Tema 6.- Autovalores y autovectores.

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1 Ingeniería Civil. Matemáticas I. -3. Departamento de Matemática Aplicada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla. Tema 6.- Autovalores autovectores Autovalores autovectores. Definición propiedades. La ecuación característica Diagonalización. Matrices diagonalizables. Matrices no diagonalizables Matrices simétricas reales. Diagonalización. El teorema espectral Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. Ecuaciones en diferencias. Cónicas cuádricas giradas Ejercicios. Enunciados. Soluciones. A lo largo de todo el tema trataremos esencialmente con matrices cuadradas reales (aunque muchos de los resultados que veamos también serán válidos para el caso de matrices cuadradas complejas). De todos modos, aun trabajando con matrices reales, será imprescindible hacer referencia a los números ( a los vectores) complejos. La razón es que necesitaremos considerar las raíces de un polinomio con coeficientes reales (si la matriz es real) éstas pueden ser complejas con parte imaginaria no nula. Una matriz A cuadrada m m define una transformación lineal sobre K m, K m = A K m. Aunque la matriz sea real, cuando algunas de las raíces del llamado polinomio característico de A (que será un polinomio real) sean números complejos, con parte imaginaria no nula, será conveniente referirnos a la transformación definida por A sobre el espacio complejo C m. En estos casos, tendremos que considerar para vectores complejos todos los aspectos lineales que hemos considerado en el tema 4: combinaciones lineales, dependencia/independencia lineal, subespacios vectoriales de C m, dimensión, espacios nulo columna, etc. La transformación de vectores que efectúa la matriz A puede ser más o menos sencilla de describir dependiendo del vector (o de la dirección) sobre la que se efectúe. El problema fundamental que se aborda es el de la determinación de las llamadas direcciones principales: direcciones sobre las que la matriz A actúa como la multiplicación por un número. Calculemos para algunos ejemplos geométricos en el plano en el espacio, los vectores sobre los cuales la transformación asociada a una matriz actúa simplemente multiplicando por un número. 49

2 5 Tema 6.- Autovalores autovectores. Ejemplos. () Consideremos la transformación lineal en el plano consistente en la simetría respecto de una recta r que pase por el origen de coordenadas. Aplicando esta transformación sobre un vector de dicha recta se obtiene el mismo vector aplicándola sobre un vector de la recta s perpendicular a r que pasa por el origen de coordenadas se obtiene el vector opuesto. Los vectores (no nulos) de las rectas r s se denominan vectores propios o autovectores de la transformación dada. Las rectas a veces se denominan direcciones principales de la transformación los coeficientes λ = λ =, asociados a dichas direcciones, se suelen denominar valores propios o autovalores. () Consideramos un plano π que pase por el origen en el espacio R 3 la transformación lineal T : R 3 R 3 que asocia a cada vector v R 3 el vector T(v) R 3 que se obtiene al proectar v (ortogonalmente) sobre el plano considerado. Si {v,v } son dos vectores que generan el plano v 3 es un vector (no nulo) perpendicular al plano tenemos que T(v ) = v, T(v ) = v, T(v 3 ) = con lo cual v,v v 3 son autovectores los coeficientes respectivos, son autovalores. Puesto que los vectores v,v v 3 forman una base de R 3, cualquier vector v R 3 puede epresarse como combinación de ellos teniendo dicha epresión v = αv +βv +γv 3 es inmediato obtener T(v) como combinación lineal de los vectores v,v v 3, T(v) = αt(v )+βt(v )+γt(v 3 ) = αv +βv. Por ejemplo, para el plano π 3 +z = podemos tomar los vectores v = 3, v = v 3 = (latransformaciónlinealnodependedecómoelijamoslosvectores v,v v 3 ).Notemos que a partir de lo anterior es fácil obtener la matriz A de T respecto a la base canónica (puesto que tenemos los vectores v,v v 3 sus transformados epresados respecto a la base canónica). La matriz A verifica 3 A v v v 3 = Av Av Av 3 puesto que la matriz P = v v v 3 tiene inversa (por ser sus columnas linealmente independientes), podemos despejar la Matemáticas I. Ingeniería Civil

3 6..- Autovalores autovectores. 5 matriz A, A = Av Av Av 3 v v v 3 = = = (3) Si A es una matriz diagonal con elementos diagonales d,d,...,d m, es claro que para los vectores canónicos e,e,...,e m se verifica Ae k = d k e k. (4) Si tomamos dos vectores {v,v } linealmente independientes del plano, cualquier transformación lineal T : R R queda determinada si conocemos cómo actúa sobre estos vectores. Si A es la matriz asociada a T respecto a la base canónica, podemos determinar dicha matriz a partir de Av Av (si conocemos las coordenadas de los vectores v,v,av Av respecto a la base canónica). Si tomamos por ejemplo los vectores v = [ [, v =, T(v ) = Av = 3v, T(v ) = Av = v (con lo cual tenemos una situación en la que conocemos las direcciones sobre las cuales la transformación actúa multiplicando por un número), es fácil determinar la matriz A teniendo en cuenta que, puesto que v v son linealmente independientes, la matriz cuas columnas son v v tiene inversa [ A v v = 3v v = A v v = v v 3 [ = A = v v 3 v v = Notemos que de esta última epresión es fácil obtener las matrices A n,n =,,... [ A n = v v ( 3) n n v v, por tanto, los vectores que se obtienen al aplicar sucesivamente la matriz A sobre un vector dado u,au,a(au) = A u,...,a n u,... Matemáticas I. -3

4 5 Tema 6.- Autovalores autovectores Autovalores autovectores Definición propiedades. Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden m. Diremos que un escalar λ C es un autovalor de A si eiste un vector v C m, v tal que Av = λv, en cuo caso se dice que v es un autovector de A asociado al autovalor λ. Obviamente, si tenemos un autovector v de A asociado a un autovalor λ, cualquier múltiplo no nulo de v también es un autovector de A asociado al mismo autovalor λ. Por otra parte, si tenemos dos autovectores v v asociados a un mismo autovalor λ, cualquier combinación lineal no nula de dichos autovectores también es un autovector de A asociado al mismo autovalor λ. Observaciones. (a) Al hacer transformaciones fila (o columna) sobre una matriz A, los autovalores los autovectores de la matriz que se obtiene NO guardan relación(en general) con los autovalores autovectores de la matriz original. En general, tampoco es cierto que los autovalores de una matriz suma/resta/producto de otras dos sean suma/resta/producto de los autovalores de cada uno de los sumandos. Ejercicio. Busca ejemplos de todo lo anterior. (b) El concepto de autovalor autovector no es eclusivo de los espacios de coordenadas, ni de los espacios vectoriales de dimensión finita. Por ejemplo, siendo V el espacio vectorial de las funciones : R R indefinidamente derivables siendo T : V V la aplicación lineal T() =, se tiene que λ = es un autovalor de T todo polinomio de primer grado es un autovector asociado. Por otra parte λ = también es autovalor la función () = e es un autovector asociado La ecuación característica. Proposición. Dada una matriz cuadrada A un número λ C, son equivalentes: () λ es un autovalor de A. () El sistema homogéneo (A λ I) = es un sistema compatible indeterminado. (3) dim [Nul (A λ I). (3 ) El rango[a λ I no es máimo. (4) La matriz (A λ I) no tiene inversa. (5) det[a λ I =. Por tanto, los autovalores de A son las soluciones de la ecuación p(λ) = det [A λi =. Esta ecuación se denomina ecuación característica de la matriz A p(λ) = det [A λi se denomina polinomio característico. Siendo A = [a ij una matriz m m, a λ a... a m a a λ... a m p(λ) = det [A λi =..... = ( ) m λ m +c. m λ m + +c a m a m... a mm λ Matemáticas I. Ingeniería Civil

