Facultad de Economía y Empresa. Microeconomía I. Prof. Carlos R. Pitta

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Facultad de Economía y Empresa. Microeconomía I. Prof. Carlos R. Pitta"

Transcripción

1 Facultad de Economía y Empresa Microeconomía I Prof. Carlos R. Pitta

2 Resumen: Requisitos Matemáticos

3 Optimización Las teorías económicas asumen que un agente se encuentra buscando el valor óptimo de alguna función Los consumidores buscan maximizar su utilidad Las firmas maximizar sus ganancias A continuación revisaremos las matemáticas empleadas en este tipo de problemas

4 Funciones de una Variable Ejemplo simple: El administrador de una firma quiere maximizar sus ganancias (π) * = f(q) f(q) Ganancias Máximas * ocurren en q* q* Cantidad

5 Funciones de una Variable Variando q veremos dónde ocurre el máximo beneficio Un incremento de q 1 a q ocasiona un incremento en * = f(q) q 0 1 q 1 q q* Cantidad

6 Funciones de una Variable Si el producto se incrementa más allá de q*, las ganancias caerán Un incremento de q* a q 3 origina una caída en * = f(q) q 0 3 q* q 3 Cantidad

7 Derivadas La derivada de = f(q) es el límite de /q para cambios pequeños de q d dq df dq f( q1 h) f( q1) lim h0 h Su valor dependerá del valor de q 1

8 Valor de una derivada en un punto El evaluar una derivada en el punto q = q 1 puede ser escrito como sigue: d dq q q 1 En nuestro ejemplo previo, d dq q q 1 0 d dq q q 3 0 d dq q q* 0

9 Condición de Primer Orden para un Máximo Para que una función de una variable alcance su máximo valor en un punto, la derivada en ese punto debe ser cero: df dq q q* 0

10 Condiciones de Segundo Orden La Condición de Primer Orden (d/dq) es una condición necesaria pero no suficiente para conseguir un máximo Si la función de ganancias tuviera forma de U, la CPO sugeriría elegir q*, con lo que sería minimizada * q* Cantidad

11 Condiciones de Segundo Orden Esto significa que, para que q* sea un óptimo, d dq 0 para q q* d y 0 para q q * dq En q*, d/dq debe ser decreciente La derivada de d/dq debe ser negativa en q*

12 Segundas Derivadas La derivada de una derivada se llama segunda derivada La segunda derivada puede ser escrita como: d dq d f or dq or f "( q)

13 Condición de Segundo Orden La Condición de Segundo Orden para representar un máximo local es: d dq qq* f "( q) qq* 0

14 Reglas para Derivar db 1. si b es una constante, entonces 0 dx d[ bf ( x)]. Si b es una constante, entonces bf '( x) dx 3.Si b es constante, entonces dx dx b bx b1 d ln x 1 4. dx x

15 Reglas para Derivar x da 5. a dx x ln a para toda constante a Un caso especial de esta regla es de x /dx = e x

16 Reglas para Derivar Suponga que f(x) y g(x) son dos funciones de x y f (x) y que g (x) existe Entonces: d[ f ( x) g( x)] 6. f '( x) g'( x) dx d[ f ( x) g( x)] 7. f ( x) g'( x) f '( x) g( x) dx

17 Reglas para Derivar 0 ) ( que siempre ) g( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( 8. x g x x g x f x g x f dx x g x f d

18 Reglas para Derivar si y = f(x) y x = g(z) y si tanto f (x) como g (x) existen, entonces: 9. dy dz dy dx dx dz df dx dg dz Es la llamada regla de la cadena Nos permite estudiar cómo una variable (z) afecta a otra variable (y) por medio de su influencia en alguna variable intermedia (x)

19 10. de dx Reglas para Derivar Algunos ejemplos de la Regla de la Cadena ax ax de d( ax) d( ax) dx ln( ax ) d ln( ax e ax a ae d ) d( ax ) a dx (d ax ) dx ax x d[ln( x )] d[ln( x )] d( x ) 1 1. x dx d( x ) dx x x ax

20 Ejemplo: Maximización de Ganancias Suponga que la relación entre ganancias y producto es = 1,000q - 5q La CPO para un máximo es d/dq = 1,000-10q = 0 q* = 100 Dado que la segunda derivada siempre es -10, q = 100 es un máximo global (CSO se satisface)

21 Funciones con varias variables La mayoría de los objetivos de los agentes económicos dependen de muchas variables Pues estamos sujetos a disyuntivas La dependencia de una variable (y) de una serie de otras variables (x 1,x,,x n ) se escribe como: y f( x1, x,..., xn)

22 Derivadas Parciales La derivada parcial de y con respecto a x 1 se escribe como: y x 1 f ó ó f x ó f 1 x 1 1 Al calcular las derivadas parciales, todas las otras x s se mantienen constantes

23 Derivadas Parciales Una definición más formal de la derivada parcial es: f x, 1 x..., x n ( f x1 h,x,...,x n ) ( f x1,x,...,x lim h 0 h n )

24 Calculando derivadas parciales y entonces, ), ( 1.Si cx bx f x f bx ax f x f cx x bx ax x x f y y entonces, ), (.Si bx ax bx ax bx ax be f x f ae f x f e x x f y

25 Calculando derivadas parciales y entonces, ln ln ), ( 3.Si x b f x f x a f x f x b x a x x f y

26 Derivadas Parciales Las derivadas parciales son las expresiones matemáticas del supuesto ceteris paribus Muestran como los cambios en una variable afectan el resultado cuando las demás influencias son permanecen constantes

27 Elasticidad Las Elasticidades miden el efecto proporcional que el cambio en una variable tiene sobre otra No tiene unidades La elasticidad de y con respecto a x es e y, x y y x x y x x y y x x y

28 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, y = a + bx + otros términos e y, x y x x y b x y b a x bx e y,x no es una constante Es importante recordar el punto en el cual la elasticidad será calculada

29 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, y = ax b e y, x y x x y abx b1 x ax b b

30 Elasticidad y Forma Funcional Suponga que En este caso, ln y = ln a + b ln x e y, x y x x y b ln y ln x Las elasticidades pueden ser calculadas a través de diferenciación logarítmica

31 Derivadas Parciales de do Orden Las derivadas parciales de una derivada son llamadas derivadas parciales de segundo orden ( f / x x j i ) x j f x i f ij

32 Teorema de Young Bajo condiciones generales, el orden en el cual se realiza la diferenciación parcial no importa f f ij ji

