Inferencia estadística. Distribuciones muestrales. 3. Establecer relaciones entre los parámetros de la población y los obtenidos de la muestra.

Transcripción

1 UNIDAD 9 Iferecia estadística. Distribucioes muestrales la Estadística se distigue dos partes perfectamete difereciadas. Ua de ellas se cooce co el ombre de Estadística Descriptiva y tiee como objetivo la recogida, orgaizació y aálisis de datos; y obte- E er a partir de ellos uos valores llamados parámetros, que los idetifica, y además permite hacer comparacioes co otros cojutos de datos y establecer relacioes etre ellos. Otra parte de la Estadística llamada Estadística Iferecial trata de elaborar coclusioes de ua població a partir de los datos recogidos de ua parte de la misma llamada muestra. La represetatividad de la muestra será de suma importacia para la fiabilidad de las coclusioes. Las aplicacioes de Estadística Iferecial abarca campos muy diversos. E Medicia se emplea para ivestigar los resultados de tratamietos co uevos fármacos. E Sociología se usa para hacer ecuestas de opiió a los resigados cotribuyetes. E Idustria para mejorar la calidad de los productos co los métodos de cotrol de calidad y coocer el grado de aceptació de los cosumidores. Esta Uidad didáctica tiee como objetivos los siguietes: 1. Estudiar los coceptos básicos de la Estadística Iferecial. 2. Aalizar los diferetes tipos de muestreos. 3. Establecer relacioes etre los parámetros de la població y los obteidos de la muestra. ÍNDICE DE CONTENIDOS 1. VARIABLES ALEATORIAS Variables aleatorias discretas. Distribució biomial Variable aleatoria cotiua. La distribució ormal MUESTREO Tipos de muestreo Parámetros y estadísticos DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES DISTRIBUCIÓN DE PROPORCIONES MUESTRALES

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3 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES 1. Variables aleatorias Ua variable cuyos valores se determia sobre los resultados de u experimeto aleatorio se llama ua variable aleatoria. Por ejemplo, e u colegio de 300 alumos, elegimos u alumo al azar (experimeto aleatorio), aotamos su edad (variable aleatoria discreta), medimos su estatura (variable aleatoria cotiua), registramos el úmero de hermaos que tiee (variable aleatoria discreta) y su peso (variable aleatoria cotiua). Los valores de ua variable aleatoria discreta so úmeros eteros positivos, los valores de ua variable aleatoria cotiua so úmeros reales compredidos e u itervalo real. Las variables aleatorias se simboliza por ua letra mayúscula como X o Y o Z Variables aleatorias discretas. Distribució biomial E las variables aleatorias discretas a cada valor x de la variable X se le asocia la probabilidad de que x ocurra, P[X = x], y a esta asociació se llama ley de probabilidad. Ua distribució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta es semejate a ua distribució de frecuecias de ua variable estadística, sólo que e vez de frecuecias relativas teemos probabilidades. El curso pasado estudiamos las variables aleatorias discretas que sigue la distribució biomial. Supogamos u experimeto aleatorio que se pueda repetir idefiidamete y que e cada prueba sólo tega dos resultados: éxito (E) y fallo (F). Experimetos de este tipo so: tirar ua moeda, dode úicamete sale cara o cruz; tirar u dado y observar si sale 5 o o, etc. Supodremos que p es la probabilidad de éxito e cada prueba y, por tato, 1-p será la probabilidad de fallo e cada prueba. Si el experimeto se repite veces, al aotar los resultados, obteemos ua palabra de logitud formada por las letras E y F E E F F E F E E F E F F F E... Cuátas palabras de este tipo cotiee x veces la letra E? Esto es equivalete a decir: si teemos cajas, de cuátas maeras distitas podemos situar x letras E, ua por caja? O de cuátas maeras podemos elegir x cajas etre dadas? Esta última preguta tiee ua respuesta coocida, y es el úmero C,x o. x Si ahora os pregutamos cuál es la probabilidad de obteer x éxitos e pruebas? o, cuál es la probabilidad del suceso xveces x veces A= E... E F... F...? Como las pruebas so idepedietes, la probabilidad o varía de ua a otra prueba, etoces: x veces x veces PA ( ) = PE ( )... PE ( ) PF ( )... PF ( ) x veces x veces PA ( ) = p... p ( 1 p)... ( 1 p) = p ( 1 p) x x 182