5 6..- Autovalores autovectores. 53 es un polinomio de grado m, por tanto, tiene m raíces (contando cada una según su multiplicidad) que pueden ser reales o complejas no-reales (aun en el caso en que la matriz A sea real). El subespacio vectorial Nul [A λ I se denomina espacio propio asociado al autovalor λ (notemos que en general estará compuesto por vectores complejos, los autovectores de A asociados a λ el vector nulo), Nul [A λ I = {} {autovectores asociados a λ }. De manera habitual cuando hablemos de autovectores asociados a un autovalor nos referiremos a una base del espacio propio asociado, es decir autovectores linealmente independientes de forma que cualquier autovector asociado al autovalor en cuestión sea combinación lineal de ellos. Ejemplo. Además de los ejemplos considerados anteriormente, [ veamos el siguiente ejemplo en el que la matriz A viene dada. Consideremos la matriz A =. Autovalores: Para cualquier escalar λ tenemos que [ λ A λi = = det(a λi) = ( λ) 4 = λ λ 3 = (λ 3)(λ+). λ Por tanto det(a λi) = λ = 3 ó λ =. Autovectores asociados a λ = 3 : son los vectores no-nulos que están en el espacio nulo de A 3I, [ [ [ [ (A 3I) = = v =, asociados a λ = : son los vectores no-nulos que están en el espacio nulo de A+I, [ [ [ [ (A+I) = = v =. Las propiedades referidas a autovalores las podemos agrupar dependiendo de si pueden obtenerse directamente de la definición (con lo cual estarán involucrados los autovectores) o si se obtienen a partir del polinomio característico (algunas de ellas pueden obtenerse de las dos formas). Proposición. Sea λ un autovalor de A v un autovector asociado, entonces: () αλ es un autovalor de αa v es un autovector asociado. () (λ µ) es un autovalor de A µi v es un autovector asociado. (3) λ k es un autovalor de A k v es un autovector asociado. (4) Si q( ) es un polinomio, entonces q(λ) es un autovalor de q(a) v es un autovector asociado. (Ejemplo: 3λ 3 +5λ 7λ+ es unautovalor dela matriz3a 3 +5A 7A+I). Matemáticas I. -3

6 54 Tema 6.- Autovalores autovectores. (5) Si A tiene inversa, entonces λ, λ es un autovalor de A v es un autovector asociado. (6) Sea A una matriz real, λ = a+bi C,(a,b R) un autovalor de A v = u+iw C m un autovector de A asociado a λ. Entonces λ = a bi C también es autovalor de A v = u iw C m es un autovector de A asociado a λ. Proposición. Sea A una matriz m m. Se verifica: (a) A tiene a lo sumo m autovalores distintos. (b) A A T tienen los mismos autovalores (aunque los autovectores asociados pueden ser distintos). Proposición. Sea A una matriz m m sea p(λ) = det [A λi = ( ) m λ m +c m λ m + +c λ+c = = ( ) m (λ λ ) (λ λ m ) su polinomio característico (es decir λ,,λ m son los autovalores de A, iguales o distintos). Se verifica: (a) El determinante de A es igual al producto de sus autovalores (apareciendo cada uno, en dicho producto, tantas veces como indique su multiplicidad como raíz del polinomio característico) λ λ m = det(a) = p() = c. (b) La traza de A (la suma de los elementos diagonales de A) es igual a la suma de sus autovalores (apareciendo cada uno, en dicha suma, tantas veces como indique su multiplicidad como raíz del polinomio característico) λ +λ + +λ m = ( ) m c m = traza(a) := a +a + +a mm. Uno de los resultados más importantes referidos a autovalores autovectores es el siguiente. Teorema. A autovalores distintos corresponden autovectores linealmente independientes. Es decir, si λ,...,λ p son autovalores de A distintos dos a dos v,...,v p son autovectores de A asociados respectivamente a λ,...,λ p, entonces {v,...,v p } es linealmente independiente. Matemáticas I. Ingeniería Civil

7 6..- Diagonalización Diagonalización. Consideremos una transformación lineal T : K m K m la matriz A asociada (cuadrada, m m) respecto de la base canónica C de K m. Es decir, siendo lascoordenadas canńicas de un vector v siendo las coordenadas canónicas del transformado T(v), tenemos que = A. Consideremos otra base B denotemos por e a las coordenadas de v T(v), respectivamente, respecto de dicha base B. Si P es la matriz del cambio de base C B tenemos que = P e = P. Por tanto, la transformación lineal T se puede epresar, en coordenadas respecto a B mediante = A P = AP = P AP. Es decir, de la misma forma que A representa a T respecto a la base canónica, la matriz B = P AP también representa a T, pero respecto a la base B. Cuando dos matrices A B (cuadradas del mismo orden) están relacionadas mediante la igualdad B = P AP para alguna matriz P no-singular, se dice que A B son semejantes. En este caso se trata de matrices que representan a la misma transformaión lineal respecto de bases distintas. En este apartado vamos a considerar el problema de intentar determinar una matriz P para la cual B = P AP sea una matriz lo más sencilla posible (que permita describir la transformación T asociada de la forma más simple). La forma más simple que se puede plantear es el de una matriz diagonal. Para algunas matrices A será posible obtener una matriz diagonal para otras no Matrices diagonalizables. Definición. Se dice que una matriz A m m es diagonalizable si eiste alguna matriz P no singular tal que P AP es una matriz diagonal D. En este caso, se dice que P es una matriz de paso que diagonaliza A que la epresión A = PDP es una diagonalización de A. Notemos que si d... d... P AP = D = d d m entonces de la igualdad matricial AP = PD, d... A v v... v m = v v... v m d d m se obtiene que cada columna, Av k, de la matriz AP es igual a la correspondiente columna de PD. Es decir, cada columna de P es un autovector de A asociado al correspondiente elemento diagonal de D, que será un autovalor de A. Por otra parte, el que la matriz P sea no-singular ( tiene inversa det(a) ) es equivalente a que sus m columnas sean linealmente independientes. Matemáticas I. -3