33 Uso de derivadas de do orden Las derivadas parciales de segundo orden juegan un papel muy importante en muchas teorías económicas Uno de los más importantes es la derivada parcial propia de segundo orden, f ii Muestra cómo y/x i cambia a medida que x i crece Si f ii < 0, esto indica una eficacia marginal decreciente

34 Funciones de varias variables Suponga que un agente desea maximizar y = f (x 1,x,,x n ) El cambio en y a partir de un cambio en x 1 (manteniendo las otras x s constantes) es dy f x 1 dx 1 f dx 1 1 El cambio en y es igual al cambio en x 1 multiplicado por la pendiente (medida en la dirección de x 1 )

35 Diferenciales Totales Suponga que y = f(x 1,x,,x n ) Si todas las x s se mueven un pequeño monto, el efecto total sobre y será: dy f f dx1 dx... x x 1 f x n dx n dy f dx f dx f n dx n

36 Condiciones de Primer Orden (CPO) para un máximo Una condición necesaria para un máximo de la función f(x 1,x,,x n ) es que dy = 0 para cualquier combinación de pequeños cambios en las x s Esto solo puede ocurrir si: f1 f... fn 0 Un lugar en donde esta condición se cumpla Es llamado un punto crítico

37 Condiciones de Segundo Orden (CSO) Dicha condición no es suficiente para asegurar un máximo Necesitamos examinar las derivadas parciales de segundo orden de la función f

38 Encontrando un máximo Suponga que y es una función de x 1 y x y = - (x 1-1) - (x - ) + 10 y = - x 1 + x 1 - x + 4x + 5 La condición de primer orden indica que: x x y x x y Es decir 1 1 * * x x

39 Funciones Implícitas Una función explícita que es mostrada con una variable dependiente (y) como una función de una o más variables independientes (x) tal que y = mx + b puede ser escrita como una función implícita y mx b = 0 f(x,y,m,b) = 0

40 Derivadas de Funciones Implícitas Algunas veces será útil calcular derivadas directamente a partir de funciones implícitas sin resolver las variables directamente El diferencial total de f(x,y) = 0 es Esto significa que: 0 = f x dx + f y dy dy dx f f x y

41 Frontera de Posibilidades de Producción Ejemplo anterior: x + 0.5y = 00 Puede reescribirse: f(x,y) = x + 0.5y - 00 = 0 Dado que f x = x y f y = 0.5y, el costo de oportunidad entre x e y es: dy dx f x x 4x f 0 5. y y y

42 Teorema de la Función Implícita Es posible que no siempre sea posible resolver funciones implícitas de la forma g(x,y)=0 para funciones explícitas únicas de la forma y = f(x) Las condiciones necesarias imponen restricciones sobre las varias derivativas parciales de las funciones En muchas aplicaciones económicas, estas condiciones son las mismas que las condiciones de segundo orden para un máximo (o un mínimo)

43 Teorema de la Envolvente El Teorema de la Envolvente se refiere a cómo cambios en el valor óptimo de la función cambian cuando variamos un parámetro de la función Esto es más fácil de ver usando un ejemplo

44 Teorema de la Envolvente Suponga que y es una función de x y = -x + ax Para diferentes valores de a, esta función representa una familia de parábolas invertidas Si se le asigna a a un valor específico, entonces y se transforma en una función de x solamente, y el valor de x que maximiza y puede ser calculado

45 Teorema de la Envolvente Valores óptimos de x e y para distintos valores de a Valor de a Valor de x* Valor de y* / 1/ / 9/ / 5/

46 Teorema de la Envolvente y* A medida que a se incrementa, el valor Máximo de y crece La relación entre a e y es cuadrática a

47 Teorema de la Envolvente Suponga que estamos interesados en cuánto cambia y* a medida que a cambia Podemos averiguarlo de dos formas: Calculando la pendiente de y directamente Manteniendo constante a x en su valor óptimo y calculando y/a directamente

48 Teorema de la Envolvente Para calcular la pendiente de la función, debemos solucionar el valor óptimo de x para cualquier valor de a dy/dx = -x + a = 0 x* = a/ Sustituyendo, tenemos y* = -(x*) + a(x*) = -(a/) + a(a/) y* = -a /4 + a / = a /4

49 Teorema de la Envolvente Por lo tanto, dy*/da = a/4 = a/ Ahorramos tiempo usando el Teorema de la Envolvente! Para cambios pequeños en a, dy*/da puede ser calculado manteniendo x en x* y calculando y/a directamente a partir de y

50 Teorema de la Envolvente Manteniendo x = x* y/ a = x y/ a = x* = a/ Es el mismo resultado que encontramos anteriormente!

51 Teorema de la Envolvente El cambio en el valor óptimo de una función con respecto a un parámetro de esa función puede ser encontrado derivando parcialmente la función objetivo y manteniendo constante x (o varias x s) en su valor óptimo dy * da y a { x x * ( a)}

52 Teorema de la Envolvente Este resultado puede ser extendido al caso en donde y es una función de varias variables y = f(x 1, x n,a) Encontrar un valor óptimo para y requiere resolver n ecuaciones de primer orden y/x i = 0 (i = 1,,n)

53 Teorema de la Envolvente Los valores óptimos para estas x s serán entonces una función de a x 1 * = x 1 *(a) x * = x *(a)... x n *= x n *(a)

54 Teorema de la Envolvente Sustituyendo en la función objetivo original nos da el valor óptimo de y (y*) y* = f [x 1 *(a), x *(a),,x n *(a),a] Al diferenciar tenemos: dy da * f dx1 f dx... x da x da 1 f x n dx da n f a

55 Teorema de la Envolvente Debido a que las condiciones de primer orden, todos los términos excepto f/a son iguales a 0 si las x s se encuentran en sus valores óptimos Por lo tanto, dy * da f a

56 Maximización con restricciones Qué pasaría si no todos los valores de x s están disponibles? Los valores de x puede necesitar ser > 0 Las decisiones de un consumidor se encuentran limitadas por su capacidad de compra Un método usado para resolver problemas de Maximización con Restricciones es el Multiplicador Lagrangeano

57 Método de los Multiplicadores de Lagrange Suponga que deseamos encontrar los valores de x 1, x,, x n que maximizan y = f(x 1, x,, x n ) sujetos a la restricción g(x 1, x,, x n ) = 0

58 Método de los Multiplicadores de Lagrange El método del Multiplicador Lagrangeano comienza escribiendo la expresión: L = f(x 1, x,, x n ) + g(x 1, x,, x n ) es llamado un Multiplicador Lagrangeano Cuando la restricción es operativa, L = f g(x 1, x,, x n ) = 0

