Tema: Aplicaciones de derivadas. Sean x e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A = x y. 36 x. Luego, el área es A(x) =

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1 JUNIO 0 GENERAL. Halle el rectángulo de mayor área inscrito en una circunferencia de radio. Sean e y las dimensiones del rectángulo. Área del rectángulo: A y El triángulo ABC es rectángulo, sus lados miden, y y 6, por tanto, se verifica que: 6 + y y 6 Luego, el área es A() 6 Para que su área sea máima su primera derivada tiene que ser cero: A () si Descartada la solución negativa por ser una longitud. Por tanto, el rectángulo de mayor área es el cuadrado de lado unidades.. Halle una función polinómica de tercer grado y a + b + c + d tal que tenga un mínimo en el punto (,) y un punto de infleión en el punto (0,). La curva pasa por el punto (,), por tanto, se verifica que y() : a + b + c + d () La curva pasa por el punto (0,), por tanto, se verifica que y(0) : d. La función tiene un mínimo en, por tanto, se verifica que y () 0: y a + b + c y () a + b + c 0 () La función tiene un punto de infleión en 0, por tanto, se verifica que y (0) 0: y 6a + b y (0) b 0 b 0 Sustituyendo los valores de d y b en las ecuaciones () y (), obtenemos el siguiente sistema: a + c + a + c a a c a + c 0 a + c 0 Por tanto, la función es y +

2 JUNIO 0 ESPECÍFICA. Se considera la curva: y + a) Halle el punto de la curva en el que la recta tangente a su gráfica tiene pendiente máima. b) Calcule el valor de esa pendiente. a) La pendiente de la recta tangente a su gráfica en un punto a viene dada por la derivada de la función en a (f (a)). Si f() y f () + ( + ) Para determinar la pendiente máima derivamos f () f () ( ) ( ) ( + ) ( + ) Estudiamos el signo de f para determinar el máimo: f () 0 si 0 ± f () > 0 si < y > f () < 0 si < < es un máimo Punto:, 4 b) El valor de la pendiente es: f JULIO 0 GENERAL. Calcule: ln Nota: ln denota el logaritmo neperiano de ln ln + 0 ln ln 0 ( ) Aplicando L Hopital ln + 0 ( ) ln ln + ln + 0 Aplicando L Hopital ln + + ln +

3 . Sea la función f : R R definida por 4 si 0 f( ) m( e ) si 0 a) Calcule m para que la función sea continua en 0. b) Para el valor de m calculado estudie, usando la definición de derivada, si la función f es derivable en 0 a) La función es continua en 0 si se verifica o f(0) 4 o ( ) m e 0 f( ) f() f(0) : 0 Las funciones y e y m(e ) son funciones derivables en todo su dominio, con lo cual, podemos aplicar la regla de L Hôpital: ( ) m e me f( ) m Por tanto, la función es continua en 0 si m 4. f() f(0) b) La función es derivable en 0 si se verifica que eiste f (0) 0 ( ) 4 e 4 f() f(0) f (0) 4(e ) 4 4(e ) ( ) 4 e e. 0 L Hôpital L Hôpital JULIO 0 ESPECÍFICA. El perímetro de una cara lateral de un prisma recto de base cuadrada es de 60 centímetros. Calcule sus dimensiones de forma que su volumen sea máimo. Volumen área base altura V y Perímetro de una cara lateral 60 + y 60 + y 0 Epresamos una de las variables en función de la otra: y 0 La función a maimizar es : V() (0 ) 0 V () 60 V () , 0 V () 60 6 V (0) 60 0 < 0 Descartamos el valor 0 porque no se tendría prisma. Aplicando el criterio de la segunda derivada, si V (0) < 0, la función presenta un máimo en 0. Por tanto, las dimensiones del prisma son base cuadrada de 0 cm y altura 0 cm.