8 56 Tema 6.- Autovalores autovectores. Cuando sea posible, para construir una diagonalización de A bastará con obtener m autovectores linealmente independientes. La matriz P de orden m que tenga a dichos autovectores linealmente independientes como columnas (en un cierto orden) será no-singular verificará AP = PD siendo D la matriz diagonal cuos elementos diagonales son los autovalores (en el mismo orden en el que haamos puesto los autovectores en la matriz P). Por tanto tenemos una diagonalización de A. Notemos que si en una diagonalización A = PDP, cambiamos el orden en las columnas de P de forma simultánea cambiamos el orden en los elementos diagonales de D, de manera que se correspondan columnas de P- elementos diagonales de D, se obtiene otra diagonalización de A; sustituimos cada columna de P por un múltiplo no-nulo de dicha columna, se obtiene otra matriz de paso distinta que también diagonaliza a A (la matriz D no cambia). Proposición. Sea A una matriz m m. Se verifica: () A es diagonalizable si sólo si tiene m autovectores linealmente independientes. () Si A es diagonalizable también lo es cualquier potencia A k,k =,, (3) Si A es diagonalizable también lo es cualquier matriz de la forma A µi. (4) Si A es diagonalizable también lo es cualquier polinomio en A q(a) = c k A k + +c A+c I. (5) Si A tiene inversa, A es diagonalizable si sólo si lo es su inversa A. (6) A es diagonalizable si sólo si lo es A T. Si tenemos una diagonalización de A, P AP = D A = PDP se obtienen las siguientes diagonalizaciones de A k,a µi,a T A (si eiste) A k = PD k P, A µi = P(D µi)p, A T = (P T ) D(P T ), A = PD P. Recordemos que a autovalores distintos corresponden autovectores linealmente independientes. Por tanto, Teorema. Si todos los autovalores de A son simples (A tiene m autovalores distintos), entonces A es diagonalizable. Para que una matriz sea diagonalizable no es imprescindible que todos sus autovalores sean simples. Por ejemplo λ = es un autovalor doble de la matriz A = Matemáticas I. Ingeniería Civil

9 6..- Diagonalización. 57 A es diagonalizable(compruébalo!). Aunque ha matrices que no son diagonalizables, como por ejemplo [ B =. Para analizar de forma más detallada cuando una matriz es diagonalizable consideramos los siguientes conceptos. Definición. Sea A una matriz m m sea λ un autovalor de A. Se llama: (a) Multiplicidad algebraica de λ, se denota por m a (λ ), a la multiplicidad de λ como raíz del polinomio característico p(λ) = det(a λi) de A. Es decir, p(λ) puede factorizarse como p(λ) = (λ λ ) ma(λ ) q(λ), siendo q(λ) un polinomio (de grado m m a (λ )) que no se anula para λ, q(λ ). (b) Multiplicidad geométrica de λ, se denota por m g (λ ), a la dimensión del espacio nulo de A λ I, dim [Nul (A λ I) = m rango[(a λ I). Es decir, la multiplicidad geométrica es el número (máimo) de autovectores linealmente independientes asociados al autovalor. Lo único que se puede afirmar en general sobre la relación entre las multiplicidades algebraica geométrica de un autovalor de una matriz viene dado por el siguiente resultado. Lema. Sea λ un autovalor de una matriz A, entonces m g (λ ) m a (λ ). Teorema. A es diagonalizable si sólo si para cada autovalor λ se verifica que m a (λ) = m g (λ). En ese caso, si λ,...,λ p son (todos) los autovalores distintos de A tenemos una base B k de cada uno de los subespacios Nul [A λ k I (es decir, tenemos tantosautovectores linealmente independientes asociados a λ k como indica su multiplicidad algebraica), entonces es una base de R m o de C m. Por tanto: B = B B p Para determinar si una matriz es diagonalizable habrá que determinar si cada autovalor múltiple tiene asociados tantos autovectores linealmente independientes como indique su multiplicidad algebraica. Para construir una diagonalización, cuando sea posible, habrá que obtener tantos autovectores linealmente independientes, asociados a cada autovalor, como indique su multiplicidad algebraica; Matemáticas I. -3

10 58 Tema 6.- Autovalores autovectores. Observación.- Para una matriz diagonalizable A, el tener una diagonalización P AP = D (diagonal), permite obtener potencias enteras de dicha matriz, A k = PD k P calcular la correspondiente potencia para una matriz diagonal se reduce a obtener el valor de dicha potencia en cada uno de los elementos de la diagonal principal Matrices no diagonalizables. Una matriz cuadrada A es diagonalizable si, sólo si, ha una base (de R n ó C n ) formada por autovectores de A. Cuando A no es diagonalizable ha situaciones en las que es necesario encontrar también una base cuos elementos verifiquen ciertas propiedades similares a las de los autovectores de A. Éstos serán los denominados autovectores generalizados de A. Definición. Sea A una matriz m m sea λ un autovalor de A. Se dice que un vector v es un autovector generalizado de A asociado a λ si se verifica que (A λi) k v = para algún entero positivo k. Es decir, los autovectores generalizados de A asociados a λ son (ecluendo al vector nulo), los vectores de los espacios nulos de las matrices (A λi) k, k =,,3,... Observaciones. ) Es fácil comprobar que Nul (A λi) Nul [ (A λi) Nul [ (A λi) k Nul [ (A λi) k+... ) Puesto que la dimensión del espacio es finita, los subespacios anteriores no pueden crecer de manera indefinida, sino que para un cierto valor r se verificará Nul [A λi Nul [ (A λi) Nul [(A λi) r = Nul [ (A λi) r+ =. 3) Si v Nul [ (A λi) k entonces Av Nul [ (A λi) k. Es decir, si v es un autovector generalizado, Av también lo es (o es el vector nulo). El siguiente resultado indica que para calcular los autovectores generalizados ha que llegar, a lo sumo, hasta la potencia m a (λ). Nos indica además que, si bien en general no es cierto que para un autovector generalizado v asociado a λ se tenga que Av es λv, se tiene en cambio que Av es también autovector generalizado asociado a λ. Teorema. Sea A matriz m m sea λ autovalor de A de multiplicidad algebraica m a (λ). Eiste un valor r m a (λ) tal que dim (Nul [A λi) < < dim (Nul [(A λi) r ) = dim ( Nul [ (A λi) ma(λ)) = m a (λ), Nul [ (A λi) k = Nul [ (A λi) ma(λ) para k r. Observaciones. Matemáticas I. Ingeniería Civil