59 Método de los Multiplicadores de Lagrange Condiciones de Primer Orden L /x 1 = f 1 + g 1 = 0 L /x = f + g = 0.. L /x n = f n + g n = 0 L / = g(x 1, x,, x n ) = 0

60 Método de los Multiplicadores de Lagrange Las Condiciones de Primer Orden, por lo general, pueden ser resueltas para x 1, x,, x n y La solución tendrá dos propiedades: los x s obedecerán a la restricción estos x s incrementarán los valores de L (y por lo tanto de f) tanto como sea posible

61 Método de los Multiplicadores de Lagrange El Multiplicador Lagrangeano () tiene una importante interpretación económica Las Condiciones de Primer Orden implican que: f 1 /-g 1 = f /-g = = f n /-g n = Los numeradores f i miden el beneficio marginal de una unidad más de x i Los denominadores g i reflejan el peso adicional de la restricción al usar más x i

62 Método de los Multiplicadores de Lagrange En los valores óptimos de x i s, el cociente del beneficio marginal al costo marginal de x i debería ser el mismo para todo x i es el cociente costo-beneficio para todo x i beneficio marginal de costo marginal de x i x i

63 Método de los Multiplicadores de Lagrange Si la restricción es relajada ligeramente, no importará qué x i cambia provee una medida de cómo la relajación de la restricción afectará a y Provee un precio sombra a la restricción

64 Método de los Multiplicadores de Lagrange Un valor de alto indica que cada x i tiene un alto cociente costo-beneficio Un valor de bajo indica que cada x i tiene un bajo cociente costo-beneficio = 0 implica que la restricción no es operativa

65 Dualidad Cualquier problema de Maximización con Restricciones tiene un problema dual en minimización restringida Lo que focaliza la atención sobre las restricciones del problema original

66 Dualidad Los individuos maximizan su utilidad sujeto a una restricción presupuestaria Problema Dual: los individuos minimizan sus gastos para lograr un determinado nivel de utilidad

67 Dualidad Las firmas minimizan los costos de los insumos para producir un nivel determinado de producto Problema Dual: Las firmas maximizan el producto para un nivel dado de costo de los insumos comprados

68 Maximización con Restricciones Suponga que un granjero tiene cierto largo de una tela metálica para cercar (P) y desea cercar la mayor área rectangular posible sean x e y los largos de los lados Problema: escoja x e y para maximizar el área (A = x y) sujeto a la restricción de que el perímetro está fijo en P = x + y

69 Maximización con Restricciones Escribiendo el Multiplicador Lagrangeano: L = x y + (P - x - y) Las Condiciones de Primer Orden para un máximo son L /x = y - = 0 L /y = x - = 0 L / = P - x - y = 0

70 Maximización con Restricciones Dado que y/ = x/ =, x debe ser igual a y el campo cercado debe ser cuadrado Dado que x = y e y =, podemos usar la restricción para deducir qué: x = y = P/4 = P/8

71 Maximización con Restricciones Interpretación del Multiplicador Lagrangeano que un metro adicional de cerca agregaría P/8 al área total El Multiplicador Lagrangeano provee información acerca del valor implícito de la restricción

72 Maximización con Restricciones Problema Dual: escoja x e y para minimizar el monto de cerca requerida para cercar el área minimizar P = x + y sujeto a A = x y Escribiendo el Lagrangeano: L D = x + y + D (A - xy)

73 Maximización con Restricciones Condiciones de Primer Orden: L D /x = - D y = 0 L D /y = - D x = 0 L D / D = A - x y = 0 Resolviendo, tenemos x = y = A 1/ El Multiplicador Lagrangeano ( D ) = A -1/

74 Teorema de la Envolvente & Maximización con Restricciones Suponga que queremos maximizar y = f(x 1,,x n ;a) sujeto a la restricción g(x 1,,x n ;a) = 0 Una manera de resolver es escribir la expresión Lagrangeano y resolver las Condiciones de Primer Orden

75 Teorema de la Envolvente & Maximización con Restricciones Por otra parte, podemos mostrar que dy*/da = L /a(x 1 *,,x n *;a) El cambio en el valor máximo de y a partir de un cambio en a puede ser encontrado derivando parcialmente L y evaluando la derivada parcial en el punto óptimo

76 Restricciones de Desigualdad En algunos problemas económicos las restricciones no se satisfacen exactamente Suponga que queremos maximizar y = f(x 1,x ) sujeto a g(x 1,x ) 0, x 1 0, y x 0

77 Restricciones de Desigualdad Una manera de resolver este problema es introducir tres nuevas variables (a, b, y c) para convertir las desigualdades en igualdades Para asegurarnos que las desigualdades serán satisfechas, elevaremos al cuadrado estas nuevas variables para asegurar que sus valores son > 0

78 Restricciones de Desigualdad g(x 1,x ) - a = 0; x 1 - b = 0; y x - c = 0 Cualquier solución que cumpla estas 3 restricciones de igualdad también cumplirá con las Restricciones de Desigualdad

79 Restricciones de Desigualdad Ahora podemos escribir el Lagrangeano L = f(x 1,x ) + 1 [g(x 1,x ) - a ] + [x 1 - b ] + 3 [x - c ] Y habrá 8 Condiciones de Primer Orden

80 Restricciones de Desigualdad L /x 1 = f g 1 + = 0 L /x = f g + 3 = 0 L /a = -a 1 = 0 L /b = -b = 0 L /c = -c 3 = 0 L / 1 = g(x 1,x ) - a = 0 L / = x 1 - b = 0 L / 3 = x - c = 0

81 Restricciones de Desigualdad De acuerdo con la tercera condición, ya sea a ó 1 deben ser 0 si a = 0, la restricción se cumple g(x 1,x ) exactamente si 1 = 0, la disponibilidad de cierta holgura en la restricción implica que su valor para la función objetivo es 0 Relaciones similares de holgura complementaria también aplicarán para x 1 y x

82 Restricciones de Desigualdad Éstos resultados son llamados las condiciones de Kuhn-Tucker muestran que las soluciones a problemas que involucran Restricciones de Desigualdad diferirán de aquellas que involucran restricciones de igualdad en varios aspectos importantes Nos permite trabajar primordialmente con restricciones que involucran desigualdades

83 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable Sea y = f(x) Una condición necesaria para un máximo es que dy/dx = f (x) = 0 para asegurar que el punto es un máximo, y debe ser decreciente para cualquier movimiento que se aleje de el

84 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable El diferencial total mide el cambio en y dy = f (x) dx para estar en un máximo, dy debe decrecer para todo pequeño incremento de x para ver los cambios en dy, debemos usar la segunda derivada de y

