TEMA 10: DERIVADAS. f = = x

Transcripción

1 TEMA 0:. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO La siguint gráfica rprsnta la tmpratura n l intrior d la Tirra n función d la profundidad. Vmos qu la gráfica s simpr crcint, s dcir, a mdida qu aumnta la profundidad también aumnta la tmpratura. Sin mbargo, s aumnto no s simpr igual ya qu hay intrvalos dond l incrmnto s mucho mayor: s ntr 500 y 000 km cuando lo hac con mayor rapidz. Si yf() s una función cualquira y a < b son dos posibls valors d, s llama incrmnto d la variabl a la difrncia: b a. Para st incrmnto d la variabl s dfin l incrmnto d la función: f f ( b) f ( a). S dfin la tasa d variación mdia d la función yf() ntr a y b: TVM [ a, b] f f ( b) f ( a) b a La TVM s l cocint ntr l incrmnto qu primnta la función n s intrvalo y la amplitud dl intrvalo, y nos da una mdida d cómo varía la función n s intrvalo. Si obsrvamos la siguint figura y rcordamos la dfinición d pndint d una rcta, notarmos qu la tasa d variación mdia n l intrvalo [a,b] coincid con la pndint d la rcta scant a la gráfica d la función qu pasa por los puntos d abscisa a y b: La tasa d variación mdia d una función nos informa acrca d su variación n un intrvalo. Cuanto mayor sa la amplitud d dicho intrvalo la información d la TVM s mnos significativa. Si qurmos información más prcisa sobr la variación d la función n un punto concrto a, tomamos intrvalos d la forma [a, a+h], y calculamos la TVM: TVM [ a, a + h] f ( a + h) f ( a) a + h a f ( a + h) h Considrando incrmntos cada vz mnors d la variabl, s dcir, tomando valors d h cada vz más próimos a cro, podmos dfinir la tasa d variación instantána o drivada d la función n a como: f ( a) lim h 0 f ( a + h) h f ( a) f ( a) La drivada d una función n un punto s l límit d la tasa d variación mdia cuando l incrmnto d la variabl tind a cro. Si l límit ist y s finito dcimos qu f() s drivabl n a. /9 IBR-IES LA NÍA

2 Intrprtación gométrica: Hmos visto qu la TVM coincid con la pndint d la rcta scant a la gráfica qu pasa por los puntos d abscisa a y a+h. Pus bin la drivada d una función n l punto d abscisa a srá la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d y f () n l punto A(a,f (a)). Ejrcicio: º) Halla la drivada d las siguints funcions n los puntos qu s indican: a. f ( ) n b. f ( ) n y n 0 c. f ( ) + n, 0,, º) A partir d la gráfica d f() obtén l valor d: a. f ( ) y f () b. f ( ), f (0) y f () c. f ( ), f (0) y f (). FUNCIÓN DERIVADA En l último jrcicio hmos visto qu l cálculo d la drivada d una función n varios puntos rquir hallar l corrspondint límit n cada caso. f ( a + h) f ( a) Si n la dfinición d drivada n un punto: f ( a) lim, ponmos la variabl n lugar h 0 h dl valor concrto a, tnmos una nuva función, f () qu a cada valor l asigna l valor d la drivada d f() n s punto: f ( ) lim h 0 f ( + h) h f ( ) Esta función rcib l nombr d función drivada d f() o simplmnt, drivada d f. Ejrcicios: º) Halla la función drivada d º) Halla la función drivada d f ( ), y l valor d f ( ), f (), f () f ( ). En lugar d calcular las drivadas d todas las funcions usando la dfinición, s acaba por mmorizar la drivada d las funcions más usuals (todas llas s justifican calculando l límit ants dfinido). /9 IBR-IES LA NÍA

3 Función Drivada Función constant: f ( ) k, k R f ( ) 0 Función potncial: n f ( ) f ( ) n. n Función raíz cuadrada: f ( ) f ( ) Función ponncial: f ( ) f ( ) Función logarítmica: Funcions trigonométricas: f ( ) f ( ) ln sn f ( ) cos f ( ) f ( ) cos f ( ) sn Ejrcicio: 5º) Calcula la drivada d las siguints funcions: 5 ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 5) f ( ) 6) 7) 8) f ( ) f ( ) f ( ) 5. REGLAS DE DERIVACIÓN. OPERACIONES Aplicando la dfinición d drivada y las propidads d los límits, s obtinn las rglas qu prmitn drivar funcions obtnidas al oprar con otras funcions.. Drivada d la suma d dos funcions: ( f + g) ( ) f ( ) + g ( ). La drivada d una suma s igual a la suma d las drivadas. Ejmplo: f ( ) + + f ( ) +. Drivada dl producto d dos funcions: ( f g) ( ) f ( ) g( ) + f ( ) g ( ). La drivada d un producto s igual a la drivada dl primr factor por l sgundo sin drivar, más l primro sin drivar por la drivada dl sgundo. Ejmplo: f ( ) sn f ( ) sn + cos. Drivada dl producto d una constant por una función: ( k f ) ( ) k f ( ). La drivada dl producto d una constant por una función s igual al producto d la constant por la drivada d la función. La justificación s bastant sncilla si utilizamos la rgla antrior y la drivada d la /9 IBR-IES LA NÍA

