tg φ 0 = sen φ 0 v máx = d A sen(ω t + ϕ 0 )

Transcripción

1 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03. Pueden tener el mismo sentido el desplazamiento y la aceleración en un oscilador armónico simple?. En un oscilador armónico que tiene una frecuencia de 0, Hz, la posición inicial de la partícula es x 3,0 cm y se suelta con velocidad nula. Determine: a) la amplitud del movimiento; b) la ima aceleración de la partícula; c) la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio. 3. Escriba la ecuación del movimiento armónico simple, indique el significado físico de cada uno de sus términos y cite dos ejemplos de este tipo de movimiento. 4. Se dispone de un oscilador armónico formado por una masa m sujeta a un muelle de constante elástica k. Si en ausencia de rozamientos se duplica la energía mecánica del oscilador, explique qué ocurre con: a) la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones; b) la velocidad ima y el periodo de oscilación. Solución: No. Nunca. En la propia definición del movimiento la aceleración se opone al desplazamiento porque las fuerzas que crean los m.a.s. siempre se dirigen hacia el punto de equilibrio. Por otro lado, la aceleración se obtiene como la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, por lo que, al ser una función trigonométrica (seno o coseno) su segunda derivada es una función equivalente pero con signo negativo. Derivada (sen) cos ; derivada (cos) sen Derivada (cos) sen ; derivada ( sen) cos Solución: a) Para hallar la constante de fase (ϕ 0 ) o fase inicial y como se cumple que: x A sen (ω t + ϕ 0 ) y v A ω cos (ω t + ϕ 0 ), en el instante inicial (donde t 0) se cumple que x 0 A sen (ω 0 + ϕ 0 ) A sen ϕ 0 y v 0 A ω cos (ω 0 + ϕ 0 ) A ω cos ϕ 0. Por tanto: tg φ 0 sen φ 0 A ω sen φ 0 x 0 ω π f x 0 π 0, Hz (-0,030 m) cos φ 0 A ω cos φ 0 v 0 v 0 0 m s - - φ 0 arc tg (- ) 70 0 (por los datos del problema) 3π rad. x 0 De x 0 A sen φ 0 A -0,030 m 0,030 m. sen φ 0 sen 70 º b) La aceleración ima se obtiene de: a d A sen(ω t + ϕ 0 ) dt -A ω sen(ω t + ϕ 0 ) A ω A ( π f) a 3,0 0 m ( π 0, s - ),7 0 m s -. c) La velocidad ima se obtiene de: v d A sen(ω t + ϕ 0 ) A ω cos(ω t + ϕ dt 0 ) A ω π f A v π 0, s - 3,0 0 m,3 0 m s -. Solución: Utilizando la expresión de un m.a.s., x(t) A sen (ω t + ϕ 0 ), tenemos los siguientes términos: x Elongación. Es la distancia a la que se encuentra el objeto de la posición de equilibrio. A Amplitud. Es la mayor distancia a la que se puede encontrar el objeto de la posición de equilibrio. Por tanto es la elongación ima. ω velocidad angular o frecuencia angular. Es la velocidad angular del movimiento circular uniforme cuya proyección sobre un diámetro coincide con el movimiento armónico simple. t tiempo. Es el valor del tiempo. Por tanto es la variable independiente. ϕ 0 fase inicial. Es el ángulo inicial que marca la posición inicial del objeto y hacia dónde va a empezar el m.a.s. (ω t + ϕ 0 ) fase. Es el ángulo que en cada momento hace que la proyección del movimiento circular coincida con la posición instantánea del objeto. Solución: a) Aplicando la relación entre amplitud y energía: E m k A E m k A A A A. Como la constante k es directamente proporcional a la masa (que es la misma) y al cuadrado de la frecuencia angular, esta permanece constante y con ella υ. Por tanto la frecuencia no varía. b) Aplicando la relación entre velocidad ima, amplitud y frecuencia angular: v A ω A ω A ω v. Al no variar la frecuencia, el periodo tampoco varía.

