ÁLGEBRA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS VECTORIALES ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERIOR

Transcripción

1 7 ÁLGEBA II (LSI PI) UNIDAD Nº 4 ESPACIOS ECTOIALES ESPACIOS ECTOIALES CON PODUCTO INTEIO Fcltd de Cecs Excts y Tecologís UNIESIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTEO

2 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE.- Espcos ectorles Defcó Se, es Ley de Composcó Exter (L.C.E.) e co operdores e s y sólo s es fcó co domo e el prodcto crteso K A y co vlores e E símolos, : K A A (, ) Not Otr form de expresr qe es ley de composcó exter e co operdores e es l sgete, Eemplo K, A A U eemplo de ley de composcó exter e co operdores e el coto de los reles mtrz dd por, el coto de ls mtrces reles de tpo, es l coocd mltplccó de esclr por ( ) [ ] [ ] Defcó Se coto o vcío de elemetos llmdos vectores, ( ) cerpo cyos elemetos se llm esclres y dos opercoes llmds sm de vectores y mltplccó de esclr por vector, represetds por + y respectvmete. L ter ( ) es espco vectorl sore cerpo ( ) s y sólo s se verfc los sgetes xoms,. (, +) es grpo elo ), v ; + v (+ es LCI e ) ), v, ; v v (+ es soctv) c) d) : ; (v es elemeto etro), : ( ) ( ) (- es el opesto de ) e), v ; v v (+ es comttv). F, ; ( es LCE e co esclres e ) 3. F,, v ; ( v) v ( es dstrtv respecto l sm de vectores) 4., F, ; ( ) ( es dstrtv respecto l sm de esclres) 5., F, ; ( ) ( ) (l mltplccó por esclres es soctv) 6. ; ( es l dd del cerpo F) Udd 4

3 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Nots S (, +, ) es espco vectorl sore cerpo (F, +, ), dremos smplemete es espcovectorl defdo sore cerpo F, y pr smplfcr l otcó escrremos F. A los vectores del espco vectorl los smolzremos co ls últms letrs del ecedro (e., v, ) y los esclres del cerpo F co ls prmers letrs del ecedro (e.,, c), o ls prmers letrs del lfeto grego (e.,, ). S e ls leyes de composcó ter tto e como e F se smolz co +, ésts represet opercoes dferetes e geerl. Además, tto l ley de composcó exter e co esclres e (mltplccó de esclr por vector) como l ley de composcó ter e (mltplccó de esclres) se represet co el símolo, pero ms leyes so de trlez dferete. A l ley de composcó exter, tmé se le deom prodcto por esclres o prodcto de esclr por vector Eemplos ) El coto de vectores del plo crteso, represetdos por los pres ordedos de úmeros reles, es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (, +, ). Dode l sm de vectores del plo rel vee dd por : dode, v v x y v x y y (, ), (, ) def v ( x x, y y ). y l mltplccó de esclres reles por vectores del plo rel está defdo por, : e dode, (, ) def, ( x, y) y ( x, y). ) El coto 3 x, y, z / x, y, z de vectores del espco, represetdos por los ters ordeds de úmeros reles, es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (, +, ). L sm de vectores de 3 es ley de composcó ter dd por + : (, v) + v e dode ( x, y, z) y v ( x, y, z ) 3 y l sm de y v está defd por def v ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x x, y y, z z ) y l mltplccó de esclr rel por vector de 3 es ley de composcó exter co esclres e el cerpo de los úmeros reles dd por : x 3 3 (, ) Udd 4 3

4 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE e dode ( x, y, z) 3 y l mltplccó de esclr y el vector está defd por def ( x, y, z) ( x, y, z ) c) E geerl, pr, el coto de ls -pls ordeds de úmeros reles es espco vectorl sore el cerpo de los úmeros reles (, +, ) co l sm de -pls y l mltplccó de úmero rel por -pl. E símolos,,,, /,,,, veces L sm de -pls es ley de composcó ter + : x (, v) + v defd del sgete modo,,,,, v,,,, se defe s def v,,,,,,,,, L mltplccó de esclr por -pl es ley de composcó exter : (, ) defd como sge def s,,,,,,,,,,, Oservcó Es clro qe pr =, es espco vectorl, es el espco vectorl del coto de los reles sore el cerpo de los úmeros reles. Geométrcmete los vectores de este espco vectorl se represet e l rect rel. m d) El coto de ls mtrces reles qe tee m fls y colms es espco vectorl sore el cerpo de los reles (, +, ) co l sm de mtrces y l mltplccó de úmero rel por mtrz. E símolos, L sm de mtrces es ley de composcó ter e ( A, B) A B defd del sgete modo, m s A, B, : m m m def A B m esto es, L mltplccó de esclr rel por mtrz es ley de composcó exter defd por : m m (, A) m s, A, se defe A, def A Udd 4 4

5 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Defcó 3 Se espco vectorl sore cerpo. Clesqer se y v perteecetes, se defe l rest de vectores del sgete modo v + (-v) Oservcó E l Udd 3, y defmos l rest prtr de los grpos dtvos, y por ser ( vectores, y por lo tto l Defcó 3 reslt reddte. ) grpo dtvo tee setdo hlr de rest de..- Propeddes de los Espcos ectorles Proposcó Se espco vectorl sore cerpo. El esclr, mltplcdo por clqer vector de es gl l vector lo de. E símolos, ; Demostrcó Se F y, etoces ( ) eferecs () El es elemeto etro dtvo e el cerpo F. () Por Axom 4 de l Defcó. (3) El vector lo es el elemeto etro dtvo e el espco vectorl. (4) le l ley cceltv e el grpo elo (, +). Proposcó () () (3) (4) Q.E.D. Se espco vectorl sore cerpo. Clqer esclr del cerpo mltplcdo por el vector lo de es gl l vector lo de E símolos, F ; Demostrcó Se F y. Es clro qe, ( ) eferecs () El vector lo es elemeto etro dtvo e el espco vectorl. () Por Axom 3 de l Defcó de Espco ectorl. (3) El vector lo es el elemeto etro dtvo e. (4) le l ley cceltv e el grpo elo (, +) () () (3) (4) Udd 4 5

