Teoría de Muestras e Inferencia
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- Alicia Méndez Acuña
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1 Teoría de Muestras e Ifereca TEORÍA DE MUESTRAS E INFERENCIA. Poblacó y muestra. Métodos de muestreo 3. Dstrbucoes asocadas al proceso de muestreo 3. Dstrbucó de la meda de ua poblacó ormal 3. Dstrbucó de la varaza 4. Estmacó 4.. Estmacó putual. Propedades 4.. Obtecó de estmadores 4... Método de los mometos 4... Método de máxma verosmltud Método de los mímos cuadrados 4.3. Estmacó por tervalo Itervalo de cofaza para la meda Itervalo de cofaza para la varaza Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
2 Teoría de Muestras e Ifereca TEORÍA DE MUESTRAS E INFERENCIA Es u hecho recoocdo que la Estadístca es ecesara e todos los campos dode se avace e vestgacó. Los prcpos estadístcos so depedetes de la matera e la que se aplque; los prcpos so geerales auque las téccas puede ser dsttas. Se hace ceca cuado el estudo se ocupa de la observacó y clasfcacó de los hechos. Estadístca es la ceca de los datos. Los datos o hechos umércos so esecales para tomar decsoes e cas todas las áreas de uestra vda. Por ejemplo, llevar paraguas depede de la probabldad de lluva. S observamos que las meddas de ua mujer so , esto sgfca que esa persoa tee uas proporcoes que se cosdera perfectas. E ua empresa se maeja muchos datos sobre vetas, vetaros, persoal, gastos, cletes, equpos, etc. Todos estos datos ha de ser terpretados de algua forma, tarea que requere presetar los úmeros de maera que su mesaje aparezca claramete. Para poder usar los datos co fes cocretos debemos resumrlos y descrbrlos; esta tarea correspode a la estadístca descrptva. El aálss de los datos comba resúmees umércos co represetacoes gráfcas. Imagemos que asstmos a ua partda de dados: prmeramete observamos el desarrollo de la partda y aotamos los resultados (estadístca descrptva), como sabemos que co dos dados el resultado más probable es 7 (estadístca matemátca) y tomaremos la decsó de jugar o o depededo de la comparacó de los resultados (fereca estadístca). E la estadístca descrptva se ve cosas pero o se puede probar de ua maera formal. La estadístca descrptva y la estadístca matemátca so complemetaras. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
3 Teoría de Muestras e Ifereca 3 El aálss de datos requere ua colaboracó dámca etre el especalsta e el asuto (el que posee los datos) y estadístco (el que los aalza). El prmer paso e u aálss de datos es su speccó, famlarzarse co los datos y ecotrar característcas extraordaras. El sguete paso es la comparacó: comparar datos y comparar modelos. Por últmo, la terpretacó. Muy a meudo el cclo etero comeza de uevo. La formulacó de ua hpótess lógca, sometda a prueba por métodos expermetales y la evaluacó objetva de dcha hpótess e base a los resultados expermetales, costtuye los putos esecales del método cetífco, que empleamos e estadístca.. POBLACIÓN Y MUESTRA S deseamos coocer algua característca de ua poblacó podríamos observar dcha característca e todos los membros de la poblacó y estudar esos datos co los métodos de Estadístca Descrptva. Esta operacó es lo que se deoma ceso de ua poblacó. A veces es mprescdble u ceso: cuado se ecesta formacó para cada uo de los dvduos de la poblacó, como por ejemplo para hacer el ceso electoral. Pero e muchos casos u ceso resulta mposble por algua de las sguetes causas: El costo de la observacó para toda la poblacó resulta muy elevado. Se quere los resultados e u corto plazo de tempo, que cuado la poblacó es muy grade o resulta posble. Que el procedmeto de observacó sea destructvo, como por ejemplo, estudar la duracó de uas bombllas o la ressteca de uas barras de acero. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3