11 6..- Diagonalización. 59 ) La proposición anterior no contradice lo visto hasta ahora para autovectores: si A es diagonalizable λ es autovalor de multiplicidad algebraica m a (λ) = l (su multiplicidad geométrica será por tanto m g (λ) = l) el valor r de la proposición anterior es r =. ) Observe que según el teorema anterior los autovectores generalizados siempre son los elementos de Nul [ (A λi) ma(λ), aunque dependiendo de cada caso, dicho espacio nulo puede coindicir con el espacio nulo de una potencia inferior de A λi. Ejemplo. Consideremos la matriz A = Vamos a calcular una base de R 4 formada por autovectores autovectores generalizados de A. Su polinomio característico es p A () = ( ) 3 (+), luego sus autovalores son λ = con multiplicidad algebraica m a (λ ) = λ = con multiplicidad algebraica m a (λ ) = 3. Como λ = es autovalor simple, sus multiplicidades algebraica geométrica coinciden. Un autovector asociado a λ = es, por ejemplo, v = (,,3,3) T los demás autovectores asociadosalmismoautovalorsonmúltiplosdev.paraelautovalortripleλ =,lasmatrices A λ I la escalonada superior obtenida de ella por eliminación gaussiana son A λ I = Elim. Gauss Puesto que A λ I tiene rango 3, sólo ha un autovector independiente asociado al autovalor λ = por tanto, Ano es diagonalizable. Losautovectores asociados sonlosmúltiplos (no nulos) de v = (,,3,) T. Calculemos una base de autovectores generalizados asociados al autovalor λ =. Para ello, debemos calcular las potencias A λ I hasta que una de ellas tenga rango m m a (λ ) = 4 3 = con lo cual el espacio nulo de dicha potencia de A λ I tendrá dimensión 3. La matrices (A λ I) la escalonada superior obtenida por eliminación gaussiana son (A λ I) = Elim. Gauss cuo rango es (todavía distinto de = 4 m a (λ )). Por tanto la dimensión del espacio nulo de (A λ I) es podemos obtener en dicho espacio nulo un autovector generalizado v 3 linealmente independiente con v, por ejemplo v 3 = (,,,) T. Notemos que Nul ((A λ I) ) = Gen{v,v 3 }. La matriz (A λ I) 3 es (A λ I) 3 = Matemáticas I. -3,.,

12 6 Tema 6.- Autovalores autovectores. cuo rango es = 4 m a (λ ). Por tanto, el espacio nulo de (A λ I) 3 tiene dimensión 3. En este espacio nulo podemos obtener un autovector generalizado v 4 que sea linealmente independiente con {v,v 3 }, por ejemplo v 4 = (,,,) T. Notemos que Nul((A I) 3 ) = Gen{v,v 3,v 4 } que los vectores de este espacio son, además del vector nulo, todos los autovectores autovectores generalizados asociados al autovalor λ =. Así, hemos obtenido tres autovectores (generalizados) asociados al autovalor triple λ = de una determinada forma, ampliando de una base de Nul(A I) a una de Nul((A I) ) de ésta a una de Nul((A I) 3 ). Podríamos haber obtenido una base de Nul((A I) 3 ) sin necesidad de pasar por bases de los espacios intermedios. Por ejemplo, los vectores w = (,,,) T, w 3 = (,,,) T, w 4 = (,,,) T forman una base de Nul((A I) 3 ). Por tanto, tenemos como bases de R 4 {v,v,v 3,v 4 } {v,w,w 3,w 4 }. Para observar la diferencia entre ellas ( entender por qué, en general, es más conveniente encontrar una base por el procedimiento seguido para construir {v,v,v 3,v 4 }) se propone como ejercicio determinar la matriz P AP tomando respectivamente como matriz P la matriz cuas columnas son las coordenadas de los vectores de cada una de las bases anteriores. Así, si formamos P = [v,v,v 3,v 4 P = [v,w,w 3,w 4 obtenemos P AP =, P AP = 4 4 Observamos que con P, en el bloque correspondiente al autovalor, éste aparece en la diagonal además es un bloque triangular superior, es decir, en la matriz obtenida (que no puede ser diagonal pues A no es diagonalizable), los autovalores aparecen en la diagonal el bloque del autovalor al menos tiene ceros por debajo de la diagonal. Sin embargo, con P ni el autovalor aparece en la diagonal ni su bloque correspondiente es triangular. Si una matriz es diagonalizable al juntar autovectores independientes de autovalores diferentes se obtiene una base de R m (o de C m ). De la misma forma cuando se unen bases de los espacios de autovectores generalizados se obtiene una base de R m (o de C m ). Siendo más preciso, tenemos el siguiente resultado. Proposición. Sea A una matriz cuadrada de orden m, con polinomio característico p A (λ) = (λ λ ) m...(λ λ p ) mp, con λ,...,λ p distintos entre sí. Si B j es base de Nul(A λ j I) m j, para j =,...,p, la unión de dichas bases B = {B,...,B p } es base de R m (o de C m ).. Matemáticas I. Ingeniería Civil

13 6.3.- Matrices simétricas reales. 6 Observación-Ejercicio. Según vimos en el estudio de las propiedades del cálculo de autovalores autovectores, todo autovector de una matriz A es autovector de cualquiera de sus potencias A,A 3,... El recíproco no es cierto, en general. Por ejemplo, tomando la matriz [ A = se verifica que A es la matriz nula, por tanto, cualquier vector no-nulo de R es autovector de A asociado a su único autovalor λ =. Sin embargo, ha vectores de R que no son autovectores de A, por ejemplo v = [,. Determina los autovectores de cada una de las potencias de A = Matrices simétricas reales. Las matrices simétricas reales constituen uno de los tipos más importantes de matrices para las cuales puede garantizarse la diagonalizabilidad. Además, dicha diagonalización se puede obtener matrices de paso ortogonales Diagonalización. El teorema espectral Teorema. Sea A una matriz real simétrica. Entonces: (a) Todos los autovalores de A son reales. (b) Si v v son autovectores (reales) de A asociados a autovalores distintos λ λ, entonces v v son ortogonales. Teorema (espectral para matrices simétricas) Sea A una matriz cuadrada real n n. Son equivalentes: (a) A es simétrica. (b) A es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, es decir, eiste una matriz ortogonal Q tal que Q AQ Q T AQ = D es diagonal. Enesecaso,lascolumnasdelamatriz{q,...,q n }deqsonunconjuntodeautovectores de A que forman una Base Ortonormal de R n, además, tenemos que λ... q T A = QDQ T = q... q n λ q T λ n qn T = λ q q T +λ q q T + +λ n q n q T n. Matemáticas I. -3

