Universidad Autónoma de Nuevo León

Transcripción

1 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Programación pieza-molde-máquina en planeación de producción mediante una Búsqueda Local Iterativa por Lic. Omar Jorge Ibarra Rojas en opción al grado de Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas San Nicolás de los Garza, Nuevo León mayo 2009

2 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Programación pieza-molde-máquina en planeación de producción mediante una Búsqueda Local Iterativa por Lic. Omar Jorge Ibarra Rojas en opción al grado de Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas San Nicolás de los Garza, Nuevo León mayo 2009

3 Universidad Autónoma de Nuevo León Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica División de Estudios de Posgrado Los miembros del Comité de Tesis recomendamos que la Tesis Programación pieza-molde-máquina en planeación de producción mediante una Búsqueda Local Iterativa, realizada por el alumno Lic. Omar Jorge Ibarra Rojas, con número de matrícula , sea aceptada para su defensa como opción al grado de Maestría en Ciencias en Ingeniería de Sistemas. El Comité de Tesis Dr. Óscar Leonel Chacón Mondragón Asesor Dra. Yasmín Ríos Solís Revisora Dr. César Emilio Villarreal Rodríguez Revisor Vo. Bo. Dr. Moisés Hinojosa Rivera División de Estudios de Posgrado San Nicolás de los Garza, Nuevo León, mayo 2009

4 Dedicatoria A mi familia que siempre me ha apoyado. A Deydra Celeste que esplende.

5 Índice general Agradecimientos VIII Resumen IX 1. Introducción Descripción del Problema Objetivo Relevancia del Problema Metodología Estructura de la tesis Marco Teórico Optimización Programa Lineal Programa Entero Lineal Programa Binario Métodos de Solución en Optimización Entera Algoritmos de Branch & Bound v

6 Índice general vi Heurísticas Metaheurísticas Búsqueda Local Iterativa Problemas de Secuenciación Problema de Asignación Problemas de Mochila Problema Clásico de Mochila Problema de Múltiples Mochilas Trabajos Relacionados Formulación de Programación Entera Programa Entero Complejidad del problema PPRSM Estudio del Programa Entero Diseño de las Instancias Experimentación Conclusiones de la Formulación de Programación Entera Metodología de Solución Búsqueda Local Iterativa Algoritmo Constructivo Algoritmos de Búsqueda Local

7 Índice general vii Perturbación Criterio de Aceptación Procedimiento de Solución usando ILS Resultados Computacionales Casos de Estudio Condiciones Experimentales Ajuste de Parámetros Resultados Preliminares Construcción inicial Búsqueda local y Perturbación Resultados del Procedimiento de Solución para el problema de PP- SRM Aportaciones y conclusiones Aportaciones Conclusiones Trabajo Futuro 72

8 Agradecimientos Doy gracias a Dios y a mi familia hacerme quien soy. Gracias a mi amada Deydra Celeste López por darme su amor y apoyo incondicional además de inspirarme a dar lo mejor de mí. Gracias a mis compañeros por hacer de este programa una estancia placentera. Gracias al Dr. Óscar Leonel Chacón Mondragón por su asesoría y libertad que me proporcionó durante todo este proyecto. Y también agradezco a la Dra. Yasmín Ríos Solís por su gran contribución para ver esta tesis realizada. Gracias al Dr. César Emilio Villarreal Rodríguez por sus comentarios y notas de este trabajo. También muestro mi gratitud a la Srita. Andrea Sanaé Manríquez Vargas por su colaboración en la experimentación de este estudio. Y lógicamente gracias a CONACyT por el apoyo que nos otorga a todos los participantes de este y otros programa. viii

9 Resumen Lic. Omar Jorge Ibarra Rojas. Candidato para el grado de Maestro en Ingeniería con especialidad en Ingeniería de Sistemas. Universidad Autónoma de Nuevo León. Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Título del estudio: Programación pieza-molde-máquina en planeación de producción mediante una Búsqueda Local Iterativa Número de páginas: 84. Objetivos y método de estudio: En esta tesis como se muestra en la sección de Descripción del problema, se aborda un problema de programación de tareas en maquinas de inyección de plásticos con requerimientos de equipo auxiliar y limitante de tiempo, el objetivo es cumplir con la demanda planeada por el sistema haciendo una buena programación de tareas. Para esto es necesario la formulación de un problema sustentada en conceptos de investigación de operaciones como el mostrado en la sección de Formulació de Programación Entera. Se implementa en dicha formulación características no encontradas en literatura como lo son la asignación de equipo auxiliar y limitante de tiempo al determinar cantidades de producción. ix

10 Resumen x Mediante un análisis del problema se diseña una metodología de solución en base a una Búsqueda Local Iterativa y mediante pruebas se establecen las condiciones de los problemas en los cuales se obtienen buenos resultados. Contribuciones y conlusiones: son: Las principales contribuciones de esta tesis Una formulación de problema de optimización no encontrada en literatura, tal que se integren las características vitales del sistema como se ve en el capítulo de Formulación de Programación Entera. En la sección de Complejidad del Programa Etero hacemos la prueba formal de que el problema de optimización definido pertenece a la clase de los porblemas NP-duros, los cuales implican un gasto de gran tiempo computacional para su solución. Mediante la experimentación y la metodología de solución se muestra como las decisiones presentes en la formulación afectan la rapidez y calidad de solución. En la sección de Metodología de Solución proponemos una metodología de solución que genera buenas soluciones en poco tiempo computacional. Por otro lado se observa cuales características y variantes de dicha metodología no son eficientes para solucionar el problema de optimización. Firma del asesor: Dr. Óscar Leonel Chacón Mondragón