4 . La derivada de una función f() es f () ( + )( 9) a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máimos y mínimos de f(). f () ( + )( 9) f () ( + )( )( + ) 0 -,, - Estudiamos el signo de la primera derivada en toda la recta real f () + + Creciente en (-,-) (, + ) Decreciente en (-, -) (-,) Mínimo relativo en -, (pasa de decreciente a creciente) Máimo relativo en - (pasa de creciente a decreciente). Calcule a para que las siguientes funciones: sen a f( ) g() tengan el mismo límite en el punto 0. cos Calculamos cada límite: sen a 0 f( ) Aplicando L Hopital sen a acos a a 0 0 cos 0 g( ) Aplicando L Hopital cos cos sen sen Aplicando L Hopital cos 0 Para que los dos límites sean iguales debe verificarse que a -.

5 JUNIO 0 GENERAL. Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm de área. Sabiendo que los márgenes superior e inferior son de 4cm cada uno y los laterales de cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa se máima. Alto de la página impresa: 8 Ancho de la página impresa: y 4 Área impresa: A ( 8)(y 4) Área página: y 600 y 600 Para determinar el valor máimo, imponemos que A () 0: A () A () 4800 A () < 0 0 > ( ) 600 Área impresa: A() ( 8) A 0 < 0 0 máimo, siendo y Calcula: + 0 tan( ) Tan() función tangente de + 0 tan( ) 0 Tomando logaritmo obtenemos: tan( ) ln tan( ) ln + 0 ln tan( ) ( ln ) cos ( ) sen () ln ln ln - ln -ln Aplicando L Hôpital: ln / sen cos 0 sen cos 0 0 sen sen L Hôpital 4sen cos Por tanto, + 0 tan( ) e 0

6 JUNIO 0 ESPECÍFICA. Una ventana rectangular tiene un perímetro de metros. Calcule las dimensiones de los lados del rectángulo para que el área de la ventana sea máima. Área ventana: A y, siendo base, y altura Perímetro rectángulo + y + y 6 y 6 Área ventana: A() (6 ) 6 Para determinar el área máima, imponemos que A () 0: A () 6 0 Comprobamos que es un máimo, para ello aplicamos el criterio de la segunda derivada: A () - < 0 es un máimo. Las dimensiones del rectángulo son: y 6, es decir, un cuadrado de lado m. JULIO 0 GENERAL m sen. Sabiendo que el 0 es finito, calcule el valor de m y halle el límite. msen 0 m R 0 0 Aplicando L Hopital mcos m 0 0 Para que el límite sea finito, imponemos que m 0 m Resolvemos el límite si m : cos Aplicando L Hopital sen 0 0. Sea f: R R la función definida por: b) Halle los etremos de la función si f( ) si > si f( ) si > si f ( ) si > 6 si f ( ) 0 si > Para determinar los etremos imponemos que f () 0: 0 0, Para determinar si los etremos son máimos o mínimos, aplicamos el criterio de la segunda derivada: f (0) - < 0 f presenta un máimo en 0 (0,0) máimo f > 0 f presenta un mínimo en 4, 7 mínimo

7 JULIO 0 ESPECÍFICA. Dada la curva: f( ) + a) Obtenga sus máimos, mínimos y puntos de infleión. b) Encuentre los intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) Para determinar los etremos relativos imponemos que f () 0: f () + 0 ( )( ) 0, Aplicando el criterio de la segunda derivada, determinamos si son máimos o mínimos: f () f () > 0 La función tiene un mínimo en f () < 0 La función tiene un máimo en Para determinar los puntos de infleión imponemos que f () 0: f () 0 si La función tiene un punto de infleión en ya que f () 0 b) f () + 0 ( )( ) 0, Estudiamos el signo de la derivada en los siguientes intervalos: o (,) : f () > 0 ya que para 0 f (0) >0 f creciente o (,) : f () < 0 ya que para,5 f (,5) < 0 f decreciente o (,+ ) : f () > 0 ya que para f () > 0 f creciente. Calcule: a) cos( ) ( Ln ) b) ( ) e a) cos ( ) 0 ( ) Ln 0 L Hôpital cos ( ) sen( ) sen( ) 0 ( Ln ) Ln Ln 0 L Hôpital sen( ) + cos( ) sen( ) + cos( ) 4 b) ( e ) 0 + [f () ] g() g() 0 Aplicamos f() e e 0 [f() ] g() ( + e ) e 4 + e 4 L Hôpital Por tanto, ( e ) 0 + e