14 6 Tema 6.- Autovalores autovectores. Cada matriz q k qk T es la matriz de la proección ortogonal sobre el subespacio generado por el correspondiente vector {q k } (es una matriz de rango ). Así, obtenemos la epresión A = λ q q T +λ q q T + +λ n q n q T n, que se llama descomposición espectral de A. Esta epresión nos da la matriz simétrica real A como una combinación lineal de matrices de proección de rango. A la hora de obtener una diagonalización ortogonal de una matriz simétrica real A pueden aparecer dos situaciones distintas: Todos los autovalores de A son simples. En este caso, los autovectores correspondientes tienen que ser ortogonales dos a dos formarán una base ortogonal de R n. Normalizando dichos autovectores (dividiendo cada uno por su norma) seguiremos teniendo autovectores ortogonales que además serán unitarios. Una matriz Q que tenga a dichos autovectores ortonormales como columnas será una matriz de paso que diagonaliza A ortogonalmente. La matriz A tiene algún autovalor múltiple. En este caso, cuando calculemos los autovectores asociados a uno de los autovalores λ múltiples, obtendremos una base del espacio propio asociado Nul(A λi). En general esta base puede no ser una base ortogonal de dicho subespacio. Ortogonalizando primero normalizando a continuación, tendremos una base ortonormal de autovectores asociados a dicho autovalor múltiple. Haciendo esto con cada uno de los autovalores múltiples normalizando los autovectores asociados a autovalores simples tendremos una base ortonormal de R n formada por autovectores de A. Basta considerar una matriz Q cuas columnas sean los vectores de dicha base para obtener una diagonalización ortogonal de A Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. Vamos a considerar la relación del cálculo de autovalores autovectores con los llamados problemas de evolución. Dichos problemas vendrán epresados por una ecuación en diferencias en el caso discreto por una ecuación diferencial en el caso continuo. En forma genérica se tratará de obtener una función vectorial de variable discreta(en cuo caso tendremos una sucesión de vectores) o de variable continua (en cuo caso tendremos una función vectorial de variable real) determinadas por una condición sobre su evolución. Como es natural sólo consideraremos problemas lineales. De esta forma los correspondientes conjuntos de soluciones tendrán una estructura similar a la del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Es decir, tendrán una estructura de subespacio vectorial (o de variedad lineal) podrán manipularse de forma análoga a la manipulación de vectores de coordenadas Sistemas de ecuaciones en diferencias. Aquí trataremos de obtener las sucesiones de vectores en R m (ó C m ) u,u,u,u 3,...,u n,... en la que la relación entre dos términos consecutivos es lineal, constante homogénea. Matemáticas I. Ingeniería Civil

15 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 63 De forma más precisa, la relación entre dos vectores consecutivos será de la forma u n+ = Au n siendo A una matriz cuadrada m m constante (independiente de n). Definición. Sea A una matriz cuadrada de orden m sea u,u,...,u n,... una sucesión de vectores en R m definidos de manera recurrente por u n = Au n, n =,,... a partir de un vector inicial u R m. Una relación de recurrencia de esta forma se llama sistema de ecuaciones en diferencias lineal homogéneo de primer orden (con coeficientes constantes). No nos ocuparemos aquí ni del caso no homogéneo, ni del caso de coeficientes no constantes muchisimos menos de casos no lineales. A partir de la relación u n = Au n se tiene que u n = A n u tenemos la epresión del término general u n en función del vector original u. El problema es determinar las potencias A n de A. Tendremos esencialmente dos situaciones. Por un lado, el caso en que A sea diagonalizable será fácil detratar por otro,el caso enel que A no sea diagonalizableque necesitará de más elaboración puesto que tendremos que recurrir al cálculo de autovectores generalizados. Uno de los aspectos que permite estudiar la epresión del término general u n (a partir de u ) es el comportamiento asintótico, es decir el comportamiento a largo plazo de la sucesión u n, qué sucede con los vectores u n cuando n se hace grande? Proposición. Sea A una matriz cuadrada de orden m u R m. Entonces (a) Si A es diagonalizable, A = PDP (P matriz de paso de orden m cuas columnas son autovectores de A linealmente independientes, D matriz diagonal cuos elementos diagonales son los autovalores correspondientes de A), se verifica que A n = PD n P u n = A n u = PD n P u, n =,,... (b) Si u es combinación lineal de autovectores de A (independientemente de que A sea diagonalizable o no), u = c v + +c k v k Av j = λ j v j, j =,...,k, entonces A n u = c λ n v + c k λ n k v k. Observaciones. Qué sucede si A no es diagonalizable u no es combinación lineal de autovectores? Sea A una matriz m m no diagonalizable. (a) Si v es un autovector generalizado de A asociado a un autovalor λ, para un cierto valor k se verifica que (A λi)v,..., (A λi) k v, (A λi) k v =. Matemáticas I. -3

16 64 Tema 6.- Autovalores autovectores. Utilizando esto podemos determinar la solución (sucesión de vectores) del sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n que tiene como valor inicial u = v. Para ello, basta considerar la fórmula del binomio de Newton: ( n (a+b) n = ( p q ) a n b + ) := ( n ) a n b + ( n p(p ) (p q +) q! ) a n b + = ( n n ) ( n a b n + n p!, (! := ) q!(p q)! ) a b n que es aplicable a la potencia de una suma de matrices si estas conmutan. Es decir, si A B son dos matrices cuadradas que conmutan (AB = BA), se verifica la igualdad ( ) ( ) ( ) ( ) (A+B) n n = A n B n + A n B n + A n B n + + A B n n siendo A = B = I. Puesto que las matrices A λi λi conmutan, podemos aplicar la fórmula del binomio de Newton para n k obtenemos A n v = [λi +(A λi) n v = = [( n ) ( n (λi) n + ) ( n (λi) n (A λi) + + n )(A λi) n v [ puesto que (A λi) k v = (A λi) k+ v = (A λi) k+ v = = = λ n v +nλ n (A λi)v + n(n ) λ n (A λi) v + + ( ) n + +λ n k+ (A λi) k k v aparecen (a lo sumo) k sumandos en el sumatorio, independientemente de lo grande que sea n. En los ejemplos que veremos k será pequeño aparecerán pocos términos en el sumatorio. (b) Si obtenemos una base {v,...,v m } (de R m ó C m ) formada por autovectores generalizados de A, entonces puede encontrarse la solución general del sistema de ecuaciones en diferencias u n = Au n para cualquier u R n. Para ello, epresamos u como combinación lineal de los autovectores generalizados {v,...,v m }, con lo que u = α v + +α m v m u n = A n u = α A n v + +α m A n v m, por tanto, bastará determinar (A n v j ) para cada autovector generalizado v j. (c) Cálculo de A n.apartirdeunabaseformadaporautovectoresgeneralizados{v,...,v m } podemos calcular A n sin más que obtener los vectores {A n v,...,a n v m } despejar A n de la igualdad matricial A n v v... v m = A n v A n v... A n v m. Matemáticas I. Ingeniería Civil