11 Capítulo 1 Introducción En este trabajo analizamos la programación de producción en un sistema de manufactura basado en la producción de piezas mediante la implementación de equipo auxiliar y el uso de maquinaria. Este problema incluye decisiones de asignación de equipo así como de flujo de producción. La empresa misma debe establecer una ponderación para las piezas, así como las cantidades necesarias a cumplir un tiempo dado. A continuación hacemos la descripción del problema, el objetivo de esta tesis en la sección 1.2 y la metodología de solución desarrollada en la sección Descripción del Problema En este capítulo hacemos la decripción del sistema de inyección de plásticos, así como de sus características. Además, se hace énfasis en actividades presentes en los sistemas de inyección como planeacion y programación de producción. Un proceso de inyección es aquel mediante el cual la materia prima (plástico) pasa de estado sólido a líquido-pastoso, estado en el que es inyectado a presión en una cavidad o molde para formar un artículo listo para el proceso de ensamble y formar así un producto para vender. Un elemento fundamental en el proceso de transformación de plásticos es la máquina inyectora (ver Figura 1.1). Este equipo es el encargado de la fundición del 1

12 Capítulo 1. Introducción 2 material hasta la inyección del mismo. Figura 1.1: Máquina de inyección A su vez, para que una máquina de inyección fabrique producto es necesaria la implementación de un equipo auxiliar. En este caso un molde de inyección (ver Figura 1.2) el cual se encarga de almacenar el plástico y darle forma durante la inyección. El molde almacena las piezas en orificios llamados cavidades durante un tiempo de ciclo. Al terminal el tiempo de ciclo se considera que la pieza esta terminada. Figura 1.2: Molde para inyección Como se comprobó con una empresa en la que se basó este estudio, para la fabricación de producto mediante un sistema de inyección de plásticos es necesario realizar las siguientes actividades. 1. Llegada de la demanda. 2. Planeación de producción verificando disponibilidad de materia prima. 3. Producción.

13 Capítulo 1. Introducción 3 4. Inspección de calidad. 5. Retrabajo. 6. Ensamble. 7. Venta de producto. Este estudio se ubica únicamente en el actividad de producción donde ya se tienen los requerimientos de cada pieza necesarios a cumplir en un lapso de tiempo, así que deseamos determinar las cantidades de producción necesarias para cumplir de la mejor forma posible con la planeación hecha. En las empresas que trabajan con este tipo de procesos se define el tiempo de producción de una pieza en base a los dos siguientes factores. Tiempo de ciclo: es el tiempo necesario desde que se inyecta el plastico hasta que es expulsada la pieza ya solidificada. Cavidades de molde: Determina el número de piezas que pueden hacerse en cada molde. Dado que el sistema de inyección define la velocidad de producción para cada pieza, es deseado prevenir el modo en que debe llevarse a cabo la producción para cumplir los objetivos de las empresas. Además, para definir bien el sistema también se debe considerar el equipo y su interacción (ver Figura 1.3). Las relaciones entre el equipo del sistema se describen a continuación.

14 Capítulo 1. Introducción 4 Figura 1.3: Equipo de producción Moldes dedicados: No todos los moldes son capaces de producir cualquier tipo de pieza, es decir cada molde fabrica un conjunto de piezas para las que esta diseñado. Máquinas dedicadas: analógamente cada máquina tiene un conjunto de moldes con los que puede trabajar. Dos moldes diferentes tienen diferentes velocidades de producción de una misma pieza: Cuando una pieza es fabricada por varios moldes, estos moldes pueden tener un número diferente de cavidades, resultando así en diferentes velocidades de producción. Analógamente, se deben considerar el cómo debe hacerse la producción en las máquinas. En la Figura (1.4) se ilustran tres máquinas representadas como barras y el tiempo se representa con la longitud de la barra. Las parejas (ji, fk) indican el proceso de la pieza i usando el molde k.

15 Capítulo 1. Introducción 5 Figura 1.4: Ilustración de producción Los factores que intervienen al momento de la producción se describen a continuación. Uso limitado de un solo molde en cada instante: esto por la limitante de no más de un molde en existencia, por lo cual es imposible que se use un molde en diferentes máquinas al mismo tiempo. Límite de tiempo de uso para cada máquina: Esto se da por el requerimiento de piezas hecho por ensamble para un tiempo dado, lo cual determina cierta cantidad de horas disponibles de uso para cada una de las máquinas. Tiempos de cambiar molde: se refiere al tiempo de desmontar el molde previo y montar el actual, lo cual debe considerarse en el tiempo disponible de máquina. Tiempos de preproceso entre trabajos: comúnmente se encuentran casos de coloración de producto, limpieza o cambio de matertial, por lo cual debe considerarse el tiempo entre proceso de diferentes piezas. Ahora abordaremos el problema de planeación, que según Pochet y Wolsey [53] es la actividad de prever la adquisición de recursos, materia prima y actividades de producción, requeridos para transformar dicha materia en producto, y así satisfacer cierta demanda de una forma económica. Usualmente en la planeación se cubren problemas de: secuenciación de tareas en máquinas, determinar tamaños de lotes en producción y

