Ejemplo: Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es Y

Transcripción

1 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE).- CONCEPTO DE FUNCIÓN. CARACTERÍSTICAS Definición de función Una función real de variable real es una forma de hacerle corresponder a un número real x un único número real y, que se representa por f(x). Si llamamos f a la función, se suele representar así: f: R R, y = f(x) Se llama imagen de un valor dado de x al valor obtenido al sustituir en la fórmula el valor de x. Ejemplo: Si f es la función dada por la expresión f(x) = x +, la imagen de x = es f() =. + = Dominio y recorrido de una función El dominio de definición de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la x. Se representa por D(f) El recorrido o imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que puede tomar la y. Se representa por Rec(f) o también por Im(f) Por ejemplo, para la función f cuya gráfica es Página - D(f) = R { } Rec(f) = (, ] Para calcular el dominio a partir de la fórmula, tenemos que averiguar los valores de la x para los que se puede calcular dicha fórmula. Ejemplos: - Si la función f es polinómica, f(x) = p(x), entonces la fórmula se puede calcular para cualquier valor de x. Por tanto, D(f) = R. - Si la función f es racional, f(x) = p(x), entonces la fórmula no se puede calcular para los valores de x q(x) que anulan el denominador. Por tanto, D(f) = R { solucionesdelaecuaciónq( x) = 0} x+ Por ejemplo, si f(x) = x, como x = 0 x =, D(f) = R - Si en la función aparece alguna raíz de índice par, habrá que tener en cuenta que sólo se puede calcular cuando el radicando sea mayor o igual que cero. Por tanto, si f(x) = n g(x), connpar, { } D( f) = solucionesdelainecuacióng( x) 0 Por ejemplo, si f(x) = x, como x 0 x D(f) = [, ) Si el índice es impar, entonces D( f) = R, pues las raíces de índice impar se pueden calcular para cualquier valor del radicando. Por ejemplo, si f(x) = x, entonces D(f) = R. x Ejercicio Halla el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f(x) = x+ x x x+ b) g(x) = c) f(x) = 9 x d) f(x) = e) f(x) = x + x+ x+ x x+

2 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Puntos de corte de una función con los ejes de coordenadas Puntos de corte con el eje (llamado eje de abscisas): Para calcular los puntos de corte de la gráfica de una función f(x) con el eje resolvemos la ecuación f(x) = 0. Si la ecuación no tuviese solución, entonces la gráfica no corta al eje Punto de corte con el eje (llamado eje de ordenadas): El punto de corte con el eje es el punto (0, f(0)). Si no existe f(0) entonces la gráfica no corta al eje Ejercicio Calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas de las siguientes funciones: f(x) = x + x x g( x) = x x + x h( x) = x + Ejercicio Dada la función f(x) = 7x determina: a) D(f) b) Los puntos de corte con los ejes x+ c) Las soluciones de la ecuación f(x) = Continuidad de una función Una función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna rotura y, por tanto, se puede dibujar de un solo trazo ( sin levantar el lápiz del papel ). Ejemplos: Esta gráfica corresponde a una función continua Esta gráfica corresponde a una función discontinua. Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = Funciones crecientes Una función es creciente si su gráfica es ascendente. Monotonía de una función Funciones decrecientes Una función es decreciente si su gráfica es descendente. Funciones constantes Son las funciones que no son crecientes ni decrecientes. La gráfica es una línea recta horizontal Estudiar la monotonía de una función consiste en averiguar los intervalos del eje donde la función es creciente, decreciente o constante. - Página -

