Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares

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1 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares RESUMEN Sánchez Sánchez, Ana M. Fedriani Martel, Eugenio M. Economía, Métodos Cuantitativos e Historia Económica Universidad Pablo de Olavide En este trabajo se propone un método sencillo para comparar series temporales univariantes. Precisamente por su simplicidad, el procedimiento puede ser utilizado para series de datos irregulares, con datos perdidos, con periodicidad no uniforme e, incluso, cuando las series se reeren a instantes temporales no comunes a todas ellas. Para ilustrar las ideas presentadas, se incluye un ejemplo de aplicación a dos pares de series de datos económicos. Es un ejemplo muy simple para permitir la mejor comprensión posible de los conceptos que se explican. En concreto, se compararán los salarios percibidos por diferentes empleados sevillanos durante el periodo Palabras clave: series temporales irregulares; interpolación; datos perdidos; comparación. Clasicación JEL (Journal Economic Literature): C3. Área temática: Estadística aplicada a los Métodos Cuantitativos. XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 1

2 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. 1. INTRODUCCIÓN Los modelos de series temporales estructurales son apropiados en muchos ámbitos, como economía y empresa, sociología, investigación operativa, geografía, meteorología e ingeniería, por poner algunos ejemplos. No obstante, el tratamiento de las series depende más del objetivo perseguido que del área en la que se está trabajando. Según Harvey (1990), hay dos motivos para desear modelizar una serie temporal univariante: 1. Describir series en términos de sus componentes de interés.. Predicción de observaciones futuras. En nuestra opinión, la modelización también puede llegar a resultar necesaria para comparar dos series, aunque esto lo discutiremos más a lo largo del trabajo. En cuanto a la descripción de las componentes, un punto de partida habitual es asumir que la serie observada es una suma de tendencia, estacionalidad y una parte irregular. En ocasiones, una forma multiplicativa de este modelo puede ser más apropiada, pero conviene tener en mente que se puede obtener un modelo multiplicativo, a partir del aditivo, con solo tomar logaritmos. En lo que respecta a la utilización del análisis para predecir, datos del pasado no pueden garantizarnos el comportamiento futuro, salvo que se trate de fenómenos determinísticos perfectamente conocidos. De hecho, normalmente, la predicción suele pasar por la descomposición previa de la serie, aunque hayamos dicho que se trata de dos problemas distintos. En ambos casos, cuando se estudian las series temporales desde un posicionamiento excesivamente rígido, puede ocurrir que no se esté explicando convenientemente el fenómeno a estudiar. En particular, un aspecto destacable de las series temporales económicas y sociales es que sus propiedades no necesariamente permanecen inalteradas en el tiempo, algo a tener en cuenta en todo momento. En este trabajo no nos planteamos una meta muy ambiciosa y pretendemos restringirnos a un problema concreto del análisis de series temporales: la comparación de series. De hecho, nos ocuparemos de un tipo concreto de series: las que presentan irregularidades o una distribución desigual de los datos. En el siguiente

3 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares apartado veremos algunas ideas para comparar series; después, comentaremos brevemente cómo se suele tratar el problema de la irregularidad en la periodicidad de los datos; nalmente, en otra sección, propondremos un sencillo método para afrontar simultáneamente ambos problemas, explicándolo con un par de ejemplos muy simples. En la sección de conclusiones comentaremos qué queda por desarrollar y algunas ideas para el trabajo futuro en esta línea de investigación Comparar series de datos En nuestra opinión, comparar dos o más series temporales es un problema con muchas aplicaciones, en diferentes campos. En Economía, habitualmente, es interesante comparar los tipos de interés o las tasas de inación en diferentes regiones o países. La comparación de series se convierte, así, en una herramienta clave para el análisis estructural y para conocer cómo funciona la Economía. La mayoría de los métodos de comparación de series temporales necesitan: la selección y estimación de modelos; la estimación del espectro de las series; la independencia de las mismas. Debido a la concreción exigida a este trabajo, no haremos un resumen de las técnicas más usadas para comparar series, sino que presentaremos solo un par de ideas que complementarán las que explicaremos después. La primera idea es que la comparación de dos series se puede hacer mediante subsampling (ver Alonso y Maharaj, 006). En este caso, la clave es plantear un contraste en el que la hipótesis nula es que las medias poblacionales son iguales y el estadístico se obtiene tras comparar submuestras de k observaciones consecutivas de ambas series, variando k. El mayor problema de esta técnica (para nuestros intereses) es que se supone que los datos de ambas series están tomados en los mismos instantes de tiempo; además, solo se comparan medias y no otras características. La otra cuestión, con la que cerramos este apartado, es que existen técnicas de comparación que se basan en características cualitativas de las series. Dos ejemplos pueden encontrarse en Martín (005), que compara series de PIB de diferentes países, y en Ortega et al. (001). En este último caso, se asignan etiquetas cualitativas a las series y se dene un índice de similitud en función de la similaridad entre las XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 3

