1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

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1 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Resolver un triángulo es llr ls longitudes de sus ldos y ls mplitudes de sus ángulos. Ls fórmuls que se plin son: ) Ls rzones trigonométris: ˆ ˆ ˆ sen ; os ; tg ˆ ˆ ˆ sen ; os ; tg ) El teorem de Pitágors: + ) L sum de los ángulos gudos: + 90º Resolver un triángulo retángulo, es lulr los ino elementos, sus ldos y sus ángulos gudos, prtir de dos de ellos. Se pueden presentr utro sos: NOT: Hy distints forms de lulr los dtos, nosotros los vmos determinr prtiendo de los dtos iniiles. 1.1 ONOIDO LOS DOS TETOS DTOS: LOS DOS TETOS y ) Emplendo el teorem de Pitágors, lulmos l ipotenus: + ) Emplendo ls rzones trigonométris, lulmos los ángulos: ˆ tg ˆ rtg (Tmién se puede empler el seno y oseno pr lulr ˆ ) tg rtg (Tmién se puede empler: ˆ + 90º ) Se 48, 4, lulr los restntes elementos del triángulo: tg ˆ tg ˆ tg ˆ tg ˆ ˆ 60º Ĉ 30 Luis Muñoz - 1 -

2 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 1. ONOIDO L HIPOTENUS Y UN TETO DTOS: L HIPOTENUS Y UN TETO ) Emplendo el teorem de Pitágors, lulmos el otro teto: ) Emplendo ls rzones trigonométris, lulmos los ángulos: ˆ sen ˆ rsen (Tmién se puede empler el oseno y tngente pr lulr ˆ ) os ros (Tmién se puede empler: ˆ + 90º ) Se 18, 3, lulr los restntes elementos del triángulo: Si los dos tetos son igules entones los dos ángulos gudos miden igul, por tnto: ˆ Ĉ 45º ompromos emplendo los dtos iniiles: sen ˆ 3 3 sen ˆ 18 3 ˆ 45º os ˆ 3 3 os 18 3 Ĉ 45º 1.3 ONOIDO L HIPOTENUS Y UN ÁNGULO GUDO DTOS: L HIPOTENUS Y UN ÁNGULO GUDO ˆ ) Emplendo ˆ + 90º, lulmos el otro ángulo: 90º ˆ ) Emplendo ls rzones trigonométris, lulmos los ldos: ˆ sen sen ˆ os os ˆ (Tmién se puede empler el teorem de Pitágors) Luis Muñoz - -

3 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T Se ˆ 60º, 6, lulr los restntes elementos del triángulo: 90º ˆ Ĉ 90º 60º 30º sen ˆ sen 60º 6 os os 60º sen 60º os 60º ONOIDO UN TETO Y UN ÁNGULO GUDO DTOS: UN TETO Y UN ÁNGULO GUDO ˆ ) Emplendo ˆ + 90º, lulmos el otro ángulo: 90º ˆ ) Emplendo ls rzones trigonométris, lulmos los ldos: ˆ sen sen ˆ tg tg (Tmién se puede empler el teorem de Pitágors) Se ˆ 30º, 5, lulr los restntes elementos del triángulo: 90º ˆ Ĉ 90º 30º 60º sen ˆ sen 30º sen 30º 1 tg ˆ tg 30º tg 30º 1 3 Luis Muñoz - 3 -

4 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T tividdes resuelts 1.- Un punto del suelo orizontl dist 00 m de l puert de l iglesi y desde él se oserv el etremo del mpnrio 1º por enim de l orizontl. uál es l ltur del mpnrio? Relizmos un diujo esquemátio de l siguiente situión. OPQ es un triángulo retángulo. Q Los dtos que tenemos son: El ángulo de 1º y l distni OP 00 m (teto ontiguo l ángulo de 1º) L inógnit es PQ (teto opuesto l ángulo de 1º). P 00 m 1º O L rzón trigonométri que relion el teto ontiguo y el opuesto es l tngente: tg 1º 0,1 00 0,1 4, 5 m Queremos insriir un retángulo en un irunfereni de 0 m de rdio, de mner que l digonl del retángulo forme un ángulo de 5 on su ldo m yor. Hz un diujo y lul ls dimensiones que tiene que tener ese retángulo. L digonl del retángulo tiene que ser un diámetro de l irunfereni, pues es un triángulo retángulo. Dtos : 5 y l ipotenus ( 40 m). Inógnits: los tetos. 40 5º Pr lulr el ldo myor (, que es el teto ontiguo l ángulo de 5 ) utilizmos l definiión de os : os 5º 0,906 0, , 5 m Pr llr el ldo menor, tenemos dos opiones: 1ª form: sen 5º 0,4 0, ,8 m ª form: Por el teorem de Pitágors: 40 36, 5 16, 91 Luis Muñoz - 4 -