3 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Ejemplo Esta función es creciente en el intervalo (, ), pues la gráfica correspondiente es ascendente. - Es decreciente en (, ) U (, ) porque aquí su gráfica es descendente. - Es constante en el intervalo (, ) ya que su gráfica en dicho intervalo es horizontal. Extremos de una función Estudiar los extremos de una función es determinar los máximos y mínimos relativos. Una función tiene un máximo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de creciente a decreciente Una función tiene un mínimo relativo en un punto A(a, b), si en dicho punto la función es continua y pasa de decreciente a creciente. Se suele decir que la función alcanza un máximo relativo en x = a y el valor máximo que alcanza es b. Se suele decir que la función alcanza un mínimo relativo en x = a y el valor mínimo que alcanza es b. Si el máximo relativo corresponde al mayor valor de la función se dice que el máximo es absoluto y si el mínimo relativo corresponde al menor valor se dice que el mínimo es absoluto. Ejemplo - Los máximos relativos son A y B (A además es un máximo absoluto). - El mínimo relativo es C También podemos decir que se alcanza máximo relativo en x = 8, x = y se alcanza mínimo relativo en x = - Página -

4 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Ejercicio Considera la función f dada por la siguiente gráfica Estudia: a) D(f) b) Rec(f) c) f( ) d) f() e) f() f) Soluciones de la ecuación f(x) = g) Puntos de corte con el eje h) Monotonía i) Extremos relativos j) Continuidad Practica tú Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones: x+ x a) f(x) = b) f(x) = c) g(x) = x+ x x+ x + d) f(x) = x x e) f(x) = x x f) x+ f(x)= x Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas de la función f en los casos siguientes: x a) f( x) = 00 x b) f( x ) = 0, c) f(x) = x x + x d) f(x) = x 7x e) f(x) = x x + f) f(x) = x x g) f(x) = x + x x h) f( x) = i) f( x) = x x Sea f la función dada por la gráfica Determina: a) f() b) f() c) f( ) d) D(f) e) Rec(f) f) Valor de x para el que f(x) = g) Valores de x para los que f(x) = h) Puntos de corte con el eje de abscisas i) Intervalos donde la función es decreciente j) Extremos relativos k) Continuidad Para la función f dada por la gráfica determina: a) f() b) f() c) f(0) d) D(f) e) Rec(f) f) Punto de corte con el eje de ordenadas g) Intervalo donde la función es creciente h) Extremos relativos i) Continuidad - Página -

5 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Considera la función f cuya gráfica es Determina: a) D(f) b) Rec(f) c) f(0) d) Los valores de x para los que la función vale e) Los intervalos donde la función es constante f) El mínimo de la función g) Continuidad Estudia las características (dominio, recorrido, continuidad, monotonía y extremos) de la función f cuya gráfica es la siguiente: a) b) c) d) - e) f) g) Página -

6 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Estas funciones se pueden clasificar en tres tipos:.- FUNCIONES CUA GRÁFICA ES UNA RECTA - Funciones lineales: Son del tipo f(x) = mx, con m 0. La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El coeficiente de x (la letra m) se llama pendiente de la recta y mide la inclinación de la recta. Por ejemplo: f(x) = x, f(x) = x son funciones lineales. y = x m = > 0 Función creciente y = -x m = - < 0 Función decreciente - Si la pendiente es positiva la función es creciente. Si la pendiente es negativa la función es decreciente - Funciones afines: Son del tipo f(x) = mx + n, con m, n 0. La gráfica de estas funciones es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas O(0,0). El coeficiente de x (la letra m) se llama pendiente de la recta y mide la inclinación de la recta. El término independiente de la fórmula (la letra n) se llama ordenada en el origen. La recta corta la eje en el punto (0, n). Por ejemplo: f(x) = x, f(x) = x + son funciones afines. y = x - y = -x La pendiente es y la ordenada en el origen La pendiente es y la ordenada en el origen - Funciones constantes: Son del tipo f(x) = n. La gráfica de estas funciones es la recta horizontal que pasa por el punto (0, n). En las funciones constantes, la pendiente vale 0 - Página -

