Me temo que esto no me va a gustar mucho. El primer tema es bastante petardete,

Transcripción

1 0 Requisitos previos 0 Primitiv de un función 0 El problem del cálculo de primitivs 5 04 Primitivs inmedits 6 05 Funciones hiperbólics 06 Cálculo de primitivs "por prtes" 4 07 Cmbio de vrible Primitiv de un cociente de polinomios Funciones rcionles del seno y el coseno 7 0 Funciones rcionles de ls funciones "sh" y "ch" 84 Primitivs de lguns funciones irrcionles 9 Cálculo de primitivs por reducción 07 Me temo que esto no me v gustr mucho El primer tem es bstnte petrdete, pero luego l cos se nim mucho y lo psrás bomb resolviendo problems de l vid rel Tem : Cálculo de Primitivs

2 REQUISITOS PREVIOS Se supone que el lector está más que fmilirido con ls regls de derivción y es cp de obtener en un instnte l "función derivd" de culquier función que se cruce en su cmino No obstnte, por si hy lgún despistdo, recordemos ls regls de derivción: 0) f constn te f ' 0 0) f ku f' ku ' 0) f u v f' u' v' 04) f u v f' u' v u v' 05) f u / v u' v u v' f' ( v ) 06) f ( u ) k f' ( u ) k u' 07) f ku f' u' ku Lnk 08) f Lnu f' u'/ u 09) f log k u u' f' u Lnk 0) f senu f' u'cos u ) f cos u f' u' senu( ) ) f tgu f' u'/cos u ) f ctg u f ' u'/ sen u 4) f sec u f' u'sec u tgu 5) f cos ec u f ' u'cos ec u ctg u 6) f rcsenu f' u' ( u ) 7) f rc cos u f ' u' ( u ) 8) f rctgu u' f' ( u ) 9) f rcctgu u' f' ( u ) 0) f rcsec u u' f' u ( u ) ) f rccos ecu u' f' u ( u ) Tem : Cálculo de Primitivs

3 PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Se dice que l función F:R α R es un primitiv de l función f :R α R si "f" es l función derivd de "F", es decir, si en todo punto "" en que "F" tiene derivd finit sucede que df/ d f ; pr epresrlo escribimos: f d F Es hbitul busr del concepto diciendo que F es un primitiv de f Propieddes ( f g) d f d g d Siendo "k" un constnte, es: kf d k f d Observ: si F es un primitiv de f, es decir, si df f d entonces, por ejemplo, sucede que: df ( 9) df ( ) df ( p) f ; f ; f d d d lo que indic que F 9, F y F π tmbién son primitivs de f ; por tnto, f tiene infinits primitivs que entre sí sólo se diferencin en un constnte Del conjunto que formn tods ells (o se, el conjunto que formn ls funciones de l form F, siendo "C" un constnte culquier) se dice que es l primitiv de f, y se escribe: f d F Por ejemplo, l función derivd de es 6 ; sí, un de ls primitivs de 6 es, y "l primitiv" de 6 es el conjunto que formn ls funciones de l form F() ; pr epresrlo escribimos: 6 d donde, como se h indicdo, "C" es un constnte rbitrri Not Al conjunto que hemos llmdo "l primitiv" de f muchos lo llmn integrl indefinid de f, pero nosotros no usremos es jerg, pues sí evitremos los líos que se producen por l nturl tendenci de todos brevir el nombre de los entes que se nombrn muchs veces y tienen nombre lrgo Pregunts: qué líos?, qué breviturs?, qué entes?, de qué hbls? Tem : Cálculo de Primitivs