4 Al haber palabras de logitud co x letras E y cada palabra tiee ua probabilidad de p x (1-p) -x, etoces x defiimos ua fució de probabilidad para la variable aleatoria X, que cueta el úmero de éxitos e pruebas, así: PX [ = x] = p ( p) x 1 x x Esta fució recibe el ombre de fució de probabilidad de ua distribució biomial de pruebas co probabilidad de éxito p, simbólicamete B (,p). Ejemplo 1. E ua ciudad, el 40% de los alumos que promocioa a bachillerato tiee suspesa algua asigatura de 4º de ESO. Se elige 6 alumos de 1º de Bachillerato al azar, cuál es le probabilidad de que la mitad de ellos tega algua asigatura suspesa de ESO? Solució: Se trata de distribució biomial: 1º) e cada prueba hay dos úicos resultados: teer algua suspesa o o, 2º) el resultado de cada prueba es idepediete del aterior, 3º) la probabilidad de ecotrar u alumo co algú suspeso es costate p = 0,4. Es, por tato, ua distribució biomial de parámetros = 6 y p = 0,4, B(6; 0,4). La mitad de 6 es 3, la probabilidad buscada es P[ X = ]= , 4 0, 6 = 0, Actividades 1. La probabilidad de que u jugador de balocesto haga caasta e los tiros libres es 1/4. Si laza 6 tiros libres, cuál es la probabilidad de que haga al meos 3 caastas? 2. La probabilidad de que u misil alcace su objetivo es 0,8. Si se laza 4 misiles, cuál es le probabilidad de que como máximo dos de ellos de e el blaco? 3. Cico persoas de 30 años suscribe ua póliza de vida co ua compañía de seguros. Segú las previsioes de esa compañía, la probabilidad de que ua persoa saa de 30 años esté viva detro de 35 años es 0,88. Calcula la probabilidad de que detro de 35 años viva: a) las 5 persoas que ha suscrito la póliza; b) sólo 3 de esas persoas; c) al meos 2 de esas persoas Variable aleatoria cotiua. La distribució ormal Las variables aleatorias cotiuas se caracteriza por que la probabilidad atribuida a cada valor x de la variable aleatoria X es cero. Cómo se atribuye etoces probabilidades? Pues, e vez de asigar probabilidades a cada valor determiado de X, se hace a itervalos de valores de la variable, así: [ ]= ( ). P a X b f x b a 183

5 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES De este modo, calcular probabilidades equivale a calcular áreas como la de la regió sombreada de la figura. Ua variable aleatoria cotiua, X, se dice que está ormalmete distribuida o que sigue ua distribució ormal de media µ y desviació típica σ, y se simboliza por N (µ, σ), si la fució f(x) de la itegral es: 1 f( x) = e σ 2π ( x ) 2 µ 2 2σ Si X está ormalmete distribuida, la probabilidad de que X tome u valor meor o igual que x, P [ X a x ], es el área de la regió sombreada e la figura, sabiedo que el área bajo toda la curva es 1. El cálculo de esa área se hace mediate ua itegral defiida, pero estas itegrales está tabuladas para N(0,1). Etoces para hallar P [ X x ], co X, N (µ, σ), trasformamos la variable X e otra, que simbolizamos por Z, que sea N(0,1). E realidad, cosiste e cambiar la variable X por Z, dode X µ Z = σ Esta trasformació se llama tipificació de la variable, y se cumple que P X x P X x x [ ]= µ µ P Z = µ σ σ σ E los ejemplos recordamos alguos casos que se puede presetar e el maejo de las tablas de la N(0,1), que aparece al fial de la uidad. Ejemplos 2. E ua distribució ormal N(0,1), hallar: a) P[Z 1,58]; b) P[Z 0,46]; c) P[Z - 1,79]; d) P[Z - 1,79]; e) P[- 0,89 Z 1,98] Solució: a) P[Z 1,58] = 0,9429 El úmero 0,9429 aparece e la tabla e la itersecció de la fila que empieza por 1,5 y la columa que ecabeza 0,08; y sigifica que el 94,29% de los valores de Z está compredidos etre - y 1,58. b) P[Z 0,46] = 1- P[Z 0,46] = 1 0,6772 = 0,3228 E la gráfica vemos que la probabilidad buscada correspode al área sombreada y es igual al área total, 1, meos el área de P [ Z 0,46 ] 184