2 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03 5. Un bloque de 50 g, conectado a un muelle de constante elástica 35 N m, oscila en una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 4,0 cm. Cuando el bloque se encuentra a,0 cm de su posición de equilibrio, calcule: a) la fuerza ejercida sobre el bloque; b) la aceleración del bloque; c) la energía potencial elástica del sistema; d) la velocidad del bloque. Solución: a) En el momento que nos piden: F k l 35 N m 0 m 0,35 N, dirigiéndose hacia la posición de equilibrio. b) Aplicando la ª Ley de Newton: F m a a F 0,35 N 7,0 m s., dirigida hacia la posición de equilibrio. m kg 50 g 000 g c) La energía potencial elástica se obtiene de su expresión: E p elás. ½ k x ½ 35 N m (0 m), J. d) La velocidad del bloque, que puede ir en cualquiera de los dos sentidos, puesto que no nos dan datos de ello, se puede obtener de las expresiones: v ω A x k m ω ω k m v k m (A x ) 6. Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un período de oscilación de,0 s. a) Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique? b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 0 cm, cuánto vale, en cada caso, la ima energía potencial del oscilador y la ima velocidad alcanzada por su masa? 7. Una partícula describe un movimiento armónico simple iniciando el movimiento en el extremo de la trayectoria. Se sabe que de un extremo a otro hay 0 cm y que tarda 0,0 s en llegar al centro. Calcule: a) la amplitud, la frecuencia y la fase inicial; b) la ecuación del movimiento de la partícula (dibuje la elongación frente al tiempo en el primer periodo del movimiento); c) la posición de la partícula a los 0,30 s de iniciado el movimiento. 35 N m v 50 g kg 000 g [(4,0 0 - m) -(,0 0 - m) ],0 m s. Solución: Aplicando la relación entre constante del muelle y periodo de oscilación: k m ω m m ω m ( π θ) m θ m θ m θ m ω m ω ω ( π θ ) θ ( θ) 4 θ ω π θ m m 0,040 kg,0 0 - kg. 4 4 b) Aplicando la expresión de la energía de un oscilador (ambas tienen el mismo valor): E p E p E m k A π m T A π 0,040 kg (,0 s) (0,0 m),0 0-3 J. La velocidad ima la obtenemos relacionándola con la energía total (el periodo del segundo muelle es la mitad del primero, por ser su frecuencia el doble): E c E m m v k A v A k m A m ω m A ω π A T v π 0,0 m π,0 s 0 m s ; v π 0,0 m π,0 s 5 m s. Solución: a) Como el problema en su enunciado dice que de un extremo al otro hay 0 cm, la amplitud del movimiento es la mitad: A 0 cm,0 0 m. Del mismo modo, como emplea 0,0 s en llegar al centro, en toda la oscilación utilizará cuatro veces ese tiempo, por lo que: T 0,80 s 8,0 0 s. La frecuencia será: f /T /0,80 s,5 Hz. Por iniciar el movimiento en un extremo, podemos emplear la forma cosenoidal sin fase inicial o la senoidal con una fase inicial de π/ rad. b) Ver figura. Aplicando los valores que nos da el problema a la expresión matemática de una vibración: x (t) A cos (ω t) A cos ( π f t), obtenemos: x (t),0 0 cos (,5 π t) (SI). c) x (t 0,30 s),0 0 cos (,5 π 0,30) (SI) 7, 0 m.