16 Capítulo 1. Introducción 6 asignación trabajos a máquinas. Comúnmente se hace una planeación de producción a fin de cumplir con los requerimientos en las empresas. En muchos de los casos se presenta un incumplimiento de la producción esperada provocando retraso o compra de piezas a otras empresas para cumplir dicha producción. Aún y cuando se hace una planeación, es necesario en sistemas complejos como el de inyección, determinar el modo en que debe hacerse la producción. Hacer una planeación que no se pueda cumplir es poco favorable. Una herramienta matemática que determine cómo debe hacerse la programación de piezas-moldes en máquinas de inyección proporciona un apoyo para cumplir dicha planeación. Con esta herramienta puede evaluarse la capacidad del sistema para cumplir con la planeación, hasta modificar el modo el que se hace la misma. Teniendo bien definido la capacidad de la empresa es posible mejorar la toma de decisiones en este contexto. 1.2 Objetivo El objetivo de este trabajo es hacer una buena programación de producción de trabajos en máquinas de inyección con requerimiento de moldes mediante una formulación de problema de optimización. De esta forma se pretende cumplir a tiempo con la producción planeada, o al menos dejar de lado la producción que menos le afecte a la empresa por gasto o retraso. El objetivo particular de la programación es maximizar la suma ponderada de la producción cumplida, respetando el tiempo libre de máquina (es variable debido a disponibilidad). La programación deseada, debe abordar la necesidad de asignar qué piezas deben hacerse, con qué moldes deben fabricarse y a su vez, cómo se asignarán estos moldes en cada una de las máquinas, de tal manera que cumpla con la compatibilidad del equipo y las limitantes del sistema antes descritas. Claramente

17 Capítulo 1. Introducción 7 se distinguen fases como la de asignación de trabajos y la determinación del flujo de producción. Estas fases se abordarán en la sección de modelación. 1.3 Relevancia del Problema Como se ha mencionado anteriormente, el problema que nos interesa nace de las necesidades de un sistema de manufactura, por lo cual se habla de mejorar la forma en la que se hace la producción evitando no solo gasto económico de la empresa, como tambien ahorro de energía en el uso de máquinaria y un apoyo a una cadena de suministros. En la literatura cinetífica no se encontró alguna formulación que integre las características vitales del sistema de producción como la asignación de equipo. Una formulación como la hecha en este trabajo abre la puerta a un desarrollo de investigación, ya sea mejorando la modelación o los algoritmos de solución propuestos. 1.4 Metodología En este trabajo hacemos un estudio de un caso real de un sistema de manufactura, según la información proporcionada por una empresa de manufactura, hacemos una búsqueda en literatura a fin de diseñar un modelo de optimización válido para dicho sistema. En dicha búsqueda de literatura no encontramos las características vitales del sistema, tales como asignación, implementación de equipo auxiliar y flujo de producción en un modelo integral de optimización. Dado que no encontramos un modelo base para el sistema hacemos una simplificación realista, para así construir una formulación como problema de optimización. Demostramos que el problema de optimización es NP-duro, lo cual implica gran gasto de tiempo computacional para encontrar soluciones óptimas. Se propone el uso de un método heurístico para resolver el problema, esta metodología de solución esta basada en un algoritmo de búsqueda local iterativa. Mediante el desarrollo de una

18 Capítulo 1. Introducción 8 experimentación probamos el procedimiento de solución propuesto y determinamos las condiciones en las que se presentan los mejores resultados como se ve en la sección de Resultados Computacional. 1.5 Estructura de la tesis La tesis se divide en 5 secciónes; Marco Teórico, Trabajos relacionados, Formulación de programación entera, Metodología de Solución y Resultados Computacionales. En la sección de Marco Teórico vemos algunos conceptos importantes de optimización que se mencionan a lo largo de la tesis. En la sección de Trabajos relacionados mostramos cómo se han modelado las características del sistema en diversos problemas de optimización. La modelación así como la prueba de complejidad del problema se presentan en la sección de Formulación de programación entera. Los algoritmos de solución se pueden ver en la Metodología de Solución. En la sección de Resultados Computacionales se muestran las condiciones experimentales, el ajuste de parámetros, la propuesta de procedimientos de solución y comparaciones de efectividad entre ellos.

19 Capítulo 2 Marco Teórico En este capítulo introduciremos conceptos y problemas de los cuales se hace referencia en los diversos capítulos en esta Tesis. Presentamos conceptos como optimización, programas lineales, enteros, enteros mixtos, algoritmos de solución así como descripción de algunos problemas significativos como problemas de secuenciación, problemas de mochila y problemas de asignación. 2.1 Optimización Un sistema, proceso o fenómeno cuyo desempeño sea medible o cuantificable puede representarse mediane una abstracción de relaciones matemáticas, comúnmente llamado modelo o programa. Bajo esta primicia la optimización se encarga de mejorar el desempeño de dicho sistema a fin de cumplir con un objetivo deseado, como reducir costo o aumentar ganancias. Un factor vital en la optimización es la medida de desempeño y las limitantes del sistema. Estas características se representan en el programa. Comúnmente se desea que un modelo sea lo más representativo posible de las características de la realidad, sin embargo mientras más complejo es un modelo es más difícil también desarrollar metodologías de solución. Los componentes de un programa son las siguientes. Parámetros: se refiere a los datos proporcionados del sistema analizado. Son aquellos que no se modifican durante el proceso de solución. 9

20 Capítulo 2. Marco Teórico 10 Variables de decisión: son representaciones matemáticas de las decisiones del sistema. Éstas nos darán la información necesaria para poder alcanzar el objetivo propuesto. Existen diversos tipos de variables como lo son: variables binarias, enteras y reales. Restricciones: son las relaciones matemáticas mediante las cuales representamos las limitaciones de un sistema. Usualmente se representan mediante la forma general de desigualdad o igualdad como las siguientes. Ax b, Ax = b. En estas expresiones A representa una matriz de m filas y n columnas. Por otro lado x es un vector columna de n variables y b un vector columna de m escalares. Se forma así un sistema de desigualdades las cuales representan las limitaciones del sistema. Función objetivo: Es la representación de la medida de desempeño la cual se desea minimizar o maximizar. Usualmente un programa se describe como: max {cx : Ax b, x X}. (2.1) En esta representacion c es un vector fila de costos con n componenentes, y X se denomina espacio de solución o región factible del problema. Un punto x X se le llama solución factible. Cuando se encuentra una solución factible x y existe una vecindad de x denotada por V (x ) X, donde para cualquier x V (x ) se cumple que cx cx, entonces se dice que x es un máximo local. La optimización trabaja con una amplia gama de problemas y usualmente recibe una clasificación referente al tipo de problema con el que trata. Los problemas a su vez se clasifican según las variables que se definen en él. Algunos tipos de problemas se describen a continuación.