4 Respuest: con el consentimiento de l myorí de los profesores, csi todo principinte que dedic uns pocs hors de trbjo clculr "integrles indefinids" cb brevindo el nombre de ésts y elimin l plbr "indefinid" de su vocbulrio y de su cerebro; sí, si le pregunts por su trbjo simplemente dice que h estdo clculndo "integrles" El sunto de brevir el nombre del "ente" llmdo "integrl indefinid" no tendrí más trscendenci si no eistier otro "ente" llmdo "integrl definid" y éste no fuer eistencil y sustncilmente distinto de quél, pues el llmdo "integrl indefinid" es un conjunto de funciones, y el llmdo "integrl definid" es un piojoso número rel Por eso, pr evitr líos con los nombres de estos dos entes distintos, llmremos "l primitiv" de f l conjunto de funciones que otros llmn "integrl indefinid" de f, y en este tem, que no por csulidd se llm "Cálculo de Primitivs", está terminntemente prohibido hblr de integrles y usr el verbo "integrr", slvo en lo que se indic en l Not Estás dvertido si uss el verbo integrr en este tem te fusilo ipso fcto Me rindo Not De momento el verbo "primitivr" no eiste, ni tmpoco sus prticipios ni gerundios y el que sí sen ls coss nos oblig ser elásticos con l prohibición Llevo tod l trde "primitivndo", mir qué montón he hecho de hblr de integrles y usr el verbo "integrr" Por ejemplo, si l primitiv de f es F, estrí ml visto y oído decir que "C" es l constnte de "primitivción", por eso nos permitiremos l licenci de decir que "C" es l constnte de integrción, que sí se l llm en todo el mundo mundil Otros ejemplos de l citd elsticidd: hy sendos métodos de cálculo primitivs que todo el mundo llm "integrción por prtes" e "integrción por sustitución" (o por cmbio de vrible), y nosotros respetremos tles nombres, porque decir "primitivción por prtes" o "primitivción por sustitución" suen ftl Tem : Cálculo de Primitivs 4

5 EL PROBLEMA DEL CÁLCULO DE PRIMITIVAS Te dn f() y hy que clculr su primiti- Dd f(), clcul f()d Stisfgmos l nturl curiosidd del lector: Pregunt: es muy difícil clculr f d? Respuest: uns veces no, otrs sí; veces es imposible, ni los jponeses más listos son cpces de resolver l ppelet No obstnte, pr tu trnquilidd diremos que los csos que estudiremos son los más fáciles y fmosos Pregunt: hy lgun regl mágic que siempre nos resuelv el problem? Respuest: no Pregunt: qué hremos entonces?, cuál es l recet? Respuest: l únic recet se resume en el verbo "comprr" Pregunt: qué hy que comprr? Respuest: hy que comprr l "estructur" de l función f cuy primitiv buscmos con ls estructurs de referenci que tendremos rchi-vds en l cbe Si, por ejemplo, l "estructur" de f "encj" con l estructur de referenci 6, pr resolver el problem bstrá hcer lo prescrito por ls Mtemátics pr es estructur de referenci y búscte l vid como pueds si hy ml suerte y l "estructur" de f no "encj" con ningun de ls de referenci ó 50 Cuánts estructurs de referenci hy que rchivr en el "coco"? Iré hciendo sitio Tem : Cálculo de Primitivs 5

6 4 PRIMITIVAS INMEDIATAS Son ls más fáciles, ls más sencills y tontorrons, ls que todos deserímos encontrr en emen ) ( u ) m u' d ( u ) m, m ' ) m u d Ln u ( ) u Pr clculr un ) u' d u u primitiv lo primero, > 0 Ln es rer pr que 4) u' sen u d cos u se inmedit y 5) u'cos u d sen u comprobr si lo es ' 6) u cos d tg u ( ) u u' 7) d ctg u sen u u' u 8) d rc tg ( u) u' ) d rc sen u 9 ( u) EJEMPLOS 4 5 d Tipo: ( u ) m d ( u ) m, m m u u' m d 9 0 d Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u u' m d Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u u' m Tem : Cálculo de Primitivs 6

7 44 d/ d Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u u' m d 45 ( 4) ( / ) ( 4) / d 4 4 ( / ) Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 4 u' m / 46 ( 9 5) d ( 7 ) d ( 5 7 ) d ( ) d ( 9 6 ) d ( ) d ( ) d ( 8 6 ) 8 / 5/ / d / 5/ ( ) 40 d ( ) C Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u u' /( ) m ( 7 ) 5 d 5 C C 6 Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 7 u' m 5 6 Tem : Cálculo de Primitivs 7

8 ( ) d ( 7 ) d ( ) 6 Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 7 u' m 5 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 4 4 d 4 5 d 5 (/ ) (/ 4) Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 5 u' m 4 / Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 5 44 d ( 5 4) -/ 6 d ( 4) 6 ( ) ( / ) / d 4 4 ( 6 / ) Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 5 4 u' 4 m 6 / Multiplicmos y dividimos por 4 pr que se inmedit 45 cos sen 7d sen7 sen 7 8 Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u sen u' cos m 7 cos 46 cos sen d sen 7 d sen C sen 6 7 C Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u sen u' cos m 7 8 Tem : Cálculo de Primitivs 8

