E en los puntos a y b de la línea

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Diego Gutiérrez Poblete
hace 6 años
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Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de 2004 1.

1 Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de El explosor de esferas es un condensador formado por dos electrodos metálicos esféricos del mismo radio R, situados uno frente al otro y a una distancia entre sus centros D. Funciona de forma muy parecida a un condensador plano, pero al cambiar la geometría de los conductores (electrodos), cambian las formas de las líneas de fuerza (figuras 1 y 2). Una forma de simplificar el estudio electrostático del explosor es sustituyendo la esfera conductora que se encuentra a mayor potencial (Va) por dos cargas puntuales positivas q0+ y q1+ situadas en el centro O de la esfera y a una distancia d del centro, respectivamente, y la esfera conductora que se encuentra a menor potencial (Vb) sustituyéndola por dos cargas puntuales negativas q0- y q1- situadas en el centro O' de la esfera y a una distancia d del centro, respectivamente (ver figura 3). El medio que separa los electrodos es aire, de permitividad ε0. a) Calcular el flujo del vector intensidad de campo eléctrico, ΦE, que atraviesa una superficie esférica centrada en el punto O, y de radio 2R = 10 cm. E en los puntos a y b de la línea que une los centros de las cargas, indicando claramente su dirección y sentido. b) Calcular el vector intensidad de campo eléctrico Datos: q0+ = 278 nc, q0- = nc, q1+ = 99 nc, q1- = - 99 nc, d = 1,79 cm, R = 5 cm, D = 14 cm, ε0 = 8, C 2 /N m 2 Nota: Los alumnos que se presentan a los dos parciales, deben realizar únicamente los apartados marcados con Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de 2004 Figura 1 Figura 2 Figura 3

2 Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de Tenemos un tramo de cable coaxial con doble malla, representado en la figura, formado por tres conductores: el central de radio R1, la malla 1 entre R2 y R3 y la malla 2 entre R4 y R5, separados por sus respectivos dieléctricos. ε2 R4 R3 R5 R2 ε1 R1 H a) Calcular la capacidad del conjunto desde R1 hasta R5. b) Si conectamos la malla 1 a un potencial V0 respecto de tierra y el conductor central y la malla 2 a tierra, calcular: Las cargas en la parte interior y exterior de la malla 1 y los campos eléctricos en ambos dieléctricos indicando claramente su dirección y sentido. Datos: ε1 = 20 ε0; ε2 = 70 ε0; R1 = 2 mm; R2 = 5 mm; R3 = 6 mm; R4 = 10 mm; R5 = 11 mm; H = 25 m; V0 = 30 V. Nota: Los alumnos que se presentan a los dos parciales, deben realizar únicamente los apartados marcados con Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de Una placa de circuito impreso multicapa consiste en una base de fibra de vidrio de permitividad ε1 y espesor h. En ambas caras de la base se han depositado capas de cobre aisladas. En la cara superior se ha añadido una capa de poliuretano aislante, de permitividad ε2 y espesor d, y sobre ella otra capa de cobre. Para evitar en lo posible interferencias y facilitar el diseño, la capa conductora inferior se conecta a tierra (lo que se suele denominar plano de masa ) y la superior (plano de alimentación) se conecta a la tensión de alimentación, Vcc respecto a tierra. El grosor de las superficies conductoras es δ y se puede obviar el efecto de la deformación de las líneas de campo. a) Si la pista interior se encuentra sin carga neta, calcular su potencial respecto a tierra. Plano de alimentación Pista sin carga neta Vcc Poliuretano ε2 d Placa base Plano de masa Fibra de vidrio ε1 h b) Si la pista interior se conecta ahora a VCC/2 respecto al plano de masa, calcular la densidad de carga real almacenada en cada cara de la pista y la energía almacenada en el sistema. Poliuretano ε2 Vcc Vcc/2 Fibra de vidrio ε1 c) Calcular la máxima diferencia de potencial entre el plano de alimentación y el plano de masa, VCCmax cuando la pista intermedia está a un potencial VCCmax/2 respecto a masa. La rigidez dieléctrica de la fibra de vidrio es EMAX1 y la del poliuretano es EMAX2. Datos: h = 1 mm; d = 0,1 mm; δ << d; ε1 = 6 ε0; ε2 = 2,5 ε0; ε0 = 8, F/m; S = 30 cm 2 ; EMAX1 = V/m; EMAX2 = V/m; VCC = 10 V.