4 función constant: ( k f ) ( ) ( k) f ( ) + k f ( ) 0 f ( ) + k f ( ) k f ( ) Ejmplo: f ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Drivada dl cocint d dos funcions: f ( ) f g f g. g g ( ) La drivada d un cocint s igual a la drivada dl numrador por l dnominador sin drivar, mnos l numrador sin drivar por la drivada dl dnominador, dividido por l cuadrado dl dnominador. 5.( + ) (5 ). 6 Ejmplo: f ( ) f ( ) + ( + ) ( + ) Ejrcicios: 6º) Calcula la drivada d las siguints funcions: a) f ( ) + 7 b) c) d) f ( ) 8 f ( ) 6 7 f + + ( ) 9 ) f ( ) + f) f ( ) g) h) f ( ) + ln f ( ) i) f ( ) + j) f ( ) sn k) f ( ) cos + l) f ( ) sn cos m) f ( ) + n) f ( ) cos o) p) q) f ( ) ln f 6 ( ) ( )(7 ) f ( ) sn + 8 r) f ( ) + s) + f ( ) t) f ( ) ( + ) u) f ( ) v) f ( ) w) f ( ) sn 7º) Encuntra la cuación d la rcta tangnt a la gráfica d las siguints funcions n l punto qu s indica: a. f ( ) 8, n b. c. d. f n ( ), 0 + f ( ), n + f ( ), n f ( ) + + 0, n y + 6. [ ] f. f ( ), n y + g. f ( ), n y + + /9 IBR-IES LA NÍA

5 . DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA. REGLA DE LA CADENA. Las rglas d drivación antriors prmitn obtnr la función drivada d las funcions lmntals más usuals, pro todavía no podmos calcular la drivada d funcions como: f ( ) + 8, f ( ) sn( + ), f ( ) Estas funcions son funcions compustas. Rcordmos qu ( f o g)( ) f ( g( )), s dcir, primro actúa g sobr y dspués actúa f sobr g() (g compusta con f ). En l caso d la función f ( ) + 8 tnmos la composición d una función polinómica (y+8) con la función raíz cuadrada. Para drivar st tipo d funcions dbmos aplicar la siguint prsión, qu s conoc como rgla f ( g( )) f ( g( )) g ( ) d la cadna: [ ] Ejmplo: y + 8 y Funcions lmntals F. constant: y k, k R y 0 F. potncial: n y y n n. y ( f ) Función compusta ( ) n n y n( f ( ) ) f ( ) F. raíz cuadrada: y y y f ( ) y f ( ) f ( ) F. ponncial: y F. logarítmica: y ln F. trigonométricas: y sn y cos y y f ( ) y y ln( f ( )) y cos y sn( f ( )) y sn y cos( f ( )) ( ) f ( ) y f y f ( ) f ( ) y f ( ) cos( f ( )) y f ( ) sn( f ( )) Ejrcicios: 8º) Calcula la drivada d las siguints funcions:. y ( ). y sn. y +. y 5. y ln( + ) 6. y cos 7. y ln( sn) 8. 5 y 9. y ( + ) 0. y sn 5. y cos( ) y y cos y sn + ( 6) y 6. y 7. y 8. y 9. cos ( ) y ( + ) 5/9 IBR-IES LA NÍA