17 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 65 (d) Comportamiento asintótico de A n u. Con este término se designa al estudio del comportamiento de la sucesión de vectores u,u,u,... a largo plazo. Es decir se trata de estudiar qué sucede cuando n. Los vectores u n convergen a un cierto vector? oscilan entre ciertos vectores? tienden a? Es decir, lím n u n =? Si tenemos un vector u epresado como combinación lineal de autovectores autovectores generalizados u = c v + +c m v m, la sucesión generada viene dada mediante u n = A n u = c A n v + +c m A n v m con lo cual podemos reducir el estudio al comportamiento de las sucesiones A n v siendo v un autovector o un autovector generalizado de A. En la situación más simple, que v sea un autovector asociado a un cierto autovalor λ tenemos que, por tanto, A n v = λ n v Si λ <, tenemos que (λ n ) (A n v) = (λ n v). Si λ >, tenemos que (λ n ) ( A n v ) = ( λ n v ) +. Si λ = ha que distinguir dos casos (al menos): Si λ =, la sucesión de vectores A n v = v es constante. Si λ =,λ, puesto que λ n = para todo n =,,..., los coeficientes λ,λ,λ 3,... recorren la circunferencia unidad (no completa, infinitas veces) los vectores A n v = λ n v presentan un comportamiento oscilante. Veamos a continuación dos ejemplos de cómo obtener A n v. Ejemplo. Calcular u n = A n u siendo A = u = Por ser A triangular es inmediato que los autovalores son λ = (doble) λ = (simple). Como es fácil comprobar, m g (λ = ) = < m a (λ = ) = la matriz A no es diagonalizable. No eiste una base de autovectores (λ λ aportan uno cada uno) necesitamos recurrir a un autovector generalizado de λ para obtener una base de R 3 formada por autovectores autovectores generalizados.. Matemáticas I. -3

18 66 Tema 6.- Autovalores autovectores. Autovectores asociados a λ =, (A I) = = Nul(A I) = Gen v = Autovectores generalizados asociados a λ =, (A I) = = Nul [ (A I) = Gen v,v = Autovectores asociados a λ =, (A I) = = Nul(A I) = Gen v 3 =... Es decir, trabajaremos con la base de R 3 formada por {v,v,v 3 } (que en este caso sencillo coincide con la canónica). Así, Por ser v v 3 autovectores: u n = A n u = A n (v +v v 3 ) = A n v +A n v A n v 3. A n v = λ n v = n v = v A n v 3 = λ n v 3 = n v 3. Mientras que por ser v autovector generalizado de λ =, que verifica (A I) v = (k = en la fórmula dada anteriormente): A n v = [λ I +(A λ I) n v = λ n v +nλ n (A λ I)v + n(n ) λ n (A λ I) v + = n v +n n v = v +nv a que (A I)v = v. Finalmente u n = A n u = v +(v +nv ) n v 3 = (n+)v +v n v 3 = +n n. Ejemplo. Calcular u n = A n u siendo 3/ / / A = u = / / 5/. Matemáticas I. Ingeniería Civil

19 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 67 Autovalores. Calculamos sus autovalores mediante la ecuación característica, A λi = λ 3 6λ +λ 8 = (λ ) 3 =, de donde obtenemos que λ = es un autovalor triple (m a (λ ) = 3). (Recuérdese que la traza de la matriz debe coincidir con la suma de los autovalores; en este caso ambas valen 6, puesto que tr(a) = 3/++5/ = ++ = 6). Si calculamos su multiplicidad geométrica m g (λ = ) = 3 rango(a I) = 3 = vemos que sólo tiene un autovector asociado linealmente independiente, con lo que necesitaremos encontrar dos autovectores generalizados (linealmente independientes) para formar una base de R 3 con autovectores autovectores generalizados. Autovectores: (A I) = 3 { = + 3 = 3 = =. Tomamos como autovector, por ejemplo, v = (,,) T. Autovectores generalizados: (A I) = 3 = + 3 = = + 3 Tomamos como primer autovector generalizado (que debe ser linealmente independiente con v ), por ejemplo, v = (,,) T. Finalmente, (A I) 3 = 3 = = 3 R 3 arbitrario. Podemos tomar como segundo autovector generalizado cualquier vector de R 3 que sea linealmente independiente con {v,v }, por ejemplo, v 3 = (,,) T. Una vez que tenemos la base B = {v,v,v 3 } formada por autovectores autovectores generalizados, calculamos las coordenadas de u en dicha base, α u = P B [u B = β [u B =, γ es decir, u = v +v v 3. Matemáticas I. -3.

20 68 Tema 6.- Autovalores autovectores. Por tanto, u n = A n u = A n (v +v v 3 ) = A n v +A n v A n v 3. Puesto que v es autovector de A asociado a λ =, A n v = λ n v = n v. Por otra parte, A n v = [λ I +(A λ I) n v = λ n v +nλ n (A λ I)v + n(n ) λ n (A λ I) v + = n v +n n v = n +n n (por ser v autovector generalizado asociado a λ =, que verifica (A I) v = (k = en la fórmula anterior) a que (A I)v = v ), A n v 3 = [λ I +(A λ I) n v 3 = λ n v 3 +nλ n (A λ I)v 3 + n(n ) λ n (A λ I) v 3 + = n +n n / / + n(n ) n (por ser v 3 autovector generalizado de λ =, que verifica (A I) 3 v 3 = (k = 3 en la fórmula anterior) a que / / (A I)v 3 = / (A I) v 3 = /. Nótese que si hubiéramos elegido una base formada por tres autovectores generalizados, a partir de (A I) 3 v =, tendríamos {w,w,w 3 }, / / u n = A n u = A n (α w +α w +α 3 w 3 ) = α A n w +α A n w +α 3 A n w 3. ParaobtenercadaunolostrestérminosA n w i necesitaríamosrecurriraunaepresiónanáloga a la obtenida para A n v 3. De ahí que, en general, sea recomendable construir la base de R n formada por autovectores autovectores generalizados de forma progresiva: resolviendo primero (A λi)v =, después (A λi) v =, después (A λi) 3 v =, etc. No obstante, puesto que en el caso anterior todo vector es un autovector generalizado (puesto que sólo ha autovalor), calcular A n u conlleva los mismos cálculos que obtener A n v Cónicas cuádricas giradas. En el Tema se estudiaron las (secciones) cónicas las cuádricas desde el punto de vista métrico así como los elementos representativos de cada una de ellas. Por otra parte, vimos la determinación de la posición, del tipo de cónica/cuádrica cómo obtener los elementos característicos cuando ésta viene dada por una ecuación en la que no aparecen productos cruzados. Ahora estudiaremos: Matemáticas I. Ingeniería Civil

