Curs Polígons, perímetres i àrees Fitxa 9. Pot un conjunt de segments concatenats arribar a formar un polígon? Justifica la resposta.

Transcripción

1 Un polígon és la porció de pla limitada per una línia poligonal tancada. Anem a treballar una mica més aquesta definició. 1 Dibuixa cinc segments concatenats. Pot un conjunt de segments concatenats arribar a formar un polígon? Justifica la resposta. 2 Quants de segments es necessiten, com a mínim, per construir una línia poligonal tancada? Quin polígon limiten? 3Quina relació hi ha entre el nombre de costats, el nombre de vèrtexs i el nombre d angles d un polígon? 4 Polígons còncaus i convexes. a) Dona una definició de polígon còncau i polígon convex (utilitza el llibre digital) b) Existeix cap triangle còncau? Per què? c) Pot un polígon convex tenir un angle còncau? d) Pot un polígon còncau tenir un angle convex? e) Dibuixa els següents polígons: Un hexàgon convex. Un heptàgon còncau. Un pentàgon convex. Un pentàgon còncau. 5 Un polígon que és equilàter i equiangle alhora s anomena. Pot algun polígon d aquestes característiques ser còncau? Justifica la resposta.

2 6 Amb l ajuda del regla i del transportador descobreix quins d aquests quadrilàters són regulars i quins són irregulars 7 L objectiu d aquesta activitat és descobrir la quantitat de diagonals que es poden traçar en un polígon qualsevol. Pots ajudar-te del geoplà ortogonal o d una trama ortogonal a) Hi ha cap polígon que no tengui diagonals? b) Pot un polígon tenir una única diagonal? c) Completa la taula següent: Polígon Nombre de vèrtexs Nombre de diagonals des de cada vèrtex Nombre total de diagonals Triangle Quadrilàter Pentàgon Hexàgon Heptàgon Octàgon n-àgon d) Aleshores, donat un polígon de n costats, el nombre de diagonals és: 8 Dibuixa un triangle i marca els vèrtexs, els costats i els angles.

3 9 Classificació de triangles Recordant que els angles interiors d'un triangle sumen 180º, respon justificant la teva resposta: a) Pot un triangle tenir més d'un angle recte? I més d'un angle obtús? b) Com són els angles oposats als costats iguals d'un triangle isòsceles? Com són els tres angles d'un triangle equilàter i quants graus mesuren cada un d'ells? c) Completa la taula següent definint i dibuixant a mà alçada tots els possibles tipus de triangles. Rectangle: Equilàter: Isòsceles: Escalè: Obtusangle: Acutangle: Per quina raó creus que no és possible dibuixar alguns dels triangles proposats en la taula anterior? d.- En un triangle rectangle, quan sumen els angles aguts? Si el triangle rectangle fos isòsceles, quant mesuraria cada angle agut? e.- El cartabò i l'escaire, quin tipus de triangle et suggereixen? 10 Donats tres nombres qualsevol, podem sempre construir un triangle amb les longituds iguals a aquests nombres?

4 11 Construeix un triangle els costats del qual mesurin: a = 7cm, b = 5cm, c = 8cm. Mesura els angles amb el transportador. 12Intenta construir un triangle els costats del qual mesurin: 10cm, 5cm i 3cm. Raona per què és impossible. 13 Els costats d un triangle són segments. Recorda com es trobava la mediatriu d un segment. Ara dibuixa un triangle i la mediatriu de cada un dels costats. És casualitat que es tallin les tres a un mateix punt? Comprova-ho amb altres triangles. Aquest punt s anomena circumcentre perquè és el centre de la circumferència circumscrita al triangle (circumferència que passa pels tres vèrtexs del triangle). 14 Dibuixa un triangle de costats 5cm, 7cm i 8cm. Localitza el circumcentre i traça la circumferència circumscrita. Observa que el triangle és acutangle i que el circumcentre s hi troba a l interior. 15 Dibuixa un triangle de costats 3cm, 4cm i 5cm. Localitza el circumcentre i traça la circumferència circumscrita. Observa que el triangle és rectangle i que el circumcentre es troba en un des costats (la hipotenusa). 16 Dibuixa un triangle els costats del qual facin 3cm, 5cm i 7cm. Localitza el circumcentre i traça la circumferència circumscrita. Observa que el triangle és obtusangle i que el circumcentre es troba fora. 17 Un triangle també té tres angles. Recorda com es trobava la bisectriu d un angle. Ara dibuixa un triangle i la bisectriu de cada un dels angles. És casualitat que es tallin les tres a un mateix punt? Comprova-ho amb altres triangles. Aquest punt s anomena incentre perquè és el centre de la circumferència inscrita al triangle (circumferència que és tangent als tres costats del triangle). 18 Dibuixa un triangle de costats 5cm, 7cm i 8cm. Localitza l incentre i traça la circumferència inscrita. Hi ha altres punts importants en un triangle. 19 Dibuixa amb regle i compàs un triangle de costats 6cm, 8cm i 12cm. Traça n les mitjanes i assenyala n el baricentre. Comprova que divideix cada mitjana en dos segments i que un mesura el doble que l altre. 20 Dibuixa un triangle rectangle els catets del qual tenen b = 6cm i c = 9cm. Mesura la longitud de la mitjana CC. Situa-hi el baricentre, G, i descobreix quant mesura el segment CG. 21 Dibuixa un triangle de costats 8cm, 10cm i 12cm. Observa que és acutangle. Traça les tres altures i assenyala l ortocentre. 22 El triangle de costats a = 10cm, b = 8cm i c = 6cm és rectangle. Assenyala l ortocentre. Traça l altura sobre la hipotenusa, h a, mesura-la i comprova que a h a = b c