8 . De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio metro, halle el volumen del que lo tenga máimo. Volumen de un cilindro: V π r h, siendo r radio del circulo base h altura del cilindro El cilindro está inscrito en una esfera de radio, por tanto, según el dibujo, se verifica: r +, siendo h. Si r y h, el volumen del cilindro es: V() π ( ) π ( ) π ( ) Derivando: V () π ( 6 ) Para obtener el valor máimo imponemos que V () 0: 6 0 V () - V < 0 máimo Por tanto, el cilindro de mayor volumen tiene altura h y radio r 6. JUNIO 00 GENERAL. Se considera la curva: y + b) Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. Para determinar los etremos relativos imponemos que f () 0: ( + ) + y y ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) 0 0, - ( ) ( ) ( + ) + + ( + ) ( + ) + + ( + ) 4 4 ( + ) ( + ) y (0) > 0 (0,0) mínimo y (-) - < 0 (-,-4) máimo Para determinar los puntos de infleión imponemos que f () 0, pero no se anula para ningún valor, por tanto, no eisten.

9 JUNIO 00 ESPECÍFICA. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0 cm. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máima. Área del triángulo: A y siendo e y los catetos del triángulo rectángulo. La hipotenusa mide 0 cm, por tanto, se verifica: 0 + y y 00 La función área es A() 00. Para determinar el valor máimo, calculamos la primera derivada e igualamos a cero: A () ± 50 ± (descartamos el valor negativo) y Comprobamos que es un máimo de la función empleando el criterio de la segunda derivada: A () ( ) ( ) ( 00 ) + ( 50 ) ( ) ( ) A 5 5 (50 50) 5 ( 00) < Por tanto, el triángulo de área máima es un triángulo rectángulo isósceles de catetos 5 cm.. Se considera la función: ln si > 0 f( ) a + b + c si 0 Determine los valores de a, b y c para que la función sea continua, tenga un máimo en - y la tangente en - sea paralela a la recta y. Imponemos que f sea continua en 0: f() f(0) ( ) ( ln ) f() ln ln Aplicando L Hopital ( ) f(0) c c 0 La función tiene un máimo en - f (-) 0 + ln si > 0 f ( ) f (-) -a + b 0 b a a + b si 0 La tangente en - es paralela a y f (-) -4a + b -a a - b -

10 SEPTIEMBRE 00 ESPECÍFICA. Dada la función y 5e a) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halle, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. Para estudiar el crecimiento de la función, determinamos f (): f () 5e + 5e 5 e ( + ) 0 - f () > 0 si > - f creciente en (, + ) f () < 0 si < - f decreciente en (, ) 5 Según el criterio de la primera derivada, la función tiene un mínimo en, e. Para determinar los puntos de infleión de la función, calculamos f (): f () 5 e ( + ) + 5 e 5 e ( + ) 0 si - Estudiando el signo de la segunda derivada: Si > - f () > 0 f cóncava Si <- f () < 0 f cónvea 0 Por tanto, la función tiene un punto de infleión en, e JUNIO 009. Se desea construir un prisma recto de base cuadrada cuya área total sea 96 m. Determine las dimensiones del lado de la base y de la altura para que el volumen sea máimo. Sea lado de la base y altura del prisma. A y y y V y V 48 V m y 4 m 8 6 V V (4) - < 0 4 máimo El volumen es máimo en un cubo de arista 4 m y