4 Teoría de Muestras e Ifereca 4 E estos casos se hace ecesaro reducr el estudo a ua parte de la poblacó que llamaremos muestra y a partr de la formacó obteda tratar de deducr las característcas de toda la poblacó. Este proceso recbe el ombre de fereca. Las vetajas de estudar ua muestra, además del costo reducdo y la gra rapdez, es que se puede hacer co persoal más especalzado y establecer mejores cotroles, lo que permte reducr muchos errores e la toma de datos. La lmtacó prcpal de trabajar co ua muestra es que o obtedremos las característcas de la poblacó co exacttud, so que al hacer la fereca cometemos uos errores llamados de muestreo, auque esos errores se puede medr y cotrolar. Todos estamos acostumbrados a hacer ferecas cotuas. así, por ejemplo, juzgamos a u caal de televsó por uos cuatos programas que vemos; a la E.M.T. por dos autobuses que cogemos al día; o a u polítco por algua de sus actuacoes que coocemos. E la mayoría de los casos os basamos e muestras pequeñas y poco represetatvas. Para que la fereca sea buea, la muestra deberá ser represetatva de toda la poblacó. Al proceso de eleccó de ua muestra se deoma muestreo.. MÉTODOS DE MUESTREO Muestreo aleatoro smple Se caracterza porque todos los elemetos de la poblacó tee la msma probabldad de ser elegdos. El procedmeto práctco de escoger la muestra, puede ser umerar los elemetos de la poblacó, aputar los úmeros e tarjetas, y sacarlas al azar. S la muestra y la poblacó so grades, e vez de tarjetas se utlza tablas de úmeros aleatoros. Este muestreo puede ser: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4
5 Teoría de Muestras e Ifereca 5 Co reemplazameto: se elge u elemeto de la poblacó, se estuda y se retegra a la poblacó. Así sucesvamete, la probabldad de obteer cualquer elemeto se matee costate, teresa para que los elemetos de la muestra sea depedetes. S reemplazameto: los elemetos elegdos e la muestra o se resttuye e la poblacó. La probabldad de obteer u elemeto va aumetado al dsmur los elemetos posbles. Muestreo aleatoro estratfcado Cuado la poblacó objeto de estudo se puede dvdr e dsttas categorías, clases o extractos, e deftva, e varas subpoblacoes, atededo a algua característca comú. Muestreo por coglomerado Por este método, lo que se elge al azar o so uos cuatos elemetos de la poblacó, so uos grupos de elemetos de la poblacó prevamete formados. Elegdos estos grupos o coglomerados, se pasa posterormete a la eleccó, també al azar de los elemetos que ha de ser observados detro de cada coglomerado. 3. DISTRIBUCIONES ASOCIADAS AL PROCESO DE MUESTREO. Puesto que los elemetos que tegra ua muestra so elegdos aleatoramete es evdete el hecho de que las meddas o característcas so varables aleatoras. Ahora se os platea las sguetes cuestoes: Qué fucó de dstrbucó asocar a la varable aleatora? De qué forma podemos vestgar cómo se adapta la fucó de dstrbucó elegda a las observacoes? Como esta fucó de dstrbucó tee e geeral uos parámetros, tales como meda y varaza e el caso de la dstrbucó ormal. Qué podemos deducr sobre los parámetros de la formacó coteda e la muestra? Qué certdumbre tee uestra formacó sobre los parámetros? Iremos vedo como cotestar a estas cuestoes. Prmeramete, ua vez obteda la muestra hay que realzar la fereca sobre la poblacó. Puede ser: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5