3 Electricidad y Electrometría 1º Electrónicos Convocatoria de Julio. Primer parcial. 28 de junio de El explosor se puede simplificar sustituyendo la esfera a mayor potencial (Va) por dos cargas puntuales positivas q 0+ y q 1+ situadas en el centro O de la esfera y a una distancia d del centro, respectivamente. La esfera conductora que se encuentra a menor potencial (V b ) se representa mediante dos cargas puntuales negativas q 0- y q 1- situadas en el centro O' de la esfera y a una distancia d del centro, respectivamente. El medio que separa los electrodos es aire, de permitividad ε 0. Datos: q 0+ = 278 nc, q 0- = nc, q 1+ = 99 nc, q 1- = - 99 nc, d = 1,79 cm, R = 5 cm, D = 14 cm, ε 0 = 8, C 2 /N m 2 a) Calcular el flujo del vector intensidad de campo eléctrico, Φ E, que atraviesa una superficie esférica centrada en el punto O, y de radio 2R = 10 cm. q 1+ q 0+ 4 R a) En el primer apartado, tal como se puede ver en la figura, las líneas de campo eléctrico ni son perpendiculares a la superficie de la esfera (fíjate en las líneas la mitad superior e inferior) ni el módulo del campo eléctrico es constante en la esfera (la densidad de líneas es mayor en el centro). Por tanto, el cálculo directo de la integral de flujo es complejo (sólo lo podemos realizar de forma sencilla cuando tenemos mucha simetría, y este no es el caso). E = EdScos α = E Sup esfera s cos α cte Φ E cte Se ha considerado un error de concepto poner la simplificación anterior en el examen y los alumnos que han llegado al resultado numérico correcto, pero poniendo la expresión anterior, han obtenido una calificación de 0,4 puntos sobre 1 punto del apartado. Para poder resolver el problema rigurosamente, es necesario aplicar la ley de Gauss generalizada: ε0 E 1 1 E = E ds cos α= ds cos α= ε0 E ds cos α= D ds cosα ε ε Φ ε0 0 0 Esfera Esfera Esfera Esfera

4 Φ Φ E + = = = = Q nc 99 nc N m = 42598,9 C D Ley de Gauss encerrada en la esfera ε ε ε ε q q 2 También se ha considerado correcto aplicar directamente la Ley de Gauss para el vacío: Φ E Q q + q + encerrada en la superficie cerrada = = = Ley de Gauss ε ε ε para el vacío nc 99 nc N m = 42598,9 C b) Calcular el vector intensidad de campo eléctrico E en los puntos a y b de la línea que une los centros de las cargas, indicando claramente su dirección y sentido. Este segundo apartado es muy sencillo. Sólo hay que aplicar correctamente la fórmula del campo eléctrico E que crea una carga puntual. En realidad, como tenemos cuatro cargas tendremos que aplicar el principio de superposición. E = E + E + E + E total carga q0- carga q1- carga q1+ carga q0+ Ahora bien, para obtener el resultado correcto hay que tener mucho cuidado al realizar la suma vectorial. Si nos fijamos en la dirección del campo eléctrico que crea cada carta en el espacio entre los explosores, veremos que el campo creado por cualquiera de las cuatro cargas apunta a la izquierda. 2 E q1+ E q1+ E q0- E q1- Como todos los vectores tienen la misma dirección, el módulo de la suma es la suma del módulo de las componentes (esto parece un trabalenguas, pero si lo expresamos matemáticamente quedará más claro). E = E + E + E + E E total Todos los vectores carga q0- carga q1- carga q1+ carga q0+ tienen la misma dirección (hacia la izda) = carga k distancia del punto a la carga total Todos los vectores 2 tienen la misma direc- todas las ción (hacia la izda) cargas del sistema Ahora ya solo queda calcular las distancias entre las cargas y el punto en donde estamos calculando el campo eléctrico E. Por ejemplo, para el punto a obtenemos: q0 q1 q1 q N Etotal = k = 2, ( D R) ( D d R) ( R d) R C Si repetimos el cálculo para el punto b obtendremos el mismo resultado. Dirección y sentido: horizontal hacia la izquierda.

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