11 . Sea f() a) Determina el dominio de definición, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máimos, mínimos y puntos de infleión. a) Dom (f) R { } Intervalos de crecimiento y decrecimiento f() ( 5)( ) ( 5 + 7) f () ( ) ( ) f () ( 4)( ) 0, 4 f () > 0 <, > 4 f creciente f () < 0 < < 4 f decreciente máimo relativo (pasa de creciente a decreciente) f() - Punto (, -) 4 mínimo relativo (pasa de decreciente a creciente) f(4) Punto(4,) ( ) ( 6)( ) ( 6 + 8) f () ( ) 4 ( ) No hay puntos de infleión ya que f () > 0 Dom( f) SEPTIEMBRE 009. Se considera la función: f() b) Estudie los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y conveidad. c) Halle los máimos, mínimos y puntos de infleión. a) Dom (f) R { 0} b) f() ( ) ( ) f () f () 4 f creciente si f () > 0 y decreciente si f () < Cociente + f creciente ( 0,) f decreciente (,0) (, + ) ( ) ( ) 6 f () Si <, 0 f () < 0 f convea Si > f () > 0 f cóncava c) La función presenta un máimo en (cambia de creciente a decreciente) Punto de infleión en (pasa de convea a cóncava)

12 JUNIO 008. Se dispone de 00 m de tela metálica y se desea vallar un recinto formado por un rectángulo y dos semicírculos como indica la figura. Determina la función que determina el área de la figura en función del valor. Área área del rectángulo + área círculo y + Longitud de la valla: 00 y + π A y + π π 00 π π 4 π y 00 π A 00 4 π A 00 π A < 0 π 00 A 0 si π 0 π π y π. Se considera la función: f( ) + Halle los máimos y mínimos. Para determinar sus etremos relativos calculamos f () e imponemos que sea cero. + f () + + ( ) ( ) f () 0 si, - - < <, f () > 0 f creciente < - y > f () < 0 f decreciente Luego, máimo, - mínimo

13 SEPTIEMBRE Se dispone de una chapa de acero que puede representarse por la región del plano determinada por la parábola y y la recta y. b) Determine las dimensiones del rectángulo de área máima que se puede obtener a partir de dicha chapa con la condición de que uno de sus lados esté en la recta y. Sea base del rectángulo (según dibujo) h altura del rectángulo Área del rectángulo: A h Según el dibujo: h 4 A() ( ) 6 A () A () - 6 < 0 máimo. y El rectángulo es un cuadrado de lado..- Se considera la función f() + a) Halle los máimos, mínimos y puntos de infleión. a) f() f () ( ) ( ) ( ) f () ( ) + 0 si, f () > 0 si < -, > f () < 0 si - < < Luego -, 5 máimo,, mínimo ( ) + f () ( ) f () ( + ) ( ) ( ) ( ) ( + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) 0 si 0, ± f () > 0 si <, 0 < < f () < 0 si < < < 0, > Luego 0, ± son P.I. Coordenadas: (0,0),, 8 4 y, 8 + 4

14 . Calcule: 0 e 0 b) 0 e 0 e e 0 e e e e e + e e + e + e ( + )e L Hopital L Hopital JUNIO Un río describe la curva y con [, ]. En el punto A(0,4) hay un pueblo: 4 a) Epresa la función distancia entre un punto cualquiera del río y el pueblo en función de la abscisa. b) Cuáles son los puntos de este tramo del río que están más alejados y más cercanos al pueblo? (Sugerencia: estudia los máimos y mínimos del cuadrado de la función hallada en el apartado anterior) c) Hay algún punto del río que esté a una distancia menor que del pueblo? a) Cualquier punto de la curva tiene coordenadas P, 4 La distancia al punto A(0,4) y el punto P es: D(A,P) b) Defino f() f () 0 si f () f () ( 8) 0 0, ± 8 ± f (0) - < 0 máimo f ( ± 8) > 0 mínimos 4 El punto más lejano es (0,0) y los más cercanos ( 8, ) y ( 8, ) c) Uno de los puntos más cercano es B ( 8, ) d(b,a) 8 + ( 4) > No hay ningún punto cuya distancia al pueblo sea menor que.