6 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Proposcó 3 Se espco vectorl sore cerpo. S F y, etoces se verfc qe ( ) ( ) ( ) Demostrcó ) S F y, etoces y por ser (, +) grpo se tee qe ( ) y se verfc qe + [ ( )] = [ ( )] + = (I) Por otro ldo, (II) + () ( + ()) () () (3) () + (()+) () () (3) E II podemos dvertr qe () tmé es opesto de y como (, +) es grpo, teemos qe el opesto de cd elemeto de es úco, por lo tto () = ( ) eferecs () Por el Axom 4 de l Defcó de Espco ectorl. () E el grpo elo (F,+), elemeto más s opesto es gl l esclr cero. (3) Por Proposcó. ) S F y, etoces y por ser (, +) grpo se tee qe ( ) y se verfc qe + [ ( )] = [ ( )] + (I) Por otro ldo, (II) + ( ) ( + ( )) () () (3) ( ) + (( ) + ) () () (3) Por II, podemos oservr qe () tmé es opesto de y como (, +) es grpo, el opesto de cd elemeto de es úco, por lo tto ( ) ( ) eferecs () Por xom 3 de l Defcó de Espco ectorl. () E el grpo elo (,+) elemeto más s opesto es gl l vector lo. (3) Por Proposcó. Q.E.D. Proposcó 4 Se Demostrcó espco vectorl sore cerpo. Clqer se se verfc () = Por Proposcó 3, semos qe F ; ( ) ( ) ( ) E prtclr, tomdo =, teemos () = ( ) = Q.E.D. Udd 4 6

7 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Proposcó 5 Se espco vectorl sore cerpo. Clesqer se se verfc qe Demostrcó Se F y tles qe, etoces ( ) ( ) () () (3) (4) eferecs () Y qe, exste -. Se mltplc e mos memros por - () Por xom 5 de l Defcó de Espco ectorl y por Proposcó. (3) E el grpo elo (F-{}, ), cd elemeto por s verso es gl l dd. (4) Por xom 6 de l Defcó de Espco ectorl. Q.E.D. Proposcó 6 Se espco vectorl sore cerpo. Clesqer se F y, v, se verfc qe ( ) v v. Demostrcó Se F y, v, etoces ( v) ( ( v)) ( v) ( ( v)) v () () (3) (4) eferecs () Por Defcó 3 de rest de vectores. () Por Axom 3 de l Defcó de Espco ectorl. (3) Por Proposcó 3 (4) Por Defcó 3 de rest de vectores Q.E.D.. - Sespcos vectorles Defcó Se espco vectorl y se S scoto o vcío de ( S S ). S es sespco vectorl de s y sólo s S co l ley de composcó ter + y l ley de composcó exter defds e pero restrgds S es espco vectorl. Eemplos So sespcos vectorles de Los cotos {(,)} y. Tod rect qe cotee l orge. Por eemplo El ee X, qe vee represetdo lítcmete por El ee Y, qe vee represetdo lítcmete por S ( x, y) / y T ( x, y) / x L prmer sectrz, qe está represetd lítcmete por H ( x, y) / y x Udd 4 7

8 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Nots.- S S es sespco vectorl de, deotremos este hecho escredo S..- Los cotos v y se deom sespcos vectorles trvles de F. Proposcó Se espco vectorl y se scoto o vcío de So codcoes ecesrs y sfcetes pr qe se sespco vectorl de, qe S se cerrdo pr sm de vectores y pr el prodcto por esclres. E símolos, ), v S v S S ) F S S Demostrcó ) Demostrremos qe ls codcoes so ecesrs, esto es, S ), v S v S ) F S S Por hpótess es sespco vectorl de, etoces por Defcó reslt qe S es espco vectorl. Por lo tto ) l sm es ley de composcó ter e S, es decr qe se verfc ). ) el prodcto por esclres es ley de composcó exter e S co esclres e F, por lo tto se verfc ). ) Ahor demostrremos qe ls codcoes so sfcetes. S espco vectorl Hpótess S ), v S v S ) F S S Tess : S ) S ) 3) ( S, ) es grpo elo 4) F, S; S 5) F,, v S; ( v) v 6), F, S; ( ) 7), F, S; ( ) ( ) 8) S S; ) S, por hpótess Udd 4 8

9 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE ) S, por hpótess 3) (S, +) es grpo elo. E efecto L codcó ) os dc qe + es ley de composcó ter e S. + es soctv, y qe se verfc por herec pesto qe S. S : S; E efecto, por hpótess ) F S S, E prtclr pr S teemos S S. Por Proposcó S; S : ( ) ( ) Por hpótess ) F S S E prtclr, tomdo S, reslt ( ) S S. Proposcó 4 + es comttv e S. Se verfc por herec, pes S. 4) L codcó ) os dc qe es ley de composcó exter e S co esclres e F. 5), 6), 7) y 8) se verfc por herec, pes S. Q.E.D. Eemplo ) E el espco vectorl = 3 el coto ( ) es sespco de. E efecto, ) por defcó de W. ) pes (,, ) W. ) S ( ) ( ), etoces ( ) ( ) ( ) v) S ( ) etoces ( ) ( ) De ), ), ) y v) se tee qe W es sespco de 3 ) E el espco vectorl = 3, el coto ( ) o es sespco vectorl de. Esto es sí pes ) por defcó de W. ) pes (,, ) W y qe = ) Se ( ) ( ), esto mplc qe ( ) (*) Efectdo l sm de y teemos, ( ) ( ) ( ) Pr qe perteezc W dee ocrrr qe ( ), Udd 4 9