4 4 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. cadenas de etiquetas. Según los autores: Uno de los mayores problemas en el uso de bases de datos de series temporales [en Informática] es la similitud entre dos series cualesquiera. Aunque nuestro interés está más dirigido hacia las series temporales económicas o relacionadas con el mundo de la empresa, esto nos motiva aún más en nuestro empeño. Los principales inconvenientes de este método son su fuerte dependencia del proceso de interpolación y la complejidad que subyace si se quiere realizar la comparación con un mínimo de rigor, sobre todo cuando existe algún tipo de irregularidad en la periodicidad con la que se han obtenido los datos. 1.. Series desigualmente espaciadas Aunque no es el objetivo de este trabajo comentar las distintas técnicas utilizadas para el análisis de series temporales irregulares (o desigualmente espaciadas), creemos conveniente mencionar una técnica que sí puede ser utilizada para resolver el problema que nos planteamos. Nos referimos a la utilización del ltro de Kalman para analizar series temporales estructurales, incluso presentando irregularidades. Los modelos de series temporales estructurales no son nada más que que modelos de regresión en los que las variables exploratorias son funciones del tiempo y los parámetros varían con el tiempo. Es posible modicar la estructura principal de los modelos de series temporales de tal forma que sean formulados en tiempo continuo. Esto permite al ltro de Kalman tratar con situaciones en las cuales las observaciones pueden estar irregularmente espaciadas (Harvey, 1990). Además, el ltro de Kalman nos facilita una forma de actualizar el conocido como estado a medida que se va disponiendo de nuevas observaciones. Varios algoritmos de suavizado (todos relacionados con el ltro de Kalman) pueden ser utilizados para obtener la mejor estimación del estado en cualquier punto dentro del periodo de las muestras. La forma de estado-espacio puede tratar con observaciones perdidas y con agregación temporal, pero la predicción y el suavizamiento pueden ser llevados a cabo solo una vez que han sido estimados los parámetros que gobiernan los movimientos estocásticos de las variables de estado. La estimación de estos parámetros, que son conocidos como hiperparámetros, está basada a su vez en el ltro de Kalman.