21 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 69 (a) Que toda ecuación polinómica de segundo grado en dos variables a +a +a +a +a +a = (alguno de los coeficientes a,a,a es distinto de cero) representa una cónica. (a) Que toda ecuación polinómica de segundo grado en tres variables a +a +a 33 z +a +a 3 z +a 3 z +a +a +a 3 z +a =, (alguno de los coeficientes a,a,a 33,a,a 3,a 3 es distinto de cero) representa una cuádrica. Entre éstas consideramos los casos degenerados. (b) Cómo determinar el tipo de cónica/cuádrica sus elementos representativos cuando en la ecuación aparecen términos en productos cruzados. La presencia de éstos términos indica que la cónica/cuádrica está girada respecto a los ejes coordenados. La determinación del correspondiente ángulo de giro se hará a partir del cálculo de autovalores autovectores de la matriz asociada a la parte cuadrática de la ecuación de la cónica/cuádrica. Es decir, se tratará de obtener la posición, los elementos característicos la representación gráfica en el sistema de ejes dado. Reducción de una cónica girada. Definición. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos (,) R del plano que satisfacen una ecuación general de segundo grado: f(,) = a +a +a +a +a +a =, () donde alguno de los coeficientes a,a o a es distinto de cero. La ecuación anterior, llamada ecuación de la cónica, se puede escribir en notación vectorial de la forma: f(,) = [ A [ [ +[a a Nótese que también puede escribirse, f(,) = [ [ a a +a = siendo A = a a a a a a a a a a a =. El proceso general para llevar una cónica a su ecuación reducida (sabiendo cuáles son los cambios de variables involucrados) puede separarse en dos etapas (si el coeficiente a, si el coeficiente a = bastaría con la segunda etapa): (a) Determinación de las direcciones de los ejes de la cónica. Esto consiste en diagonalizar ortogonalmente la matriz(simétrica A) asociada a la parte cuadrática de la ecuación [ a a A =. a a Sean λ λ los autovalores de A v v autovectores ortogonales correspondientes (si λ λ dichos autovectores serán ortogonales necesariamente, si λ = λ necesariamente A es una matriz diagonal, no necesitamos hacer nada de esto). Conviene Matemáticas I. -3.

22 7 Tema 6.- Autovalores autovectores. tomar los autovectores v v de manera que el ángulo de v a v sea de 9 en sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). Sin más que dividir los vectores v v por su norma, obtenemos una base ortonormal {u,u } de R formada por autovectores de A, por tanto, [ P = u u P = P T, P T λ AP = D = λ. Al sustituir en la ecuación (en (,)) de la cónica el cambio de variables tenemos [ [ [ [ = P = [ P T AP +[a a P +a =. Es decir, la ecuación de la cónica en las coordenadas (, ) es λ +λ +b +b +a =, ecuación en la que no aparece el producto cruzado. Notemos que [ [ [ [ [ [ = P = u u = = P T = u T u T [. Por tanto, los nuevos ejes son X ecuación = u T Y ecuación = u T [ [ =, =. Es decir, los ejes e son las rectas que pasan por el origen de coordenadas tienen como vectores dirección respectivos los autovectores u u de A. De hecho el sistema de ejes OX Y se obtiene del sistema OXY girando (con centro el origen de coordenadas) el ángulo que determina u con el semieje OX +. (b) Una vez que tenemos la ecuación λ +λ +b +b +a =, en la que no aparece el producto cruzado, bastará completar los cuadrados que aparezcan (mediante cambios del tipo = α e = β) para obtener una ecuación de uno de los siguientes tipos: Caso elíptico. λ λ > (es decir λ λ son no-nulos del mismo signo), a +b = c en cuo caso tenemos una elipse (c > ), un punto (c = ) o nada (c < ). Matemáticas I. Ingeniería Civil

23 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 7 Caso hiperbólico. λ λ < (es decir λ λ son no-nulos de distinto signo), a b = c en cuo caso tenemos una hipérbola (c ) o un par de rectas que se cortan (c = ). Caso parabólico. λ λ = (es decir uno de los autovalores es nulo, el otro no). Suponiendo que λ,λ = puede obtenerse a +b = ó a +c = Tendremos una parábola (b ), o bien un par de rectas paralelas (c < ) o coincidentes (c = ) o nada (c > ). Para obtener los elementos característicos de la cónica su representación gráfica basta obtenerlos en las coordenadas (, ) deshacer los cambios de variables que se haan hecho { { (Traslación) = α = β = +α = +β (Giro) [ [ [ [ = P = P T. Ejemplos. () Vamos a obtener la ecuación canónica (reducida) la representación gráfica de la cónica =. mediante los cambios de coordenadas adecuados. Escribimos en forma matricial la parte cuadrática de la ecuación de la cónica: [ [ 3 [ =. 3 Puesto que la ecuación de la cónica tiene término en necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los términos cuadráticos). Calculamos los autovalores de A, 3 λ 3 λ = λ 6λ+8 = λ = 4,λ =. Los autovectores correspondientes son: ( )( ) ( λ = 4 : = ) + = ( ) ( = α ), Matemáticas I. -3

24 7 Tema 6.- Autovalores autovectores. λ = : ( )( ) = ( ) = ( ) ( = α Construimos la matriz de paso ortogonal P (que diagonaliza A) mediante una base ortonormal de autovectores: { ( ) ( ) },. El primer autovector da la dirección sentido positivo del nuevo eje X (que corresponde a girar un ángulo θ = 45 o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = / = / = ) el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y se obtenga girando el X un ángulo de 9 o en sentido positivo) marca la dirección sentido del nuevo eje Y. El cambio: [ [ = P [ = eliminará el término mito dejando la parte cuadrática como λ +λ, modificará los coeficientes de los términos lineales, e, no alterará el término independiente. Concretamente obtenemos: =. Completando cuadrados hacemos una traslación: ( ) ( ( 4 ( ) +( 4 ) donde hemos realizado la traslación 4 ( = + 3 8, = Operando, llegamos a la ecuación canónica 4 ) + =, ) + =, 4 ) = = 3 8, 4. ) = ( ) + ) =. 4 3 ( 3 4 Es decir, al haber tomado λ = 4 λ =, el semieje maor de la elipse está sobre el eje Y el menor sobre el X, a que 3 < El centro C de la elipse es el origen en las coordenadas (, ). Es decir, (, ) = (,) ( = 3 8, = ). En coordenadas (,) obtenemos 4 ( = 3 ) + = ( 8 4 8, = 3 ) + = 58 ( 8 4 C = 8, 5 ). 8 Matemáticas I. Ingeniería Civil