85 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de una Variable d y d[ f '( x) dx] dx dx f "( x) dx dx f "( x) dx dado que d y < 0, f (x)dx < 0 dado que dx debe ser > 0, f (x) < 0 Esto significa que la función f debe tener una figura cóncava en el punto crítico

86 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables Suponga que y = f(x 1, x ) Las CPO para un máximo son: y/x 1 = f 1 = 0 y/x = f = 0 para asegurar que un punto es un máximo, y debe disminuir para movimientos en cualquier dirección que se aleje del punto crítico

87 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables f 1 y f deben ser decrecientes en el punto crítico También debemos aplicar condiciones en las derivadas parciales cruzadas (f 1 = f 1 )

88 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables El diferencial total de y está dado por: dy = f 1 dx 1 + f dx El diferencial total de dicha función es: d y = (f 11 dx 1 + f 1 dx )dx 1 + (f 1 dx 1 + f dx )dx d y = f 11 dx 1 + f 1 dx dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Por el teorema de Young, f 1 = f 1 y d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx

89 Condiciones de Segundo Orden - Funciones de DOS Variables d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx Para que esta ecuación sea < 0 para cualquier dx 1 y dx, f 11 y f deben ser negativos Si ocurre que ni dx 1 ni dx son 0, entonces d y será < 0 solo si f 11 f - f 1 > 0

90 Maximización con Restricciones Suponga que queremos escoger x 1 y x para maximizar y = f(x 1, x ) sujeto a una restricción lineal c - b 1 x 1 - b x = 0 Podemos escribir el Lagrangeano: L = f(x 1, x ) + (c - b 1 x 1 - b x )

91 Maximización con Restricciones Las Condiciones de Primer Orden son f 1 - b 1 = 0 f - b = 0 c - b 1 x 1 - b x = 0 Para asegurar que tenemos un máximo, debemos usar la segunda diferencial total d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx

92 Maximización con Restricciones Solo valores de x 1 e x que satisfacen las restricciones pueden ser considerados como alternativas válidas al punto crítico Debemos calcular el diferencial total de la restricción -b 1 dx 1 - b dx = 0 dx = -(b 1 /b )dx 1 estos son cambios relativos permitidos en x 1 e x

93 Maximización con Restricciones Dado que las CPO implican que f 1 /f = b 1 /b, tenemos Dado que dx = -(f 1 /f ) dx 1 d y = f 11 dx 1 + f 1 dx 1 dx + f dx podemos sustituir por dx y tener d y = f 11 dx 1 - f 1 (f 1 /f )dx 1 + f (f 1 /f )dx 1

94 Maximización con Restricciones Combinando dichos términos y arreglando, tenemos d y = f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 [dx 1 / f ] Por lo tanto, para d y < 0, debe ser cierto que: f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 < 0

95 Maximización con Restricciones f 11 f - f 1 f 1 f + f f 1 < 0 Esta ecuación caracteriza a un conjunto de funciones llamadas cuasi-cóncavas dos puntos cualesquiera dentro del conjunto pueden ser unidos por una línea contenida completamente en el set

96 Funciones Cóncavas y Cuasi- Cóncavas Las diferencias entre funciones cóncavas y cuasi-cóncavas pueden ser ilustradas mediante la función y = f(x 1,x ) = (x 1 x ) k Donde x 1 > 0, x > 0, y k > 0

97 Funciones Cóncavas y Cuasi- Cóncavas Sin importar el valor que k tome, esta función es cuasi-cóncava PERO, dependiendo del valor de k, la función será cóncava o no si k < 0.5, la función es cóncava si k > 0.5, la función es convexa

98 Funciones Homogéneas Se dice que una función f(x 1,x, x n ) es homogénea de grado k si f(tx 1,tx, tx n ) = t k f(x 1,x, x n ) cuando k = 1, aumentar al doble todos sus argumentos doblará el valor de la función misma cuando k = 0, doblar todos sus argumentos dejará el valor de la función sin cambios

99 Funciones Homogéneas Si una función es homogénea de grado k, las derivadas parciales de la función serán homogéneas de grado k-1

100 Teorema de Euler Si derivamos la definición de homogeneidad con respecto al factor de proporción t, obtenemos kt k-1 f(x 1,,x n ) = x 1 f 1 (tx 1,,tx n ) + + x n f n (x 1,,x n ) Esta relación es llamada el Teorema de Euler

101 Teorema de Euler Para una función homogénea, existe una relación definida entre el valor de la función y el valor de sus derivadas parciales

102 Funciones Homotéticas Una función homotética es aquella formada al tomar una transformación monótona creciente de una función homogénea en general no poseen las características de homogeneidad de las funciones generadoras

103 Funciones Homotéticas Tanto para Funciones Homogéneas como para Funciones Homotéticas, la disyuntiva implícita entre las variables en la función depende solamente de las razones de dichas variables, y no de sus valores absolutos

104 Funciones Homotéticas Suponga que examinamos la función de dos variables f(x,y) = 0 El intercambio implícito entre x e y para una función de dos variables es: dy/dx = -f x /f y Si asumimos que f es homogénea de grado k, sus derivadas parciales serán homogéneas de grado k-1

105 Funciones Homotéticas El intercambio implícito entre x e y es: dy dx Si t = 1/y, t t f f k 1 x k 1 y ( tx, ty ) ( tx, ty ) f f x y ( tx, ty ) ( tx, ty ) dy dx f x f y x, 1 y x, 1 y

106 Funciones Homotéticas El intercambio no se ve afectado por una transformación monotónica y permanece como función solamente de la razón de x a y

Derivación. Aproximaciones por polinomios.

Derivación. Aproximaciones por polinomios. Derivación... 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Químicas) Contenidos Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Outline Derivada 1 Derivada 2 3 4 5 6 Definición

Más detalles

Universidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker

Universidad del Rosario Economía Matemática II Taller 8 - Kuhn Tucker . En los siguientes problemas de optimización: Universidad del Rosario Economía Matemática - 202-II Taller 8 - Kuhn Tucker a. Dibuje el conjunto K de puntos factibles y las curvas de nivel de la función

Más detalles

Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD

Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD Capítulo 3 PREFERENCIAS Y UTILIDAD 1 Axiomas de Elección Racional Completitud Si A y B son dos situaciones, el individuo siempre puede especificar exactamente su preferencia sobre dichas posibilidades:

Más detalles

Breve sobre Kuhn-Tucker

Breve sobre Kuhn-Tucker Breve sobre Kuhn-Tucker Alejandro Lugon 20 de agosto de 2010 Resumen Se presentan a manera de manual de referencia los resultados relevantes para la solución de problemas de maximización usando los resultados

Más detalles

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN

May 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales

Fundamentos matemáticos. Tema 8 Ecuaciones diferenciales Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 8 José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2016 Licencia Creative Commons 4.0 Internacional J.