5 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares Para una descripción detallada del útil ltro de Kalman, pueden consultarse Hamilton (1994) y Harvey (1990). De forma resumida, el ltro de Kalman es un procedimiento recursivo para calcular el estimador óptimo del vector de estado en cada instante de tiempo t, basado en la información disponible en dicho instante t. Las matrices del sistema, junto con los datos iniciales, se suponen conocidas en todos los periodos de tiempo; por eso, no es necesario incluirlas explícitamente en el conjunto de datos. Esto hace que el método tenga un cierto grado de subjetividad. Por el contrario, el ltro de Kalman también permite la estimación continua del vector de estado, recalculándolo a medida que se dispone de nuevas observaciones, dotando a esta herramienta de un gran dinamismo frente a las observaciones perdidas o a la aparición de datos erróneos. Otra forma de tratar con observaciones perdidas es darles un valor de cero e introducir una variable dummy en el modelo. Este procedimiento, aunque es también utilizado como complemento del ltro de Kalman, incrementa notablemente la complejidad del problema a resolver. Conviene señalar que en Sargan y Drettakis (1974) no se introduce ninguna variable dummy y la observación perdida es tratada en sí misma como un parámetro desconocido más, pero esto tampoco simplica los cálculos. Esta complejidad es el principal inconveniente de estas técnicas. Terminamos estas palabras sobre técnicas conocidas planteándonos si existe alguna garantía de que las técnicas complejas funcionen aquí mejor que otras más sencillas. Esperamos poder responder a esta cuestión en un plazo razonable.. COMPARACIÓN DE SERIES IRREGULARES El problema que nos planteábamos era comparar series en las que los datos no corresponden a los mismos instantes temporales o que no corresponden a un patrón regular, en cuanto a su disponibilidad. Vamos a comparar dos series cuyos datos corresponden a instantes temporales con la única limitación de que la primera de las series no termine antes de que empiece la segunda. Partimos de la serie de datos X n, con n = 1,..., N, donde X n = (x 1, x,..., x N ) XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 5

6 Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. y además t = t 1,..., t n, respectivamente, en los valores de la serie temporal. A partir de ella, podemos denir una función a trozos (escalonada) de la siguiente forma: f(t) = x k, x 1, si t 1 t < t 1+t ; si t k 1+t k t < t k+t k+1, con k n 1; x n, si t n 1+t n t t n. Una vez denida la función a partir de la serie de datos, vamos a calcular el área bajo dicha función; posteriormente utilizaremos este área como representativa de la serie. Para obtener el área de una forma útil para nuestros propósitos, calculamos la integral desde el instante inicial (t 1 ) hasta el instante t; es decir, se podrá calcular como una suma de áreas de la siguiente forma: (Área bajo f, entre t 1 y t, con t [t 1, t n ]) = n [ tk + t k 1 k=3 t k 1 + t k t ] f (t k 1 ) + ( ) t1 + t f(ξ) dξ = t 1 f(t 1 )+ t 1 [ ( )] tn + t n 1 t n f(t n ). Nótese que este área es, en realidad, una función en t [t 1, t n ]. De forma similar a como se ha hecho con x n, partimos de otra serie de datos Y m, con m = 1,..., M, donde Y m = (y 1, y,..., y M ) y, con un convenio similar al anterior, s = s 1,..., s m. A partir de ella, podemos denir una función a trozos de la siguiente forma: g(s) = y l, y 1, si s 1 s < s 1+s ; si s l 1+s l s < s l+s l+1, con l m 1; y m, si s m 1+s m s s m. Al igual que hicimos para la función f, calculamos progresivamente el área bajo la función g: s ( ) (Área bajo g, entre s 1 y s, con s [s 1, s m ]) s1 + s = s 1 g(s 1 )+ m [ sl + s l 1 l=3 s ] l 1 + s l g (s l 1 ) + g(ξ) dξ = s 1 [ ( sm + s m 1 s m )] g(s m ). En los siguientes grácos vemos el signicado de lo que acabamos de explicar. 6 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

7 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares El siguiente paso sería comparar las dos funciones resultantes del cálculo de las áreas bajo f y g, para permitir su posterior comparación. No obstante, antes debemos realizar algunas consideraciones sobre los datos con los que trabajamos..1. Normalización de datos En realidad, el primer problema que nos podemos encontrar es que los datos de las series X n e Y m sean heterogéneos o que las escalas en las que estén medidos sean muy diferentes. Para obtener valores homogéneos, o con escalas comparables, y así operar con ellos, vamos a utilizar la técnica de normalización, que es la operación mediante la cual un conjunto de valores de una determinada magnitud son transformados en otros, de forma que estos pertenezcan a una escala predeterminada. La normalización puede realizarse de los siguientes modos: sin cambio de magnitud; con cambio de magnitud a escala libre; o con cambio de magnitud a escala ja. Según Barba et al. (1997), los procedimientos más destacados en la actualidad se pueden resumir en cuatro: x i = x i máx(x i ); x i = x i mín(x i ) máx(x i ) mín(x i ); x i = x ; y i n i=1 x i x i =, siendo máx y mín las operaciones que devuelven los valores máximo x i n i=1 x i XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 7