15 SEPTIEMBRE Dada la función f() a + b + c + d determina las constantes a, b, c, d de manera que simultáneamente: Su gráfica pase por el origen de coordenadas y por el punto (, ). La función posea un punto de infleión en 0. La función posea un mínimo en. Pasa por el origen de coordenadas: f(0) 0 f(0) d 0 Pasa por el punto (,): f() f() 8a + 4b + c 4a + b + c Punto de infleión en 0: f (0) 0 f() a + b + c + d f () a + b + c f () 6a + b f (0) b 0 b 0 Posee mínimo en : f () 0 f () a + b + c 0 a + c 0 4a + c a c a + c 0 Luego, f().- Dada la función f() 4 e a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. b) Halla, si eisten, los máimos, mínimos y puntos de infleión. a) f () 4 e 4 e (4 ) e f () 0 si 0, 4 f () > 0 si < 0, > 4 f decreciente f () < 0 si 0 < < 4 f creciente b) Máimo en 0, mínimo en 4 f () (4 4 ) e f () ( 4 ) e (4 4 ) e ( ) e f () 0 si ( 8 + ) 0 0,, 6 f () > 0 si <, > 6 f () < 0 si < < 6 La función tiene dos P.I. en, 6.

16 JUNIO El triángulo isósceles, descrito en la Figura, mide 0 cm de base y 0 cm de altura. a) Cuál es la ecuación de la recta r señalada en la figura que contiene el lado del triángulo? b) Dado el rectángulo inscrito cuya base mide a, calcula las coordenadas de los puntos B y C en función de a. c) Halla el valor de a que hace máima el área del rectángulo del rectángulo. a) La recta r es la recta que pasa por (0,0) y (5,0): Pendiente: 0/5 4 r: y 4 a b) B 5, 0 5 a C, 0 a El punto C está sobre la recta r, por tanto: a a Si 5 y a (5,0) h c) Área del rectángulo: A a (0 a) 0a a A 0 4a 0 si a 5 0 a A - 4 < 0 a 5 es un máimo (5,0) Las dimensiones del rectángulo son 0 X 5 SEPTIEMBRE Calcula: 0 e cos sen e cos 0 a). Por L Hopital: 0 sen 0 e cos e + sen e + sen e + cos 0 sen 0 sen cos 0 sen 0 cos L Hopital

17 .- Un campo tiene forma de trapecio rectángulo. La longitud de las bases son 4m y 40 m, y la de su altura 40 m. Se divide en dos campos rectangulares C y C. Situando el campo en el origen de coordenadas como muestra la figura, calcula: a) La ecuación de la recta r que contiene el lado inclinado del trapecio. b) El área de los campos en función de la anchura de C. c) Se quiere sembrar maíz en el campo C y trigo en el campo C. El beneficio del maíz es de, por m y el del trigo euro, cuáles son las dimensiones de los campos que hacen el beneficio máimo? a) r: recta que pasa por (40,0) y (4,40) 5 5 y ( 40) y b) Punto de corte C y la recta r: P, + 00 Área de C: Área de C: c) Beneficio: f() ( ) f () y f () - 6 < 0 0 es máimo y 5 m JUNIO Se dispone de una tela metálica de 00 metros para vallar una región como la de la figura. Cuáles son los valores de e y que hacen que el área encerrada sea máima? 00 Perímetro: 00 + y y 50 La figura está formada por un rectángulo, de dimensiones e y, y un triángulo equilátero de lado. Área del rectángulo: y 50 50

18 Altura del triángulo: Área del triángulo: h h 4 4 h 4 Área total: A A ( ) ( ) ( ) A < 0 00( 6 + ) Luego y ( ) ( ) y El área encerrada es máima si ( + ) 00 6 e y.. Sea la función sen f(), calcula: cos a) Su dominio de definición, sus máimos y mínimos en el intervalo [ 0, π ] a) Dom(f) R ya que cos sen f() cos f () 0 si cos 0 cos ( cos ) sen(sen) cos f () ( cos ) ( cos ) Estudiamos el signo de la primera derivada: cos 60º, 00º f () > 0 si cos > 0 cos > si < 60º y > 00º f () > 0 si f () < 0 si π 5π 0,, π π 5π, π 5π Luego máimo y mínimo Una segunda forma: Estudiar el valor de estos puntos en la segunda derivada