10 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE pero por (*) reslt qe lego ( ) ( ), y por lo tto l o ser cerrdo pr l sm, o es sespco de. 3.- Comcoes Leles de vectores Defcó Se F espco vectorl defdo sore cerpo y se A scoto (fto o fto) o vcío de. Se,,, vectores de A dferetes etre sí y,,, elemetos clesqer del cerpo F. Se deom comcó lel de vectores del coto A co esclres del cerpo F l expresó () Es clro qe l efectr ls opercoes dcds e () otedremos como resltdo vector del espco vectorl. Se v tl vector, es decr v Al vector v le llmremos vlor de l comcó lel de los vectores,,, A. Tmé dremos qe v se h otedo por medo de l comcó lel. S se cosder ev seleccó de esclres comcó lel de los vectores,,,, esto es,, F podemos formr otr, () S es el vlor de est comcó lel, dremos qe se h otedo por medo de comcó lel () = Tmé podemos formr l sgete comcó lel Est comcó lel de los vectores,,, se deom comcó lel trvl l cl ovmete tee el vlor Eemplo Se el espco vectorl, y se A,,,3,,. S cosdermos los esclres,, -, formemos l sgete comcó lel de vectores del coto A Udd 4

11 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE,,3,, 4,6, 3,7 E dode (3, 7) es el vlor de l comcó lel. Comcoes Leles Idétcs Defcó Dos comcoes leles so détcs s tee los msmos térmos o trvles.. Eemplo so comcoes leles détcs., + + 3, +, Nots.- Es clro qe ls comcoes leles détcs tee el msmo vlor..- De cerdo l Defcó, ddo coto A y comcó lel de vectores de A podemos spoer sempre qe es comcó lel de todos los vectores de A, pes strá completrl co térmos trvles. Así, por eemplo, s A = {,, 3 }, l comcó lel + es comcó lel de todos los vectores de A, pes es détc l comcó lel Oservcó Aú cdo A se coto fto, comcó lel o trvl de ss vectores tedrá sempre (por l form e qe fe defdo el cocepto) úmero fto de térmos o trvles Sespco vectorl geerdo por coto de vectores Se F espco vectorl y A A. SeA el coto de todos los vectores de qe se otee por medo de comcoes leles de vectores del coto A, l qe represetremos e form smólc del sgete modo A v / v, F A,,,, Not El coto A se lee A rr Udd 4

12 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Proposcó El coto A es sespco vectorl de. Demostrcó. A, por defcó de A.. A, pes v A, y qe, v A,,,, Es decr, v es comcó lel de vectores del coto A 3. Mostrremos A es cerrdo pr l sm, esto es E efecto, Lego Co, v A v A, v A v co, F A,,,, v c,,,, ( ) Así, + v es comcó lel de vectores de A. Por lo tto v A 4. Proremos qe A es cerrdo pr e prodcto por esclres, es decr Es clro qe A lego, s F teemos, F A co F ( ) A A,,,, c co c,,,, Es decr qe es comcó lel de vectores del coto A. Por lo tto A. c Etoces de.,., 3. y 4. reslt qe A es sespco vectorl de. Q.E.D Nots Ddos espco vectorl F y scoto o vcío A de, ls sgetes expresoes so eqvletes ) A es geerdor de A ) A es el sespco geerdo por A c) A geer A d) Todo vector de A es comcó lel de vectores de A. E el cso e qe A =, tedremos ) A es geerdor de ) El espco vectorl es geerdo por el coto A c) A geer d) Todo vector de es comcó lel de vectores de A. Udd 4

13 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Eercco Pror qe A A Eemplos 3 ) Se el espco vectorl y se ( ) ( ). Determremos el sespco geerdo por A del sgete modo, A 3 {( x, y, z) / (x, y, z) = (,, ) + (,, ) co, } Es clro qe todo vector de A se expres como comcó lel de vectores del coto A (x, y, z) = (,, ) + (,, ) (x, y, z) = (,, ) + (,, ) (x, y, z) = (,, ) co, Como y represet clqer pr de úmero rel etoces l codcó pr qe (x, y, z) se comcó lel de vectores de A es qe z = es decr, (x, y, z) A z = por lo tto, el sespco vectorl de 3 geerdo por el coto A= {(,, ), (,, )} es = {(x, y, z) 3 / z = } A Así, por eemplo, el vector (5, -, ) A pes exste los esclres reles 5 y - qe permte expresr este vector como comcó lel de los vectores de A, (5, -, ) = 5 (,, ) + (-) (,, ) ) Se el espco vectorl coto A es y el coto ( ). El sespco geerdo por el, /,, A x y x y y Es decr todo vector de A tee l form, y, x co x, y, lego, ( x, y) A x = y es decr A x, y / y x O (, ) x L represetcó geométrc de A es l rect de eccó y = x (prmer sectrz). Pr geerr este sespco vectorl stó sólo vector, el vector (, ). c) Se el espco vectorl y se ( ) ( ). El sespco geerdo por el coto A por defcó vee ddo por A x, y / x, y,, Udd 4 3