6 Teoría de Muestras e Ifereca 6 Ifereca o paramétrca: se descooce el tpo de dstrbucó que sgue la dstrbucó. Ifereca paramétrca: e este caso se supoe coocda la dstrbucó que sgue la poblacó, pero se descooce sus parámetros. El problema es estmar el valor de dchos parámetros. Dstrbucó de probabldad de la poblacó: partmos de ua poblacó e la que ua determada característca sgue ua dstrbucó coocda F(x) que depede de u parámetro (cualquer característca cuattatva de la poblacó). De la poblacó obteemos ua muestra de tamaño, e la que la característca estudada, toma los valores x, x,..., x. Obteemos, pues varables aleatoras depedetes ξ, ξ,..., ξ que está détcamete dstrbudas como la varable aleatora ξ que determa la dstrbucó de la poblacó F(x). Dada ua muestra x, x,...,, se llama estadístco T a cualquer varable aleatora x defda como ua fucó de dcha muestra, T=T( x, x,..., ). Como las muestras puede ser dsttas, para cada ua de ellas se obtedrá ua estmacó dstta. Se tee, por tato, que el estadístco ha de ser cosderado també como ua varable aleatora y tedrá su propa dstrbucó de probabldad. x Llamamos estmador del parámetro, y lo deotamos por a cualquer fucó de los valores de la muestra = f( x, x,..., ) cuyo valor tomamos como valor del parámetro. El estmador es ua fucó que para cada muestra e cocreto toma u valor que llamamos estmacó. S para todas las muestras posbles calculásemos las estmacoes a que da lugar, tedríamos todos los posbles valores de, co sus respectvas probabldades (que sería las probabldades de elegr cada muestra e cocreto). Así pues, u estmador es ua varable aleatora co dstrbucó de probabldad que se llama dstrbucó e el muestreo del estmador. x Cuado u estadístco se utlza para estmar el valor u determado parámetro de ua varable aleatora, etoces es u estmador de. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6
7 Teoría de Muestras e Ifereca 7 Ejemplo: Supogamos ua poblacó formada por u cojuto de bolas de ua caja, cada ua de las cuales lleva u úmero que puede ser u 0 ó. Descoocemos la proporcó de bolas p marcadas co u uo. La dstrbucó de probabldad de la varable aleatora dscreta X: úmero ptado e cada bola de la caja x P(X=x) 0 -p p Supogamos que tomamos ua muestra de tamaño = para estmar p: (X,X) tedremos dos varables aleatoras co la msma dstrbucó que la poblacó, es decr, que puede tomar los valores 0 y co probabldades -p y p respectvamete. La X+ X dstrbucó de la meda muestral X = se expresa e la sguete tabla: muestra x P(X = x ) (0,0) 0 (-p) (0,) ½ p(-p) (,0) ½ (-p)p (,) p ( )( ) ( ) P(X = 0) = P(X = 0)P(X = 0) = p p = p P(X = ) = P(X = )P(X = 0) + P(X = 0)P(X = ) = p p + p p = p p P(X = ) = P(X = )P(X = ) = p ( ) ( ) ( ) Veremos e prmer lugar las dstrbucoes e el muestreo de dsttos estmadores, después certas propedades deseables de los estmadores, y métodos de obtecó de los msmos. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7
8 Teoría de Muestras e Ifereca 8 varaza: 3. Dstrbucó de la meda de ua poblacó ormal, cuado se cooce la Cada ξ es ua varable aleatora co dstrbucó ormal, ξ N( µ, ), la meda muestral será: ξ = ξ + ξ ξ. S e ua poblacó cualquera co meda y varaza fta, se extrae muestras de tamaño, la meda muestral, al ser suma de varables depedetes tede haca ua dstrbucó N µ,, segú el Teorema Cetral del Límte, cuado tede a fto. E la práctca, tee que ser >30 s se cooce la varaza de la poblacó, y >00, s o se cooce la varaza y hay que estmarla por la varaza muestral. Veamos que: E[ ξ ] = µ y que V[ ξ] = E efecto: E y además: ξ + ξ ξ [ ξ] = E [ ] [ ] ( ) ( ) E ξ E ξ µ µ µ µ = + + = + + = = ξ = ξ µ = = ξ µ = ξ ξ. µ V E ( ) E E = E[ ( ) ] E[ ( )( )] j ξ µ + ξ µ ξ µ = j< E [ ξ ] E [( )] E[ ( ) ] µ ξ j µ = ξ µ ξ j µ puesto que, ( )( ) =. =. =0 por ser depedetes. Ejemplo: Sabedo que los errores de observacó de ua determada magtud sgue ua dstrbucó N(0,.5), calcular: a) Probabldad de que al hacer ua observacó el error sea mayor que 0,5. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8
