OPERACIONES CON FUNCIONES

Transcripción

1 . SUMA Y RESTA DE FUNCIONES OPERACIONES CON FUNCIONES Dadas g unciones eales de vaiable eal se deine la unción suma + g como: g g con Dom g Dom Dom g Es deci, la unción g hace coesponde a cada númeo eal la suma de las imágenes de dicho númeo po las unciones g. El dominio de la unción g es la intesección de los dominios de las unciones g. Esto es así poque, tal como hemos deinido la unción g, dado un númeo eal, paa que eista g han de eisti g. Es deci, [ Dom g Dom Dom g ] Del mismo modo se deine la unción esta g como: g g con Dom g Dom Dom g Ejemplo: Dadas las unciones g halla g su dominio. Dom } g Dom, } g g Po tanto, g Dom g Dom Dom g },},} Dadas las unciones p l halla p l su dominio. p Dom / 0} [, l Dom / 0},] [, p l p l

2 Po tanto, p l Dom p l Dom p Dom l [,,] [, [,] [,. PRODUCTO DE FUNCIONES Dadas g unciones eales de vaiable eal se deine la unción poducto g como: g g con Dom g Dom Dom g Es deci, la unción g hace coesponde a cada númeo eal el poducto de las imágenes de dicho númeo po las unciones g. El dominio de la unción g es la intesección de los dominios de las unciones g. Esto es así poque, tal como hemos deinido la unción g, dado un númeo eal paa que eista g de eisti g.es deci, [ Dom g Dom Dom g ] han Ejemplo: Dadas las unciones j j Dom } s Dom } j s Po tanto, j s j s Dom j s Dom j Dom s s halla j s su dominio. } },} OBSERVACIÓN: No se debe simpliica la epesión analítica la ómula de una opeación con unciones si no se indica cual es su dominio; de lo contaio, el dominio que se deduce después de la simpliicación no es el coecto, la unción no es la misma. Obseva el ejemplo anteio:

3 j s j s hemos simpliicado, po tanto, Si calculamos el dominio diectamente de la epesión simpliicada, j que no coincide con el dominio eal de j s Dom j s } Dom j s [ Dom j Dpm s] j s s,}, obtenemos. COCIENTE DE FUNCIONES Dadas g unciones eales de vaiable eal se deine la unción cociente / g como: g con Dom [ Dom Dom g] Dom g / g g g 0} Es deci, la unción / g hace coesponde a cada númeo eal el cociente de las imágenes de dicho númeo po las unciones g. El dominio de la unción / g es la intesección de los dominios de las unciones g menos aquellos valoes que anulan a g ecueda! no se puede dividi po 0. Esto es así poque, tal como hemos deinido la unción / g, dado un númeo eal paa que eista / g han de eisti g, además, no anulase g en dicho númeo g 0 paa pode eectua la división [ Dom / g Dom, Dom g g 0]. Es deci, g Ejemplo: Dadas las unciones s halla su dominio. s s : s Po tanto, / s Dom / s [ Dom Dom s] / s Dom Dom s },} 0} [,} }] },,,} s 0 0

4 . COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ota oma de obtene una unción a pati de dos unciones g, es hace que actúen una a continuación de la ota. Esta opeación se llama composición de unciones. Dadas g unciones eales de vaiable eal se deine la unción compuesta con g se denota po g como la unción que se obtiene aplicando la unción g a es deci, aplicando la unción g a la imagen de po la unción g [ ] g g[ ] El dominio de la unción compuesta con g es Dom g Dom / Dom g}. Esto es así poque, tal como hemos deinido g, dado un númeo eal paa que eista g ha de eisti pimeo paa pode calcula g [ ]. es deci Dom después tiene que petenece al Dom g Po tanto, g g[ ] Dom g Dom / Dom g} Del mismo modo, dadas g unciones eales de vaiable eal se deine la unción g compuesta con se denota po g como la unción que se obtiene aplicando la unción a g es deci, aplicando la unción a la imagen de po la unción g g [ g ] g [ g ] El dominio de la unción g compuesta con es Dom g Dom g/ g Dom }.