19 SEPTIEMBRE Se dispone de una tela metálica de 00 metros de longitud para vallar una región rectangular. Cuáles son los valores de e y, dimensiones del rectángulo, que hacen que el área del romboide, formado por la unión de los puntos medios de los lados, sea máima? Perímetro del rectángulo 00 m 00 + y y 50 El área del romboide es la mitad que la del área del rectángulo. Por tanto: Área: A y ( 50 ) 50 A 5 A A - < 0,, para ese valor hallado se tendrá el máimo buscado. 0 Si 5 y 5.- Dada la función y calcular su dominio de definición, sus intervalos de crecimiento y 4 decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y sus puntos de infleión. a) Dom f { ± } R ( R / 4 0) b) y 4 y + 4 ( ) y ( ) ( 4 4) f es siempre decreciente No tiene máimo ni mínimo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y y + 4 ( ) 4 0 ( + ) 0 si 0 < - 4 > 0, < 0 y < 0 f convea - < < 0 4 < 0, < 0 y > 0 f cóncava 0 < < 4 < 0, > 0 y < 0 f convea X > 4 > 0, > 0 y > 0 f cóncava Por tanto, 0 P.I.

20 JUNIO Dada la función: f(), calcula su dominio de definición, sus intervalos de crecimiento y + decrecimiento, sus máimos y mínimos, sus intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión. f() + + a) Dominio: R { } ( R / + 0) b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos f() + + f () > 0 ( + ) ( + ) f siempre es creciente No tiene máimos ni mínimos c) Intervalos de concavidad y conveidad y puntos de infleión f () ( + ) No tiene puntos de infleión < f > 0 cóncava f () ( + ) ( + ) > f < 0 convea.- Dadas las funciones f() (+), g() ( ) y h() sen, calcula los siguientes límites: f( ) f( ) f( ) + g( ) a) b) c) 0 h ( ) 0 g ( ) 0 h( ) [ ] a) f( ) ( + ) h ( ) 0 sen 0 sen ª forma: (sen ): ( + ) 0 sen ª forma: L Hôpital: 0 sen 0 cos b) c) f( ) 0 g ( ) ( + ) + 0 ( + ) 0 ( ) ( ) f( ) + g( ) ( + ) + ( ) 0 0 ( ) 0 0 sen sen 0 [ h ] ª forma: (sen ) : 0 0 sen ª forma: L Hôpital: 0 sen 0 sen cos 0 sen 0 Aplicando L Hopital cos

21 SEPTIEMBRE Con 60 cm de alambre se construyen dos triángulos equiláteros cuyos lados miden e y. Qué valores de e y hacen que la suma de las áreas de los triángulos sea mínima? La altura del triángulo de lado es: La altura del triángulo de lado y es: h 4 y h y y 4 Perímetro: + y 60 + y 0 y 0 Área: + y y ( + y ) + ( 0 ) 4 4 Área: A [ ] A [ ] 0 ( 0 ) 0 0 A > 0, para ese valor de 0 se tiene el mínimo buscado. Por tanto, los lados será 0 e y 0,o sea, dos triángulos equiláteros iguales. JUNIO 00.- Sea la función: y a) Indicar su dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos de infleión. a) y 0 ( 0, ) Dom f ( 0, ) Estudiamos el crecimiento: y y ( ) y ( ) ( ) y 4 Teniendo en cuenta que y >0 si (-,0) (,+ ) f < 0 0 y > y < 0 si (0,) f Luego la función es siempre decreciente No tiene máimos ni mínimos.

22 ( 6 4) y ( ) 6 4 ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) 0 si En hay cambio de signo de la segunda derivada, por tanto, tiene un punto de infleión SEPTIEMBRE 00.- Dada la función f() calcula: a) Su dominio de definición b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento c) Sus máimos, mínimos y puntos de infleión. a) Dom f R b) f () 0 si 0 ± f () ( )( + ) c) f () 6 0 si 0 f si < y > - máimo y mínimo f si < < f () 6 > 0 0 P.I. SEPTIEMBRE 00.- Sea f(). Se pide: 9 a) Dominio de definición, intervalos de crecimiento y decrecimiento. a) Dom f R { ± } ( + ) 6 f() f () ( + ) f es siempre decreciente

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