14 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Prtedo de l gldd,, x, y, y relzdo ls opercoes dcds se tee,, xy,, xy, De dode se sge el sgete sstem de dos eccoes leles co dos cógts y = Uo de los modos de resolver este sstem de dos eccoes leles co dos cógts es empledo el Método de Gss (o Método de Elmcó Gss) x y x y f ( ) f x ( ) f ( ) x y Es clro qe rg A rg A º cógts y por Teorem de oché-froes y s Corolro, el sstem es comptle determdo. Es decr, clesqer se x e y, exste y so úcos los esclres, tles qe, y,, x. Lego A, es decr A es geerdor del espco, o e todo vector de se pede expresr como comcó lel de vectores del coto A. Empledo l técc de ssttcó hc trás e (*) oteemos los esclres de ls compoetes del clqer vector de, x x y e fcó De modo qe ( ) Por lo tto Así, por eemplo ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Oservcó Todo espco vectorl es geerdor de sí msmo. Udd 4 4

15 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Proposcó Se F espco vectorl y se A y B dos scotos de o vcíos tles qe A B, etoces el sespco geerdo por A está cldo e el sespco geerdo por B. E símolos, A B A B Demostrcó Se A = {,,, } y B = {,,,, +, +,, m }. Es clro qe A B Pror qe A B eqvle pror qe A B. E efecto A B m Esto es sí porqe es comcó lel de los elemetos de B. 4.- Idepedec lel de vectores Defcó Se F espco vectorl y se. El coto A es lelmete depedete s y sólo s el úco modo de oteer el vector lo como comcó lel de vectores de A es trvés de l comcó lel trvl. E símolos, Oservcoes E l Defcó podemos oservr los sgetes spectos ) S coto es lelmete depedete etoces el codcol sempre es verddero. ) S el codcol es verddero, etoces es lelmete depedete. c) S coto o es lelmete depedete, etoces el codcol de l derech de l Defcó es flso. d) S el codcol el codcol de l derech de l Defcó es flso, etoces o es lelmete depedete. Eemplos. E el espco vectorl, el coto ( ) es lelmete depedete. Udd 4 5

16 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Pr ello plcremos l Defcó, es decr, mostrremos qe s comcó lel de vectores del A tee vlor ( ) etoces est comcó lel dee ser úcmete l comcó lel trvl. E efecto, formmos comcó lel de vlor cero vector co el úco vector de ( ) ( ) relzdo l mltplccó dcd e el prmer memro teemos, ( ) ( ) Y por gldd de ters ordeds, oteemos el sgete sstem de eccoes leles homogéeo { Este sstem tee tres eccoes leles co cógt. Éste es sstem comptle determdo y l úc solcó es l trvl. Lego, el codcol de l Defcó es verddero y por lo tto el coto A es lelmete depedete.. E el espco vectorl, el coto ( ) ( ) es lelmete depedete. Procededo de mer álog l eemplo precedete, prtmos de comcó lel de vectores del coto de vlor cero vector. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) Aqí teemos sstem de dos eccoes leles co dos cógts homogéeo y semos qe es comptle, es decr tee l meos solcó qe es l solcó trvl. Aplcmos hor el método de elmcó gss, pr ser s es determdo o determdo. f ( ) f ( ) f Alzmos el rgo de l mtrz de coefcete, qe ovmete es gl l rgo de l mtrz Udd 4 6

17 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE mpld co los térmos depedetes, y vemos qe cocde co el úmero de cógts, esto es rg A rg A º cógts, y segú el Teorem de oché-froes y s Corolro, el sstem de eccoes leles homogéeo ( ) es comptle determdo, lego l úc solcó es l trvl, esto es lego, por l Defcó, el coto A es lelmete depedete. c. E el espco vectorl, el coto D = {(, ), (, 4)} o es lelmete depedete. E efecto, tommos comcó lel de vectores del coto A de vlor cero vector, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) Hemos otedo sstem de dos eccoes leles co dos cógts homogéeo. Aplcmos hor el Método de Elmcó Gss 4 e dode podemos oservr qe rg A º cógts Por lo tto el sstem () es comptle determdo cyo coto solcó es S o =, / De modo qe exste fts solcoes o trvles de l form,, como por eemplo = y = -, y podemos ver qe el vector lo se pede oteer trvés de l comcó lel de vectores del coto co estos esclres (, ) + (-) (, 4) = (, ) y podemos frmr qe el vector lo se pede oteer de fts mers como comcó lel de vectores del coto. Teedo e cet l Defcó, coclmos qe el coto depedete. Oservcó o es lelmete E los tres eemplos precedetes, hemos prtdo de comcó lel, de vlor cero, de vectores de coto ddo, l qe os permtó formlr sstem de eccoes leles homogéeo del cl semos qe es sempre comptle. Y oservmos qe Udd 4 7

18 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE sólo st determr qe el sstem es determdo pr poder frmr qe el coto ddo es lelmete depedete y qe el sstem es determdo pr frmr qe el coto ddo o es lelmete depedete. Defcó Se F espco vectorl y se. El coto A es lelmete depedete s y sólo s exste comcó lel o trvl de vlor v. E símolos, Oservcó E vrtd de ls Defcoes y coto depedete es lelmete depedete s y sólo s A o es lelmete Eemplo El coto D del Eemplo c) precedete, es lelmete depedete Propeddes de los Cotos Lelmete Depedetes Se espco vectorl y Proposcó S el vector lo perteece l coto, etoces es lelmete depedete Demostrcó S perder geerldd, se pede spoer qe, etoces l sgete comcó lel de vectores de A, co es comcó lel o trvl de vlor. Lego A es Lelmete depedete. Q.E.D. Eemplos. E el espco vectorl, el coto A = {(,, -5), (,-, 4), (,, )} es lelmete depedete.. E el espco vectorl, el coto A = depedete 3, lelmete Proposcó El coto es lelmete depedete s y sólo s exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A. Demostrcó Udd 4 8