21 Capítulo 2. Marco Teórico Programa Lineal Un programa lineal (LP) se refiere a un modelo como (2.1) que cuenta con la particularidad de que el sistema de desigualdades formado por las restricciones Ax b consta sólo de ecuaciones lineales y X R. Cuando se trabaja con este tipo de problemas se hace referencia a la optimización como optimización lineal. La representación del programa lineal se puede ver a continuación. max cx Ax b x 0. (LP) Un programa lineal es el más simple de los programas de opimización, pues existe el algoritmo simplex para obtener una solución de cualquier programa lineal en un tiempo polinomial (ver [17]). Comúnmente se usan estos programas al trabajar con algoritmos de solución que en base a programas lineales se obtienen las soluciones de programas más complejos. Uno de estos métodos es el de ramificación y acotacion (lo llamaremos Branch & Bound) que se explicará en la sección Métodos de Solución de en Optimización Entera Programa Entero Lineal Cuando tenemos un modelo como (2.1) y agregamos la restricción de que X Z, se dice que se tiene un programa entero (IP). En este tipos de programas se representan situaciones reales donde las respuestas deseadas se basan en cantidades enteras como lo son: lotes de producción, cantidad de productos, orden de permutación, etc. La formulación de un programa entero esta dada como sigue. max cx

22 Capítulo 2. Marco Teórico 12 Ax b x 0, x Z. (IP) Este tipo de programa es utilizado para modelar en diversos procesos reales. Según la modelación existen diferentes niveles de complejidad para encontrar soluciones. Ésta es una de las razones por la que algoritmos de solución surgen constantemente para encontrar soluciones óptimas con mayor rapidez Programa Binario Se requiere de un programa binario cuando nuestras variables de decisión necesitan tomar valores solo de 0 y 1. Entonces, si tenemos un programa como (2.1) donde restringimos a x de tal manera que x {0, 1} n, se dice que tenemos un programa entero binario o simplemente binario (BIP). La formulación del programa esta dada como sigue. max cx Ax b x {0, 1} n (BIP) Este tipo de programa es utilizado en decisiónes de asignación como las encontradas en nuestro problema, problemas de rutas, locación de distribuidoras, etc. Es común encontrar programas binarios como subprogramas de algunos programas enteros y/o enteros mixtos. Ya representado un sistema y modelado matemáticamente, se debe encontrar una forma de solucionar el mismo. Según el tipo y la estructura particular de cada programa, pueden desarrollarse diversas metodologias de solución. A lo largo de la tesis entramos a más detalle en este aspecto.

23 Capítulo 2. Marco Teórico Métodos de Solución en Optimización Entera Así como la modelación tiene un papel fundamental en la optimización, el complemento, es decir la metodología de solución, goza de la misma virtud de ser indispensable en la optimización. Un programa o modelo muy próximo a la realidad sin una solución no es de utilidad. Para programas lineales, el algoritmo base para la resolución de problemas es el metodo simplex. El algoritmo símplex fue descubierto por el matemático George Dantzig en 1947, el algoritmo funciona a base de pivoteo sobre la matriz formada por las desigualdades de las restricciones extendida con variables complementarias. Simplex encuentra el óptimo de un programa lineal por medio de un recorrido de vértices de la región factible del problema, pues por las propiedades de convexidad en el programa lineal se tiene que el óptimo se encuentra siempre en un vértice (para mayor referencia ver [17]). En la optimización entera se encuentran problemas NP-duros (ver [32] y [24]), donde se presentan situaciones adversas para encontrar un óptimo. Entre estas adversidades estan la inexistencia de algoritmos polinomiales de solución, sin embargo aún así es posible en muchas ocasiones encontrar los óptimos mediante una diversidad de algoritmos de solución. Algunos de estos usan al clásico simplex y conceptos más sofisticados como cortes para llegar a la solución óptima, dichos algoritmos se conocen como métodos exactos. Otros algoritmos trabajan explotando la información del problema para hacer una aproximación a la mejor solución, estos reciben el nombre de métodos aproximados o heurísticos. A continuación se describen algunos de dichos algoritmos.

24 Capítulo 2. Marco Teórico Algoritmos de Branch & Bound Los algoritmos exáctos son procedimientos defínidos que garantizan encontrar la solución optima de un problema de optimización. Comúnmente el algorimo base del diseño de otros algoritmos es el Branch & Bound. Para comprender el algoritmo de Branch & Bound presentamos los siguientes conceptos. Sea A un conjunto, se dice que C es una cota superior de A si para cualquier a A se cumple que a C. Analógamente c es una cota inferior cuando para cualquier a A se cumple que a c. Como se ve en [64], siendo z = max{cx : Ax b, x X Z} un programa entero donde X R. La relajación lineal (RL) de dicho programa entero se define z RL = max{cx : Ax b, x X}. (RL) Podemos ver que en la relajación lineal tenemos un mayor espacio de soluciones, sin embargo es evidente también, que no todos los puntos factibles en la relajación lo son también para el problema original. En realidad existe una relación entre estos problemas, la relacion se describe a continuación. Sea x RL la solución óptima del problema (RL), entonces z RL es una cota superior del problema original. Por otro lado sea x el óptimo del problema original, entonces z zrl [64]. Ya definido lo que es una cota inferior, cota superior y relajación lineal, se describe el algoritmo de ramificación y acotación (Branch & Bound). La escencia en el algoritmo de Branch & Bound es la de dividir el problema para poder encontrar el óptimo encerrándolo entre cotas. Veamos que tanto la solución óptima del problema RL representa una cota superior para el IP, como una solución factible z del IP representa una cota inferior para el mismo. En la Figura 2.1 podemos visualizar la solución óptima (z ) de un problema de optimización a maximizar,