6 c) P[Z - 1,79] = P[Z 1,79] = 1 - P[Z 1,79] = 1-0,9633 = 0,0367. E la gráfica observamos que por simetría el área P [ Z -1,79 ] es igual que P [ Z 1,79] d) P[Z - 1,79] =P[Z 1,79] = 0,9633 Por simetría el área de P [ Z -1,79 ] es igual que P [ Z 1,79] e) P[- 0,89 Z 1,98] = P[Z 1,98] - P[Z - 0,89] = =P[Z 1,98] (1 - P[Z 0,89]) = 0,9761 (1 0,8133) = 0, E ua distribució N(0,1) calcula el valor de c que cumple la igualdad P[- c Z c] = P[ Z c] = 0,95. Solució: Segú la figura el área sombreada a la derecha de c es 1 0, , = = 0, Luego de la igualdad P[Z c] = 0,95 + 0,025 = 0,975 obteemos e las tablas que el valor de c que correspode a 0,975 es 1,9 e la columa 0,06, es decir, c = 1, Si X es ua variable aleatoria que sigue ua distribució N(60,12), calcula P [ X <65]. Solució: P [ X < 65 ] = P X = 5 P Z = P [ Z , 12 ]= 0, 6628, 5. Sabiedo que X es ua variable aleatoria que sigue ua distribució N(10,3) halla el valor de x e P [ X < x ]= 0,9761. Solució: Como P [ X < x ] = 0,9761= P X 10 < x 10 P Z z ; 3 3 = [ < ] de P [ Z < z ]= 0,9761, averiguamos el valor de z co ayuda de las tablas y resulta que a 0,9761 le correspode x 1,98, luego z = 1,98. Dado que z = 10 = 198, despejado x obteemos x = 3 1, = 15, Las estaturas de 500 alumos de u colegio se distribuye ormalmete co media 148 cm y desviació típica 12 cm. Calcular cuátos alumos o alcaza los 160 cm y cuátos hay cuya talla está compredida etre los 140 y los 160 cm. Solució: Las estaturas se distribuye segú ua N(148, 12). E primer lugar, os pide P [ X < 160 ] y P [ X < 160 ] = P X < P Z,, 12 = [ < 1 12 ]=

7 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES es decir, el 84,13% de los alumos o llega a los 160 cm. Como el 84,13% de 500 es 0, = 420,65, trucado la parte decimal, podemos decir que 420 alumos o llega a los 160 cm de altura X E segudo lugar, P 140 X 160 P [ ]= = = P[- 0,66 Z 1] = = PZ [ 1] - ( 1 - P[ Z 0, 66] ) = 0, (1-0,7454) = 0,5867 Es decir, el 58,67% tiee ua altura e el itervalo [140, 160] y como 0, = 293,35 hay 293 alumos cuya talla está compredida etre los 140 y los 160 cm. 7. El 45% de los habitates de u muicipio so cotrarios a u proyecto de la alcaldía y el resto so partidarios. Se toma ua muestra de 64 habitates, cuál es la probabilidad de que más de la mitad de los idividuos de la muestra sea cotrarios al proyecto del alcalde? Solució: El úmero x de los habitates cotrarios al proyecto e muestras de 64 idividuos se distribuye segú ua biomial B (64, 0,45); es decir, teemos que calcular P [X > 32]. Este cálculo os obliga a determiar 32 úmeros 64 combiatorios del tipo, pero este moumetal trabajo puede abreviarse recordado que ua biomial, X, x puede aproximarse por ua ormal, Y, cuado es grade o p > 5 y (1-p) > 5. E este caso la biomial B(,p) puede aproximarse por la ormal N( p, p ( 1 p) ). Luego la biomial B(64, 0,45) es muy parecida a la or- mal N(64 0,45; , ( 1 045, ) = N(28,8; 3,98). Por tato, recordado que al pasar de ua distribució discreta a ua cotiua añadimos y restamos u factor de correcció de 0,5, P[a X b] P[a 0,5 Y b + 0,5], 31, 5 28, 8 resulta P[ X> 32] PY [ > 32 0, 5] = PY [ > 31, 5] = PZ [ > = PZ [ > 068, ] = 1 PZ [ < 0, 68] = 0, , Actividades 4. La duració e años de la placa base de los ordeadores de ua determiada marca sigue ua distribució ormal de parámetros µ = 10 años y σ = 2 años. Calcular la probabilidad de que la placa base dure más de 12 años. 5. E ua N(0,1) calcular los valores de z correspodietes a: a) P [ Z z] = 0,9 b) P [ Z z] = 0, El 20% de los alumos co mejor ota de u istituto puede acceder a estudios superiores. Las otas medias fiales del istituto se distribuye segú ua N(5,8; 2). Cuál es la ota media míima que debe obteer u alumo si pretede hacer estudios superiores? 7. Si la presió sistólica de los idividuos de ua població A sigue ua distribució ormal N(127, 24), calcula: a) Qué porcetaje de idividuos de A supera el valor 179. b) Qué porcetaje de idividuos de A está por debajo del valor 71,2. 8. La duració de cierto tipo de motor es ua variable ormal, co media de 10 años y desviació típica de dos años. El fabricate garatiza el bue fucioamieto de los motores por u período de 13 años. Qué porcetaje de motores se espera que cumpla la garatía? 186