19 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Udd 4 9 ) Demostrremos qe l codcó es ecesr, es decr S A es lelmete depedete etoces exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores E efecto, por hpótess A es lelmete depedete, etoces por Defcó exste comcó lel o trvl de vectores de A de vlor, es decr y qe tl,,,, dode, lego Como, exste, etoces pre-mltplcdo por e mos memros de l gldd precedete se tee ( ) Co lo qe () Se ;,,,, l reemplzr e (), se tee qe lego es comcó lel de los resttes vectores de A. ) Demostrremos qe l codcó es sfcete S exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A, etoces A es lelmete depedete Se A tl qe, es comcó lel de los resttes vectores de A. Esto es, es decr smdo e mos memros (- ) = (-) ) ( v reordedo los térmos v ( )

20 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE y qe o de los esclres es, est es comcó lel o trvl de vectores de A de vlor. E cosecec, el coto A es lelmete depedete. Q.E.D. Proposcó 3 Se scoto o vcío del espco vectorl y tl qe { }. El coto es lelmete depedete s y sólo s exste scoto propo de qe geer el msmo sespco qe geer. E símolos, Demostrcó ) Demostrremos qe l codcó es ecesr, esto es Por hpótess A es lelmete depedete y A { }, etoces por Proposcó A: () co F A, =,,,. Se A = A { } etoces, es clro qe exste Ahor proremos qe Por defcó de gldd de cotos eqvle demostrr ls clsoes A' A A A' ) Como A' A, por l Proposcó 5 se sge qe A' A. ) Proremos qe A A' Se A, etoces es comcó lel de vectores del coto A. Es decr, Pero como es comcó lel de los resttes vectores de A por (), etoces Es decr ( ) elzdo l opercó dcd, plcdo xoms de l estrctr de espco vectorl y grpdo coveetemete se lleg l sgete comcó lel ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Udd 4

21 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Es clro qe es comcó lel de vectores del coto A, esto sgfc qe perteece l sespco geerdo por el coto, es decr A '. Lego, por ) y ) teemos qe ) Demostrremos hor, qe l codcó es sfcete, e símolos Spógse qe exste A scoto propo de A tl qe A A' v A A' v A' A v A. Etoces A' demás como v A, etoces v A y como por hpótess A A' reslt qe v A ' Por lo tto v es comcó lel de los vectores de A. Pero los vectores de A so vectores de A pes A' A, por lo tto v es comcó lel de los vectores de A, excepto él msmo. Y como v A exste vector de A qe es comcó lel de los resttes vectores de A, etoces por Proposcó el coto A es lelmete depedete. Proposcó 4 Q.E.D. Todo coto qe cotee scoto lelmete depedete es lelmete depedete. E símolos, Demostrcó Se A' A A' es lelmete depedete Aes lelmete depedete A ' lelmete depedete. Etoces exste comcó lel de vectores de trvl de vlor. Pero tod comcó de vectores de por hpótess A' A. Lego A es lelmete depedete. A ' o A' es comcó de vectores de A, pes Q.E.D Propeddes de los Cotos Lelmete Idepedetes Se pede ecr ls propeddes referds cotos lelmete depedetes tomdo los cotr-recíprocos de los codcoles de ls propeddes de los cotos lelmete depedetes. Proposcó S el coto A es lelmete depedete, etoces el vector lo o perteece l coto A. Proposcó El coto A es lelmete depedete s y sólo s gú vector de A es comcó lel de los resttes vectores de A. Udd 4

22 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Proposcó 3 El coto A es lelmete depedete s y sólo s gú scoto propo de A geer el msmo sespco qe el qe geer A. Proposcó 4 Todo scoto o vcío de coto lelmete depedete es lelmete depedete go de Mtrz Defcó3 El rgo de mtrz m F es el myor úmero de vectores fls (o colms) lelmete depedetes qe tee l mtrz M. Notcó El rgo de l mtrz M se deot co rg M. Eemplo Dd l mtrz [ ], el coto formdo por ls fls de M es [ ] [ ] es lelmete depedete por Proposcó de depedec lel y qe [ ] [ ], por lo tto rg A pero es clro qe el coto [ ] es lelmete depedete de lo qe se sge qe rg A=. 5.- Bse de espco vectorl Defcó Se F espco vectorl y se B scoto o vcío y ordedo de. El coto B es se del espco vectorl s y sólo s, ) B es geerdor del espco vectorl ) B es lelmete depedete Nots Cosderremos e delte sólo espcos vectorles qe tee ses fts. emrcmos qe el orde e qe está ddos los elemetos de tod se es cestó my mportte, este hecho podremos oservrlo más delte. Eemplo Se el espco vectorl y cosderemos el coto ordedo E = {E, E,, E } dode E represet l -pl cy -ésm compoete es y ls resttes so. Esto es E,,,,,,,,,,,, Udd 4

