UNIDAD II: EXRIMENTOS ALEOTORIOS

Transcripción

1 UNIDAD II: EXRIMENTOS ALEOTORIOS Un experimento aleatorio es aquél en el que si lo repetimos con las mismas condiciones iniciales no garantiza los mismos resultados. Así, por ejemplo, al lanzar una moneda no sabemos si saldrá cara o sello, al lanzar un dado no sabemos qué número aparecerá, la extracción de las bolas de sorteos, loterías, etc. son experiencias que consideramos aleatorias puesto que en ellas no podemos predecir los resultados. Por el contrario los experimentos deterministas son aquellos en que si se repiten las mismas condiciones iniciales se garantiza el mismo resultado. Por ejemplo, un móvil que circula a una velocidad constante durante un determinado tiempo, recorre siempre el mismo espacio; una combinación de sustancias en determinadas proporciones y temperatura producen siempre el mismo resultado de mezcla; un examen con ninguna respuesta correcta produce siempre el mismo resultado: CERO. CONTENIDO: Experimentos Aleatorios Espacio Muestral Evento o Sucesos Concepto de Probabilidad Probabilidad Clásica y Frecuentista Propiedades Básicas EXPERIMENTOS ALEATORIOS (E): Se denomina así a toda prueba o ensayo cuyos resultados no son predecibles sin haberse realizado previamente una prueba, es decir: No se puede predecir el resultado de cada experimento aleatorio. Cada experimento se puede repetir muchas veces bajo las mismas condiciones. Cada experimento tiene varios resultados posibles que pueden describirse de antemano. Importante saber: Cuando se puede predecir el resultado de un acontecimiento o experimento, decimos que es un acontecimiento no aleatorio o determinístico. Cuando no se puede predecir el resultado de un acontecimiento de un acontecimiento, aunque se repita indefinidamente, decimos que es aleatorio. En los sucesos o acontecimientos aleatorios no conocemos el resultado hasta que se ha realizado el suceso. = Si lanzamos al aire un dado y anotamos el número que sale. Se lanza una moneda dos veces y se observan los resultados ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los casos posibles que se pueden dar en un suceso o experimento aleatorio y se le suele denotar con la letra (E) es llamado también Espacio Universal. { } { } Experimentos Aleatorios Página 1

2 EVENTO Ò SUCESO: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento. Son los posibles resultados de una acción que depende del azar. Es cualquier subconjunto del espacio muestral y lo se denota por A, B, C, El espacio muestral relativo al lanzar un dado es: { } { } subconjunto { } { } subconjunto { } { } es el conjunto vacío Sucesos Aleatorios 1. El lanzamiento de un dado, porque no sabemos que va salir. 2. La extracción de una carta de una baraja, porque no sabemos que carta va salir. 3. El tirar una moneda al aire, porque no sabemos si va salir cara o sello Sucesos no Aleatorios 1. Una reacción química, porque sabemos el resultado antes que se produzca el suceso. 2. La velocidad de llegada al suelo de una pelota dejada caer desde lo alto de una torre, porque sabemos el resultado antes de que se realice el experimento. NOTA 1. Los sucesos que se producen por azar no se pueden prevenir ni evitar porque no se conocen las causas que los originan. Estos sucesos también se llaman FORTUITOS. OPERACIONES ENTRE SUCESOS Ocurre A, ocurre B o ambas ocurre al menos uno de ellos Ocurre A y ocurre B; acurre ambas a la vez Ocurre solamente A, ocurre A pero no B No ocurre el suceso A CLASES DE SUCESOS PROBABILISTICOS Sucesos Compatibles: son aquellos que pueden ocurrir al mismo tiempo, es decir pueden presentarse mutuamente. Que al lanzar un dado al aire salga un número par y sea múltiplo de 3. Sucesos Incompatibles: son aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente. Que al lanzar una moneda al aire salga cara y sello simultáneamente. Sucesos Independientes: dos sucesos A y B son independientes cuando la probabilidad de que se produzca uno no dependa ni influya que se produzca el otro. Experimentos Aleatorios Página 2

3 Se lanza un dado 2 veces A: sale 3 en el primer lanzamiento B: sale 3 en el segundo lanzamiento Sucesos Dependientes: cuando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro. Se tienen 2 cajas A: 3 bolas rojas, 4 bolas negras B: 4 bolas rojas, 7 bolas negras Si se saca de A una bola y se deposita en B, al sacar una bola de B, el resultado dependerá de la bola que saco de la caja A DEFINICIÒN CLASICA DE PROBABILIDAD. (Regla de Laplace) S todos los elementos del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir, entonces la probabilidad que ocurra el evento A es: evento seguro evento imposible Para el caso de los DADOS Ejemplo 1. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado, el resultado sea un número primo. { } { } Ejemplo 2. Cuál es la probabilidad que al lanzar dos dados su suma sea múltiplo de 3? Experimentos Aleatorios Página 3

4 Cuál es la suma más probable? 7 Cuál es la suma menos probable? 2 EJEMPLOS DE EXTRACCIÒN SIMPLES Para el caso de los NAIPES El mazo consta de 52 cartas 13 cartas de Diamante 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, J Q K cartas de Tréboles 13 cartas de Pica 13 cartas de corazones Ejemplo 1. De un mazo de 52 cartas al extraer una de ellas Cuál es la probabilidad de que sea un as? Para el caso de las MONEDAS Cara Sello 2 casos totales Experimentos Aleatorios Página 4

5 INICIO 1er Lanzamiento C S 2do Lanzamiento C S C S C S C S C S C S A B C D E F G H P (C C C) x 1 2 x 1 2 AXIOMAS DE PROBABILIDADES 1) Si A es un suceso definido en el espacio muestral (E) entonces: 2) La probabilidad del suceso seguro es 1 3) Si A y B son incompatibles, es decir entonces: PROPIEDADES DE LAS PROBABILIDADES 1) La Suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es: 2) La probabilidad del suceso imposible es cero Experimentos Aleatorios Página 5

6 3) La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección 4) Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste 5) Si 2 son incompatible dos a dos entonces: 6) Si el espacio muestral E es finito y un suceso es { 2 } entonces: Probabilidad Frecuentista: La probabilidad frecuentista o empírica es la que se fundamenta en los datos obtenidos por encuestas, preguntas o por una serie larga de realizaciones de un experimento. El cálculo de la probabilidad de un evento y la frecuencia relativa del mismo es lo que se conoce como probabilidad frecuencial. Para determinar esta probabilidad, se repite el experimento aleatorio un número determinado de veces, se registran los datos y se divide el número de veces que se obtiene el resultado que nos interesa, entre el número de veces que se real izó el experimento. PROBABILIDAD CONDICIONADA P ( B ) : Probabilidad del suceso B una vez ha ocurrido A A PROBABILIDAD COMPUESTA Sucesos Independientes: Una caja contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen 2 bolitas sucesivamente con reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea azul y la segunda blanca. (a) a (b) b a b P(a b) P(a)x P(b) (a) (b) x x Experimentos Aleatorios Página 6

7 Sucesos Dependientes: Una caja contiene 6 bolitas azules y 4 blancas. Se extraen 2 bolitas sucesivamente y sin reposición. Calcular la probabilidad que la primera sea blanca y la segunda azul. Probabilidad P(b)=blanca P(a)=azul P(b a) P(b) x P ( a b ) x 9 9 Experimentos Aleatorios Página 7