25 Capítulo 2. Marco Teórico 15 así como una cota superior (z RL ) dada por la relajación lineal y una cota inferior (z) dada por una solución factible. Figura 2.1: Ilustración de cotas Teniendo esta relación en cuenta, el algoritmo de Branch & Bound es fácil de resumir, pues cuando se desea maximizar el algoritmo se basa en reslover relajaciones lineales actualizando la cota superior zrl cada vez que se encuentre una menor y a su vez actualizar la cota inferior z cada vez que se encuentre una solución factible de mayor valor objetivo. El caso de minimizar es análogo (para mas detalle ver [64]). Muchas veces un algoritmo Branch & Bound es ineficiente por el tiempo que tarda en obtener una solución óptima. Esto puede darse cuando el algoritmo hace un número extremadamente grande de ramificaciones si el problema es de gran tamaño. Por esta causa, es necesario algunas veces modificar el algoritmo con técnicas más avanzadas, como ramificaciones específicas que explotan la estructura del problema o conceptos como cortes, los cuales reducen el espacio de solución Heurísticas El término heurístico deriva de la palabra griega heuriskein que significa encontrar o descubrir y se usa en el ámbito de la optimización para describir una clase de algoritmos de resolución de problemas. Un heurístico puede definirse como un procedimiento para resolver un problema de optimización bien definido mediante una aproximación intuitiva, en la que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obtener una buena

26 Capítulo 2. Marco Teórico 16 solución. En contraposición a los métodos exáctos que proporcionan una solución óptima del problema, los métodos heurísticos se limitan a proporcionar una buena solución del problema no necesariamente óptima. El tiempo invertido por un método heurístico es mucho menor al implementado por un método exacto [47], ésto ya que la explotación de las características del problema hecha por el heurístico maneja movimientos simples y lógicos, los cuales llevan a construir o mejorar una solución implementando un tiempo pequeño de ejecución. Podemos encontrar una gran cantidad de problemas de optimización, tanto en la industria como en la ciencia. Desde los clásicos problemas de diseño de redes de telecomunicación u organización de la producción hasta los más actuales en ingeniería y re-íngeniería de software, existe una infinidad de problemas teóricos y prácticos que involucran a la optimización. Existen problemas fáciles de resolver como los representados por programas lineales, sin embargo una gran parte de los que podemos encontrar en la práctica entran en la categoría de díficiles de resolver, debido al gasto de tiempo computacional que implica encontrar un óptimo. Estos problemas de optimización son conocidos como problemas NP-duros y son estudiado por el área de complejidad computacional (para mayor información ver [24] y [49]). En general la aplicación de un heurístico puede darse cuando el problema es de una naturaleza tal que no se conoce ningún método exacto para su resolución, aunque existe un método exacto para resolver el problema, su uso es computacionalmente muy costoso, el método heurístico es más flexible que un método exacto, permitiendo, por ejemplo, la incorporación de condiciones de difícil modelado, el método heurístico se utiliza como parte de un procedimiento global que garantiza el óptimo de un problema.

27 Capítulo 2. Marco Teórico 17 Para referirse a un heurístico debe tenerse siempre en mente el problema concreto que se está tratando, y así se puede hacer un análisis de la metodología de solución. Dado que siguen surgiendo problemas de optimización complejos de resolver por un medio exacto, sigue inovandose de igual manera en la creación de heurísticos. Debido a la escencia del heurístico, estos pueden clasificarse en varias categorías, A continuación se describen los algoritmos usados en este trabajo. Algoritmos constructivos: estos se encargan de en cada paso de un algoritmo añadir un componente a la solución hasta contar con la solución por completo. Usualmente estan basados en funciones miopes, es decir aquellas que seleccionan el mejor candidato en el paso inmediato [2]. Algoritmos de Búsqueda local: estos algoritmos toman de base una solución inicial. A través de un movimiento hacen modificaciones iterativamente a la solución a fin de que sea de mayor calidad. El algoritmo finaliza al no poder encontrar ninguna mejora a la solución actual [2]. Los algoritmos de búsqueda local son muy usados (para ejemplo ver [2], [1], [63] y [10]) por contar con una gran diversidad de movimientos, desde intercambiar componentes de soluciones hasta técnicas más avanzados que permitan una mejor exploración de las vecindades definidas por los movimientos. Como mencionan Aarts y Lenstra [2], en las pasadas tres decadas la búsqueda local ha crecido desde una simple idea hasta un campo de investigación bien fundamentado en optimización. Provee una base para un número de nuevos algoritmos de aproximación denominados metaheurísticas, los cuales se abordarán en la siguiente subsección.