6 0. y +. y 5 7 9º) Calcula la sgunda drivada d las cuatro últimas funcions dl jrcicio antrior. 0º) La concntración n la sangr d un dtrminado mdicamnto disminuy a lo largo dl timpo 0't sgún la función C( t) '5, dond t s mid n horas y C(t) n gramos por litro. a) Calcula la concntración al cabo d una hora y al cabo d dos. [ y 0 8] b) Cuánto val la tasa d variación mdia d la función C(t) n l intrvalo [,] y por qué s ngativa? [-0 ] c) Calcula la tasa instantána d variación al cabo d trs horas.[-0 ] º) La población d un Estado, prsada n millons d habitants, volucionará sgún la función: 5( t ) P( t) + 0, dond t s l timpo n años. 5 + ( t ) a) Calcula la población actual. [,] b) Hacia qué valor tind la población cuando l timpo tind a infinito? [0] c) Calcula la TVM d la población n los próimos 0 años. [0 85] d) Cuál srá la tasa instantána d variación d la población dntro d dos años? [5] º) S quir vaciar un dpósito d agua. Sa Q(t)00(900+t -60t) la función qu dscrib l númro d litros qu qudan n l dpósito al cabo d t minutos d habr comnzado a vaciarlo. a) Cuántos litros d agua tin inicialmnt l dpósito?, cuánto timpo tardará n vaciars?, cuál s la función qu dscrib l nº d litros qu han salido al cabo d t minutos d habr comnzado a vaciarlo? [ l; 0min] b) Calcula la función drivada d la función Q y su valor n t0 y t0 minutos. Rlaciona los rsultados obtnidos con la rapidz con la qu s vacía l dpósito.[-8000;-000] º) Dbido a unas pésimas condicions ambintals, una colonia d un millón d bactrias no cominza su rproducción hasta pasados dos mss. La función qu rprsnta la población d la t colonia al variar l timpo (n mss) vin dada por: f ( t). S pid: 6 t 0 t > a) La TVM n los intrvalos [0,] y [0,]. Justifica los rsultados. b) Compara la tasa d variación instantána n t y n t. º) Dada la función f ( ) m + +, cuál db sr l valor d m para qué la pndint d la rcta tangnt n l punto d abscisa - sa? [] 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA: CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Como la drivada d una función n un punto nos da la pndint d la rcta tangnt a la gráfica d la función n s punto, podmos sabr si una función s crcint o dcrcint n dicho punto analizando l signo d su drivada: Si f (a) > 0 f() s crcint n a. Si f (b) < 0 f() s dcrcint n b. 6/9 IBR-IES LA NÍA

7 Pndint positiva. Crcint n a, Pndint ngativa Dcrcint n b. Etrmos rlativos n c y n d, pndint igual a 0. Ejrcicios: 5º) Razona cuál d las siguints gráficas s corrspond con una función y su drivada: 6º) Fíjat n la rprsntación gráfica d la función f ( ) + a) En qué valors d s nula la drivada? b) Escrib los intrvalos n los qu la drivada s positiva y n los qu la drivada s ngativa. 7º) Indica si las siguints funcions son crcints o dcrcints n los puntos d abscisa: -,, y 5: a) f ( ) b) g( ) + 5 c) h( ) 8º) Cuál d stas funcions crc más rápidamnt n : f ( ) o g ( ) +? 9º) S ha stimado qu l gasto d lctricidad d una mprsa, d 8 a 7 horas, sigu sta función G( t) 0,0t 0,6t +,05t 0, t ]8,7[ a. Cuál s l consumo a las 0 horas? Y a las 6h? b. El consumo stá aumntando o disminuyndo a las 6? c. Dtrmina las horas dl día n las qu aumnta l consumo. 0º) Estudia los intrvalos d crciminto y dcrciminto d: f ( ) , 5 + g( ), h ( ) 8 7/9 IBR-IES LA NÍA

8 PARA REPASAR:. f() ln f (). f() + sn - f () +cos. f() ln f () (ln+). f() 5. f() sn + 6. f() + f () f () f () + 7. f() f () 8. f() f () cos sn + ( + ) 6 ( + ) 9. f() f () + ( ) 0. f() + f (). f() f () ( + ). f() ln(-) f (). f() ln f () +. f() f () f() f () 6. f() f () ( ) ( ) f() f () 8. f() ( + ) f () + 9. f() ( ) f () + ln 0. f() ln f (). f() f () (+). f() ( +) - f () - (- +-) +. f() f () ( ). f() f () f() cos f () (cos-sn) 6. f() + ( ) + + f () + 7. f() cos f ()-sn 8. f() cos f ()-cos sn 9. f() ln ( ) f () 0. f() ln f () 8/9 IBR-IES LA NÍA. f() ( -7) f () 8( -7). f() ( ). f() f () ( ) 8 f () f() f () 5. f() 7 + sn ( ) f ()( + cos) + 6. f() ln f () 7 + sn 7. f() ( -+) 5 f () 5( -+) ( -) f()sn ( 5) f ()0sn5 cos5 9. f() +5 ln () 0. f() ln(sn( )) f () +5 ( ln()+ ) f () cos( ) sn( )

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