8 2. Muestreo Cuado se quiere estudiar ua característica de ua població, e muchas ocasioes, resulta imposible aalizar todos los idividuos de la població. Hay muchas causas de esta imposibilidad: ua població muy umerosa, que haría costoso e itermiable el estudio, o muy dispersa; tambié es importate la aturaleza de los idividuos porque el estudio puede supoer su destrucció. Por estas razoes resulta idicado elegir u subcojuto de idividuos de la població para hacer el estudio. A este subcojuto se llama muestra y deomiamos tamaño de la muestra al úmero de idividuos que la compoe. Para exteder los resultados obteidos de la muestra al total de la població, es ecesario que ésta sea represetativa. Ahora, la represetatividad de la muestra depede del tipo de muestreo empleado. Vamos a describir alguos tipos de muestreo Tipos de muestreo Mecioaremos los tipos de muestreo más habituales. Muestreo aleatorio simple. Se realiza este tipo de muestreo cuado cada miembro de la població tiee la misma probabilidad de ser escogido e la muestra. Muestreo aleatorio sistemático. Cosiste e ordear uméricamete todos los idividuos de la població y elegir, al azar, uo de ellos; y a partir de él escoger sistemáticamete de k e k los restates idividuos, hasta completar la muestra. Muestreo aleatorio estratificado. Cosiste e dividir previamete la població e grupos homogéeos o estratos, e los que los idividuos comparte algua característica comú, y elegir muestras aleatorias simples e cada estrato. Cuado hay k estratos cada uo co diferetes poblacioes: N 1, N 2,, N k, etoces para coformar ua muestra de tamaño tomamos 1, 2,, k idividuos e cada estrato de modo que = k, y además cada uo de los úmeros 1, 2,, k ha de ser proporcioal a los tamaños de los estratos: N 1, N 2,, N k. Aú hay otro tipo de muestreo. El muestreo aleatorio por coglomerados cosiste e dividir previamete la població e subcojutos o coglomerados. Se elige a cotiuació al azar alguos de estos coglomerados. La muestra se coforma eligiedo muestras aleatorias simples e los coglomerados escogidos. Ejemplo 8. E u colegio hay 1500 alumos: 600 e Primaria, 500 e la ESO y 400 e Bachillerato. Se quiere extraer ua muestra de 50 alumos para realizar u estudio, cómo se seleccioará dicha muestra? Solució: Hay tres estratos co poblacioes diferetes etre todos los alumos del colegio: N 1 = Primaria, N 2 = ESO y N 3 = Bachillerato, N 1 +N N k = = 1500 Extraemos tres muestras 1, 2 y 3, ua e cada estrato, de maera que = 50, y además 1, 2, y 3 sea proporcioales a 600, 500, y 400 respectivamete. Es decir, = = = ; = = = 16, 6, redodeado, 17 ; = = = 13, 3, redodeado, La muestra estaría formada por 20 de primaria, 17 de ESO y 13 de Bachillerato. 187