28 Capítulo 2. Marco Teórico Metaheurísticas El termino metaheurísticas fue introducido por Fred Glover [25] en Estos métodos son considerados como estrategias que guían a una o varias heurísticas simples para obtener soluciones de alta calidad a bajo costo computacional. Una definición esta dada por Osman y Kelly [47]: Los procedimientos metaheurísticos son una clase de métodos aproximados que están diseñados para resolver problemas difíciles de optimización, en los que los heurísticos clásicos no son efectivos. Los metaheurísticos proporcionan un marco general para crear nuevos algoritmos híbridos combinando diferentes conceptos derivados de la inteligencia artificial, la evolución biológica y los mecanismos estadísticos. Las metaheurísticas implementan desde iteraciones, aleatoriedad, herramientas de inteligencia artificial, etc. Debido a la diversidad de herramientas que usan se genera una gran diversidad de estos métodos. Entre algunas metaherísticas se encuentran: búsqueda local iterativa, recocido simulado, GRASP, algoritmos geneticos, etc Búsqueda Local Iterativa La búsqueda local iterativa (ILS por las siglas en inglés de Iterated Local Search) es una metaheurística con una idea simple que nace de la respuesta a la pregunta Puede dicho algoritmo ser mejorado con iteraciones? Comúnmente se responde afirmativamente a esta pregunta. El algoritmo se puede describir como sigue. Dada una solución s, se aplica un cambio o perturbación que nos lleva a una solución factible intermediaria s. Entonces se aplica un algoritmo de búsqueda local a s para encontrar una solución s. Si la nueva solución aprueba una etapa de aceptación entonces remplazará a la solución tomada como s semilla. En la Figura (2.2) podemos ver una ilustración del

29 Capítulo 2. Marco Teórico 19 proceso donde mediante la perturbación se escapa de minimos locales y el algoritmo se describe en la Figura (2.3). Figura 2.2: Ilustración de la ILS con varios minimos locales [36] Algoritmo de ILS Generar solución inicial s 0 s BusquedaLocal(s 0 ) While(criterio de parada!) s P erturbacion(s ) s BusquedaLocal(s ) s CriterioAceptacion(s, s ) End while Figura 2.3: Algoritmo de Búsqueda Local Iterativa [36]

30 Capítulo 2. Marco Teórico 20 en [36]. A continuación se describe una descripción de los componentes de la ILS hecha Solución inicial: La búsqueda local aplicada a s 0 define el punto de inicio s 0. Si se alcanzan buenas soluciones en los inicios de la búsqueda, entonces empezar por la mejor s 0 se convierte en un hecho importante. Sin embargo esto no implica obtener la mejor s 0. Para corridas largas, la influencia de la solución inicial debería convertirse en un hecho menos importante; si esta influencia persiste, podría indicar que el camino de la ILS tiene dificultades en la exploración del conjunto de óptimos locales S. Perturbación: El objetivo es escapar de óptimos locales perturbandolos. Un factor importante es que tan fuerte debe ser la perturbación. Si es demasiado pequeña podría regresar a s y serían exploradas pocas soluciones de S. Si por el contrario las perturbaciones son muy largas se volveria casi aleatorio. En general la perturbación no debe ser directamente reversible por la búsqueda local, sino complementarla. Criterio de aceptación: La perturbacion y la búsqueda definen las transiciones entre la solución actual s y la solución vecina s. El criterio de aceptación determina cuando dicha solución vecina es aceptada como la nueva solución. Este tiene una fuerte influencia en la naturaleza y efectividad del recorrido en S. Búsqueda local: No tiene que ser necesariamente un algoritmo simple, puede ser cualquier búsqueda local basada en metaheurísticas como búsqueda tabú o recocido simulado. Optimización global de ILS: Se basa en la afinación de la interacción entre solución inicial, perturbación, criterio de aceptación y búsqueda local, de esta forma se diseñan procedimientos que se acercan más al óptimo global. En general, se tiene una herramienta simple y rápida que puede ser aplicada y

31 Capítulo 2. Marco Teórico 21 mejorada, aumentando la calidad de cada modulo individualmente. Cuando se hacen dichas mejoras la interacción entre intensificación y diversificación es importante y se mantiene como un problema desafiante [36]. Este tipo de metaheurística es aplicada en nuestro trabajo como base para obtener una solución tal y como puede verse en el capítulo Metodología de Solución. 2.3 Problemas de Secuenciación Los problemas de secuenciación consisten en determinar el orden en el cual ciertos trabajos deben ser procesados en una o varias máquinas. En la Figura 2.4 podemos visualizar mediante un diagrama de Gantt el proceso de cuatro trabajos en dos máquina, donde cada trabajo tiene que procesarse primero en la máquina uno para luego pasar por la máquina dos. Figura 2.4: Representación de secuencia mediante diagrama de Gantt La visualización anterior refleja un caso particular de los problemas de secuenciación. Sin embargo, un problema de secuenciación en general, se describe y clasifica por cuatro tipos de información, los cuales se describen a continuación [15]. 1 ] Los trabajos que serán procesados: Entre algunas de sus características es que cuentan con fechas de entrega y algunas veces con fechas donde pueden empezar a procesarse. 2 ] El número y tipos de máquinas disponibles: Se puede trabajar con una máquina o varias máquinas. En el último caso se hace la distinción de cuando se trabaja con máquinas iguales (máquinas paralelas) y con máquinas restringidas (máquinas dedicadas).

32 Capítulo 2. Marco Teórico 22 3 ] Restricciones de como deben hacerse las asignaciones: las restricciones comunes son las de evitar el proceso de varias tareas simultaneamente en una máquina, evitar interrumpir trabajos ya que se inicia el proceso, seguir determinadas prioridades, cumplir con fechas de entrega, etc. 4 ] El criterio en el que las secuencias serán evaluados: Algunos de los objetivos más comunes en este tipo de problema es minimizar el tiempo en el que se terminan los trabajos o minimizar el tiempo en el que se termina de procesar el trabajo más lento. En base a estos criterios se define una gran variedad de problemas de secuenciación como se ve en [15]. Las variables comunes usadas en los problemas de secuenciación son los tiempos donde inicia el proceso de un trabajo; sin embargo pueden definirse variables auxiliares para identificar el orden de los procesos. En problemas de secuenciación un concepto importante que será mencionado a lo largo de la tesis se refiere al tiempo de preproceso al terminar un trabajo y comenzar uno nuevo. A este tiempo de preproceso se le conoce en literatura como tiempo de setup (así se le llamará de aquí en adelante). Se hace la distinción de cuando un tiempo de setup depende de la secuencia, es decir, depende estrictamente del trabajo previo y el siguiente a realizar y cuando es independiente de la misma. Al trabajar con tiempos de setup los problemas suelen hacerse más complejos desde su modelado hasta su resolución, esto se debe a que comúnmente los problemas que implementan tiempos de setup son NP-duros hasta en el caso de una máquina [8]. Sin embargo, como se implica en [3] y [13], es de vital importancia implementar los tiempos de setup, pues en la realidad se encuentran presentes en la mayoría de los procesos.