7 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Por ejemplo: f(x) =, f(x) = son funciones constantes. y = - y = - Pendiente de una recta La pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos de la recta, A(x, y ), B(x, y ) mediante la expresión: La ecuación de la recta conocido un punto de la recta P(x 0, y 0 ) y la pendiente de la recta, m es y = m(x x 0 ) + y 0 Esta ecuación se llama ecuación de la recta en forma punto-pendiente Ejercicio Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(, ) y Q(, ), calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica Ejercicio Calcula el punto de corte de las rectas r y s, siendo r la recta paralela al eje que pasa por el punto M(, ) y s la recta que pasa por el punto A(, ) y tiene pendiente. Ejercicio 7 Supongamos que la temperatura media del aire disminuye con la altura y que por cada incremento de 00 m de altitud la temperatura baja décimas de grado. La temperatura a nivel del mar es de º C. a) Construye una tabla de valores para x = 0, 00 y 00 b) Halla la fórmula de la función que expresa la temperatura en función de la altitud. c) Representa gráficamente esta función. d) Determina a qué altitud la temperatura es de 0 ºC Ejercicio 8 Un fabricante debe entregar sus productos en un radio de 00 km. Recibe las ofertas de dos transportistas en las siguientes condiciones: Transportista A: 0,0 /km a) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista A b) Escribe la fórmula de la función km-precio para el transportista B Transportista B: fijos y 0,0 /km c) Representa gráficamente las dos funciones anteriores usando los mismos ejes de coordenadas d) Calcula el punto donde se cortan y explica su significado. e) Averigua cuál de ellos sale más barato para un recorrido de 00 km. f) para 00 km? Practica tú 7 Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y haz la gráfica de las siguientes funciones: x+ x f( x) = g( x ) = - Página 7 -

8 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) 8 Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B, calcula los puntos de corte con los ejes de coordenadas y dibuja su gráfica en los siguientes casos: a) A(, ) y B(, ) b) A(, ) y B(,0) 9 Dada la recta a) Halla su pendiente b) Calcula su ecuación c) Averigua si pasa por el punto P(00, 9) 0 La altura inicial de un líquido contenido en una probeta es cm. Es muy volátil y al evaporarse baja el nivel a razón de, cm cada días. a) Construye una tabla de valores para x = 0,, b) Halla la fórmula de la función que expresa la altura del líquido en la probeta según pasa el tiempo. c) Representa gráficamente esta función. d) Determina la altura del líquido al cabo de horas e) Cuánto tiempo debe pasar para que desaparezca el líquido? Dos depósitos de agua, A y B, funcionan de la forma siguiente: a medida que A se va vaciando, B se va llenando. El depósito A está lleno y tiene una capacidad de litros y se vacía a razón de litros por minuto. El depósito B, que está vacío, se llena con una velocidad de, litros por minuto. a) Escribe la fórmula de la función tiempo-litros del depósito A b) Idem del B c) Calcula el instante en que tienen la misma agua y los litros de agua que tienen. d) Representa las gráficas de las dos funciones en los mismos ejes. e) Averigua qué depósito tiene más agua a los 8 minutos. f) a los minutos?.- FUNCIONES CUADRÁTICAS Las funciones cuadráticas son aquellas cuya fórmula viene dada por un polinomio de º grado. Estas funciones se pueden expresar de la forma f(x) = ax + bx + c, siendo a 0 y su gráfica es una parábola. Si a > 0, la parábola tiene las ramas hacía arriba. Decimos entonces que la función es convexa Si a < 0, la parábola tiene las ramas hacía abajo. Decimos entonces que la función es cóncava e: x = x v V(x v, y v) V = vértice e = eje de simetría V = vértice e = eje de simetría V(xv, yv) e: x = xv El vértice V es el mínimo absoluto El vértice V es el máximo absoluto El vértice de la parábola, V(x v, y v ), se calcula por las fórmulas: - Página 8 - x v = b a y = f( x ) v v