9 Teoría de Muestras e Ifereca 9 b) Probabldad de que al hacer 9 observacoes de la msma magtud, la meda de esas observacoes tega u error mayor que 0,5. c) Número de observacoes ecesaras para que el error de la meda sea meor que 0,5 co probabldad 0,95. Solucó: a) Sea ξ la observacó que tee la msma dstrbucó que la poblacó. Así pues: P( ξ> 0,5) = P( ξ 0,5) = F N(0,.5) (0,5) = 0, = 0,36944 DERIVE: - NORMAL(0.5, 0,.5) = EXCEL: =-DISTR.NORM(0,5;0;,5;VERDADERO) 0, WOLFRAMALPHA: Probablty x>0.5 ormal dstrbuto, mea=0,sd= b) Sea ξ la meda de las ueve observacoes. Sabemos que la dstrbucó de ξ es N µ, =N 0 5,, =N(0,0.5). Así pues: 9 P ( ξ> 0,5) = P ( ξ 0,5) = F N(0,0.5) (0,5) = 0,843 = 0,587 DERIVE: - NORMAL(0.5, 0, 0.5) = EXCEL: =-DISTR.NORM(0,5;0;0,5;VERDADERO) 0, WOLFRAMALPHA: Probablty x>0.5 ormal dstrbuto, mea=0,sd= c) Nos dce que P( ξ < 0, 5) = 0,95. Pasado a ua N(0,), se tee: P ξ < = P 0 0, 5 0 < ξ 0 = P η < = 0,95, sedo η = N(0,) 5, 5, 3,5 / ( ξ 0, 5) Buscamos e las tablas de la N(0,) u valor que deje a su zquerda ua probabldad 0,95. Por cosguete: 3 = 645, y de aquí = 4,35. Como el tamaño de la muestra tee que ser u úmero etero, tomaremos = 5. DERIVE:.5 #: NSOLVE NORMAL 0.5, 0, = 0.95,, Real #: = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,95;0;), WOLFRAMALPHA: ormal dstrbuto, mea=0,sd=,64485 (Percetl 95) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 9
10 Teoría de Muestras e Ifereca 0 3. Dstrbucó de la varaza S cosderamos ξ,..., ξ ua muestra aleatora smple de ua poblacó, tedremos: ξ = ξ ξ = ( ξ ξ) poblacó S = ( ) que es la meda muestral, y µ la meda de la poblacó. que es la varaza, y por supuesto = ( ξ µ ) ξ ξ la cuasvaraza o varaza muestral E la varaza de la Debe observarse que o hemos hecho gua hpótess de cuál sea la dstrbucó de probabldad de la varable ξ. S la dstrbucó de partda es N( µ, ), se tee que: ( ) S = ( ) ξ ξ = ( ξ µ ) ( ξ µ ) y dvdedo por ( ) S = ξ µ ξ µ ξ µ = ξ µ = η η χ χ puesto que ξ ξ µ N( µ, ) = η N( 0, ) y que ξ µ ξ µ N(, ) = η N( 0, ). Parece lógco utlzar la propedad adtva de la dstrbucó j-cuadrado y coclur que la dstrbucó ( )S χ χ =χ. Resultado coocdo como teorema de FISHER. Por otra parte, puede demostrase que las varables aleatoras ξ y S so depedetes. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 0
11 Teoría de Muestras e Ifereca 4. ESTIMACIÓN. 4.. Estmacó putual. Propedades. Partmos de ua poblacó F( x, ) co parámetro descoocdo. Tomemos ua muestra ξ,..., ξ de esa poblacó. Defmos ua fucó de esos valores de la muestra que llamamos estadístco co lo que pretedemos estmar el valor de. Para cada muestra e cocreto, el valor que toma el estmador es ua estmacó putual del parámetro. Propedades de los estmadores: So ua sere de propedades que so deseables que posea los estmadores. Las prcpales so: a) Isesgado o cetrado U estmador se llama sesgado cuado E =. Por el cotraro, u estmador es sesgado cuado E = + ( ) sesgo o error sstemátco del estmador. b, dode ( ) b es el b) Cosstete U estmador es cosstete, s al tomar como muestra toda la poblacó, es estmador toma el parámetro poblacoal. Es decr, = s = N. c) Efcete Cuado u parámetro se estma por, al error que cometemos se le llama fucó de perdda. Nos teresa más coocer ua medda del error de todas las posbles estmacoes. Por ello, como es ua varable aleatora ua medda del error será la E que se llama fucó de resgo R,. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
