TEMA 2: DERIVADAS. 3. Conocer las derivadas de las funciones elementales: potencias, raíces, exponenciales y logaritmos.

Transcripción

1 TEMA 2: DERIVADAS 1. Conocer el concepto de tasa de variación media de una función y llegar al concepto de derivada como límite de la tasa de variación media. 2. Conocer, sin demostración, las reglas dederivación dela suma, resta, producto y cociente de funciones, así como la regla de la cadena para la derivación de la función compuesta. 3. Conocer las derivadas de las funciones elementales: potencias, raíces, exponenciales y logaritmos. 4. Utilizar la derivada para resolver problemas relacionados con la medida de la variación de una magnitud respecto a otra. 5. Conocer la interpretación geométrica de la derivada y utilizarla para la determinación de la pendiente de la tangente a una curva en un punto. 1

2 2.2. Tasa de variación media. Tasa de variación instantánea. Pág Ej. 7 2

3 2.3. Derivada de una función en un punto. Derivadas laterales. Derivada por la definición Ejemplo: Hallar la derivada de: Ejemplo: Hallar la derivada de: Ejemplo: Hallar la derivada de en x=3 Ejercicios: Pág. 168, ej

4 2.4. Función derivada Ejemplos: Ejemplo: Calcula la derivada por la definición: 2.5. Interpretación geométrica de la derivada La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto. 4

5 Ejemplos: (Calcula también la recta normal) 3. Dada la parábola, hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz de primer cuadrante. Pág Ej. 5, 6. Deberes: Pág Ej. 54, 55, 56. Pág Ej. 77, 78, 79 y 81. EJERCICIOS 5

6 Ejercicios: Pag Ej: 67, 69, 70, 73, 74, 76 y Derivabilidad y continuidad 6

7 Ejemplos: Pág Ej. 12. Pág Ej. 57, 59, 60, 61, 62, 63, 64. 7

8 2.7. Información extraída de la primera derivada Monotonía de una función. Definición: Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se dice que f es creciente en el intervalo (a,b) si: Definición: Se dice que una función f es creciente en un punto x=a si existe un entorno de dicho punto en el que f es creciente. Definición: Sea f una función definida en un intervalo (a,b). Se dice que f es decreciente en el intervalo (a,b) si: Definición: Se dice que una función f es decreciente en un punto x=a si existe un entorno de dicho punto en el que f es decreciente. 15 Monotonía utilizando la derivada: Sea f una función derivable en el punto x=a. Entonces: Análogamente se obtiene un resultado para intervalos: El estudio de la monotonía de una función derivable en un dominio se puede realizar estudiando el signo de su función derivada en dicho dominio. 16 8

9 Extremos relativos.máximos y mínimos relativos. (Puntos singulares). Un extremo relativo es un punto donde varía la monotonía de la función Definición: f(x) tiene un máximo relativo en el punto (a,f(a)) Existe un entorno de x=a, tal que : f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (a,f(a)) Existe un entorno de x=a, tal que : m Máximo Mínimo 17 Una función f(x) tiene un máximo absoluto en x=a : Una función f(x) tiene un mínimo absoluto en x=a : Condición necesaria de extremo relativo: Sea f una función derivable en un punto x = a. Si f tiene en dicho punto un extremo relativo, entonces: f ' (a) = 0 La condición anterior no es suficiente, es decir, puede darse que una función con derivada nula en un punto no tenga extremo relativo en dicho punto. 18 9

10 Criterio de la derivada segunda. Sea f una función dos veces derivable en x = a, siendo Entonces: Otra forma de establecer si un extremo es máximo mínimo relativo es estudiar su monotonía a la izquierda y derecha del punto en cuestión.. 19 Pág Ej. 27ª. Pág Ej. 84, 85ª, 85b, 85c, 86. Ejemplos: EJERCICIOS Determina la parábola que es tangente a la recta y=2x-3 en el punto A(2,1) y que pasa por el punto B(5,-2). De la función se sabe que: - Tiene un mínimo en x=2. - Su gráfica pasa por el punto (2,2). Teniendo en cuenta esos datos, cuánto vale la función en x=1? 20 10

11 2.8. Problemas de optimización: Pasos a seguir: 1. Dibujo aproximado según nos indica el enunciado y colocar las incógnitas. 2. Escribir la función que queremos sea máxima o mínima. (máx, min, superior, inferior, mayor, menor ) 3. Escribir una ecuación que relaciona las variables. (Suele ser el único dato numérico del problema o algún teorema importante como el de Tales, Pitágoras, semejanza, etc ) 4. Despejar de la ecuación en 3 y sustituir en la función del paso Calcular los extremos de la función. 6. Comprobar con la segunda derivada. 7. Calcular la variable que falta sustituyendo en la ecuación del paso Escribir correctamente la solución. 21 Ejemplos: 1) Halla el número positivo cuya suma con veinticinco veces su inverso sea mínima. 2) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. 3) Entre todos los rectángulos de perímetro 12m, cuál es el que tiene la diagonal menor? 4) La función de coste total de producción de x unidades de un determinado producto es: Cuál debe ser la producción para que sea mínimo el coste medio por unidad? Pág Ej. 30, 31, 32. Pág Ej. 91, 92, 93, 95, 96, 97, 126, 127, 128, 130, 132, 133, 134,