9 e d 47 5 e 5 e e ( /5) d e ( 5 / ) Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u e u' e m 5 / Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit Ln ( Ln ) (/ ) 48 d (/ ) Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u Ln u' / m / e tg5 e d e tg e tg e d cose cose 5 Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u tge u' e /cos e m 5 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 4 4 d ( 4 Ln 4) 4 d Ln 4 Tipo: ( u ) m u' d ( u ) m, m m u 4 u' 4 Ln4 m / Multiplicmos y dividimos por Ln 4 pr que se inmedit (/ ) 4 Ln 4 (/ ) 4 d Ln 7 7 u' Tipo: d Ln u u u 7 u' Tem : Cálculo de Primitivs 9

10 4 d Ln u' Tipo: d Ln u u u u' 4 d Ln u' Tipo: d Ln u u u u' d 44 d d Ln u' Tipo: d Ln u u u u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 45 d Ln Ln Ln u' Tipo: d Ln u u u Ln u' / e5 d e5 d Ln e5 e5 5 e5 5 u' Tipo: d Ln u u u e5 u' 5 e5 Multiplicmos y dividimos por 5 pr que se inmedit cos sen d d Ln sen C sen cos u' Tipo: d Ln u u u sen u' cos Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit Tem : Cálculo de Primitivs 0

11 sen d 7 sen 7 d Ln cos 7 C cos 7 7 cos 7 7 u' Tipo: d Ln u u u cos 7 u' 7 sen7 Multiplicmos y dividimos por 7 pr que se inmedit ctg d 40 cos d Ln sen sen u' Tipo: d Ln u u u sen u' cos sen tg d d sen d Ln cos C cos cos u' Tipo: d Ln u u u cos u' sen Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 4 d d Ln 5 tg ( 5 tg )cos u' Tipo: d Ln u u u 5 tg u' /cos 4 4 4sen sen cos d Ln 4 Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() sen u'() cos d Ln 9 Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() u'() 9 Tem : Cálculo de Primitivs

12 5 44 d 5 d 5 Ln 5 Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() u'() 5 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit d d C Ln 5 Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() u'() /( ) 5 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit d 46 / / / d Ln Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() / u'() / 5 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit rc sen rc sen 47 d Ln Tipo: u d u ' u, > 0 Ln R S T u() rc sen u'() / rc tg rc tg 48 d Ln Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() rc tg u'() /( ) Tem : Cálculo de Primitivs

13 d d Ln Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() u'() / Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 4 d 44 Ln ( ) 4Ln ( ) Ln d 4 ( ) Ln 4 Tipo: u d u ' u, > 0 Ln u() Ln( ) u'() /( ) 4 Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 44 sen d sen d cos Tipo: u' sen u d cos u u() u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 44 e sene d e sene d cos e Tipo: u' sen u d cos u u() e u' e Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit sen d sen d cos Tipo: u' sen u d cos u u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit sen Ln 444 d cos Ln Tipo: u' sen u d cos u u() Ln u' / C Tem : Cálculo de Primitivs

14 sen 445 d cos Tipo: u' sen u d cos u u() u' / sen ( tg ) 446 d cos( tg ) cos Tipo: u' sen u d cos u u() tg u' /cos 447 cos sen ( sen ) d cos( sen ) Tipo: u' sen u d cos u u() sen u' cos cos 4 d 4 cos 4 d sen Tipo: u'cos u d sen u u() 4 u' 4 Multiplicmos y dividimos por 4 pr que se inmedit e cos e d e cos e d sene Tipo: u'cos u d sen u u() e u' e Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit cos d cos d sen Tipo: u'cos u d sen u u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit cos Ln d 5 5 5cos Ln d sen Ln Tipo: u'cos u d sen u u() Ln 5 u' 5 / Multiplicmos y dividimos por 5 pr que se inmedit Tem : Cálculo de Primitivs 4

15 cos 45 d sen Tipo: u'cos u d sen u u() u' / cos ( tg ) 45 d sen ( tg ) cos Tipo: u'cos u d sen u u() tg u' /cos 454 cos cos ( sen ) d sen( sen ) Tipo: u'cos u d sen u u() sen u' cos d d tg 4 cos 4 4 cos 4 4 Tipo: u' d/cos u tgu u() 4 u' 4 Multiplicmos y dividimos por 4 pr que se inmedit 5 Ln5 d tg 5 cos 5 Ln 5 cos 5 Ln 5 Tipo: u' d/cos u tgu u() 5 u' 5 Ln5 Multiplicmos y dividimos por Ln 5 pr que se inmedit 5 d d d tg Ln 7 cosln 7 7 cosln 7 7 Tipo: u' d/cos u tg u u() Ln 7 u' 7 / Multiplicmos y dividimos por 7 pr que se inmedit d d tg cos cos Tipo: u' d/cos u tg u u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit Tem : Cálculo de Primitivs 5