Más detalles

Optimización. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ITESM. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker Profr. E. Uresti - p. 1/30. Dr. E Uresti

Optimización. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ITESM. Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker Profr. E. Uresti - p. 1/30. Dr. E Uresti Optimización Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker Dr. E Uresti ITESM Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker Profr. E. Uresti - p. 1/30 Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de problemas de

Más detalles

Máximos y mínimos. Mínimo global Máximo global máximo relativo mínimo relativo

Máximos y mínimos. Mínimo global Máximo global máximo relativo mínimo relativo Máximos y mínimos. Anteriormente estudiamos métodos para obtener los extremos de funciones de una variable. Extenderemos esas técnicas a funciones de dos variables. Sea una función de dos variables, definida

Más detalles

1.3.1 Fundamentos de cálculo vectorial

1.3.1 Fundamentos de cálculo vectorial 131 Fundamentos de cálculo vectorial 1 Función escalar Una función se define como una representación escalar que está dada en términos de un vector Un ejemplo analítico puede darse por la función f(x)

Más detalles

Funciones implícitas y su derivada

Funciones implícitas y su derivada Funciones implícitas su derivada 4 Al considerar la función con ecuación x 3x 5x f, es posible determinar f ( x ) con los teoremas enunciados anteriormente, a que f es una función dada implícitamente en

Más detalles

Problemas: Teoría del Consumidor

Problemas: Teoría del Consumidor MICROECONOMÍA AVANZADA I Xavier Martinez-Giralt Problemas: Teoría del Consumidor 1. Considere las siguientes preferencias en R 2 +: (a) (x, y ) (x, y) si x x 1/2 (b) (x, y ) (x, y) si x x 1/2 y y 1/2 y

Más detalles

t si t 2. x 2 + xy + y 3 = 1 8.

t si t 2. x 2 + xy + y 3 = 1 8. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E000 () Una pelota se deja caer desde un edificio. La posición de la pelota en cualquier instante t (medido en segundos) está dada por s(t).5

Más detalles

PAIEP. Valores máximos y mínimos de una función

PAIEP. Valores máximos y mínimos de una función Programa de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP Universidad de Santiago de Chile Valores máximos y mínimos de una función Diremos que la función f : D R R, alcanza un máximo absoluto en el punto

Más detalles

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones

2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 7 2. Continuidad y derivabilidad. Aplicaciones Límite de una función en un punto Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

Práctica 1 - Primer Trimestre

Práctica 1 - Primer Trimestre Práctica 1 - Primer Trimestre Probelmas de Optimización Estática Ejercicio 1.- Teoría del Consumidor: el problema de maximización de la utilidad. Suponga un mercado de dos bienes (x, y), donde las decisiones

Más detalles

Programa. Simon, Carl; Blume, Laurence (1994) "Mathematics For Economists" W. W. Norton

Programa. Simon, Carl; Blume, Laurence (1994) Mathematics For Economists W. W. Norton Asignatura : Matemática IV Profesor : Carrera : Ingeniería Comercial Código : Semestre : Ayudante : Programa Objetivos: Al finalizar el curso el alumno debe ser capaz de manejar las herramientas matemáticas

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 203 Capítulo 7 Año 2006 7.. Modelo 2006 - Opción A Problema 7.. 2 puntos Un punto de luz situado

Más detalles

Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal

Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal Formulación del problema de la ruta más corta en programación lineal En esta sección se describen dos formulaciones de programación lineal para el problema de la ruta más corta. Las formulaciones son generales,

Más detalles

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS

1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al

Más detalles

Derivadas e integrales

Derivadas e integrales Derivadas e integrales Álvarez S., Caballero M.V. y Sánchez M a M salvarez@um.es, m.victori@um.es, marvega@um.es ÍNDICE Matemáticas Cero Índice. Definiciones 3. Herramientas 4.. Reglas de derivación.......................

Más detalles

i j k xy yz xz = = Div Rot F = x y z

i j k xy yz xz = = Div Rot F = x y z Div Rot F, si F = ( xy, yz, xz) 1. Hallar: primero, debemos hallar rotor de la función vectorial. i j k Rot ( F ) = ( xy, yz, xz) =,, ( xy, yz, xz) = x y z xy yz xz ( xz) ( yz) ( xy) ( xz) ( yz) ( xy)

Más detalles

APLICACIONES DE DERIVADAS: ANALISIS DE FUNCIONES 1. 1º PARTE: Función creciente y decreciente, puntos críticos, extremos relativos

APLICACIONES DE DERIVADAS: ANALISIS DE FUNCIONES 1. 1º PARTE: Función creciente y decreciente, puntos críticos, extremos relativos Cálculo 1 _Comisión 1 Año 016 APLICACIONES DE DERIVADAS: ANALISIS DE FUNCIONES 1 Una de las aplicaciones de derivadas es el estudio del comportamiento de funciones Este estudio ya se había comenzado cuando

Más detalles

Soluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación

Soluciones de los ejercicios del examen de Cálculo del 29 de junio de 2007 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Soluciones de los ejercicios del examen de del 29 de junio de 27 Primero de Ingeniería de Telecomunicación Ejercicio a Justifica que la ecuación x 2 = x sen x+ cos x tiene exactamente dos soluciones reales.

Más detalles

Trabajo Práctico Optativo

Trabajo Práctico Optativo rofesor: Julio J. Elías Trabajo ráctico Optativo 1. El método de los multiplicadores de Lagrange Generalmente, en economía trabajamos con modelos que involucran optimización con restricciones. or ejemplo,

Más detalles

Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones

Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Programación NO Lineal (PNL) Optimización sin restricciones Ejemplos de los problemas que se aplica la programación NO Lineal: Problema de transporte con descuentos por cantidad : El precio unitario de

Más detalles

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y),

Problema 1. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (d) f(x, y) = arctan x + y. (e) f(x, y) = cos(3x) sin(3y), Problema. Calcula las derivadas parciales de las siguientes funciones: (a) f(x, y) = x + y cos(xy), (b) f(x, y) = x x + y, (c) f(x, y) = log x + y x y, (d) f(x, y) = arctan x + y x y, (e) f(x, y) = cos(3x)

Más detalles

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C. SOCIALES CAPÍTULO 5 Curso preparatorio de la prueba de acceso a la universidad para mayores de 25 años curso 2010/11 Nuria Torrado Robles Departamento de Estadística Universidad

Más detalles

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL REPASO DE FUNCIONES FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL CORRESPONDENCIA. Se llama CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos A y B a toda ley que asocia elementos del conjunto A con elementos del conjunto B. Se

Más detalles

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales.

Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales. Tema 6: Ecuaciones diferenciales lineales Una ecuación diferencial lineal de orden n es una ecuación que se puede escribir de la siguiente forma: a n (x)y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x)

Más detalles

unicoos Funciones lineales Objetivos 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica

unicoos Funciones lineales Objetivos 1.Función de proporcionalidad directa pág. 170 Definición Representación gráfica 10 Funciones lineales Objetivos En esta lección aprenderás a: Identificar problemas en los que intervienen magnitudes directamente proporcionales. Calcular la función que relaciona a esas magnitudes a

Más detalles

4 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden II

4 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden II 4 Algunos métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden II 4.1. Ecuaciones lineales La e.d.o. de primer orden lineal es Si g(x) = 0: ecuación lineal homogénea. a 1 (x) +

Más detalles

Derivadas Parciales (parte 2)

Derivadas Parciales (parte 2) 40 Derivadas Parciales (parte 2) Ejercicio: Si donde y. Determinar Solución: Consideraremos ahora la situación en la que, pero cada una de las variables e es función de dos variables y. En este caso tiene

Más detalles

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR

CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR INTERVALOS CONCEPTOS QUE DEBES DOMINAR Un intervalo es un conjunto infinito de números reales comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos en él o no. 1. Intervalo abierto (a, b): Comprende

Más detalles

Funciones Reales de Varias Variables

Funciones Reales de Varias Variables Funciones Reales de Varias Variables Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Matematica II Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 162 CONTENIDO Funciones

Más detalles

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN

2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 2º BACHILLERATO. EJERCICIOS DE REPASO 1ª EVALUACIÓN 1.) Resuelve las siguientes derivadas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q) r) f(x) = arcsen 2.) Resuelve la siguiente derivada, simplificando

Más detalles

Derivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa

Derivada de una función en un punto. Función derivada. Diferencial de una función en un punto. dy = f (x) dx. Derivada de la función inversa Derivada de una función en un punto Las tres expresiones son equivalentes. En definitiva, la derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor

Más detalles

Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados

Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados Capítulo 5 Espacios Vectoriales Euclídeos. Métodos de los mínimos cuadrados En este tema iniciamos el estudio de los conceptos geométricos de distancia y perpendicularidad en K n. Empezaremos con las definiciones

Más detalles

Clase 9 Programación No Lineal

Clase 9 Programación No Lineal Pontificia Universidad Católica Escuela de Ingeniería Departamento de Ingeniería Industrial y de Sistemas Clase 9 Programación No Lineal ICS 110 Optimización Profesor : Claudio Seebach Apuntes de Clases

Más detalles

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD)

MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) MÉTODO DEL DUAL (TEORIA DE DUALIDAD) Todo problema de programación lineal tiene asociado con él otro problema de programación lineal llamado DUAL. El problema inicial es llamado PRIMO y el problema asociado

Más detalles

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul

Matemáticas. para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Matemáticas para administración y economía Ernest F. Haeussler, Jr.* Richard S. Paul Unidad I (Capítulos 3 y 5 del texto) Funciones y Gráficas 1.1 Definición y notación de función. 1.2 Dominio y rango

Más detalles

CAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n.

CAPÍTULO 4: DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. April 15, 2009 En este capítulo D denota un subconjunto abierto de R n. 1. Introducción Definición 1.1. Dada una aplicación f : D R, definimos la derivada parcial segunda de f como D ij f = 2 f = ( ) x

Más detalles

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1 1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. PROBLEMA DEL VALOR INICIAL Definición 1.1. Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen una variable dependiente y

Más detalles

Tema 8: Aplicaciones de la derivada

Tema 8: Aplicaciones de la derivada Tema 8: Aplicaciones de la derivada 1. Introducción En la unidad anterior hemos establecido el concepto de derivada de una función en un punto de su dominio y la hemos interpretado geométricamente como

Más detalles

Clase 3 Funciones lineal y cuadrática

Clase 3 Funciones lineal y cuadrática Clase 3 Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Marzo de 2014 Función lineal Definición Una relación de la forma f(x) = mx+n, donde m, n R, se llama función lineal

Más detalles

84 Tema 3. Dualidad. todas las restricciones son del tipo, todas las variables son no negativas.

84 Tema 3. Dualidad. todas las restricciones son del tipo, todas las variables son no negativas. Tema 3 Dualidad En el desarrollo de la programación lineal la teoria de la dualidad es importante, tanto desde el punto de vista teórico como desde el punto de vista práctico. Para cada modelo lineal se

Más detalles

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Sergio Stive Solano Sabié 1 Mayo de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

Más detalles

CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO

CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO MATEMÁTICAS AVANZADAS PARA LA INGENIERÍA EN SISTEMAS CLAVE: MIS 206 PROFESOR: MTRO. ALEJANDRO SALAZAR GUERRERO 1 1. SISTEMAS LINEALES DISCRETOS Y CONTINUOS 1.1. Modelos matemáticos 1.2. Sistemas 1.3. Entrada

Más detalles

3. Funciones de varias variables

3. Funciones de varias variables Métodos Matemáticos (Curso 2013 2014) Grado en Óptica y Optometría 17 3. Funciones de varias variables Función real de varias variables reales Sea f una función cuyo dominio es un subconjunto D de R n

Más detalles

TEORÍA DE LA EMPRESA. ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana

TEORÍA DE LA EMPRESA. ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana TEORÍA DE LA EMPRESA ADOLFO GARCÍA DE LA SIENRA Instituto de Filosofía Facultad de Economía Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com. Conjuntos y funciones de producción El conjunto de posibilidades

Más detalles

Teorema de la Función Implícita

Teorema de la Función Implícita Teorema de la Función Implícita Sea F : U R p+1 R U abierto F (x 1, x 2,..., x q, y) y un punto a (a 1, a 2,..., a q, b) en U tal que i)f (a 1, a 2,..., a q, b) 0 ii) 0 y continua, existe entonces una

Más detalles

Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange

Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Clase 10: Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange C.J. Vanegas 7 de abril de 008 1. Extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange Estamos interesados en maximizar o minimizar una función

Más detalles

Apuntes de Funciones

Apuntes de Funciones Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación

Más detalles

DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES

DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES CAPITULO IV CALCULO II 4.1 DEFINICIÓN DERIVADAS PARCIALES Y APLICACIONES En cálculo una derivada parcial de una función de diversas variables es su derivada respecto a una de esas variables con las otras