5 Esto es así poque, tal como hemos deinido g, dado un númeo eal paa que eista g ha de eisti pimeo g paa pode calcula [ g ]. Po tanto, g [ g ] Dom g Dom g/ g Dom } es deci Domg después g tiene que petenece al Dom OBSERVACIÓN: La composición de unciones no cumple la popiedad conmutativa. Es deci, en geneal, g g Ejemplo: Dadas las unciones g halla g g sus dominios. g g[ ] g Dom g Dom / Dom g},}/ },},} g [ g ] [ ] 8 Dom g Dom g/ g Dom } /,}},} En el ejemplo se ve que la composición de unciones no cumple la popiedad conmutativa, es deci, g g

6 5. FUNCIÓN INVERSA RESPECTO A LA COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Antes de ve el concepto de invesa de una unción necesitamos algunas deiniciones pevias. Deiniciones Una unción es inectiva no ha dos elementosdel dominio con la misma imagen [ Si a b a b] Una unción es supaectiva Re c Una unción es biectiva es inectiva supaectiva a la vez EJEMPLOS esinectiva, es deci, no eisten dos elementosdel dominio con la misma imagen essupaectiva a que Re c es biectiva pues esinectiva supaectiva a la vez. eisten elementosdel dominio con la misma imagen, po ejemplo, no esinectiva poque 0 essupaectiva poque Re c no esinectiva. no esbiectiva poque, aunque sí essupaectiva DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA RESPECTO A LA COMPOSICIÓN Dada una unción se deine la unción invesa de especto a la composición se denota po como aquella unción si eiste tal que: Es deci, si hacemos actua a las unciones, una detás de ota, sobe un númeo eal lo deja igual. -

7 Es deci, la invesa de la unción es aquella unción que inviete, inviete e. Esto es, si la unción hace coesponde a un númeo eal el valo entonces la unción hace coesponde a de nuevo. En un lenguaje coloquial podíamos deci que: deshace lo que hace OBSERVACIÓN: PARA QUE UNA FUNCIÓN TENGA INVERSA RESPECTO A LA COMPOSICIÓN ES IMPRESCINDIBLE QUE SEA INYECTIVA. Si no es así, una misma imagen invesa no seía una unción puesto que a un mismo valo puede tene más de un oiginal "" entonces la coespondencia le coespondeía más de un valo Si no es inectiva eisten elementos del dominio con la misma imagen: Peo entonces, la coespondencia invesa no es una unción, a que un mismo oiginal elemento del conjunto inicial tiene más de una imagen. Recueda que paa que una elación ente dos conjuntos sea una unción a cada elemento del pime conjunto le tiene que coesponde un único elemento del segundo conjunto - Veámoslo con un ejemplo conceto, la unción no es inectiva poque eisten elementos del dominio con la misma imagen, po ejemplo,

8 Ahoa invetimos los papeles de e. Es como si giásemos la gáica 90º en sentido de las agujas del eloj. Esta coespondencia no es una unción, ha valoes del conjunto de patida que tienen más de una imagen. CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA FUNCIÓN Sustituimos po. Se intecambian e. Se busca la epesión que popociona en unción de. Esta epesión es la de la unción invesa de Sustituimos po Paa compoba si dos unciones son invesas tenemos que compoba que se veiica la deinición: OBSERVACIÓN: Las gáicas de una unción su invesa son siméticas especto a la ecta = bisectiz del pime tece cuadante EJEMPLOS a Dada la unción calcula Pimeo compobaemos si es inectiva, es deci, [ si a b a b] a b a b a b a b ab a b ab a b a b a b a b Po tanto, es inectiva eiste

9 Ahoa calculamos Sustituimos po Intecambiamos e Opeamos paa despeja en unción de : Sustituimos po : COMPROBACIÓN Las gáicas de una unción su invesa son siméticas especto a la ecta bisectiz del pime tece cuadantes } Dom } Re c } Dom } Re c

10 b Dada la unción g calcula g Pimeo compobaemos si g es inectiva, es deci, [ si g a g b a b] g a g b a b a b a b Po tanto, g NO es inectiva En consecuencia no eiste la unción g aunque eiste la coespondencia invesa g no es una unción. Lo que haemos seá estingui el dominio de g a un conjunto en el que sí sea una unción inectiva, po tanto, sí eista la unción g. g a 0 Vétice 0, Tabla de valoes Restinguimos g al conjunto [ 0, Ahoa calculamos g g g con [,

11 COMPROBACIÓN g g g g g g g g Las gáicas de una unción su invesa son siméticas especto a la ecta bisectiz del pime tece cuadantes Dom g [0, Re c g [, Dom g [, Re c g [0,