25 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 73 Para hacer el dibujo esquemático con una cierta precisión, puede sernos útil el encontrar los puntos de corte (si los ha) de la elipse con los ejes coordenados (OX OY). Al hacer = en la ecuación de la cónica se obtiene = que se verifica para =,/3. Mientras que si hacemos =, la ecuación 3 ++ = no tiene solución (real). Por tanto, la elipse corta al eje OY en los puntos (,) (,/3) no corta al eje OX. Con toda la información que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujando los ejes X e Y sabiendo que pasan por ( =, = ) tienen la dirección sentido del autovector correspondiente a λ λ, respectivamente. Es decir, en este caso, con la elección que hicimos de autovalores autovectores, los ejes X e Y se obtienen rotando un ángulo de 45 o a los ejes X e Y. A continuación, dibujamos los ejes X e Y, paralelos respectivamente a los ejes X e Y X, que resultan de trasladar el origen al punto C = (, ) Nótese que si hubiéramos elegido los autovalores en el otro orden posible, es decir, λ = λ = 4 tomamos como autovectores respectivos (,) T (,) T (el primero indica la dirección sentido del eje X el segundo el del Y ), llegaríamos, tras realizar el giro (en este caso de 45 o ) mediante el cambio de coordenadas dado por la nueva matriz P la traslación adecuada, a la ecuación canónica: Y Y C C Y Y /3 /3 Y X X Y X X ( 3 4 ) + ( 4 3 ) =, X que nos llevaría a la figura adjunta. () Vamos a obtener la ecuación canónica (reducida) la representación gráfica de la cónica + + = mediante los cambios de coordenadas adecuados. Puesto que la ecuación de la cónica tiene término en necesitamos hacer un giro para colocar los ejes en las direcciones de los autovectores de la matriz A (la que recoge los términos cuadráticos). [ [ [ + =, A = [ Calculamos pues sus autovalores después sus autovectores. En primer lugar: λ λ = λ λ = λ =,λ =. Matemáticas I. -3

26 74 Tema 6.- Autovalores autovectores. Podemos pues calcular los autovectores: λ = : [ [ [ [ = = λ = : [ [ [ [ = + = [ = α [ = α Construimos la matriz P mediante la siguiente base ortonormal de autovectores: { [ [ },, donde el primer autovector da la dirección sentido del nuevo eje X (que corresponde a girar un ángulo θ = 45 o el eje X, pues del autovector sacamos que tgθ = / = ) el segundo autovector (que hemos elegido en el sentido adecuado para que el eje Y se obtenga girando el eje X 9 o en sentido positivo o antihorario) marca la dirección sentido del nuevo eje Y. El cambio: [ [ = P [ = eliminará el término mito dejando la parte cuadrática como λ +λ, modificará los coeficientes de los términos lineales, e, no alterará el término independiente. Concretamente obtenemos: + + =. Completando cuadrados en haciendo una traslación tenemos ( ) + ( ) + =, =, ( ) =, ( ) + ) ( 3 =, =, 4 8 donde hemos realizado la traslación = 3 8, = + 4. Por tanto, la ecuación canónica a la que hemos llegado, tras la rotación la traslación llevadas a cabo, es =. El vértice V de la parábola es el origen en las coordenadas (, ). Es decir, (, ) = (,) ( = 3 8, = ). En coordenadas (,) obtenemos 4 ( 3 ) = + = 5 ( 8 4 8, = 3 ) = ( , V = 8, ). 8,. Matemáticas I. Ingeniería Civil

27 6.4.- Aplicaciones del cálculo de autovalores autovectores. 75 Para hacer el dibujo esquemático con una cierta precisión, puede sernos útil el encontrar los puntos de corte (si los ha) de la parábola con los ejes coordenados (OX OY). Al hacer = en la ecuación de la cónica se obtiene + = que no tiene solución (real). Mientras que si hacemos = obtenemos + = que tiene como solución (doble) =. Por tanto, la parábola no corta al eje OY toca sin cortar (pues es tangente, como se deduce de la raíz doble) al eje OX en el punto (,). Con toda la información que hemos obtenido a lo largo del problema, comenzamos dibujandolosejesx ey sabiendo quepasanporel origendelascoordenadasx-y que tienen la dirección sentido del autovector correspondiente a λ λ, respectivamente. Esdecir,enestecaso,conlaelecciónquehicimos de autovalores autovectores, los ejes X e Y se obtienen rotando un ángulo de 45 o a los ejes X e Y. A continuación, dibujamos los ejes X e Y, paralelos respectivamente a los ejes X e Y, que resultan de trasladar el origen al vértice de la parábola V = ( 8, 5 8). Finalmente, dibujamos la parábola, que es mu fácil de representar en las coordenadas (, ). Teniendo en cuenta las intersecciones conlosejesx ey obtenemospues la figura adjunta. Nótese que si elegimos los autovalores en el mismo orden, λ = λ =, pero tomamos los autovectores opuestos ((, ) T fija el eje X (, ) T marca el Y ), llegamos, procediendo análogamente, a =. En este situación, estaríamos en el caso (a) de la figura siguiente. Sin embargo, si tomamos λ = λ =, como autovectores correspondientes a (, ) T (quedeterminaelejex )(,) T (quemarcaelejey ),llegamos,procediendo análogamente, a =. De esta forma, estaríamos en el caso (b) de la figura siguiente. Finalmente, la cuarta última posibilidad será tomar λ = λ =, pero trabajando con los autovectores a (,) T (fija el eje X ) (, ) T (marca el Y ). Entonces, se llega, procediendo análogamente, a =. Estaríamos entonces en el caso (c) de la figura siguiente. Y Y Y Y Y Y Y V X X X Y X X X V Y X Y V X X (a) (b) (c) X Y X Y V X Moraleja: la curva en el plano (X,Y) es obviamente la misma, aunque al comienzo del problema tenemos cuatro posibilidades distintas para elegir el eje X (según qué autovalor elijamos como primero qué autovector de norma unidad elijamos para dicho Matemáticas I. -3