33 Capítulo 2. Marco Teórico Problema de Asignación Los problemas de asignación consisten en la correspondencia óptima entre elementos de dos o más conjuntos. Dicha correspondencia tal y como se presenta en este trabajo establece la forma en cómo se asignan un conjunto de trabajos a un conjunto de operadores. Aunque el nombre de problema de asignación apareció por primera vez en el año 1952, en la actualidad existen diversas variaciones del problema de asignación clásico aplicadas a problemas de optimización [23], [30], [14] y [45]. El problema clásico de asignación consiste en encontrar la correspondencia entre un conjunto de n trabajos y n operadores a fin de minimizar el costo de la asignación. Sea i el índice que representa a un operador y j el índice que representa a un trabajo. Definimos las variables de decisión como x ij {0, 1} para todo i, j {1, 2,..., n}, donde la variable x ij toma el valor de 1 si el operador i realiza el trabajo j y 0 en otro caso. Además, se cuenta con el parámetro c ij el cual se refiere al costo que resulta de asignar el operador i al trabajo j, entonces el modelo matemático se describe por min c ij x ij n x ij = 1, j (2.2) i=1 n x ij = 1, i (2.3) j=1 x ij {0, 1}, i, j. (2.4) Donde (2.2) representa que un trabajo puede asignarse a sólo un operador y (2.3) indica que un operador debe realizar sólo un trabajo. Estos problemas tanto asignación clásica como sus variaciones pueden tener numerosas aplicaciones en la industria donde se maneja siempre la eficiencia de trabajadores y/o maquinaria, también pueden encontrarse como subproblemas de un

34 Capítulo 2. Marco Teórico 24 problema entero general, siendo de relativa importancia conocer las características de los mismos. Se diseñan también diversas metodologías de solución ya sea exactas como se ve en [34] o métodos heurísticos como en [30] 2.5 Problemas de Mochila Los problemas de mochila han sido estudiados intensivamente desde el trabajo de Dantzig [16] a finales de los 50 s, ya sea debido a las aplicaciones en la industria y finanzas, pero mayormente por razones teóricas, ya que problemas de mochila son encontrados frecuentemente al relajar varios programas enteros. En dichas aplicaciones necesitamos resolver un problema de mochila cada vez que se obtiene una cota demandando técnicas extremadamente rápidas de solución, una gran diversidad de estos problemas puede verse en [50]. La familia de los problemas de mochila requieren que un subconjunto de ciertos artículos sean seleccionados tal que la ganancia proporcionada por dichos artículos sea máxima. La versión clásica del problema de mochila se formula en la siguiente subsección Problema Clásico de Mochila Sea N = {1, 2,..., n} un conjunto de articulos con ponderación p j y un peso w j para cada j N. Se tiene una mochila con capacidad W. El problema consiste en designar que artículos pueden contenerse en la mochila sin exceder su capacidad y produciendo una máxima ponderación. La formulación como programa entero esta dada por max p j x j j N w j x j W j N x j {0, 1} n, j N.

35 Capítulo 2. Marco Teórico 25 (KP) A pesar de tener una formulación muy sencilla, el problema de mochila pertenece a los porblemas de complejidad NP-duros ya que se puede hacer una reducción del problema de covertura (cover) exacto [32]. Dada la complejidad y las aplicaciones de este tipo de problemas se genera gran diversidad de problemas y algoritmos de solución exactos para solucionar dichos problemas usando muy poco gasto computacional. Ésto es posible ya que el problema de mochila es NP-duro en el sentido débil (ver [24] y [49]). Entre algunos ejemplos de algoritmos de solución están algoritmos de Branch & Bound como se puede ver en [7], [20], [21], [38], [41], [42], [46] y más recientemente [43], [51]. Por otro lado algoritmos mediante programación dinámica se presentan en [28], [61] y [37]. Algoritmos híbridos, es decir, en base a la combinación de la programación dinámica y el Branch & Bound se proponen por Martello et al. [37] y Martello y Toth [40]. También una comparación experimental de los algoritmos exactos más efectivos se da en [44]. Además del problema de mochila clásico se puede encontrar variaciones al problema original que resultan igual de aplicables, algunas de ellas se pueden ver en [22], [50] y [5] Problema de Múltiples Mochilas En esta variación del problema de mochila se tiene la misma filosofía que en la versión clásica. Sin embargo se define un conjunto M = {1, 2,..., m} de mochilas cada una con capacidad W i. El problema de múltiples mochilas consiste en asignar disjuntamente a cada una de las mochilas un conjunto de piezas que no excedan las capacidades y produzcan una ponderación máxima. La formulación del programa entero se describe a continuación.

36 Capítulo 2. Marco Teórico 26 max p j x ij i M j N w j x ij W i, i M j N x ij {0, 1} n, j N, i M. (MKP) Este problema de mochila pertenece a la clase de los problemas NP-duros ya que el problema clásico de mochila es un caso particular del problema de múltiples mochilas cuando M = 1. Este problema con m mochilas también se encuentra comúnmente en diversas aplicaciónes en economía y la industria metalera [56]. Debido a esto, se generan diversos algoritmos exactos para encontrar soluciones como se muestra en [39], [12] y [52].