23 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE El coto E es se del espco vectorl, e efecto ) E es Geerdor del espco vectorl Se (x, x,, x ) s exste esclres,,, tles qe (x, x,, x ) = (,,, ) + (,,, ) + + (,,, ) etoces dee ocrrr qe ) E es lelmete depedete = x, = x,, = x Se,,, tles qe E + E + + E = (,,, ) Es decr, (,,, ) + (,,, ) + + (,,, ) = (,,, ) (,,, ) + (,,, ) + + (,,, ) = (,,, ) Por gldd de -pls ordeds de úmeros reles reslt (,,, ) = (,,, ) = =,, = De ) y ) se sge qe es se del espco vectorl. Not A l se E se le deom se cóc, oservemos qe tee elemetos. E prtclr, s =, l se cóc del espco vectorl es B ; s =, l se cóc del espco vectorl s = 3, l se cóc del espco vectorl es B,,, ; es,,,,,,,, 3 B. Eerccos m ) Pree qe e el espco vectorl coto ordedo co m elemetos ddo por de ls mtrces reles de tpo m, se es el B,,, Udd 4 3

24 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Not: Est se es l se cóc del espco vectorl E prtclr l se cóc del espco vectorl m es B,,, Proposcó Se F espco vectorl. S B es se de, etoces todo vector del espco vectorl se escre de modo úco como comcó lel de vectores de l se dd B. Demostrcó Se B,..., se de. Proremos qe, Por ser B,...,, v!,,, F : v, geerdor del espco vectorl se tee, v,,, F : v Como deemos pror qe los esclres,,, F so úcos. Spodremos qe exste otros esclres qe permte expresr l vector v como comcó lel de los vectores de B, es decr,,,, F : v estdo - memro memro, oteemos Esto es, ( ) ( ) ( ) Como B es lelmete depedete y ést es comcó lel de vectores de B de vlor v etoces est comcó lel dee ser l trvl, es decr los esclres dee ser smltáemete cero Lego, los esclres so úcos. Defcó A los úcos esclres Udd 4 4 Q.E.D.,,, F, qe permte escrr vector v como comcó lel de vectores de se B vector v co respecto l se B de y se deot co,,,,, se les deom coordeds del

25 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE v B Es clro qe los esclres,,, F crcterz l vector v, e el setdo de qe so los úcos posles qe permte expresrlo e térmos de los vectores de l se dd B. Eercco Se el espco vectorl ) Mestre qe B es se de y el coto,,,, B. ) Determe ls coordeds de clqer vector de co respecto l se B., ) ) B es geerdor de. E efecto, x, y,, : x, y,,,, xy,, xy, x y Oteemos sstem de dos eccoes leles co dos cógts y. Es evdete qe rg A rg A º cógts por lo tto el sstem de eccoes leles es comptle determdo, lego exste y so úcos los esclres qe permte escrr todo vector del espco vectorl (*), como comcó lel de vectores del coto B. E est stcó los esclres cocde co ls props compoetes de todo vector (x, y). ) ) B es lelmete depedete Pr ello tomremos comcó lel de vlor (, ) de vectores del coto B.,,,,,,,, Udd 4 5 Es clro qe l úc solcó de este sstem homogéeo es l trvl, por lo tto el coto B es lelmete depedete. Lego por ) y ) B es se del espco vectorl. Es más B es l se cóc de

26 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Por el ítem ) ls coordeds de vector clqer x, y respecto de l se B so ls compoetes del vector, por lo to el vector de coordeds es, x xy, B y Así por eemplo, el vector de coordeds de (,5) respecto de l se cóc de Not,5 B 5 es Oservemos qe e los ítems ) y ) del prtdo ) del eercco precedete, oteemos sstem de eccoes leles (*) y s sstem homogéeo socdo. Por lo tto e vez de resolver por seprdo los dos sstems de eccoes leles es coveete resolverlos e form smltáe como veremos e el sgete eercco. Eercco E el espco vectorl ) Mestre qe A es se de, cosdere el coto,,,, A. ) Determe ls coordeds del vector de clqer vector de, respecto l se A. ) Pr qe mostrr qe es geerdor, se ( ) y cosderemos l sgete comcó lel de vectores de,, xy,,, xy,, xy, () x = y Deemos pedete por mometo l resolcó de () Pr mostrr qe es lelmete depedete, cosderemos l sgete comcó lel de vectores de de vlor cero vector,,,,,,,,, () = etomemos hor los SEL () y (). So dos sstems de eccoes leles qe tee l msm mtrz de coefcetes, lego es posle plcr el método de Gss-Jord l mtrz mpld co l colm de térmos depedetes del sstem () y co l colm de térmos depedetes del sstem () smltáemete de l sgete mer Udd 4 6

27 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE x y f + (-)f x y x x x - y (-)f y f +(-)f x - y De qí se pede dedcr por smple oservcó, teedo e cet el cocepto de rgo de mtrz e térmos de s mtrz escló redcd por fls, qe rg A rg A º cógts (*) Esto sgfc qe los sstems () y () so comptles determdo, es decr qe. ( ) ;, : x, y,,., lego A es geerdor de. l úc solcó del sstem () es l trvl, lego A es L.I. Por. y. A es se de. )El vector de coordeds de todo vector xy, respecto de l se A vee ddo por, y reformldo el sstem () xy, A. y x y teemos el vector de coordeds e térmo de ls compoetes del vector ( ) Por eemplo, y xy, A x y 5,5 A 4 Oservcoes. S l se del espco vectorl es l cóc, ls coordeds de todo vector de so ls compoetes del vector.. Como podemos oservr e los dos eemplos precedetes, e msmo espco vectorl ls coordeds de msmo vector respecto de se vrí s cmmos de se. Udd 4 7