12 Teoría de Muestras e Ifereca El estmador será tato mejor cuato meor sea la fucó de resgo. =E S el estmador es cetrado E =, la fucó de resgo será: R, = sea su varaza. = V( ). Por ello, u estmador que sea cetrado será tato mejor cuato meor A los estmadores sesgados de míma varaza se les llama efcetes. Error medo cuadrátco U cocepto teresate es el de error medo cuadrátco (EMC). S es u estmador de, se defe: EMC = E estmador respecto del parámetro. que represeta la dspersó del E efecto: Además, se tee: EMC = V + E. Sumado y restado E EMC = E = E E + E = = E E + E E + E = E E + E E E + E = = V + E Obsérvese que s es cetrado, EMC = V. 0 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
13 Teoría de Muestras e Ifereca 3 d) Sufcete Este crtero es meos tutvo y requere u estudo más complejo, la dea es que u estmador sufcete recoge toda la formacó que aporta la muestra para estmar el parámetro. e) Robusto Se dce que u estmador es robusto s su dstrbucó muestral o se ve seramete afectada por volacoes de las suposcoes. So estmadores que fucoa be para dsttas dstrbucoes teórcas, por ello so també llamados estmadores o paramétrcos. Alguos estmadores mportates: ξ + ξ ξ La meda muestral que ya hemos calculado ξ = sesgado, ya que E[ ξ ] = µ, cosstete, efcete, puesto que V[ ξ] = es u estmador, y sufcete. Estmador de la varaza de la poblacó S cosderamos = ( ξ ξ) E como estmador de la varaza, teemos que: = ( ξ ξ) = ( ξ µ + µ ξ) E E = = ( ξ µ ) ( ξ µ )( ξ µ ) + ( µ ξ) = E = ( ξ µ ) ( ξ µ ) ( ξ µ ) + ( µ ξ) = E = ( ξ µ ) ( ξ µ ) + ( µ ξ) = E = ( ξ ) µ ( ξ µ ) = ( ξ µ ) ( ξ µ ) E es cetrado, puesto que E[ ] E. = = luego o Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3
14 Teoría de Muestras e Ifereca 4 S embargo, la cuasvaraza muestral S = ( ) sesgado de la varaza. ξ ξ es u estmador E efecto: E[ S ] = ( ξ ξ ) = E ( ) E ξ ξ = E [ ] = = Debe observarse que o hemos hecho gua hpótess de cual sea la dstrbucó de probabldad de la varable ξ. 4.. Obtecó de estmadores Hasta ahora hemos vsto las propedades que debe teer u estmador para cosderarlo aceptable. Vamos a ver cómo se obtee esos estmadores, por prcpos que o sea el de aalogía Método de los mometos Cosste e gualar mometos muestrales co los mometos de la varable del msmo orde (mometos poblacoales). Se guala tatos mometos como parámetros descoocdos se tega, de modo que el sstema de ecuacoes resultate permta despejar los parámetros que se quere estmar, 4... Método de máxma verosmltud Cosste e elegr el valor del parámetro que hace más probables (más verosímles) los valores obtedos e la muestra. Este método fue usado por Gauss e el caso especal de la dstrbucó Normal para justfcar el método de los mímos cuadrados y posterormete desarrollado por R. A. Fsher e sus aspectos esecales. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4
15 Teoría de Muestras e Ifereca 5 S tomamos ua muestra ξ, ξ,..., ξ de ua poblacó que depede de uos parámetros,,..., k, sabemos que cada ξ tee la msma dstrbucó que la poblacó: f ( x,,,..., ). k La probabldad de que salga ua muestra ξ, ξ,..., ξ vee dada por: f ( x,,,..., )...f ( x,,,..., ) = f ( x,,,..., ) = L( x,..., x,,,..., ) que es la k k k k llamada fucó de verosmltud. La dea de este método es coger como estmadores los valores que hace máxma esta fucó, basádose e el prcpo lógco de supoer que los parámetros toma los valores que hace máxma la probabldad de obteer cada muestra. Es más cómodo maejar log L, y lo podemos hacer ya que los valores que maxmce L, maxmza log L (por ser el logartmo ua fucó moótoa crecete). E la mayoría de los casos, basta co hallar los valores que aula su dervada: logl = 0. Estas ecuacoes que debe satsfacer los parámetros so las ecuacoes de máxma verosmltud. sesgados. Observacó: El método de máxma verosmltud o sempre produce estmadores 3 Ejemplo: S X, X,,X costtuye ua muestra aleatora de tamaño de ua poblacó Normal co meda µ y varaza, hallar los estmadores cojutos de máxma verosmltud de los dos parámetros. Solucó: Puesto que la fucó de verosmltud está dada por: L( µ, ) = f ( x, µ, ) = e π µ ( x ) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5
