Estructuras Discretas y Ciencias de la Computación

Transcripción

1 Estructuras Discretas y Ciencias de la Computación Jaime Oyarzo Espinosa jaime.oyarzo@uah.es Profesor Asociado, Universidad de Alcalá elearning Consultant, LUND University, Sweden Contenidos Introducción Lógica en la informática Métodos de prueba Matemática Discreta Conjuntos, Relaciones, Funciones Técnicas de Recuento Grafos y árboles Algebra de BOOLE Análisis numérico Medidas en la informática y su terminología Simulación 2 1

2 Lógica en la informática 3 Lógica proposicional En la lógica de proposiciones, los enunciados declarativos pueden ser verdaderos o falsos, pero no las dos cosas a la vez. El lenguaje está formado por: Enunciados simples (proposiciones): unidad mínima del lenguaje con información. Conectivas: permiten construir frases nuevas (relacionan proposiciones). Negación (~) Conjunción ( ), unión Disyunción ( ), intersección Condicional ( ), representa causa/efecto 4 2

3 Programación lógica La programación lógica nace de la idea de crear un lenguaje más cercano al lenguaje natural y a la forma de pensar humana. Se intenta separar la lógica del problema del control del programa: Algoritmo = Lógica + Control 5 Lógica matemática: necesaria? No en caso de: Cálculos basados en operaciones aritméticas (que un humano puede memorizar y aplicar Búsqueda de datos (por simple comparación con un patrón dado); Clasificación u ordenación de datos (siguiendo un criterio establecido); SI, en caso de Tareas en que interviene la capacidad deductiva, que podemos calificar como "inteligentes", en las que se requiere: Tener conocimiento sobre el dominio; Razonar con tal conocimiento; Conocer cómo dirigir o guiar tal razonamiento 6 3

4 Métodos de prueba La lógica proposicional cuenta con varios métodos de decisión: Tablas de Verdad Análisis de Valores de Verdad Reducción a Forma Real Arboles Lógicos 7 Tablas de Verdad 8 4

5 Matemática Discreta Qué es? Parte de la matemática que estudia los objetos discretos (respuesta imprecisa ) Comencemos con un ejemplo Los números naturales: N = {1,2,3,4,5,6,7.} Los números Reales positivos: R + Que significa N R +, N R + Diferencias? 9 Estructuras Discretas Los números naturales son un conjunto de elementos discretos (separados y contables) Los números Reales positivos contienen siempre números entre ellos, son contínuos. En matemáticas: discreto es lo contrario de continuo. discreto continuo 10 5

6 Porqué estudiar Matemática Discreta? Todas las matemáticas tienen un carácter instrumental (medir, calcular, definir, etc.) Matemática Discreta: vinculada a las ciencias de la computación El ordenador trata con objetos finitos (1, 0), aunque estos objetos pueden ser muy grandes. 11 Conjuntos, Relaciones, Funciones Conjuntos Colección de elementos con alguna característica común. { } {Pedro, María, Ana, John} {1,2,3,4,5,6,7.} {1,3,5,7,9,11,13 } Conjunto finito? Conjunto infinito? Ley que asocia un elemento a otro. RELACIÓN: pertenecen al mismo conjunto. FUNCIONES: pueden pertenecer a dos conjuntos distintos. 12 6

7 Operaciones con Conjuntos Intersección: A B = {x (x A) (x B)} Unión: A B = {x (x A) (x B)} Venn diagrams: Conjuntos A y B disjuntos, si A B = ; 13 Funciones Asociar elementos de un conjunto a elementos de otro conjunto mediante un proceso Ejemplo: y = 2x Procesos ejemplo: Fórmula matemática Buscar nombre de usuario en base de datos 14 7

8 Funciones definición A y B son dos conjuntos Función: asignación a cada valor de A, uno y sólo un elemento de B Notación: f: : A B NO son Función: Hay más de un valor para 1 No hay valor para 2 15 Funciones Inyectivas: f: : A B f(a) = f(a ) a = a Suprayectivas. Para cada elemento en B existe uno en A tal que f(a) = b Biyectivas si es inyectiva y suprayectiva 16 8

9 Técnicas de Recuento Cardinal de un conjunto. Combinatoria. Funciones generadoras. Relaciones de recurrencia. 17 Grafos Objeto combinatorio formado por un conjunto finito de vértices, unidos entre sí por aristas. Ejemplo: grafo con tres vértices: 18 9

10 Grafos: Utilidad en Informática Construcción de algoritmos eficientes para localizar elementos en una lista. Cálculo de alternativas en juegos: ayudan e determinar estrategias ganadoras (p.ej. Ajedrez) Modelamiento de procedimientos mediante una secuencia de decisiones. Desarrollo de algoritmos para construir redes que conectan nodos de red, con menor costo de trasmisión. 19 Grafos 20 10

11 Árboles Grafo conexo sin ciclos, es decir, 2 vértices se conectan por un único camino simple. 21 Árboles 22 11

12 Algebra de BOOLE Relación de orden. Álgebras de Boole. Álgebra de Boole {0, 1}. 23 Algebra de BOOLE 24 12

13 Matemática Discreta, Aplicaciones Recuento Contar si hay suficientes direcciones IP Cantidad posible de contraseñas Simulaciones computacionales: posibles alternativas Programación: relacion aplicación lenguaje sistema operativo 25 Matemática Discreta, Aplicaciones Algebra de Boole Operaciones y leyes para trabajar con el conjunto de {0, 1} Construcción de algoritmos, previo a la programación Búsqueda en internet 26 13

14 Matemática Discreta, Aplicaciones Teoría de Grafos Para diseñar circuitos (varias capas) Estructura de Internet Red de transporte: camino mas corto entre 2 ciudades Transporte aéreo: combinaciones de vuelos entre dos ciudades Calcular número de colores para colorear un mapa 27 Grafos. Aplicaciones 28 14

15 Grafos. Aplicaciones 29 Grafos. Aplicaciones 30 15

16 Grafos. Aplicaciones 31 BIBLIOGRAFÍA I. Anderson, Introducción a la combinatoria, Vicens Vives, 1993 N. Biggs, Matemática Discreta, Vicens Vives, 1989 F. García Merayo, Matemática Discreta, Paraninfo, 2001 R. P. Grimaldi, Matemáticas Discreta y Combinatoria, Addisson Wesley, 1997 K. N. Rosen, Discrete Mathematics and its Applications, McGrawHill,