28 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE 3. No reslt evdete qe ddo espco vectorl clqer, éste pose se. Ahor veremos qe e reldd es posle determr por lo meos se. Teorem de Exstec de ses Todo espco vectorl dmte l meos se. Ide de l demostrcó L de sycete de l demostrcó del teorem precedete es qe, ddo geerdor de espco vectorl se pede r elmdo de él los vectores reddtes (qellos qe so comcoes leles de otros vectores) hst qedr co coto lelmete depedete qe sg geerdo l espco. E otrs plrs se mestr qe todo geerdor de espco vectorl cotee se. Oservcó No deemos perder de vst qe espco vectorl pede teer más de se. Por eemplo ses del espco vectorl so los cotos ordedos {(, ), (, )}, {(, ), (, )}, {(, ), (, )}. Eemplo El coto ( ) ( ) ( ) ( ) es geerdor del espco vectorl y cotee l coto ( ) ( ) qe es lelmete depedete y tmé es geerdor del espco vectorl, es decr es se del espco vectorl. Teorem Se F espco vectorl. S el coto X es lelmete depedete y G es geerdor de, tles qe X G, etoces exste B se de tl qe X B G. Ide de l demostrcó L de de l demostrcó cosste e r gregdo l coto X vectores v, v,, perteecetes de tl modo qe los scesvos cotos qe se oteg X v', X v', v'',... se tmé lelmete depedete hst logrr coto B qe se lelmete depedete y demás qe geere l espco. es geerdor de G B * * X..... X..... B es L.I. y ge de.. X es L.I. Not De cerdo co el ecdo por este teorem, podemos coclr tmé qe todo coto lelmete depedete pede ser mpldo se del espco. E otrs plrs, ddo coto lelmete depedete, exste se qe lo cotee. Udd 4 8

29 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Eemplo E el espco vectorl 3, cosderemos los sgetes cotos X,,, G,,,,,,,,,,, Es clro qe X es lelmete depedete y G es geerdor del espco vectorl y demás X G A prtr de,, Y X gregdo vector de G X cosegmos,,,,, Agregmos Y otro vector de G Y, y oteemos,,,,,,,,, este coto es lelmete depedete pero o geer B, este coto es lelmete depedete y geer el 3 3 espco, por lo tto es se de. Además verfc l codcó X B G qe dc el teorem. 3. Proposcó (S demostrcó) Se F espco vectorl. S X es scoto lelmete depedete de y G geerdor de, etoces el úmero de elemetos de X es meor o gl qe el úmero de elemetos de G. E símolos, X lelmete depedete G geerdor de # X # G. Proposcó 3 Tod se de espco vectorl F tee el msmo úmero de elemetos. Demostrcó Se B y B ses de F, etoces Por ser B lelmete depedete y B geerdor de, es # B # B () Por ser B lelmete depedete y B geerdor de, es Lego de () y () se tee Eemplos E el espco vectorl E el espco vectorl m # B # B () # B # B tod se tee elemetos. tod se tee m elemetos. E el espco vectorl C tod se tee dos elemetos. Q.E.D. Udd 4 9

30 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE 5..- Dmesó de Espco ectorl Ddo qe tod se de espco vectorl tee el msmo úmero de elemetos podemos cosderr este úmero como propedd del espco. Defcó 3 L dmesó de espco vectorl F, l qe deotremos co dm, es el úmero de elemetos de se clqer de. Not E vrtd de l Defcó 3, s se clqer de espco vectorl F tee elemetos, etoces l dmesó de es, esto es dm = Defcó 4 L dmesó del espco vectorl es. Esto es, Eemplos dm dm 3 dm 3 dm dm dm dm dm m m sm3 6, dmesó el espco de mtrces smétrcs de orde 3. TS 3 6, dmesó del espco de mtrces trglr speror de orde 3. Dg 3 3, dmesó del espco de mtrces dgoles de orde 3. Oservcoes S espco vectorl de dmesó ft, etoces - Todo geerdor de tee l meos elemetos (pes todo geerdor cotee se). Por lo tto se tee l meor l meor ctdd de vectores qe geer el espco vectorl. - Todo coto lelmete depedete e tee lo smo vectores (pes todo coto lelmete depedete pede mplrse se). Por lo tto tod se de tee l myor ctdd de vectores lelmete depedetes. Udd 4 3

31 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE El sgete ecdo estlece relcó etre ls dmesoes de espco vectorl F y sespco vectorl clqer del msmo. Teorem Se F espco vectorl de dmesó ft. S S es sespco vectorl de, etoces ) dm S dm = ) S dm S =, etoces S = Demostrcó ) S S = { v } es clro qe dm S = Spogmos etoces qe S { v } y se X se de S. Por ser X lelmete depedete e S es tmé scoto lelmete depedete de ; por lo qe tee lo smo vectores, por lo tto: lego dm S = X dm = dm S dm = ) S S es tl qe, dm S =, etoces tod se X de S, tee elemetos. Por lo tto X es tmé se de, y qe l ser X scoto lelmete depedete de qe tee elemetos, geer l espco. Es clro qe s X o geer el espco, por ser X lelmete depedete exste B se de tl qe X B X B y de cerdo co esto exste se de co más de vectores, lo qe cotrdce l hpótess dm =. Por lo tto X es geerdor de, es decr se dedce qe S =. X. Pero X es tmé geerdor de S, esto es X S, de lo qe Eemplo Q.E.D. E el espco vectorl F = cosderemos l coto S = {(x, y) / y = x}. Semos qe dm = y qe S es sespco vectorl de geerdo por el coto {(, )} qe es lelmete depedete. Por lo tto {(, )} es se de S y de llí qe dm S = dm = Geométrcmete, el sespco vectorl S se represet por l prmer sectrz. y S x Udd 4 3