9 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) Ejercicio 9 Elabora la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas:! " a) b) f(x) = x + 0x + 7 c) f(x) = x + x + d) y = x + x e) y = x f) x f( x) = 8 x+ Ejercicio 0 Dibuja la parábola que corta al eje O en A(, 0) y B(, 0) y su vértice es V(, ). Ejercicio Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es x euros, su beneficio diario, en euros, sería: B(x) = 0x + 00x 0 a) Representa gráficamente la función. b) Indica a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio y cuál será ese beneficio máximo Ejercicio Se conoce que el rendimiento de un jugador de fútbol durante los primeros minutos de un partido viene dado por la función f(t) = 7,t 0,t, 0 t, donde t es el tiempo, expresado en minutos. a) Representa gráficamente esta función. b) Cuál es el máximo rendimiento del jugador? c) En qué momento lo consigue? d) En qué instantes tiene un rendimiento igual a? Practica tú Dibuja la gráfica de las siguientes funciones cuadráticas: a) y = x x b) y = x + x c) y = x x+ d) y = x e) y = x f) y = x + x + 8 g) f(x) = x x h) f(x) = x x + i) f(x) = x x Dibuja la parábola que corta al eje O en los puntos (,0) y (,0) y con vértice (, ). Dibuja la parábola de vértice (0, ) que corta al eje de abscisas en los puntos (, 0) y (, 0). El valor, en miles de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por la función f(t) = t + 0t, t 8. a) Cuál será el valor de la empresa para t =,? b) Halla el valor máximo de la empresa y el año en que se obtiene c) En qué año el valor de la empresa es de 8 000? El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t, en años, viene dado por: f(t) = t + t, t 7 a) Representa la gráfica de la función f. b) Cuándo alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? c) Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es este? 7 La temperatura T, en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t, en horas, por la expresión: T(t) = 0t 0t, con 0 t. a) Representa gráficamente la función T b) Determina la temperatura máxima que alcanza la pieza y en qué momento se alcanza. 8 El beneficio obtenido por la producción y venta de x kilogramos de un artículo viene dado por la función: B(x) = 0,0x +,x 80. a) Representa gráficamente esta función. b) Halla el número de kilogramos que hay que producir y vender para que el beneficio sea máximo. - Página 9 -

10 º ESO (LOMCE) MATEMÁTICAS ACADÉMICAS TEMAS 0,,.- FUNCIONES-(ª PARTE) 9 Los beneficios mensuales, en euros, de una empresa vienen dados por la fórmula B(x) = 0,0x + 0x 900, siendo x el número de artículos fabricados. a) Representa gráficamente la función. b) Halla el número de artículos que deben fabricarse al mes para que el beneficio sea máximo y también dicho beneficio máximo. 0 Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la expresión: h(t) = t + 0t a) En qué instante alcanza la altura máxima? Cuál es esa altura? b) Representa gráficamente la función h(t). c) En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 0 metros de altura? d) En qué instante llega al suelo? Un estudio acerca de la presencia de gases contaminantes en la atmósfera de una ciudad indica que el nivel de contaminación viene dado por la función: C(t) = 0,t + t +, 0 t (t = años transcurridos desde el año 000). a) En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación? Cuál es ese nivel máximo? b) En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA Son aquellas del tipo f(x) = k, siendo k 0. x La gráfica de este tipo de funciones es una hipérbola de asíntotas los ejes de coordenadas. Las asíntotas son rectas hacía las que tiende a acercarse la gráfica de la función sin llegar a tocarlas. Si k > 0, la función es decreciente y la gráfica es una hipérbola situada en el I y III cuadrantes. Si k < 0, la función es creciente y la gráfica es una hipérbola situada en el II y IV cuadrantes. Ejemplo: Ejemplo: Como puedes ver, la gráfica de estas funciones no corta a los ejes de coordenadas En estas funciones, D(f) = R { 0 }, Rec(f) = R { 0 } Ejercicio La distancia entre dos ciudades es 80 km. Obtén la fórmula y dibuja la gráfica de la función que relaciona el tiempo y la velocidad media con que se recorre dicha distancia. Practica tú Dibuja la gráfica de las funciones: a) f(x) = x b) f(x) = 8 x Halla la fórmula y haz la gráfica de la función que relaciona la base y la altura de los triángulos de cm de superficie - Página 0 -