9 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Actividades 9. Ua sociedad recreativa quiere extraer ua muestra de 100 idividuos etre sus socios para programar futuras actividades. Se sabe que los socios se reparte e tres estratos: 800 iños y jóvees, 3500 adultos e edad laboral y 1800 jubilados. Cómo se seleccioará dicha muestra? 2.2. Parámetros y estadísticos Llamamos estimació al procedimieto por el cual los resultados de la muestra permite deducir resultados relativos al total de la població. El valor descoocido de ua població, que estimamos a partir de ua muestra, se llama parámetro poblacioal. Los parámetros que se suele estimar so la media, la proporció o porcetaje, la desviació típica, la variaza, etc. Por ejemplo, el salario medio de los madrileños es u parámetro de toda la població de Madrid, mietras que el salario medio de ua muestra de los madrileños, que es u parámetro de la muestra, se llama u estadístico. Los símbolos de los parámetros de la població so: la media, µ (se lee mu), la desviació típica, σ (se lee sigma), la proporció o porcetaje, p, mietras que para los parámetros de la muestra o estadísticos se utiliza los símbolos: µ, media muestral, y para la proporció o porcetaje. Cuado tomamos los parámetros de la població por los estadísticos correspodietes a las muestras estamos haciedo ua estimació por puto del parámetro de la població; e estas estimacioes el marge de error puede ser grade y por tato el grado de fiabilidad, pequeño. E la uidad didáctica próxima veremos que resulta más fiable establecer u itervalo e el que se ecuetre el parámetro poblacioal buscado. Este tipo de estimació se llama estimació por itervalos. 3. Distribució de las medias muestrales Estamos iteresados, por ejemplo, e coocer la media de los gastos mesuales e alimetació de los hogares de u barrio de Madrid. Teemos, pues, ua població: los hogares de u barrio particular, y ua variable aleatoria, X, que asiga a cada hogar la catidad de diero dedicada mesualmete a la alimetació. Queremos hallar µ, valor medio de esta variable aleatoria. Podemos hacer ua estimació de µ a partir de la media obteida de ua muestra aleatoria de la població,gx. Es evidete que este valor µ puede variar si tomamos otra muestra. Algo os dice que la media µ, de ua muestra determiada, o correspode exactamete co la media µ de la població. Existe algua relació etre la media de las muestras µ y la media de la població µ? Sí existe. Si tomamos ua muestra de tamaño de la població y calculamos la media muestral, µ 1, a cotiuació elegimos otra muestra de tamaño y calculamos su media obteemos otro úmero, µ 2 ; procediedo de la misma maera hasta elegir k muestras diferetes obteemos ua serie de k medias muestrales µ 1, µ 2, µ 3,..., µ k 188

10 Cosiderado los valores de las medias muestrales como ua variable aleatoria que simbolizaremos por GX, vamos a estudiar esta variable y su relació co la variable X de los gastos mesuales e alimetació de uestra població. A esta ueva variable aleatoria se llama variable de las medias muestrales y a la distribució de los valores de sobre el cojuto de las muestras de tamaño se llama distribució de las medias muestrales. Esta variable tiee ua media µ y ua desviació típica que simbolizamos por σ. Qué relació existe etre µ GX y σ co µ y σ, media y desviació típica de toda la població? Se puede demostrar las afirmacioes que sigue. 1ª) Si la variable X sigue ua distribució ormal, N(µ,σ), etoces la variable aleatoria de la medias muestrales,, sigue tambié ua distribució ormal N(µ, σ ). Es decir, tiee la misma media que σ X, µ =µ, y su desviació típica es meor, σ =. 2ª) Si la variable X sigue ua distribució descoocida o o es ormal, y el tamaño de la muestra 30, etoces sigue tambié ua distribució ormal N(µ, σ ). E la demostració de la seguda afirmació se emplea el llamado Teorema Cetral del Límite, uo de los resultados más importates e estadística. Este teorema poe de relieve la importacia de la distribució ormal, que aparece asociada a cualquier distribució, tato si cosideramos sus medias muestrales como la suma idepediete de esa distribució varias veces. Resumiedo: SiXesN( µσ, ) XesN( µ, σ ) Si X o es ormal o es descoocida X es N( µ, σ ), cuado 30. Qué ocurre cuado < 30? Bueo, cuado las muestras so pequeñas, las cosas se complica u poco más, o mucho, pero o es u objetivo de este curso. Ejemplos 9. E u servicio de ateció al cliete, el tiempo de espera hasta recibir ateció es ua variable aleatoria ormal de media 10 miutos y desviació típica 2 miutos. Se toma muestras aleatorias del tiempo de espera de los clietes que llega u día cocreto. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de ua muestra de 25 clietes o supere los 9 miutos? b) Cuál es la distribució de la media muestral, si toma muestras aleatorias de 64 clietes? Especificar sus parámetros. Solució: a) Las muestras de cualquier tamaño, mayor o meor que 30, de ua població N(µ,σ) se distribuye segú la ormal N(µ, ). E este caso, = 25 y X es ua ormal N(10,2); por lo que la distribució de σ de las medias muestrales es ua ormal N(10, 2/AG2G5) o N(10, 2/5). E cosecuecia, teemos que calcular: 189