5 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS NO RETÁNGULOS Si se dese llr l ltur de un montñ, el no de un río, et, y no se puede llegr st lguno de los puntos pr relizr diretmente ls mediiones, se utiliz el método de l dole oservión, que onsiste en elegir dos puntos esiles, medir l distni entre ellos y los ángulos neesrios. Se llm líne de visión l ret imginri que une el ojo de un oservdor on el lugr oservdo. Llmmos ángulo de elevión l que formn l orizontl del oservdor y el lugr oservdo undo éste está situdo rri del oservdor. undo el oservdor está más lto lo llmremos ángulo de depresión. Horizontl Horizontl Ángulo de elevión Ángulo de depresión tividdes resuelts 1.- En l llnur, desde un punto ulquier, se mide el ángulo de elevión, 40º. erándonos 300 m, se vuelve medir el ángulo de elevión, 55º. Se dese llr l ltur de un montñ. Diujmos l situión, e indimos los dtos, omo en l figur de l dere. D? 40º 55º 300 m En el triángulo D se tiene: tg 40º ( + 300) tg 40º En el triángulo D se tiene: tg 55º tg 55º Otenemos el siguiente sistem, que se resuelve por igulión: tg55º ( + 300) tg 40º tg 55º 0,839 ( + 300) 1,48 0, ,7 ( + 300) tg40º 1,48 0,589 51,7 47,33 m Sustituyendo en l segund euión: 1,48 47,33 610, m Luis Muñoz - 5 -

6 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T.- lulr l ltur de l torre, pr ello se miden los ángulos de elevión desde los puntos y. on los dtos de l figur tenemos que: tg 35º (10 + ) 0, tg 63º 1,96 Igulndo ls dos epresiones, tenemos: (10 + ) 0,7 1,96 35º 63º 10 m D 7 + 0,7 1,96 1,6 7 5,55 m Luego, l ltur es: 5,55 1,96 10,88 m 3.- Un vión vuel iert ltur y en un determindo instnte se enuentr sorevolndo l líne imginri que une dos torres que están seprds 10 Km. l no funionr el ltímetro, el piloto tom los ángulos de depresión de ms torres (0º y 15º). Determin l ltur l que se enuentr el vión en ese momento. on los dtos de l figur tenemos que: tg 15º 10 (10 ) 0,68 15º 0º tg 0º 0,364 Igulndo ls dos epresiones, tenemos: (10 ) 0,68 0,364,68 0,68 0,364 0,63,68 4,4 Km? 15º 0º Km Luego, l ltur es: 4,4 0,364 1,54 Km 4.- Un piloto oserv dos vérties geodésios desde un ltur de 3500 m sore l líne que los une, jo ángulos de 4º y 18º. lul l distni entre mos puntos. on los dtos de l figur tenemos que: 3500 tg 18º y y y m tg 18º 0, tg 4º m tg 4º 0,45 Luego, l distni es: d + y m 18º 4º º 4º y d? Luis Muñoz - 6 -

7 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T. TEOREM DEL SENO En ulquier triángulo de ángulos, ɵ y y ldos, y, se umple que: sen senɵ sen Demostrión: Pr demostrrlo trzmos un de ls lturs,. En un triángulo, oteniendo dos triángulos: H y H. H Trjndo on el triángulo H: sen sen Trjndo on el triángulo H: Igulndo, otenemos: ɵ sen sen ɵ sen sen ɵ Repitiendo el mismo proeso on l ltur, otendrímos: senɵ sen sen senɵ Ejemplos: 1) De un triángulo semos que: 60º, 40 y 15m. lul los restntes elementos. ɵ 180º - ɵ - 180º - 40º - 60º 80º 60º 15 m 40º 15 sen 60º sen 80º 15 sen 40º sen 80º 15 sen 60º sen 80º 15 sen 40º sen 80º 13, m 9,8 m ) Hll el ángulo y el ldo en el triángulo en el que: 60, 0 m, 10 m. 10 m 0 m 10 0 sen sen 60º 5 39' 3'' 10 sen 60º sen 0 0,43 60º ɵ 180º ' 3'' - 60º 94 0' 8'' 0 sen ɵ sen 60º 0 sen sen 60º 3,03 m Luis Muñoz - 7 -

8 T3: TRIGONOMETRÍ 1º T.3 TEOREM DEL OSENO En ulquier triángulo de ángulos, ɵ y y ldos, y, se umple que: + os ɵ + os + os En un triángulo el udrdo de d ldo es igul l sum de los udrdos de los otros dos menos el dole produto del produto de mos por el oseno del ángulo que formn. Demostrión: Pr demostrrlo trzmos un de ls lturs,. En un triángulo, oteniendo dos triángulos: H y H. H - Trjndo on el triángulo H: sen sen os os plindo el teorem de Pitágors en el triángulo H: ( ) + ( os ) + ( sen ) os + os + sen os + (os + sen ) os + Luego: + os De form nálog se demuestrn ls otrs dos igulddes. 1) De un triángulo semos que: 5 m, 30 y 3m. lul los restntes elementos. + os ɵ os 30º 5 m 3 m 30º 8,0,83 m + os os os 0,47 118º , , º 118º º 31º55 3 Luis Muñoz - 8 -