Más detalles

CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS. Valor absoluto. Funciones y sus gráficas

CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS. Valor absoluto. Funciones y sus gráficas CÁLCULO ELEMENTAL PROBLEMAS Valor absoluto - Resolver las ecuaciones siguientes: (i) 2x 6 = x (ii) x + 8 = 3x 4 2- Resolver la inecuación 2x 3 4 Funciones y sus gráficas 3- Dada f(x) = 2x 2 x, hallar f(

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( ) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 3 (DERIVADAS) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012 DERIVADAS POR DEFINICIÓN

Más detalles

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 7

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 7 Tema 7 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones definidas en intervalos, las funciones

Más detalles

Problemas tipo examen

Problemas tipo examen Problemas tipo examen La división en temas no es exhaustiva. Las referencias (H n- m) indican el problema m de la hoja n y las referencias (A- cd), con A en números romanos indican un examen del mes A

Más detalles

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN CUADRÁTICA LA FUNCION DE PRODUCCION CUADRATICA lorenzo castro gómez 1 CARACTERISTICAS: 1. Al menos una de las variables independientes está elevada al cuadrado. 2. Tiene rendimientos decrecientes. 3. El PM y PMg

Más detalles

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA

MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA MATE 3013 LA FUNCIÓN DERIVADA Repaso de límites 4 4 3 NE 6 Aplicaciones de la derivada Encuentre la pendiente de la recta tangente en el punto (9,3) a la curva: f ( x) x La pendiente de la recta tangente

Más detalles

* e e Propiedades de la potenciación.

* e e Propiedades de la potenciación. ECUACIONES DIFERENCIALES 1 REPASO DE ALGUNOS CONCEPTOS PREVIOS AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1. Cuando hablamos de una función en una variable escribíamos esta relación como y = f(x), esta

Más detalles

ANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009

ANÁLISIS I MATEMÁTICA 1 ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 ANÁLISIS I MATEMÁTICA ANÁLISIS II (Computación) Práctica 5 - Verano 2009 Derivadas parciales de orden superior - Polinomio de Taylor - Convexidad y Extremos Derivadas de orden superior. Calcular las derivadas

Más detalles

Cálculo en varias variables

Cálculo en varias variables Cálculo en varias variables Dpto. Matemática Aplicada Universidad de Málaga Resumen Límites y continuidad Funciones de varias variables Límites y continuidad en varias variables 1 Límites y continuidad

Más detalles

Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales

Análisis Dinámico: Ecuaciones diferenciales Análisis Dinámico: Jesús Getán y Eva Boj Facultat d Economia i Empresa Universitat de Barcelona Marzo de 2014 Jesús Getán y Eva Boj Análisis Dinámico: 1 / 51 Introducción Solución genérica Solución de

Más detalles

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano UNIDAD I FUNCIONES UNIDAD I FUNCIONES Una función es una correspondencia entre dos conjuntos, que asocia a cada elemento del primer conjunto exactamente un elemento del otro conjunto. Una función f definida entre dos conjuntos

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 014 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva 1, Ejercicio, Opción A Reserva

Más detalles

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas)

Colegio Portocarrero. Curso Departamento de matemáticas. Análisis. (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Análisis (Límites/Asíntotas/Continuidad/Derivadas/Aplicaciones de las derivadas) Problema 1: Sea la función Determina: a) El dominio de definición. b) Las asíntotas si existen. c) El o los intervalos de

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente

Más detalles

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones

Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones Álgebra y Trigonometría Clase 2 Ecuaciones, desigualdades y Funciones CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción

Más detalles

MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN TALLER 04 (MÍNIMOS CUADRADOS) Manizales, 28 de Abril de 2014

MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN TALLER 04 (MÍNIMOS CUADRADOS) Manizales, 28 de Abril de 2014 http://www.matematicaaplicada.info 1 de 6 jezasoft@gmail.com MATEMÁTICA APLICADA ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS MATEMÁTICAS PARA ADMINISTRACIÓN TALLER 04 (MÍNIMOS CUADRADOS) Manizales, 28 de Abril de 2014

Más detalles

Fundamentos matemáticos. Tema 6 Aplicaciones de la derivada

Fundamentos matemáticos. Tema 6 Aplicaciones de la derivada Fundamentos matemáticos Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 6 Aplicaciones de la derivada José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es

Más detalles

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN LINEAL. La función lineal se caracteriza porque las variables están elevadas a la primera potencia.

FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN LINEAL. La función lineal se caracteriza porque las variables están elevadas a la primera potencia. LA FUNCION DE PRODUCCION LINEAL lorenzo castro gómez 1 La función lineal se caracteriza porque las variables están elevadas a la primera potencia. A). Si se tiene un insumo variable: Y = ƒ (X) = a +b 1

Más detalles

Apellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo.

Apellidos: Nombre: para x 1, determina sus asíntotas. 4. Halla el valor de los parámetros m y n para que la función f sea continua en todo. EXAMEN DE MATEMÁTICAS CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: C Día: 3- II- 6 CURSO 05-6. Halla el dominio de definición y recorrido de las funciones a) f(x)= 9 b) g(x)= 4. Calcula

Más detalles

5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES

5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES Tema 5 : Funciones elementales - Matemáticas B 4º E.S.O. 1 TEMA 5 FUNCIONES ELEMENTALES 5.1 DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES 3º 5.1.1 - FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx Las funciones de proporcionalidad

Más detalles

SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Muchos problemas de administración y economía están relacionados con la optimización (maximización o minimización) de una función sujeta a un sistema

Más detalles

TEORÍA DE LA CONDUCTA DEL CONSUMIDOR Y DE LA DEMANDA

TEORÍA DE LA CONDUCTA DEL CONSUMIDOR Y DE LA DEMANDA S_A._LECV TEORÍA DE LA CONDUCTA DEL CONSUMIDOR DE LA DEMANDA LA FUNCIÓN DE PREFERENCIA Todos los individuos tratan de alcanzar la satisfacción con un ingreso limitado. Este esfuerzo más o menos consciente,

Más detalles

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx. Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx. Su pendiente es 0. La recta y = 0 coincide con el eje Funciones elementales - Matemáticas B 4º E.S.O. FUNCIONES ELEMENTALES DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES LINEALES FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD: y = mx FUNCIÓN CONSTANTE: y = n Las funciones de proporcionalidad