32 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE 6.- Espcos vectorles co prodcto esclr Trremos cotcó co los espcos vectorles y co el prodcto esclr defdo e cd o de ellos. ecordemos qe e el espco vectorl ( ) l fcó prodcto esclr defd por dode, : (, v) v def v (,,..., ) (,,..., )... goz de ls sgete propeddes, v ; v v, v, ; v v,, v ; v v ; 6..- Cotos Ortogoles y Ortoormles de ectores Defcó Se el espco vectorl = co el prodcto esclr y se S scoto o vcío de. El coto S es ortogol s y sólo s ss vectores so mtmete ortogoles. E símolos, S es ortogol, co S,,,, Eemplo El coto S = {(-,), (, )} es coto ortogol de co el prodcto esclr. Defcó Se el espco vectorl = co el prodcto esclr y se S scoto o vcío de El coto S es ortoorml s y sólo s ss vectores so mtmete ortogoles y tros. E símolos, S es ortoorml,,,, S; Eemplo Ls ses cócs de los espcos vectorles ortoormles, e otrs plrs so ses ortoormles. co el prodcto esclr so cotos Udd 4 3

33 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Normlzcó de coto ortogol Se S,,, scoto ortogol de. Etoces el coto,,, es coto ortogol y ss vectores so tros por ser versores de los vectores de S. Lego es coto ortoorml. Eemplo El coto S = {(-,), (, )} es coto ortogol de y qe s se ormlz cd o de estos vectores, se otee el coto ortoorml (,) (,) (,) (,) (,) (, ) ( ) (, ) (,) (,) (,) =(, ) (,) (, ), (, ) Proposcó Todo coto ortogol de vectores o los de = Demostrcó es lelmete depedete. Se S S, y S es coto ortogol de vectores o los. Spogmos es decr (co F S) Operdo co el prodcto teror e mos memros co ( ) () ( ) ( ) ( ) () (3) ( ) ( ) ( ) ( ) Udd 4 33

34 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE eferecs () Por Ax. de prodcto teror. () Por Ax.3 de prodcto teror. (3) Por Ax.4 de prodcto teror. Operdo co el prodcto esclr e mos memros co ( ) () ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) eferecs () Por Ax. de prodcto teror. () Por Ax.3 de prodcto teror. (3) Por Ax.4 de prodcto teror. (3) ( ) Se procede de mer álog hst llegr l últmo vector Operdo co el prodcto teror e mos memros co ( ) () () (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Por lo tto el coto S es lelmete depedete. eferecs () Por Ax. de prodcto teror. () Por Ax.3 de prodcto teror. (3) Por Ax.4 de prodcto teror. Q.E.D. 6.- Ortoormlzcó de Bse Teorem Todo espco vectorl ortoorml. co el prodcto esclr (co ), dmte se Udd 4 34

35 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Demostrcó Demostrremos este teorem pr el espco vectorl. Semos qe todo espco vectorl dmte l meos se, por lo tto podemos tomr se clqer de. Se B = {v, v, v 3 } se de. A prtr de est se costrremos vectores,, 3 empledo el coocdo Proceso de Ortogolzcó de Grm-Schmdt, del sgete modo v v v v 3 v3 3 v3 Se C el coto formdo por esos vectores, esto es C = {,, 3 }. Proremos qe el coto C es coto ortogol de vectores o los. E efecto, todos los vectores de C so o los, es decr:,, 3 ; v. ( ) Esto es sí y qe por el cotrro, s exste {,, 3 } tl qe = v, por eemplo 3 v 3 v3 v3 v 3 v3 v3 v 3 v3 v v3 v v v v v v v v v v v v v v v v v v Udd 4 35

36 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE es decr, v 3 es comcó lel de los terores vectores v y v de l se dd B, y esto es cotrdccó, y qe gú vector de B pede ser comcó lel de los resttes, pesto qe B es lelmete depedete. Lego l proposcó ( ) reslt verdder. Ahor, proremos qe cd vector de C es ortogol los terores vectores. ( ) v v ( ) v ( v ) ( ) = ( v ) v ( ) = ( v ) ( v ) Lego es ortogol 3 ( ) v v v ( ) v v =( v ) ( ) = ( v ) v 3 3 v3 ( v ) ( v ) 3 3 Lego 3 es ortogol 3 ( ) v v v ( ) v v =( v ) ( ) v v = ( v ) v3 v3 ( ) ( ) Lego 3 es ortogol eferecs () Teedo e cet l costrccó de los vectores () Por l dstrtvdd del prodcto esclr respecto l rest de vectores Por xom de prodcto teror (3) Por ser ( ) = s h y demás ( ) s h = y qe todos los vectores los vectores so o h los. Y por defcó de orm de vector. h Udd 4 36

37 Fcltd de Cecs Excts y Tecologís - UNSE Por lo tto, hemos prodo qe C = {,, 3 } es coto ortogol de vectores o los. Ahor e, teedo e cet qe Todo coto ortogol de vectores o los es lelmete depedete reslt qe C es lelmete depedete, demás C tee 3 vectores del espco por lo tto C es se ortogol de. Flmete, s se ormlz l se ortogol C, es decr s se tom el versor de cd vector de C se otee el coto,, 3 3 el cál es se ortoorml de. Not Ls ses de los espcos vectorles de dmesó so fáclmete ortoormlzles, st co ssttr cd vector de l se dd por s versor. Udd 4 37