados Problema: escoja x e y para maximizar el área (A = x y) sujeto a la restricción de que el perímetro está fijo en P = x + y
69 Maximización con Restricciones Escribiendo el Multiplicador Lagrangeano: L = x y + (P - x - y) Las Condiciones de Primer Orden para un máximo son L /x = y - = 0 L /y = x - = 0 L / = P - x - y = 0
70 Maximización con Restricciones Dado que y/ = x/ =, x debe ser igual a y el campo cercado debe ser cuadrado Dado que x = y e y =, podemos usar la restricción para deducir qué: x = y = P/4 = P/8
71 Maximización con Restricciones Interpretación del Multiplicador Lagrangeano que un metro adicional de cerca agregaría P/8 al área total El Multiplicador Lagrangeano provee información acerca del valor implícito de la restricción
72 Maximización con Restricciones Problema Dual: escoja x e y para minimizar el monto de cerca requerida para cercar el área minimizar P = x + y sujeto a A = x y Escribiendo el Lagrangeano: L D = x + y + D (A - xy)
73 Maximización con Restricciones Condiciones de Primer Orden: L D /x = - D y = 0 L D /y = - D x = 0 L D / D = A - x y = 0 Resolviendo, tenemos x = y = A 1/ El Multiplicador Lagrangeano ( D ) = A -1/
74 Teorema de la Envolvente & Maximización con Restricciones Suponga que queremos maximizar y = f(x 1,,x n ;a) sujeto a la restricción g(x 1,,x n ;a) = 0 Una manera de resolver es escribir la expresión Lagrangeano y resolver las Condiciones de Primer Orden
75 Teorema de la Envolvente & Maximización con Restricciones Por otra parte, podemos mostrar que dy*/da = L /a(x 1 *,,x n *;a) El cambio en el valor máximo de y a partir de un cambio en a puede ser encontrado derivando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo
76 Restricciones de Desigualdad En algunos problemas económicos las restricciones no se satisfacen exactamente Suponga que queremos maximizar y = f(x 1,x ) sujeto a g(x 1,x ) 0, x 1 0, y x 0
77 Restricciones de Desigualdad Una manera de resolver este problema es introducir tres nuevas variables (a, b, y c) para convertir las desigualdades en igualdades Para asegurarnos que las desigualdades serán satisfechas, elevaremos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son > 0
78 Restricciones de Desigualdad g(x 1,x ) - a = 0; x 1 - b = 0; y x - c = 0 Cualquier solución que cumpla estas 3 restricciones de igualdad también cumplirá con las Restricciones de Desigualdad
79 Restricciones de Desigualdad Ahora podemos escribir el Lagrangeano L = f(x 1,x ) + 1 [g(x 1,x ) - a ] + [x 1 - b ] + 3 [x - c ] Y habrá 8 Condiciones de Primer Orden
80 Restricciones de Desigualdad L /x 1 = f g 1 + = 0 L /x = f g + 3 = 0 L /a = -a 1 = 0 L /b = -b = 0 L /c = -c 3 = 0 L / 1 = g(x 1,x ) - a = 0 L / = x 1 - b = 0 L / 3 = x - c = 0
81 Restricciones de Desigualdad De acuerdo con la tercera condición, ya sea a ó 1 deben ser 0 si a = 0, la restricción se cumple g(x 1,x ) exactamente si 1 = 0, la disponibilidad de cierta holgura en la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0 Relaciones similares de holgura complementaria también aplicarán para x 1 y x
82 Restricciones de Desigualdad Éstos resultados son llamados las condiciones de Kuhn-Tucker muestran que las soluciones a problemas que involucran Restricciones de Desigualdad diferirán de aquellas que involucran restricciones de igualdad en varios aspectos importantes Nos permite trabajar primordialmente con restricciones que involucran desigualdades
83 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable Sea y = f(x) Una condición necesaria para un máximo es que dy/dx = f (x) = 0 para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para cualquier movimiento que se aleje de el
84 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable El diferencial total mide el cambio en y dy = f (x) dx para estar en un máximo, dy debe decrecer para todo pequeño incremento de x para ver los cambios en dy, debemos usar la segunda derivada de y
85 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable d y d[ f '( x) dx] dx dx f "( x) dx dx f "( x) dx dado que d y < 0, f (x)dx < 0 dado que dx debe ser > 0, f (x) < 0 Esto significa que la función f debe tener una figura cóncava en el punto crítico
86 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables Suponga que y = f(x 1, x ) Las CPO para un máximo son: y/x 1 = f 1 = 0 y/x = f = 0 para asegurar que un punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección que se aleje del punto crítico
87 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables f 1 y f deben ser decrecientes en el punto crítico También debemos aplicar condiciones en las derivadas parciales cruzadas (f 1 = f 1 )