5 23 Dibuixa el triangle de costats a = 12cm, b = 8cm i c = 6cm. Observa que és obtusangle. Traça les tres altures. Allarga-les i observa que les prolongacions es tallen en un punt exterior al triangle. 24 On es troba l ortocentre d un triangle equilàter, a l interior o a l exterior del triangle? 25 EL POU. Degut a una gran sequera, tres pobles propers: A, B i C volen fer un pou. Degut al gran cost de la perforació, els tres batlles decideixen ajuntar-se i perforar un únic pou que es troba a igual distància dels tres pobles. Com trobaries el punt on s ha de fer el pou? La distància de A a B és de 15 km, la de B a C de 20 km i la de A a C de 10 km. Fes un dibuix a escala, resol gràficament el problema i troba la distància del pou als pobles. 26 Ara resulta que la conselleria vol subvencionar les canonades que faran arribar l aigua als tres pobles però demana que el pressupost sigui el més baix possible. Podem construir el pou en el punt solució de l activitat anterior? Observa i anota com resol el professor el problema dins classe i intenta explicar què és el punt de Fermat. Coincideix amb alguns dels punts abans vists? 27 D un triangle isòsceles sabem que el seu perímetre és 23 cm i que un dels costats iguals mesura 9 cm. Quant mesurarà el costat desigual? 28 El Teorema de Pitàgores relaciona la hipotenusa d un triangle rectangle amb els dos catets. Dibuixa un triangle rectangle de catets 3 cm i 4 cm. Quan mesura la hipotenusa? Dibuixa ara un triangle rectangle de catets 24 mm i 10 mm. Quan mesura la hipotenusa? Observa que en ambdós casos si calculam el quadrat dels dos catets i els sumam ens dóna el quadrat de la hipotenusa Això passarà sempre que tinguem un triangle rectangle: a b c, on a és la hipotenusa i b i c són els dos catets. Aquesta propietat s anomena Teorema de Pitàgores. 29 Descobreix si cada un dels triangles següents és rectangle o no ho és: I: a = 26cm b = 24cm c = 10cm II: a = 20cm b = 17cm c = 19cm III: a = 17m b = 8m c = 15m IV: a = 17m b = 6m c = 14m V: a = 20km b = 30km c = 40km 30 Un quadrilàter és un polígon amb costats, i amb angles. 31 Utilitzant les peces del mecano construeix un quadrilàter amb els costats iguals i prova de deformar-lo tot estirant d un vèrtex, i dibuixa alguns dels quadrilàters obtinguts. 32 Ara fes el mateix però amb costats oposats iguals però costats continguts diferents. 33 Fes altres proves amb quadrilàters que no compleixin les condicions anteriors.

6 34 Completa l esquema següent indicant les propietats de cada un dels tipus de quadrilàters i dibuixant un exemple significatiu de cada tipus: Paral lelograms Rectangles Rombes Quadrat Romboides Trapezis Trapezis rectangles Quadrilàters convexos Trapezis isòsceles Trapezoides 35 Una figura és simètrica respecte a una recta si Aquesta recta s anomena

7 36 Col loca el mirall damunt la següent figura: per tal d aconseguir: Indica en cada cas, on has col locat el mirall. 37 Col loca el mirall damunt la següent figura per tal d aconseguir veure:

8 a) Sis cercles b) Cinc cercles c) Quatre cercles d) Tres cercles e) Dos cercles f) Un cercle Indica on has col locat el mirall en cada cas. 38 Suma dels angles interiors d un polígon a) Dibuixa un triangle qualsevol i segueix aquesta seqüència per tal de comprovar que la suma dels tres angles és de 180º.