37 Capítulo 3 Trabajos Relacionados En esta sección veremos algunos de los trabajos relacionados con las características de nuestro problema y cómo fueron abordados. Los problemas de secuenciación a menudo encuentran el hecho de que al procesar un trabajo diferente al actual implica un tiempo de preproceso, mejor conocido como tiempo de setup. Más aún, existen casos donde estos tiempos de setup dependen además de la tarea previa i y la tarea actual j a procesar los se conocen como tiempos de setup dependientes de la secuencia (s jf ). Este último es nuestro caso, donde al cambiar de pieza a producir los tiempos de preproceso deben considerar el hecho de cambiar molde cuando sea necesario ó solo usar un tiempo mínimo de coloración para hacer la nueva pieza. Dado que los problemas de secuenciación con tiempos de setup dependientes de la secuencia son NP-Duros como menciona Brucker [8], existe una gran variedad de problemas con tiempos de setup dependientes de secuencia, pero la gran mayoría están enfocados al uso de una sola máquina. En [19] y [18] se desarrollan algoritmos heurísticos, mientras que en [60] se implementa un algoritmo Branch & Bound. También se hacen aproximaciones mediante programación dinámica en [57]. Por ejemplo Lou y Chu [35] trabajaron minimizando tardanza total en un problema de secuenciación en una máquina y existencia de tiempos de setup dependientes de la secuencia. Usando un método de Branch & Bound basado en un esquema de permutaciones, consiguen encontrar soluciones para problemas de gran escala en tiempo considerable. Este problema cuenta con la característica de no 27

38 Capítulo 3. Trabajos Relacionados 28 interrupción, la cual impide que un trabajo pueda ser interrumpido durante su proceso, contrario a las características de nuestro problema descrito en la sección de Introducción, además del uso de una sola máquina. También se han trabajado con setup en máquinas paralelas como se ve en [29], [26] y [1]. Por ejemplo Weng, Lu y Ren [63] estudian siete heurísticos, para hacer comparaciones al abordar un problema de secuenciación en maquinas paralelas dedicadas con el objetivo de minimizar la ponderación del tiempo total de terminación. Shim y Kim [55] encontraron un método de Branch & Bound para minimizar Retraso total en donde los trabajos se desglosan a su vez en un grupo de sub-trabajos que pueden procesarse en máquinas paralelas. Un tiempo de setup es requerido al cambiar de tipo de sub-trabajos, además es permitido interrumpir el proceso de un trabajo al igual que en nuestro problema, sin embargo es importante resaltar, que en los problemas de secuenciación encontrados, los tiempos de proceso para cada trabajo están ya definidos con anterioridad, mientras que en nuestro problema es necesario una fase previa de asignación de trabajos a moldes. Estos moldes juegan un papel vital en la programación de producción pues son limitados y tienen que asignarse a una sóla máquina en cada instante. Se han secuenciando familias de trabajos en máquinas paralelas por Chen y Powell [11], donde los tiempos de setup aparecen al cambiar de tipo de familias, además cada trabajo podía ser procesado en una sola máquina. Usando un método de generación de columnas, ellos encuentran soluciones óptimas para problemas de escala media (40 trabajos, 8 familias y 6 máquinas) en un tiempo computacional razonable (explorando menos de 5 nodos Branch & Bound). Este trabajo tiene aplicaciones cuando se trabaja con coloraciones como en el nuestro, pero difieren, ya que en nuestro caso un producto puede tener múltiples familias las cuales se definen en base a los moldes que se pueden usar para la producción de una pieza, este caso no se implementa en dicho trabajo. También se trabajó secuenciando trabajos en máquinas dedicadas con reque-

39 Capítulo 3. Trabajos Relacionados 29 rimientos de uso de moldes pr Chen y Wu [10]. En dicho trabajo las velocidades de producción dependen de trabajo y máquina con la que se producirá el mismo, además existen tiempos de setup entre trabajos que requieren diferentes moldes. Usando métodos heurísticos a base de listas tabú, se consiguen soluciones factibles con problemas de gran escala y óptimos con problemas de mediana escala para el objetivo de minimizar tardanza total. Aunque en este trabajo se toma en cuenta el requerimiento de molde, no existe la posibilidad de producir una misma pieza con una variedad de moldes, es decir, no existe la fase previa de asignar piezas a moldes. La agrupación de tareas como la que aparece en el problema de programación, se aborda en varios trabajos de secuenciación como [62], [59], [27], [9], [33], [6], [54] y [65]. Sin embargo en problemas como los abordados en estas referencias no presentan un requerimiento de equipo auxiliar como lo son los moldes, además de trabajar con objetivos comunes de secuenciación. Por otro lado se han abordado problemas de sistemas complejos de ensamble como en [31], donde se tiene la necesidad de satisfacer la demanda de n productos requeridas para ensamble, lo cual lleva al proceso de piezas en máquinas. Se considera una precedencia para la elaboración de las piezas y se desea minimizar el costo del sistema. Dado que al agregar el factor de precedencia el problema resulta mucho más complejo, se desarrollan heurísticos en base a búsqueda tabú y recocido simulado para encontrar soluciones factibles en instancias de hasta 100 piezas y 20 procesadores. Sin embargo, en el sistema de ensamble abordado, el producto requerido se puede procesar con solo una sola máquina, además de no implementar las necesidades de equipo auxiliar como en nuestro problema. En resumen, en la literatura científica revisada los problemas de secuenciación ignoran decisiones del tipo de asignación como los presentes en nuestro problema; además, se trabajan con objetivos clásicos en base a minimizar tiempos de finalización ya sea ponderados, totales o máximo tiempo. Tambien en problemas de sistemas complejos de ensamble se ignoran características vitales del sistema, como el requerimiento de equipo auxiliar. En nuestro caso es necesario abordar el problema