88 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables El diferencial total de y está dado por: dy = f 1 dx 1 + f dx El diferencial total de dicha función es: d y = (f 11 dx 1 + f 1 dx )dx 1 + (f 1 dx 1 + f dx )dx d y = f 11 dx 1 + f 1 dx dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Por el teorema de Young, f 1 = f 1 y d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx
89 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Para que esta ecuación sea < 0 para cualquier dx 1 y dx, f 11 y f deben ser negativos Si ocurre que ni dx 1 ni dx son 0, entonces d y será < 0 solo si f 11 f - f 1 > 0
90 Maximización con Restricciones Suponga que queremos escoger x 1 y x para maximizar y = f(x 1, x ) sujeto a una restricción lineal c - b 1 x 1 - b x = 0 Podemos escribir el Lagrangeano: L = f(x 1, x ) + (c - b 1 x 1 - b x )
91 Maximización con Restricciones Las Condiciones de Primer Orden son f 1 - b 1 = 0 f - b = 0 c - b 1 x 1 - b x = 0 Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la segunda diferencial total d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx
92 Maximización con Restricciones Solo valores de x 1 e x que satisfacen las restricciones pueden ser considerados como alternativas válidas al punto crítico Debemos calcular el diferencial total de la restricción -b 1 dx 1 - b dx = 0 dx = -(b 1 /b )dx 1 estos son cambios relativos permitidos en x 1 e x
93 Maximización con Restricciones Dado que las CPO implican que f 1 /f = b 1 /b, tenemos Dado que dx = -(f 1 /f ) dx 1 d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx podemos sustituir por dx y tener d y = f 11 dx 1 - f 1 (f 1 /f )dx 1 + f (f 1 /f )dx 1
94 Maximización con Restricciones Combinando dichos términos y arreglando, tenemos d y = f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 [dx 1 / f ] Por lo tanto, para d y < 0, debe ser cierto que: f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 < 0
95 Maximización con Restricciones f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 < 0 Esta ecuación caracteriza a un conjunto de funciones llamadas cuasi-cóncavas dos puntos cualesquiera dentro del conjunto pueden ser unidos por una línea contenida completamente en el set
96 Funciones Cóncavas y Cuasi- Cóncavas Las diferencias entre funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ser ilustradas mediante la función y = f(x 1,x ) = (x 1 x ) k Donde x 1 > 0, x > 0, y k > 0
97 Funciones Cóncavas y Cuasi- Cóncavas Sin importar el valor que k tome, esta función es cuasi-cóncava PERO, dependiendo del valor de k, la función será cóncava o no si k < 0.5, la función es cóncava si k > 0.5, la función es convexa
98 Funciones Homogéneas Se dice que una función f(x 1,x, x n ) es homogénea de grado k si f(tx 1,tx, tx n ) = t k f(x 1,x, x n ) cuando k = 1, aumentar al doble todos sus argumentos doblará el valor de la función misma cuando k = 0, doblar todos sus argumentos dejará el valor de la función sin cambios
99 Funciones Homogéneas Si una función es homogénea de grado k, las derivadas parciales de la función serán homogéneas de grado k-1
100 Teorema de Euler Si derivamos la definición de homogeneidad con respecto al factor de proporción t, obtenemos kt k-1 f(x 1,,x n ) = x 1 f 1 (tx 1,,tx n ) + + x n f n (x 1,,x n ) Esta relación es llamada el Teorema de Euler
101 Teorema de Euler Para una función homogénea, existe una relación definida entre el valor de la función y el valor de sus derivadas parciales
102 Funciones Homotéticas Una función homotética es aquella formada al tomar una transformación monótona creciente de una función homogénea en general no poseen las características de homogeneidad de las funciones generadoras
103 Funciones Homotéticas Tanto para Funciones Homogéneas como para Funciones Homotéticas, la disyuntiva implícita entre las variables en la función depende solamente de las razones de dichas variables, y no de sus valores absolutos
104 Funciones Homotéticas Suponga que examinamos la función de dos variables f(x,y) = 0 El intercambio implícito entre x e y para una función de dos variables es: dy/dx = -f x /f y Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k-1
105 Funciones Homotéticas El intercambio implícito entre x e y es: dy dx Si t = 1/y, t t f f k 1 x k 1 y ( tx, ty ) ( tx, ty ) f f x y ( tx, ty ) ( tx, ty ) dy dx f x f y x, 1 y x, 1 y
106 Funciones Homotéticas El intercambio no se ve afectado por una transformación monotónica y permanece como función solamente de la razón de x a y
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