11 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES P X < 9 = P X 10 9 < 10 P Z P Z = [ < 25, ]= [ < 25, ]= 1 09, 938 = 0, / / b) Si = 64 la variable aleatoria de las medias muestrales se distribuye segú la ormal N(10, 2/AG6G4 ) o N(10, 0,25), es decir, co µ = 10 y σ = 0, Se admite que el perímetro craeal de ua cierta especie aimal sigue ua distribució ormal co σ = 12,8 cm. Se toma ua muestra de 10 idividuos al azar, cuál es la probabilidad de que la media de la muestra, µ, difiera de µ, media poblacioal, 4,5 cm? Solució: Como X se distribuye segú ua ormal N(µ, 12,8), se distribuye segú la ormal N(µ,12,8/AG1G0 ), idepedietemete del tamaño de la muestra. Teemos que calcular P[I µi] 4,5. Dividiedo por tipificamos la variable y teemos X µ 45, 45, P > = P Z > = P Z > 111, = 2 PZ [ < 111, ] = 2[ 1 0, 8865] = = 0, , , , Se ha registrado el peso de los recié acidos de ua materidad durate u año y se ha observado que se distribuye co media µ = 3250 g y desviació típica σ = 250 g. Cuál es la probabilidad de que la media de ua muestra de 100 recié acidos sea superior a 3300 g? Solució: Descoocemos la aturaleza de la distribució de la variable X, que os da los pesos de los recié acidos, pero como el tamaño de la muestra es = 100, mayor que 30, etoces la variable sigue ua distribució ormal N(3250, ) = N(3250, 25). Teemos que calcular P X > 3300 = P X > P Z 25 = [ > 2 25 ]= 0, E u exame tipo test de 100 pregutas, calificado a puto por preguta correcta, las calificacioes se distribuye co media µ = 65 putos y desviació típica σ = 14 putos. Calcula la probabilidad de que ua muestra de 50 exámees elegidos al azar tega ota media superior a 70 putos. Solució: Descoocemos la aturaleza de la distribució de la variable X, que os da las calificacioes de los exámees, pero como el tamaño de la muestra es = 50, mayor que 30, etoces la variable sigue ua distribució ormal N(65,14/AG5G0 ) = N(65, 1,97). Teemos que calcular P X > 70 = P X > P Z P Z = [ > 253, 197 ]= [ < 253,,, ]= 0, σ = 12,