3 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03 8. Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 6 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración ima es de 48 m s. Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la velocidad ima de la partícula. 9. Cuáles de las siguientes ondas son transversales: sonido, ondas en una cuerda, rayos gamma y microondas? 0. En qué se diferencian las ondas mecánicas y las electromagnéticas? Defina los conceptos de velocidad de propagación, periodo y longitud de onda.. Qué clase de ondas son las sonoras? Exprese la ecuación que define su propagación, enunciando las cualidades del sonido.. Clasifique las ondas siguientes como materiales o electromagnéticas, y como transversales o longitudinales. a) Los rayos infrarrojos. b) Un sonido a través de un metal. c) La luz polarizada. d) La luz no polarizada. 3. Considere la siguiente ecuación de una onda: y(x, t) A sen (b t c x) a) Qué representan los coeficientes A, b, c? Cuáles son sus unidades? b) Qué interpretación tendría que la función fuera coseno en lugar de seno? Y que el signo dentro del paréntesis fuera + en lugar de? 4. Dos sonidos tienen niveles de intensidad sonora de 50 db y 70 db, respectivamente. Calcule cuál será la relación entre sus intensidades. Solución: a) La aceleración ima vale a A ω por lo que: ω a A 48 m/s 0,04 m 34,6 rad s-. f ω 34,6 rad s- 5,5 s - ; T π π f 0,8 s 5,5 s- b) La velocidad ima viene dada por v A ω por lo que: v A ω 0,04 m 34,6 rad s,38 m s. Solución: La luz, en todas sus versiones, es una onda electromagnética y es siempre transversal. El sonido es una onda mecánica y es longitudinal. Las ondas en una cuerda son mecánicas y transversales. Por tanto: Las ondas en una cuerda son ondas mecánicas transversales. Los rayos gamma son ondas electromagnéticas transversales. Las microondas son ondas electromagnéticas transversales. Solución: Las ondas se pueden dividir en mecánicas (si hay un soporte que las sustenta, como una onda a través de una cuerda, una ola en el mar o el sonido a través de la presión en el aire) o electromagnéticas (cuando es la interacción entre un campo eléctrico y uno magnético el que las mantiene). Velocidad de propagación es la velocidad constante a la que la onda avanza por el medio. Periodo es el tiempo que tarda la onda en volver a encontrarse en el mismo estado de vibración y longitud de onda la distancia entre dos puntos que se encuentran en el mismo estado de vibración. Solución: Son ondas mecánicas, longitudinales y de presión. La expresión de una onda sonora es: x (x, t) A sen (ω t ± k x) + ϕ 0. Las cualidades objetivas del sonido (como onda física) son intensidad, frecuencia y forma de la onda. Desde el punto de vista subjetivo (como sonido apreciado por el oyente) son, respectivamente, sonoridad (fuerte o débil), tono (grave o agudo) y timbre (quién o qué lo genera). Solución: La luz, en todas sus versiones, es una onda electromagnética (no necesita medio para propagarse) y es siempre transversal. El sonido es una onda mecánica que necesita un medio para transportarse y es longitudinal. Por tanto: a) Los rayos infrarrojos son ondas electromagnéticas transversales. b) El sonido a través de un metal es una onda mecánica longitudinal. c) La luz polarizada es una onda electromagnética transversal. d) La luz no polarizada es una onda electromagnética transversal. Solución: a) El término A representa la amplitud del movimiento, esto es, el imo valor de la distancia del objeto que sufre la perturbación del punto de equilibrio de ésta. Se mide en unidades de longitud (m en el SI). El término b es la frecuencia angular, ω, que mide la velocidad de giro de un movimiento circular con un periodo igual al del movimiento ondulatorio. Se mide en rad s en el SI. El término c es el número de ondas, k, que representa el número de radianes que caben en una distancia de m (o, lo que es lo mismo, el número de ciclos que caben en una distancia de π m). Se mide en rad m en el SI. b) Si en la expresión apareciera el coseno en lugar del seno es porque la vibración comienza en un extremo y no en el punto de equilibrio. Si el signo fuera + en vez de, la oscilación se movería hacia el extremo negativo del eje Ox en vez de hacia el positivo (mismo signo del factor de x y del de t, sentido hacia el Ox negativo hacia la izquierda ; signo distinto, hacia el Ox positivo hacia la derecha ). Solución: Aplicando la relación entre intensidad y nivel de intensidad sonora: I I 0 0 L 0 I 70 I 50 I 0 0 L70 0 I 0 0 L I I 50. 0

4 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03 5. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es: y(x, t) 0,0 sen π (00 t 40 x) (SI). a) Razone si es transversal o longitudinal y calcule la amplitud, la longitud de onda y el periodo. b) Calcule la velocidad de propagación de la onda. Es ésa la velocidad con la que se mueven los puntos de la cuerda? Qué implicaría que el signo negativo del paréntesis fuera positivo? Razone las respuestas. 6. Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 00 db a una distancia x del foco, y la segunda de 80 db al alejarse en la misma dirección 00 m más. a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones. b) Determine la potencia sonora del foco. Datos: Intensidad umbral de audición del oído humano: I 0 0 W m Solución: a) Se trata de una onda transversal ya que la dirección de porpagación es Ox (ya que depende de x) mientras que vibra según el eje Oy. Comparando la onda que da el problema con la ecuación de una onda: A 0,0 m. y(x, t) A sen π t T ± x λ + φ π t π 0 00 π t T T 00 π 50 s 0,0 s y(x, t) 0,0 sen (00 t 40 x) π x 40 π x λ π λ 40 π m 0,05 m. 0 b) Aplicando la relación que nos da la velocidad: lo que multiplica a la t 00 s v p lo que multiplica a la x 40 m,5 m s o bien v p λ T 0,05 m,5 m s. 0,0 s Si el signo fuera positivo, la onda se desplazaría hacia valores negativos del eje Ox en vez de hacia los positivos. Solución: a) Aplicando la fórmula de la intensidad sonora en función del nivel: I I 0 0 L/0 0 W m 0 00/0,0 0 W m. I I 0 0 L/0 0 W m 0 80/0,0 0 4 W m. Teniendo en cuenta que la potencia que se emite es la misma en los dos casos, y sabiendo que las ondas sonoras son tridimensionales y se propagan siguiendo superficies esféricas (S 4 π R ), se puede establecer la siguiente relación: I P S P 4 π R P 4 π x I 4 π (x + d) I x x + d I x x I + d I I I I x d I I I I 00 m,0 0-4 W m -,0 0 - W m - -,0 0-4 W m -,0 0 - W m - 0 m 0,90, m. b) Para hallar la potencia, se aplica la expresión de la potencia a una de las dos distancias: I P S P 4 π R P 4 π x I 4 π (, m),0 0 W m 5 W.