8 Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. y mínimo de la serie temporal X n. Los procedimientos primero, tercero y cuarto corresponden a una linealización pura, mientras que el segundo corresponde a una linealización con ordenada en el origen. Los métodos de normalización citados pueden llegar a concentrar los valores normalizados, lo cual en ocasiones puede ser un problema añadido. Para intentar solucionar dicho problema se dene otro procedimiento de normalización, propuesto por Cloquell (1999), que se resume con: x i = P F (x) [x x i ]. Es decir, el valor normalizado es igual a la probabilidad de que un número del intervalo sea menor o igual que el valor a normalizar, conocida la función de distribución del conjunto de valores a normalizar. Un problema que presenta este procedimiento de normalización es conocer o estimar la función de distribución de los valores que se desean normalizar... Comparación de series temporales irregulares Para poder comparar las series, denimos un estadístico como la diferencia de las áreas correspondientes a cada una de ellas, para así comprobar si las dos series son parecidas. Un posible estadístico se dene de la siguiente forma: Estadístico= T t 1 f(ξ) g(ξ) dξ, donde T [t 1, Tmáx ], siendo T máx = mín{t N, s M }. Si este estadístico fuera 0, nos indicaría que las dos series temporales son iguales, o bien cuanto más próximo fuera su valor a cero más parecidas serían las series. Aún no se ha determinado de qué forma incorporar el nivel de signicación a este contraste de hipótesis implícito. Además de denir el estadístico anterior, es útil estudiar la función diferencia de las dos series temporales, ya que nos permitirá conocer la evolución relativa de ambas series. Podremos vericar que dicha función diferencia es creciente y, además, será estrictamente creciente siempre que las funciones f(t) y g(s) sean distintas. También es interesante estudiar, para esta función, su pendiente; es decir, si la pendiente fuera grande nos estaría indicando que la diferencia entre las dos funciones es grande; por el contrario, cuanto más se aproxime a cero más parecidas serán las dos series. Hay estudios que analizan cuándo una pendiente en una serie de datos puede considerarse grande. A este respecto, véase, por ejemplo, Ortega et al. (001). 8 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional

9 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares.3. Ejemplo: salarios en Sevilla (años ) Vamos a realizar un par de aplicaciones (las más simples que es posible dar) que sirvan para claricar el método descrito y que nos permitirán comparar dos series de datos. En ambos casos, vamos a partir de los salarios base diarios de trabajadores de Sevilla. En primer lugar, estudiaremos series (desde 1946 a 1948) de curtidores (peones) y de albañiles (peones de 1 a ); en segundo lugar, analizaremos series, para el mismo periodo indicado anteriormente, que recogen salarios de aserradores mecánicos y de carpinteros (ayudantes). Dichos datos han sido proporcionados por la Cámara de Comercio, Industria y Navegación de Sevilla. Analizamos primero el caso de los salarios base diarios de los curtidores (peones) y de los albañiles (peones de 1 a ). La tabla de datos es la siguiente: Profesión Curtidores: Peones 10.5 N.D Albañiles: Peones 1 a Las funciones que se denen a partir de las dos series serán: 10,5 si 1946 t < 1947 f(t) = 13,5 si 1947 t 1948 La representación gráca del método descrito sería: y g(s) = 13,5 s [1946, 1948]. A partir del gráco anterior, podemos denir la función diferencia de las dos series temporales, la cual vendrá dada por: A(t) = (t 1946) (13,5 10,5), si t [1946, 1947[; f(ξ) g(ξ) dξ = t 1 ( ) (13,5 10,5), si t [1947, 1948]; t función que representamos grácamente a continuación: XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 9

