ESTRUCTURA DE LA MATERIA

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1 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 0 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 1 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 2 1

2 ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA ESTRUCTURA DE LA MATERIA 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 3 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 4 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 5 2

3 ESTRUCTURA DE LA MATERIA Partículas u ondas? Hasta este momento hemos concebido a los electrones y de las otras partículas subatómicas como si fueran pedacitos de materia duros como bolas de billar ( tienen masa!). Sin embargo las partículas subatómicas, a menudo tienen un comportamiento que no se puede explicar con este modelo. Son diferentes a las bolas de billar en que tienen niveles energéticos claramente cuantizados. Estos niveles, pueden medirse de manera muy precisa, usando los espectros de emisión y absorción de los elementos. 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 6 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 7 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 8 3

4 Partículas u ondas? Partículas u ondas? 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 9 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 10 06/03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 11 4

5 Hipótesis de De Broglie Planck E = hn Ondas Einstein E = mc 2 Partículas Para la luz: Es decir: Pero: Si p f es el momento de un fotón Entonces: Es decir: hν = mc 2 hν = m c c m c = p λ = c ν = h p 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 12 Hipótesis de De Broglie λ = h p = h mv 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 13 Hipótesis de De Broglie Esta dualidad partícula-onda de las propiedades de los electrones fue expresada en 1924 por Louis de Broglie, ( ). De Broglie, postula que la materia posee características de onda y de partícula al mismo tiempo. Y expresa esta dualidad en una ecuación que ya es muy famosa y se considera que tiene gran profundidad. En esta la longitud de onda se expresa como una función de la masa y de la velocidad de la partícula. La longitud de onda de De Broglie corresponde a la longitud de onda asociada a cualquier partícula. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 14 5

6 Hipótesis de De Broglie En, 1927 Clinton Davisson y Lester Germer. Hicieron un experimento, donde demostraron que los electrones producen patrones de difracción Hipótesis de De Broglie Aquí les muestro el resumen del artículo donde presentan dicho hallazgo: Hipótesis de De Broglie 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 15 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 16 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 17 6

7 Hipótesis de De Broglie Partículas u ondas? Partículas u ondas? 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 18 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 19 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 20 7

8 Partículas u ondas? λ = h m 2 kg mv = s kg 45 m s m Partículas u ondas? Mas objetos Partícula Masa [g] Vel [cm seg -1 ] λ [Ǻ ] e - (1 volt) e - (100 volt) e - (104 volt) e - (1 volt) p + (100 volt) α (100 volt) α (de Ra) Bala (cal. 22) Pelota de Beis /03/18 FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA 23 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 21 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 22 8

9 De órbitas de Bohr a orbitales de Schrödinger Si en el modelo de Bohr, los electrones dan vueltas alrededor del núcleo en órbitas cuantizadas, el modelo cuántico se ha de complicar aún más. núcleo electrones Rutherford electrones núcleo Órbita estacionaria Bohr Antes de discutir este modelo, debemos considerar que, las dos de las piezas de información más importantes que debemos conocer acerca de un objeto cualquiera son: la posición por una parte y la velocidad (o mas bien el momento) por otra. Pues resulta que, no es posible determinar con precisión la posición y el momento de un electrón al mismo tiempo. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 24 Una consecuencia muy importante de la naturaleza dual de la materia es un hecho estudiado y enunciado en 1927 por Werner Heisenberg. ( ) Esta observación muestra que no se puede especificar, simultáneamente y con exactitud, la posición y el momento lineal de una partícula. Según esto, no es posible atribuir al electrón órbitas precisas alrededor del núcleo, porque ello implicaría el conocer exactamente la posición y la velocidad del electrón en cada instante. Este atributo no es evidente para objetos macroscópicos pero domina la naturaleza de partículas subatómicas como el electrón. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 25 A este fenómeno, se le conoce como principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto puede ilustrarse como sigue: Para definir la posición de un electrón, es necesario ver donde está. Para poder ver un objeto, es necesario que la luz que lo ilumine tenga una longitud de onda menor que el tamaño del objeto. Porque existe un límite en la exactitud con la que se puede determinar la posición de un objeto al interaccionar con una onda: λ tamaño del objeto Si el objeto es menor a la λ de la luz usada, no hay cambio en la luz usada si el objeto es movido una distancia menor a una longitud de onda. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 26 9

10 Por lo tanto, si queremos observar la posición de un electrón muy exactamente, debemos usar longitudes de onda muy cortas. Pero cada fotón tiene un momento p = h λ Una parte de este momento es comunicado al electrón después de la colisión. Como los átomos son mucho menores que la λ de la luz visible, será necesario emplear radiación con longitud de onda del tamaño de un átomo 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 27 Estas longitudes de onda están asociadas a radiación electromagnética de gran energía. Como la radiación electromagnética de esas longitudes de onda tiene también asociado un momento efectivo, al chocar con los electrones, les transferirán parte de ese momento. De manera que el momento original del electrón cambia. Así, aunque hemos visto al electrón, al mismo tiempo le hemos cambiado su momento. Es decir, nuestra observación hace que las propiedades del objeto cambien. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 28 O sea, para poder medir la coordenada x con una precisión de Δx» λ, hemos dado al electrón un momento adicional en la dirección x que oscila entre 0 y h/λ: Es decir: Δp x h λ Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momento es: Δp x Δx h λ ( λ ) Por lo que la relación de Incertidumbre de Heisenberg es: Δp x Δx h 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 29 10