16 La dferecal parcal de l ( µ, ) Teoría de Muestras e Ifereca ( ) ( L( )) L co respecto a y e gualado a cero os da: l µ, = ( x µ ) = 0 µ= µ ( L( )) 0 x 4 l µ, = + µ = = µ = = ( ) ( x ) Obsérvese que se obtee la meda muestral X y la varaza V como estmadores de y respectvamete. x Método de los mímos cuadrados Supogamos ua curva de ecuacó = (,,,..., ) y g x k, que o será, e geeral, ua fucó de desdad. S teemos >k valores de x, o es posble resolver el sstema (,,,..., ) y g x k = 0 (,...,) para calcular,,..., k, ya que el sstema será geeralmete compatble. El prcpo de mímos cuadrados cosste e establecer que la curva de ajuste es la que hace míma la suma de cuadrados de los resduales: ( ( )) m y g x,,,..., k de las ecuacoes: j o sea, que los valores de los parámetros so las solucoes ( y g( x k )),,,..., = 0 j=,,...,k Estmacó mímo cuadrátca de ua magtud drectamete medda. S teemos x,..., x meddas de ua magtud y sea el valor descoocdo, etoces el método de los mímos cuadrados os da la codcó para la estmacó de x : m ( ) ( x ) = 0 ( x ) = 0 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 6
17 Teoría de Muestras e Ifereca 7 x = 0 = x Resulta el msmo estmador que e el caso del método de máxma verosmltud para la meda de ua poblacó ormal; o debe olvdarse que, auque los resultados sea détcos e su aspecto formal, se parte e uo y otro caso, de supuestos teórcos completamete dferetes. E el caso de la dstrbucó ormal los resultados de ambos métodos so cocordates Estmacó por tervalo Hemos vsto formas de obteer estmadores y propedades de los msmos cosderado ta sólo la estmacó putual, segú la cual la estmacó de los parámetros se resuelve medate u puto o valor úco. Auque hayamos elegdo el mejor estmador es cas mposble, que el valor de la estmacó cocda co el parámetro, y o sabemos cuáto es el error cometdo (auque sepamos que es el estmador de meor error, s es efcete). Por ello es coveete acompañar toda estmacó de u parámetro de u tervalo h, + h y de ua medda de la cofaza para la meda y varaza, y para ello utlzaremos la dstrbucó e el muestreo de los correspodetes estmadores. Sea X ua varable aleatora cuya dstrbucó depede de u parámetro descoocdo y sea x, x,, x ua muestra aleatora smple de X. Fjado u vel de cofaza α buscaremos dos estadístcos T =T(x, x,,x ) y T =T(x, x,,x ) tales que el tervalo de cofaza para co ese vel de cofaza sea: Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 7
18 Teoría de Muestras e Ifereca 8 Ι α = h, + h = ( T,T ) de forma que P( Ι α ) = P(T T ) = α, sedo 0< α < Itervalos de cofaza para la meda a) Poblacó ormal co varaza coocda Sabemos que ξ µ N,, luego η = tervalo Ι α de forma que la P ( µ ) Ι = α. α ξ µ N( 0, ). Queremos calcular u A α se le llama vel de sgfcacó y es la probabldad de que el parámetro o esté e el tervalo. Buscaremos e la N(0,) u valor z de forma que: ( ) = P( z η z ) = α ( ) P z N(0,) z α/ α/ α/ α/ F(z ) = P η z = α / α/ α/ Teemos pues que: ξ µ P z α/ z α/ = α P ξ z α/ µ ξ + z α/ = α Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 8
19 Teoría de Muestras e Ifereca 9 P ξ z α/ µ ξ+ z α/ = α como z, y so coocdos, teemos el tervalo z Ι α = ξ α/, ξ+ z α/. Ates de obteer la muestra cocreta ξ es ua varable aleatora y por tato tee setdo hablar de probabldad. Ua vez obteda la muestra cocreta ξ toma u valor cocreto X, y el tervalo també, etoces la meda de la poblacó puede estar o o estar e el tervalo por lo que o tee setdo hablar de probabldad. Lo que ocurre es que o sabemos s está o o, y teemos u grado de cofaza de α de que efectvamete esté. De ahí el ombre de tervalos de cofaza. El tervalo de cofaza sería: X± z α/ Los grados de cofaza α (frecuetemete expresada e tato por ceto equvalete) es la frecueca relatva de veces que los tervalos de cofaza cotee el parámetro de la poblacó, etededo que el proceso de estmacó se repte u úmero grade de veces. Co frecueca ates de tomar la muestra se os platea elegr el tamaño de la msma para cosegur ua precsó determada (ampltud de tervalo) a u determado vel de sgfcacó. Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 9