10 10 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. En la representación gráca de la función podemos ver que, para el primer año, existen diferencias entre las dos series, ya que la pendiente es grande, pero que después las dos series para los dos años siguientes coinciden. Analizamos ahora el o caso, de los salarios base diarios de los aserradores mecánicos y de los ayudantes de carpinteros. La tabla de datos es la siguiente: Profesión Aserradores mecánicos 15.5 N.D Carpinteros: ayudantes Las funciones que se denen a partir de las dos series serán: 15,5 si 1946 t < 1947 f(t) = 16,7 si 1947 t ,5 si 1946 s < 1946,5 y g(s) = 16,5 si 1946,5 s 1948 La representación gráca del método descrito sería esta vez:

11 Redeniendo la interpolación para el análisis de series temporales irregulares Puesto que t t 1 f(ξ) g(ξ) dξ = (1946,5 1946) (15,5 1,5) = 1,5 y t 3 t f(ξ) g(ξ) dξ = 1,5 + ( ,5) (16,5 15,5) =, la función diferencia de las dos series temporales vendría dada por: A(t)= (t 1946) (15,5 1,5), si t [1946, 1946,5[; t t 1 f(ξ) g(ξ) dξ = 1,5 + (t 1946,5) (16,5 15,5), si t [1946,5, 1947[; + (t 1947) (16,7 16,5), si t [1947, 1948]. A través de la representación gráca de la función diferencia, podemos ver que en los dos primeros años, en que la pendiente es mayor, las diferencias entre las dos series son mayores; sin embargo, el último año las diferencias entre las series son menores, pues la pendiente de la función es más suave. 3. CONCLUSIONES En este trabajo se ha propuesto un modelo muy simple para la comparación de series temporales, válido incluso cuando los datos no son uniformemente espaciados en el tiempo. Aunque la técnica aún no ha sido sucientemente contrastada, de momento, sus resultados son mucho mejores de lo que su modesta apariencia pudiera sugerir. Por limitaciones de espacio, no se ha incluido ninguna aplicación práctica, sino solo un par de ejemplos sencillos para ilustrar mejor el procedimiento explicado. Entre las cuestiones que están en fase de perfeccionamiento, se encuentran: conseguir unos estadísticos óptimos y estudiar sus distribuciones, para permitir contrastes de hipótesis adecuados; comparar rigurosamente los resultados de esta técnica con los que se obtienen mediante la aplicación del ltro de Kalman; y generalizar estas ideas al caso de los modelos bidimensionales omultivariantes en general. XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional 11

12 1 XVI Jornadas de ASEPUMA y IV Encuentro Internacional Sánchez Sánchez, Ana M.; Fedriani Martel, Eugenio M. 4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALONSO, A.M. y MAHARAJ, E.A. (006). Comparison of time series using subsampling. Computational Statistics & Data Analysis, Vol. 50, Issue 10, pp BARBA-ROMERO, S. y POMEROL, J.C. (1997). Decisiones Multicriterio. Fundamentos teóricos y utilización práctica. Univ. de Alcalá. CLOQUELL, V. (1999). Contribución al desarrollo de un modelo generalizado y sistemático de localización de actividades económicas. Tesis Doctoral, Univ. Politécnica de Valencia. HAMILTON, J.D. (1994). Time series analysis. Princeton University Press. HARVEY, A. (1990) Forecasting, structural time series models and the Kalman lter. Cambridge University Press. New York. MARTÍN, A.M. (005). Valoración de la pobreza mediante técnicas de agregación de datos de diferente naturaleza. Tesis Doctoral, Univ. Pablo de Olavide. ORTEGA, J.A., CUBEROS, F.J., GASCA, R.M. y TORO, M. (001). Comparación Cualitativa de Series Temporales. Índice Cualitativo de Similitud - QSI. Computación y Sistemas, Vol. 5, No., pp SARGAN, J.D. y DRETTAKIS, E.G. (1974). Missing Data in Autoregressive Model. International Economic Review, Vol. 15 (1), pp