11 Un análisis riguroso de este fenómeno y otros relacionados, muestra que: Al conocer con mayor precisión la posición de un electrón, se conocerá con menor precisión su momento y viceversa. Aun más, hay definido un límite con el cual se pueden conocer a un tiempo la posición y el momento de un objeto cualquiera. Y se puede expresar de manera más precisa con la siguiente ecuación: Donde: h Δx Δp! 2π! Δx = incertidumbre en la posición La Mecánica Clásica parte de la suposición de que es posible determinar x y p simultáneamente. El momento es necesario para el cálculo de la trayectoria del objeto (su posición en los tiempos futuros) La relación de incertidumbre dice que esto no es posible. Cuán grave es esta limitación? Supongamos que quisiéramos conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Å de diámetro con un error del 50%, es decir 0.5 Å de exactitud. Para ello requerimos de un fotón que produzca un cambio mínimo en el momento del electrón de: Δp x h Δx = erg s cm = g cm s La masa del electrón es: m e- = g Y p = mv Entonces: Δv = Δp m e g cm Δv = s cm = 1.4x g s Que es una velocidad tan grande, para que el electrón tenga suficiente energía como para salirse del átomo.! Δp = incertidumbre en el momento 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 31 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 30 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 32 11

12 De lo anterior queda claro que no es posible conocer las trayectorias de los electrones. Entonces el principio de incertidumbre de Heisenberg puede expresarse de manera muy precisa así: Δx Δp! 2 Y es importante mencionar que el principio de incertidumbre existe para cualesquiera dos variables conjugadas canónicas, por ejemplo: ΔE Δt! 2 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 33 Un ejemplo de este principio es el de una partícula de polvo con una masa de digamos 1 μg (1x10-9 kg), que viaja con el viento a una velocidad de 10 m/s. Si se conoce la velocidad de la partícula con una exactitud del 0.1%, entonces la incertidumbre en el momento Δp es de:! Δp i kg i10 m s = kg m s Entonces, de acuerdo al principio de Heisenberg, la incertidumbre en la posición Δx de la partícula de polvo será: 2 kg m Δx = h 2π Δp s = m kg m Cien! s millones de veces menor que un átomo! 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 34 En el caso de un electrón cuya masa es 9.109x10-31 kg y viaja a la misma velocidad de 10 m/s. Si la velocidad del electrón también se conoce con una exactitud del 0.1%, entonces la incertidumbre en el momento Δp es de: Δp i kg i10 m! s = kg m s Entonces, de acuerdo al principio de Heisenberg, la incertidumbre en la posición Δx del electrón será: 2 kg m Δx = h 2π Δp s = 0.1m kg m ! s Mil millones de veces mayor que un átomo 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 35 12

13 6/3/18 Principio de incertidumbre Este hecho que pudiera parecer desastroso a primera vista, no lo es. Pero nos obliga a emplear un tratamiento diferente para analizar las propiedades del electrón. Así, en vez de hablar de la posición o de la velocidad de un electrón, hablaremos de la probabilidad de que se encuentre en un lugar en un tiempo determinado. Aunque la posición de un electrón no puede definirse exactamente, la probabilidad de encontrarlo si puede calcularse. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 36 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 37 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 38 13

14 ESTRUCTURA DE LA MATERIA La Mecánica Cuántica Para que el modelo de Bohr funcione, es necesario postular la cuantización de la energía de manera arbitraria. Sólo así, el modelo se ajusta a las observaciones. Es decir, este modelo no explica por que hay niveles energéticos cuantizados. Para poder resolver este problema, nos habremos de adentrar en una nueva teoría que hasta la fecha no tiene rival. Esta es la teoría que soporta la mecánica cuántica. Esta teoría fue formulada de tres maneras diferentes por tres de sus pioneros. La Mecánica Cuántica Estas son tres formulaciones independientes, pero todas son equivalentes entre sí. La propuesta por Schrödinger y que emplea a los Operadores para resolver el problema y que es la más sencilla de utilizar. La de Dirac que emplea lo que llamó Números q. Y la de Heisenberg que utiliza Matrices. Hilbert demostró que las 3 formulaciones eran equivalentes. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 39 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 40 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 41 14

15 Antecedentes Erwin Schrödinger ( ) propone en 1925, que la manera más directa de explicar el comportamiento de los átomos y qué es lo que hacia que se actuaran de esa manera, era enfatizar la naturaleza ondulatoria del electrón. Por medio de ecuaciones que describieran las propiedades ondulatorias de los electrones en los átomos. Y para ello sugiere los siguientes postulados: 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 42 Postulados de la Mecánica Cuántica Primer Postulado: Para cada estado de un sistema dinámico de N partículas, existe una función de onda Ψ que depende tanto de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible ( ) Ψ x 1, y 1,z 1,x 2, y 2,z 2,!x N, y N,z N,t Donde Ψ es una función de 3N+1 variables. Y toda la información acerca de las propiedades de un estado de un sistema está contenida en la función de onda Ψ correspondiente a dicho estado. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 43 Postulados de la Mecánica Cuántica Lo anterior significa que: Si las propiedades del sistema que se desea estudiar no dependen del tiempo, la función de onda no depende del tiempo: ( ) Ψ x 1, y 1,z 1,x 2, y 2,z 2,!x N, y N,z N Se le conoce como: función de onda de estado estacionario y únicamente tiene 3N variables. Este es el caso de la energía de los átomos. Como los átomos no están irradiando energía, entonces esta función no depende del tiempo. 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 44 15

16 Postulados de la Mecánica Cuántica Segundo Postulado: Para cada propiedad observable del sistema existe un operador que reproduce el valor de la propiedad si se aplica a la función de onda. Toda propiedad del sistema que se pueda medir, es un observable del sistema. Por ejemplo: la energía total, el momento, la energía cinética; etc. Pero qué es un operador? 6/3/18 ESTRUCTURA ATÓMICA 45 16