Más detalles

Funciones homogéneas. Funciones

Funciones homogéneas. Funciones Lección 4 Funciones homogéneas Funciones implícitas 41 Funciones homogéneas Una clase de funciones especialmente importantes en economía es la de las funciones homogéneas Si consideramos, por ejemplo,

Más detalles

Teoría del Consumidor: El Equilibrio del Consumidor *

Teoría del Consumidor: El Equilibrio del Consumidor * UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO Facultad de Ciencias Empresariales Departamento de Economía y Finanzas Teoría del Consumidor: El Equilibrio del Consumidor * Andrés Acuña D. ** Versión: Mayo de 2011 Resumen El

Más detalles

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior Ampliación de matemáticas urso 2008-2009 Ecuación diferencial lineal de orden n (x dn y n + P (x dn y n + + P n (x dy + P n(xy = G(x ( donde, P,...,

Más detalles

INDICE. 92 solución gráfica de ecuaciones lineales 1.5. resolución de sistemas de ecuaciones lineales

INDICE. 92 solución gráfica de ecuaciones lineales 1.5. resolución de sistemas de ecuaciones lineales INDICE Prefacio XV Capitulo 0. Conceptos algebraicos 1 0.1. Conjuntos 2 0.2. Los números reales 10 0.3. Exponentes de las integrales 16 0.4. Radicales y exponentes racionales 21 0.5. Operaciones con expresiones

Más detalles

Límites y continuidad. Cálculo 1

Límites y continuidad. Cálculo 1 Límites y continuidad Cálculo 1 Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1

Más detalles

Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 8va versión MGM

Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 8va versión MGM Universidad Católica del Norte Escuela de Negocios Mineros Magíster en Gestión Minera Análisis de Datos y Métodos Cuantitativos para la Toma de Decisiones 8va versión MGM Antofagasta, Diciembre de 2014

Más detalles

TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS.

TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TEMA 4: APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 1.- REGLA DE L HôPITAL La regla de L hôpital sirve para resolver indeterminaciones del tipo. Para aplicar la regla de L'Hôpital hay que tener un límite de la forma

Más detalles

Si la variable independiente x con un valor inicial a que le da un valor final b a la diferencia b-a se le llama incremento de la variable y se

Si la variable independiente x con un valor inicial a que le da un valor final b a la diferencia b-a se le llama incremento de la variable y se Si la variable independiente x con un valor inicial a que le da un valor final b a la diferencia b-a se le llama incremento de la variable y se simboliza con la letra delta. La derivada de la función con

Más detalles

Aplicaciones de la derivada 7

Aplicaciones de la derivada 7 Aplicaciones de la derivada 7 ACTIVIDADES 1. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es 12. b) La pendiente de la recta tangente es 3. 2. Página 160 a) La pendiente de la recta tangente es. b)

Más detalles

ÍNDICE CAPÍTULO 0 CANCEPTOS ALGEBRAICOS 1 CAPÍTUO 1 ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES 56 CAPÍTULO 2 FUNCIONES ESPECIALES 133. Prefacio...

ÍNDICE CAPÍTULO 0 CANCEPTOS ALGEBRAICOS 1 CAPÍTUO 1 ECUACIONES Y FUNCIONES LINEALES 56 CAPÍTULO 2 FUNCIONES ESPECIALES 133. Prefacio... ÍNDICE Prefacio... XV CAPÍTULO 0 CANCEPTOS ALGEBRAICOS 1 0.1 Conjuntos... 2 0.2 Los números reales... 10 0.3 Exponentes de las integrales... 16 0.4 Radicales y exponentes racionales... 21 0.5 Operaciones

Más detalles

Es un procedimiento matemático que permite la planeación de actividades y la asignación de recursos productivos basados en criterios de optimización.

Es un procedimiento matemático que permite la planeación de actividades y la asignación de recursos productivos basados en criterios de optimización. PROGRAMACION LINEAL [Introducción] Es un procedimiento matemático que permite la planeación de actividades y la asignación de recursos productivos basados en criterios de optimización. Sirve para asignar

Más detalles

Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales

Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales Tema 1 Ecuaciones Diferenciales. Conceptos Generales Introducción La Modelización y Simulación es una área enorme de la ciencia pura y aplicada, a la que intentamos aproximarnos en esta asignatura. Dadas

Más detalles

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de 2013 1 Visita http://sergiosolanosabie.wikispaces.com ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Sergio Stive Solano 1 Abril de 2013

Más detalles

Formulando con modelos lineales enteros

Formulando con modelos lineales enteros Universidad de Chile 19 de marzo de 2012 Contenidos 1 Forma de un problema Lineal Entero 2 Modelando con variables binarias 3 Tipos de Problemas Forma General de un MILP Problema de optimización lineal

Más detalles

Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales

Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 28 de junio de 2011 Índice 21.1.Introducción............................................... 1 21.2.Producto interno............................................

Más detalles

UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN UNIDAD II. INTEGRAL DEFINIDA Y LOS MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Tema: TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada

Más detalles

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( )

Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática ( ) Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 4 (APLICACIONES DE LA DERIVADA) Profesora: Yulimar Matute Febrero 2012 RECTA

Más detalles

OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 4 Optimización no Lineal

OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA. Tema 4 Optimización no Lineal OPTIMIZACIÓN Y SIMULACIÓN PARA LA EMPRESA Tema 4 Optimización no Lineal ORGANIZACIÓN DEL TEMA Sesiones: El caso sin restricciones: formulación, ejemplos Condiciones de optimalidad, métodos Caso con restricciones:

Más detalles

PRÁCTICA 5. Para ver donde se maximiza esta función hay que ver donde se anula la primera derivada respecto al precio. R

PRÁCTICA 5. Para ver donde se maximiza esta función hay que ver donde se anula la primera derivada respecto al precio. R .- La función de demanda de un bien viene dada por. Se pide: a) Demuestre matemáticamente para que cantidad se obtiene el máximo de los ingresos totales. El ingreso total es la cantidad de producto por

Más detalles

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales

Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales Operador Diferencial y Ecuaciones Diferenciales. Operador Diferencial Un operador es un objeto matemático que convierte una función en otra, por ejemplo, el operador derivada convierte una función en una

Más detalles

Cálculo Diferencial en una variable

Cálculo Diferencial en una variable Tema 2 Cálculo Diferencial en una variable 2.1. Derivadas La derivada nos proporciona una manera de calcular la tasa de cambio de una función Calculamos la velocidad media como la razón entre la distancia

Más detalles

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10 Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 201 Capítulo 4 Año 200 4.1. Modelo 200 - Opción A Problema 4.1.1 2 puntos Determinar los valores

Más detalles