5 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03 7. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección del eje Oy, según la expresión: y(t) 5 sen π t + π ( y en cm; t en s), originando una onda armónica 3 4 transversal que se propaga en el sentido positivo del eje Ox. Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 30 cm, determine: a) la amplitud y la frecuencia de la onda armónica; b) la longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda; c) la expresión matemática que representa la onda armónica; d) la expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje Ox de coordenada x 90 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t 0 s. 8. Una onda armónica transversal de longitud de onda λ,0 m se desplaza en el sentido positivo del eje Ox. En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x 0 en función del tiempo. Determine: a) la velocidad de propagación de la onda; b) la expresión matemática que describe esta onda. 9. Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 60 Hz. a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la perturbación, respecto a la dirección de propagación. b) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda. Datos: Velocidad del sonido en el aire: v 340 m s Solución: a) Comparando la expresión de una oscilación con la que nos da el problema obtenemos: y(t) A sen π t T + φ 0 y(t) 5 sen π 3 t + π 4 } A 5 cm 0,05 m π t T 6 s. 3 π t T La frecuencia es la inversa del periodo por lo que: f /6 0,7 Hz. b) Como nos dan como dato que el desfase de π radianes equivale a una distancia de 30 cm la longitud de onda será: 30 cm λ π rad π rad vuelta m 0,6 m vuelta- 00 cm Aplicamos la relación que nos da la velocidad: v λ T 0,6 m 0, m s -. 6 s c) Como el sentido de movimiento es hacia la derecha (sentido positivo del eje Ox) el signo de la t y el de la x son contrarios. Con los datos que tenemos podemos hallar la ecuación de la onda: y(x, t) A sen π t T x λ + φ 0 0,05 sen π t 6 x 0,6 + π 4 y(x, t) 0,05 sen π 3 t 0 x + 3 (SI) 4 v(x, t) d 0,05 sen π 3 t 0 x dt 0,05 π 3 cos π 3 t 0 x + 3 (SI) 4 v (x 0,9 m, t) 5 π 300 cos π 3 t 0 0, π 300 cos π (t 8,5) 3 v (x 0,9 m, t 0 s) 5 π 300 cos π 3 (0 8,5) 5, 0 m s. Solución: Consultando la gráfica se comprueba que el periodo es 3,0 s ya que ese es el tiempo que transcurre para que un punto alcance el mismo estado de vibración que tenía. a) Se calcula la velocidad de propagación: v p λ,0 m s- 0,33 m s -. T 3,0 s b) En la gráfica también se puede apreciar que la amplitud, A, es de 0,80 m, ya que ese es el mayor valor posible de la elongación. La onda se puede describir como una función sinusoidal sin fase inicial (empieza el movimiento en la posición de equilibrio) y con signo negativo ya que se desplaza hacia el sentido positivo del eje Ox. Por tanto: 3,0 x 8,0 0- sen π t x (SI). 3 Solución: a) Es una onda mecánica, longitudinal y de presión. Coincide la dirección de perturbación con la de propagación (longitudinal) b) Aplicando las relaciones entre las magnitudes de un movimiento ondulatorio: T f 60 s - 3,8 0-3 s 3,8 ms y(x, t) A sen π t T x t 0,80 sen π λ v λ f λ v f 340 m s- 60 s -,3 m.

6 PROBLEMAS DE FÍSICA º BACHILLERATO (PAU) Vibración y ondas 4/09/03 0. Una partícula de masa 5,0 g oscila con movimiento armónico simple, en torno a un punto O, con una frecuencia de Hz y una amplitud de 4,0 cm. En el instante inicial la elongación de la partícula es nula. a) Si dicha oscilación se propaga según una dirección que tomamos como eje Ox, con una velocidad de 5,0 m s, escriba la ecuación que representa la onda unidimensional originada. b) Calcule la energía que transmite la onda generada por el oscilador. Solución: a) El movimiento que se produce es un movimiento ondulatorio puesto que es un movimiento vibratorio que se propaga a lo largo del espacio. No se especifica si la vibración es en el eje Oy, lo que daría lugar a una onda transversal (que es la que se representa), o en el mismo eje Ox, lo que haría que la onda fuera longitudinal. Sería con signo positivo si se desplazase hacia el sentido negativo del eje y con signo negativo si el desplazamiento fuera en el sentido positivo. Aplicamos la función seno por ser la elongación nula en el instante inicial. Por tanto: y(x, t) A sen π t T ± x λ A sen π f t ± x v p A sen π f t ± x v p y(x, t) 0,040 sen π t ± x 5 4,0 0- sen 4 π t ± x 5 (SI). b) La energía transmitida por un oscilador es: E M ½ k A ½ m ω A ½ m ( π f) A m π f A E M 0,0050 kg π ( Hz) (0,040 m),3 0 J. f