16 sen d sen d tg C cos (cos ) cos (cos ) (cos ) Tipo: u' d/cos u tgu u() cos u' sen Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit d 46 d tg cos cos Tipo: u' d/cos u tgu u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 4 d d ctg 5 sen 5 5 sen 5 5 Tipo: u' d/ sen u ctg u u() 5 u' 5 4 Multiplicmos y dividimos por 5 pr que se inmedit 7 Ln7 d ctg 7 sen 7 Ln 7 sen 7 Ln 7 Tipo: u' d/ sen u ctg u u() 7 u' 7: Ln 7 Multiplicmos y dividimos por Ln 7 pr que se inmedit 7 d 46 d ctg Ln ( ) ( ) sen Ln( ) Tipo: u' d/ sen u ctg u u() Ln ( ) u' /( ) d 464 d ctg sen sen Tipo: u' d/ sen u ctg u u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit cos 465 d ctg ( sen ) C sen sen Tipo: u' d/ sen u ctg u u() sen u' cos Tem : Cálculo de Primitivs 6

17 d d ctg sen sen Tipo: u' d/ sen u ctg u u() u' /( ) Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit d d rc tg u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 9 ( u ) 4 u u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit d d rc tg u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 7 7 ( u ) 6 u u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit e d 469 e d rc tg e 4 e6 4 e6 u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 4 ( u ) e u e u' e Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit cos 7 6 7cos sen7 d 7 5 sen7 d 7 5 rc tg sen C 5 u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 5 5 ( u) sen7 u sen7 u' 7cos 7 Multiplicmos y dividimos por 7 pr que se inmedit Tem : Cálculo de Primitivs 7

18 d d rc tg ( 5 ) ( 5 ) 5 5 u'() Tipo: d u rc tg ( u ) R 5 5 En nuestro cso es S ( u ) u u' T Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 5 d rc tg u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 9 ( u ) 5 u 5 u' 5 Multiplicmos y dividimos por 5 pr que se inmedit d sencos 47 d rc tg sen 9 sen4 u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 9 u sen u' sen cos d 474 d rc tg 5 4 ( ) u'() Tipo: d u rc tg ( u ) 4 ( u ) ( ) u u' / ( 4 8 ) d / rc tg C u'() Tipo: d u rc tg ( u ) R 4 S ( u ) u u' 4 T 4/ 8 / 4 / / Tem : Cálculo de Primitivs 8

19 d 476 d rc sen u'() Tipo: d rc sen u ( u ) 9 En nuestro cso es ( u ) 4 u u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit 477 d rc sen u'() Tipo: d rc sen u ( u ) e d 7 7 ( u ) u u' e d rc sen e 4 e6 4 e6 u'() Tipo: d rc sen u ( u ) 4 ( u ) e6 u e u' e Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit cos cos sen d 7 sen d rc sen sen 7 C u'() Tipo: d rc sen u ( u ) En nuestro cso es 5 5 u sen7 u' 7cos 7 Multiplicmos y dividimos por 7 pr que se inmedit d d rc sen u'() Tipo: d rc sen u ( u ) R 5 5 S ( u ) u u' T Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit Tem : Cálculo de Primitivs 9

20 d 48 5 d rc sen u'() Tipo: d rc sen u ( u ) 9 ( u ) 5 u 5 u' 5 Multiplicmos y dividimos por 5 pr que se inmedit 48 d rc sen Ln 9 ( Ln ) u'() Tipo: d rc sen u ( u ) 9 ( u ) ( Ln) u Ln u' / / 48 4 d rc sen 4 8/ u'() Tipo: d rc sen u ( u ) R 4 S ( u ) u u' 4 d T Tem : Cálculo de Primitivs 0 4/ 8 / 4 / / d rc sen 4 ( ) u'() Tipo: d rc sen u ( u ) 4 En nuestro cso es ( u ) ( ) u ( ) u' d d rc sen u'() Tipo: d rc sen u ( u ) R S 5 5 En nuestro cso es T( u ) u u' Multiplicmos y dividimos por pr que se inmedit