9 b) Tenint en compte aquest resultat, dibuixa en el geoplà i en la trama ortogonal un quadrilàter convex qualsevol i traça una de les seves diagonals. c) En quants triangles s ha descompost el quadrilàter? d) Quant sumaran llavors el angles del teu quadrilàter? e) Tenen tots els teus companys el mateix resultat? f) Per tant, els angles d un quadrilàter convex qualsevol sempre sumen. g) Tracta ara d utilitzar un raonament semblant per calcular la suma dels angles d un polígon convex qualsevol i completa: Polígon Nombre de costats Pentàgon Nombre diagonals d un vèrtex de des Nombre triangles de Suma dels angles interiors Hexàgon Heptàgon Octògon n-àgon h) Donat un polígon convex de n costats, la suma dels angles interiors és de i) Suposa ara que els polígons són regulars. Quan mesura cada un dels angles interiors? Polígon regular Angle interior Polígon regular Angle interior Triangle Heptàgon Quadrat Octògon Pentàgon n-àgon Hexàgon 39 La longitud de la línia que envolta una figura plana tancada s anomena.

10 40 Calcula el perímetre dels següents polígons: 41 Calcula el perímetre dels següents polígons regulars i dibuixa ls - Triangle equilàter de 3 cm de radi. - Pentàgon regular de 3 cm de radi. - Octàgon regular de 3 cm de radi. 42 Anem ara a calcular l àrea de les figures planes més importants. Escolta l explicació de la professora, completa la taula i explica n el perquè al darrera del full. Figura Dibuix Àrea Rectangle Quadrat Romboide Rombe Triangle Trapezi Polígon regular Cercle

11 43 En cadascuna de les figures acolorides següents, calcula n l àrea i el perímetre. Per a això hauràs de calcular el valor d algun element (costat, diagonal, apotema, angle,...). Si no és exacte, calcula l amb una xifra decimal. (pàgina 271) 44 Una habitació quadrada té una superfície de 25m 2. L hem d enrajolar amb rajoles quadrades de 20cm de costat (es denominen rajoles de 20 x 20). Quantes rajoles caldran? 45 Ordena aquestes figures de més gran a més petita: 46 Fórmula de Pick a) Podries dir quina és l àrea de la figura següent? Una possibilitat seria dividir aquesta figura en figures més simples i aplicar les fórmules vistes fins ara. Emperò, la tasca seria llarga i pesada. Anem a veure una manera més senzilla d obtenir l àrea de figures fetes damunt un geoplà. b) Fes en el geoplà i dibuixa després damunt la trama dues figures que tenguin 8 punts en el seu perímetre i cap punt en el seu interior i altres dues figures que tenguin 1 punt en el seu interior. c) Ara completa la següent taula:

12 Figura Nombre de punts en el perímetre (p) Nombre de punts a l interior (i) Àrea (Agafam com a unitat quadrada el menor quadrat que es pot construir a partir de la trama) d) Què observes? e) Fes i dibuixa ara dues figures amb els mateixos 8 punts en el perímetre i 2 punts a l interior i altres dues que tenguin 3 punts a l interior. f) Què observes ara? g) Fes ara el mateix amb dues figures que tenguin 9 punts en el perímetre i 1 punt a l interior i altres dues amb 2 punts a l interior. h) Què observes?

13

14 Conclusió: En un geoplà o trama ortogonal, agafant com a unitat d àrea la del quadrat més petit que podem fer, l àrea d una figura es pot obtenir aplicant la següent expressió: p Àrea ( i 1) 2 on: p és el nombre de punts en el perímetre de la figura i és el nombre de punts a l interior de la figura. Torna ara a intentar calcular l àrea de la figura del començament de l activitat. 47 Pentaminós: a) Observa les distintes peces que t ha donat la professora. b) Què tenen en comú? c) Quantes n hi ha? d) En podries construir més? e) Aquestes peces s anomenen. f) Si estassin formades només per dos quadrats s anomenarien i n hi hauria de diferents. g) Si estassin formades per tres quadrats s anomenarien i n hi hauria de diferents. h) Si estassin formades per quatre quadrats s anomenarien i n hi hauria de diferents. i) Tornem ara als pentaminós. Completa la següent taula dibuixant-los i calculant el perímetre i l àrea de cada un d ells. (Agafarem com a unitat de longitud el costat d un dels quadrats petits que formen el pentaminó). Pentaminó Àrea Perímetre