Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad 2. Polinomios y fracciones algebraicas Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

Transcripción

1 Soluciones a los ejercicios propuestos Unidad Polinomios y fracciones algebraicas Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I

2 POLINOMIOS SUMA Y PRODUCTO Dados los polinomios P y Q Determina si están reducidos, si son completos y cuál es su grado Averigua el valor numérico de P y Q en = 0 y en = Calcula P Q, P Q y P Los polinomios están reducidos, P es completo, Q no es completo y gradop=, gradoq= P 0, Q 0 0, P 0, Q i P Q ordenando ii P Q iii P Efectúa las siguientes operaciones: d e d e

3 COCIENTE DE POLINOMIOS Determina si el polinomio es un múltiplo de Efectuando la división utilizando el algoritmo de la división obtenemos: Como el resto no es nulo, entonces no se trata de una división eacta y en consecuencia el polinomio dado no es múltiplo de 9 Averigua si el polinomio + es un divisor del polinomio Para resolver el ejercicio debemos determinar si el cociente la división tenemos: es o no eacto Efectuando Como el resto no es nulo, entonces el polinomio dado no es un divisor de 0 Realiza las siguientes divisiones de monomios: 9 a b c : abc d :

4 9 bc a abc c b a : : d 0 : : Efectúa las siguientes divisiones de polinomios: : 9 : 9 9 : 9 Efectuando el algoritmo de la división entera tenemos: ; R C : 9 9 Efectuando el algoritmo de la división entera obtenemos: ; R C Obtén el divisor de una cociente cuyo dividendo es, su cociente es y el resto es

5 Utilizando la fórmula de la división entera de polinomios R C d D deducimos que C R D d, por tanto, calculemos en primer lugar la diferencia entre dividendo y resto: 9 Calculemos ahora la división entre el polinomio anterior y el cociente 9, aplicando el algoritmo de la división tenemos: Por tanto el divisor es Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones utilizando la regla de Ruffini: : : / : d : e : f : g : h : : por tanto el cociente es: y el resto: 0 : por tanto el cociente es: y el resto: :

6 luego el cociente es: y el resto: d : entonces el cociente es: y el resto: 0 e : por tanto el cociente es: y el resto: 0 f : En consecuencia el cociente es: g : y el resto: Luego el cociente es y el resto es 0 h : Entonces el cociente es y el resto es 0 Determina el valor que debe tomar b para que el polinomio b 9 sea divisible por Aplicando la regla de Ruffini:

7 Por tanto el resto de la división entre ambos polinomios es 9b Como ha de ser una división eacta entonces 9b 0 9b b 9

8 TEOREMA DEL RESTO 0 Dado el polinomio P, calcula P, P, P, y P utilizando la regla de Ruffini Cuál es el resto de la división P :? Y el resto de la división P :? Aplicamos Ruffini para =, =, = y = De donde se deduce que: P, P, P 0 y P 9 El resto de la división P : coincide con el valor numérico de P Y el resto de la división P : con el valor numérico de P 0 Halla el resto de la división entre el polinomio P,, 0,, y el binomio Como la división inicial es equivalente a:,, 0,,,, 0,,,, 0, 0,9 Entonces, teniendo en cuenta que D R D R C C, luego el resto del cociente entre P : es d d d d P : igual al doble del resto de Efectuando la regla de Ruffini para el cociente,, 0, 0,9 : tenemos:

9 Luego el resto de la división entre P : es 9, 9, P : es 9,, en consecuencia el resto de la división FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Factoriza los siguientes polinomios : P 0 0 Como podemos sacar factor común a todos los monomios entonces Probamos ahora con los divisores de 0:,,,, 0, como P 0, entonces 0 0 Si resolvemos ahora la ecuación 0, obtenemos 0 que, por tanto las raíces son y Por tanto la descomposición del polinomio es la siguiente: 0 0 P 9 Aplicamos la Regla de Ruffini, ensayando con los divisores de 9, es decir con,, Obtenemos que P 0 y P 0 : Luego P Ensayamos con los divisores de,,,,, 9,,, y resulta que ninguno de estos valores no da de resto 0, por lo que el polinomio no tiene raíces enteras Y no tenemos métodos para determinar si el polinomio es o no irreducible En realidad el polinomio es irreducible Obtén las raíces del polinomio: Probando con los divisores de con la regla de Ruffini tenemos: 9

10 De donde deducimos que: Las dos últimas raíces las obtenemos resolviendo la ecuación: 0,, luego, Luego:, y las raíces del polinomio son,,, Construye un polinomio P de grado que tenga como raíces = 0, =, y tal que su valor numérico en = sea El polinomio está formado por P ya que = 0, = son raíces del mismo y suponiendo que a es la tercera raíz Como P, entonces 9 P a a Sea el polinomio P ab Determina el valor de a y b sabiendo que = y = son raíces de dicho polinomio Si = es raíz del polinomio, entonces aplicando Ruffini: Deducimos que el resto ha de ser nulo por lo que a b 9 0 Por otro lado, si = es una raíz del polinomio, aplicando nuevamente la regla de Ruffini: Como el resto ha de ser nulo, entonces a b 0 0

11 Si resolvemos el sistema a b 9 a b obtenemos que a, b 9 Calcula el máimo común divisor y el mínimo común múltiplo de los polinomios: P y Q P y Q P, Q y R M C D P, Q, m c m P, Q M C D P, Q, m c m P, Q 0 M C D P, Q, R, m cm P, Q, R FRACCIONES ALGEBRAICAS Determina si las siguientes fracciones algebraicas son equivalentes: y 9 y y 9 9 Como 9 entonces las fracciones algebraicas son equivalentes y Como coinciden entonces podemos afirmar que las fracciones algebraicas son equivalentes y Son distintos por tanto estas dos fracciones no son equivalentes Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: d Factorizamos numerador y denominador, suprimimos los factores comunes a ambos y resulta: 0 0

12 Descomponiendo en factores el numerador y denominador y suprimiendo los factores comunes, obtenemos: 9 d Reduce a común denominador las siguientes fracciones algebraicas:,,,,, Como m c m,,, entonces construimos las fracciones algebraicas equivalentes siguientes: Como entonces Como entonces Como entonces El m c m,, construiremos las siguientes fracciones algebraicas: Como entonces Como entonces Como entonces Dado que el m cm, entonces las fracciones algebraicas equivalentes con un común denominador se obtienen así: Como entonces,

13 y como entonces Opera y simplifica: : 0 0 Descomponiendo en factores los numeradores y denominadores de las dos fracciones algebraicas tenemos: Descomponiendo en factores los numeradores y denominadores de las dos fracciones algebraicas tenemos: : 0 : 0 0