20 Teoría de Muestras e Ifereca 0 ( µ ε µ + ε) Supogamos que el error máxmo que queremos admtr es ε. El tervalo será, y co vel de sgfcacó α, comparado co el tervalo obtedo, teemos que: z α/ z α/ z α/ =ε = = ε ε 4 Ejemplo: Observado las medcoes durate 0 días seleccoados al azar de u topógrafo, obteemos ua meda de 40. Supoedo ormaldad co varaza 6 e la dstrbucó de las medcoes daras, hallar u tervalo de cofaza para la meda al 95%. Solucó: Teemos X = 40; = 0; = 4 4 El tervalo de cofaza sería: X ± z α/ = 40 ± z α/ 0 Para α = 0,95 e la N(0,) teemos que: ( α ) α ( ) P Z < z = = 0,95 P Z <,96 = 0,975 z =,96 / 0,975 DERIVE: #: NSOLVE(NORMAL(z, 0, ) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;), O drectamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;4;0), X ± z α/ = 40 ±, WOLFRAMALPHA: ormal dstrbuto, mea=0,sd= (Percetl 97,5) 4 4 Resulta, I 40 z0,975 40, = ± = ± = ( ) meda poblacoal al 95%. 37.5,4.48 u tervalo de cofaza para la Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 0
21 Teoría de Muestras e Ifereca b) Poblacó cualquera de varaza fta y muestras grades Sabemos que ξ N( µ, ). Razoado gual que ates, s la varaza es coocda el tervalo será P ξ z α/ µ ξ+ z α/ = α para >30. S la varaza es descoocda la estmamos por la cuasvaraza, y queda: S S P ξ z α/ µ ξ+ z α/ = α S para >00 y el tervalo es X± z α/. 5 Ejemplo: Para estudar el úmero de pulsacoes por muto de persoas etre 0 y 30 años, se elge 400 al azar, obteédose ua meda de 75 por muto y ua desvacó típca de 9. Calcular: a) Itervalo de cofaza del 95% del úmero medo de pulsacoes por muto e dcha poblacó. b) Tamaño de la muestra ecesaro para obteer el tervalo de cofaza de la msma ampltud que el ateror y co vel de cofaza del 99%. Solucó: Por ser el tamaño de la muestra sufcetemete grade podemos cosderar N µ, El tervalo de cofaza para ua poblacó ormal es: X± z α / a) Para uestros datos: X = 75; S = 9; = 400; α= 0.05 X µ Teemos Z = N(0,) P( z α/ < Z < z α/) = α= 0.05 = 0.95 F(z α/) = P( Z < z α/) = DERIVE: #: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.975, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,975;0;), O drectamete =INTERVALO.CONFIANZA(0,05;9;400) 0, X ± z α/ = 75 ± 0, WOLFRAMALPHA: ormal dstrbuto, mea=0,sd= (Percetl 97,5) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
22 Teoría de Muestras e Ifereca 9 9 Iα= 0.05 = 75.96, = ( 74.8,75.88 ) P z < Z < z = α= 0.0 = 0.99 F(z ) = P Z < z = b) ( ) ( ) α/ α/ α/ α/ DERIVE: #: NSOLVE(NORMAL(z) = 0.995, z, Real) #: z = EXCEL: =DISTR.NORM.INV(0,995;0;), z α/,58 9 z α/ = 0, = = = , , Por lo que el tamaño de la muestra será de 694. c) Poblacó ormal co varaza descoocda. Sabemos que ξ µ N( 0, ) y teedo e cueta que ( ). S (Teorema de Fsher) se dstrbuye segú ua χ ua t de Studet co - grados de lbertad. ξ µ ξ µ N(0,). Por tato, = t, es S S χ Obsérvese que cuado tede a fto la t de Studet se dstrbuye segú N(0,). Por eso e la práctca la t de Studet se utlza para muestras pequeñas (cuado <30). Buscaremos u valor t α tal que ( t < t < t ) = α P α / α /. ( α/) α/ ( α/) P t < t = α F(t ) = P t t = α / y el correspodete tervalo de cofaza será: ( ξ µ ) P t α/ < < t α/ = α S S S P t α/ <ξ µ< t α/ = α Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M.