12 Actividades 10. Se supoe que la vida de las bombillas de u determiado tipo sigue ua distribució ormal de media 1000 horas y desviació típica 60 horas. Se toma ua muestra al azar de 225 bombillas y se calcula la media. Cuál es la probabilidad de que esta media sea meor que 996 horas? 11. Las calificacioes de los alumos de ua prueba de acceso a la uiversidad se distribuye co media µ = 5,6 y desviació típica σ = 2,8. Si se elige ua muestra de 40 alumos presetados a la prueba, cuál es la probabilidad de que la media de la muestra sea meor que 5? 12. Calcula la probabilidad de que al extraer ua muestra de tamaño 60 de ua població que se distribuye ormalmete segú N(12, 5) la media de la muestra esté compredida etre 10 y El coeficiete itelectual de los alumos de ua determiada uiversidad sigue ua ormal N(95, 28). Calcula la probabilidad de que ua muestra de 64 alumos tega u coeficiete itelectual medio iferior a 92. Calcula la probabilidad de que la misma muestra tega u coeficiete itelectual superior a Distribució de proporcioes muestrales Si al hacer el estudio de ua característica de ua població os ecotramos que la variable úicamete puede tomar dos valores: éxito o fracaso, la població que tratamos de estudiar sigue ua distribució biomial, pero cuado el úmero de pruebas es grade esta biomial se puede aproximar por ua ormal. Cosideremos etoces ua població umerosa de N idividuos; por ejemplo, todos los profesores de matemáticas de la Comuidad de Madrid y ua característica: ser seguidor del Atlético de Madrid ; e iterroguemos a cada profesor si es,o o, seguidor del Atlético. Sea A el úmero de respuestas afirmativas, etoces el cociete os da la proporció poblacioal o porcetaje poblacioal de seguidores del Atlético etre los profesores de matemáticas madrileños. Empeños ambos, seguir al Atlético y eseñar matemáticas, de gete sufrida. Imagiemos que de la mecioada població tomamos ua muestra de tamaño, llamémosle M 1, y calculemos la proporció de atléticos: p1 =. Si a cotiuació obteemos todas las muestras posibles, de tamaño, 1 M 2, M 3, M 4,, etoces veremos que las proporcioes de atléticos p 2 2 p 3 p 4 =, 3 =, 4 =,... variará de ua muestra a otra. Todas estas proporcioes p 1, p 2, p 3, so valores de ua ueva variable aleatoria que llamaremos proporció muestral y simbolizaremos por. Esta variable a su vez tedrá ua media µ y ua desviació típica σ. Qué relació tiee la media y la desviació típica de la proporció muestral co la proporció poblacioal p? Bueo, pues se puede demostrar la siguiete afirmació: p A = N 191

13 UNIDAD 9 INFERENCIA ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Si ua població umerosa tiee ua proporció poblacioal p de ua determiada característica, etoces la variable aleatoria, de las proporcioes muestrales extraídas de esa població, cuado el tamaño de la muestra es suficietemete grade 30, se aproxima a ua distribució ormal de media µ = p y desviació típica p( 1 p) σ ; es decir, se distribuye casi segú ua p( 1 p) p = N p,. Ejemplos 13. E ua empresa fuma el 40% de sus trabajadores. Si elegimos ua muestra de 30 persoas, cuál es la probabilidad de que la proporció de fumadores e la muestra sea mayor que el 50%? Solució: La muestra es de tamaño = 30 y la proporció poblacioal de fumadores es p = 0,4, luego es ua ormal 04, 06, N 04, ; N Teemos que calcular 30 = ( 0, 4; 0, 089). P p P p > P Z = 04, 05, 04, 05, 04, 05, > = > , 089 0, , 9 = P[ Z>, ]= - P[ Z<, ] =,. 14. E uas eleccioes muicipales la lista del alcalde salió co el 35% de los votos. Si ates de las eleccioes se hubiese hecho u sodeo co ua muestra de 400 vecios, cuál hubiera sido, de mateerse la misma iteció de voto, la probabilidad de obteer meos del 30% de los votos para la citada lista? Solució: Tamaño de la muestra = 400 y p = 0,35, luego sigue ua distribució ormal N 035, ; =N(0,35; 0,023). Teemos que calcular 035, 065, 400 = P p P p < P Z = 035, 03, 035, 03 < = < 005,, , 023 0, , 3 = P[ Z<, ]= 1 P[ Z<, ] =, =,. Actividades 14. E ua determiada població el 20% de sus habitates usa gafas graduadas. Tomamos ua muestra de 256 persoas, cuál es la probabilidad de que el porcetaje de persoas de la muestra que usa gafas graduadas esté etre el 15% y el 25%? 15. Ua vacua cotra cierta efermedad imuiza al 95% de las persoas que se la poe. Si elegimos ua muestra de 64 persoas, cuál es la probabilidad de que la proporció de gete imuizada al poerse la vacua sea meor que el 92%? 16. Se sabe que el 30% de los estudiates de ua uiversidad o hace uca botelló. Se toma ua muestra de 200 estudiates de esa uiversidad y se pide calcular la probabilidad de que más de las tres cuartas partes de los estudiates de la muestra haga algua vez botelló. 192

14 Tabla de la distribució ormal, N(0,1) Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993 3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995 3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997 3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998 3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,