23 Teoría de Muestras e Ifereca 3 S S P ξ t α/ < µ < ξ + t α/ = α S S P ξ t α/ <µ<ξ+ t α/ = α S Para ua muestra cocreta: X± t α/ y s queremos determar el tamaño S muestral, resulta t α / = ε de dode α/ = t.s ε. 6 Ejemplo: Sea ua varable aleatora ξ co dstrbucó N(8, ) co descoocda. Se obtee ua muestra aleatora smple de tamaño 5. Calcular P( ξ> 8.3) sabedo que la varaza muestra es Solucó: La dstrbucó de ξ es N 8,, pero al descoocer y ser la muestra 5 pequeña, tedremos que pasar a ua dstrbucó t de Studet. ξ µ Sabemos que el estadístco sgue ua dstrbucó t de Studet co - S ξ 8 grados de lbertad. Así pues: = t 5, ya que S 0.8 =0.64= P( ξ > 8. 3) = P ξ > P( t 4.875) = > = DERIVE: - STUDENT(.875, 4) = EXCEL: =DISTR.T(,875;4;) 0, WOLFRAMALPHA: Probablty x>.8475 studettdstrbuto degrees of freedom 4 Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 3
24 Teoría de Muestras e Ifereca 4 Itervalos de cofaza para la varaza Se sabe que ( ). S χ s la poblacó de partda es N( µ, ). Por tato, para tomar el tervalo de cofaza de vel de sgfcacó α, buscamos los valores k y k, tal que: P k ( ). S < < k = α. Se os platea el problema de que la dstrbucó χ o es smétrca (como ocurría co la Normal y la t de Studet) por lo que o es posble determar co exacttud los valores k y k para que el tervalo esté cetrado e S. Ua solucó aproxmada y geeralmete buea es determar k y k co las codcoes: P( χ k) < = α y P( χ k ) > = α Así pues, tedríamos: ( ).S k k P k < < k = P < < = ( ).S ( ).S ( ).S ( ).S = P < < = α k k Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 4
25 Teoría de Muestras e Ifereca 5 7 Ejemplo: Dadas cuatro observacoes {0., 0.5, 0., 0.4} obteer u tervalo de cofaza para la varaza a u vel de sgfcacó de Solucó: Usamos la dstrbucó χ para la obtecó de u tervalo de cofaza para la varaza para observacoes ormalmete dstrbudas N( µ), e depedetes E uestro caso: ( ).S ( ).S P < < = α k k x ; x = = 0.3 ( ) ; 0.05 x x 0. S = = 3 ( ) ( 3 ) α= y -=3 grados de lbertad, P k <χ < k = α P k <χ < k = 0.95 P χ < k = 0.05 ( ) Buscaremos los valores de k y k tales que: 3 ( 3 ) dstrbucó, obteemos k=0.6 y k= DERIVE: #: NSOLVE(CHI_SQUARE(x, 3) = 0.975, x, Real) #: x = #3: NSOLVE(CHI_SQUARE(x, 3) = 0.05, x, Real) #4: x = EXCEL: =INV.CHICUAD.CD(0,975;3) 0, EXCEL: = INV.CHICUAD.CD (0,05;3) 9, P χ < k = WOLFRAMALPHA: Ch Square Dstrbuto degrees of freedom 3 0, 0, < < = 9,348 0, 6 P 0,95 0,0 < < 0, 46 e la fucó de (Percetl.5) (Percetl 97.5) Udad Docete de Matemátcas de la E.T.S.I.T.G.C. de la U.P.M. 5
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