REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

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1 REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES El estudio de la derivada de una función, junto con otras consideraciones sobre las funciones tales como el estudio de su campo de eistencia (dominio), de sus puntos de corte con los ejes, de sus simetrías y de sus límites, nos permiten representar gráficamente las funciones con relativa facilidad. La representación gráfica la obtendremos siguiendo las etapas: a. Estudio del campo de eistencia de la función (dominio). b. Cortes de la gráfica de la función con los ejes de coordenadas. c. Simetrías de la función. d. Límites de la función en los puntos frontera de su campo de eistencia. e. Rectas asíntotas. f. Máimos, mínimos y puntos de infleión. g. Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. h. Curvatura de la función. Intervalos de concavidad y conveidad. Estas etapas, en general, nos ayudan a construir la gráfica de las funciones, pero en alguno de los casos no es necesario acudir a todas ellas para representar la función, que es, en definitiva, lo que nos interesa. También es importante recordar que, a veces, tomando valores, con unos pocos puntos, se avanza muy rápidamente en la representación gráfica de la función. a. Dominio En este apartado debemos buscar los puntos tales que f ( ) sea real; luego debemos ecluir los puntos, si los hay, que anulen los denominadores, los valores que hagan negativo el radicando para las raíces de orden par, los valores que hagan nulos o negativos epresiones en las que tengamos que obtener sus logaritmos, etc. Ejemplos: + f =, el denominador se anula para los valores, 4+ = =, luego el campo de eistencia consistirá en todos los números reales ecepto el y el : En la función Domf = {,} o también Domf = (,) (,) (, ) Si consideramos la función 4. f = 4, debemos ecluir los valores que verifiquen <, es decir, serán válidos los puntos que cumplan 4. Así el campo de eistencia estará formado por todos los números reales comprendidos entre y : Domf =,. Para la función f ln ( ) =, ecluimos los valores que verifiquen, es decir, los puntos tales que ; luego el campo de eistencia estará formado por todos los números reales mayores que : Domf =,. IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

2 b. Corte con los ejes Si queremos encontrar los puntos de corte con el eje de ordenadas, basta con hacer queremos encontrar los puntos de corte con el eje de abscisas, resolveremos la ecuación y=. =. Si Ejemplos: Consideremos la función f = ; su corte con el eje de ordenadas se obtiene haciendo =, luego y f ( ) abscisas se obtienen resolviendo y =, es decir, = = y el punto de corte es el (, ). Los puntos de corte con el eje de = y los puntos de corte son el (,) y el (, ). En la función f = ln ( + ) ; su corte con el eje de ordenadas será el punto,ln. Con el eje de abscisas se obtienen resolviendo y =, es decir, + = y el punto de corte será (,). c. Simetrías Nos preguntamos en este punto si la función es par, impar o ninguna de las dos cosas. Si la función es par, es decir, f = f ( ) para todo valor de, la curva será simétrica respecto del eje OY; si la función es impar, es decir, f ( ) = f para todo valor de, la curva será simétrica respecto al origen de coordenadas. En otro caso la función no presenta simetrías de este tipo. Ejemplos: Son funciones pares y por tanto simétricas respecto del eje OY: 4 y =, y= cos, y =, y = e, y =, y = 4,... Son funciones impares y por tanto simétricas respecto al origen de coordenadas: y =, y = sen, y =, y =, y =, y =,... + d. Límites Particularmente importantes, en este punto, son los límites cuando tiende a ± o cuando y tiende a ±. En algunos casos estos límites nos darán a conocer ecuaciones de asíntotas como veremos en el apartado siguiente. e. Asíntotas Un punto sobre una curva y = f se aleja infinitamente cuando su abscisa, su ordenada o ambas coordenadas crecen infinitamente. Llamaremos recta asíntota a toda recta tal que la distancia desde un punto P de la curva, que se aleje infinitamente, a la recta tienda a cero. Hay varias posibilidades para ellas. IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

3 lim f = b (número real), la recta y = b es una asíntota horizontal. Si Si lim f Ejemplo: a = (con a número real), la recta = a es una asíntota vertical. Si al alejarse infinitamente un punto de la curva, e y crecen infinitamente, para que la recta y = m+ n sea una asíntota oblicua debe tender a cero la diferencia entre las ordenadas de la recta y la curva para la misma abscisa. Esta definición lleva en sí un método de cálculo para los coeficientes m y n. n= lim f m. f = (número real distinto de cero); y si eiste, m lim Consideremos la función f = lim = lim =, luego no hay asíntotas horizontales. lim =, luego la recta = es una asíntota vertical. Deberíamos entonces analizar los límites laterales en = para determinar la posición de la gráfica de f ( ) con respecto a la asíntota. f lim = lim = lim m = =, entonces obtenemos n de la epresión lim f m lim lim = = =, luego la recta y = es una asíntota oblicua. f. Máimos, mínimos y puntos de infleión Los máimos y mínimos que estén situados sobre puntos en que la curva sea derivable se obtendrán fácilmente a partir de los teoremas dados sobre las derivadas de orden n, a saber: Sea f ( ) una función tal que f ( ) =. Si f ( ) <, f ( ) >, la función presenta en un mínimo. f tiene en un máimo y si Sea f ( ) una función derivable n veces en un punto y tal que ( n ) ( o) ( f n ) ( o ) <, ( f n ) ( ) >, f o = f =... = f = y Si n es par y Si n es par y o ( n ) f. o f tiene en un máimo. f tiene en un mínimo. Si n es impar, f ( ) tiene en un punto de infleión (punto de silla). IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

4 =. Los puntos de infleión estarán entre los que resulten de resolver la ecuación f Debemos tener cuidado en esta etapa ya que no en todos los puntos donde eisten máimos o mínimos la función es derivable, como ocurre en la función f = + que representaremos más adelante. g. Crecimiento y decrecimiento > para todos los El corolario del teorema del valor medio (de Lagrange) que nos dice: Si f puntos de un intervalo, f ( ) es creciente en ese intervalo. Si f < para todos los puntos de un intervalo, f ( ) es decreciente en ese intervalo nos da resuelto prácticamente, salvo algunos problemas de cálculo, este apartado. Debemos tener cuidado, como en el apartado anterior, con los puntos en los que la función no sea derivable. h. Curvatura Para analizar la curvatura de una función debemos seguir alguno de los siguientes criterios: Sea f ( ) una función que tiene segunda derivada continua en un entorno del punto Si f ( ) <, f presenta en una curvatura de la forma Si f ( ) >, f presenta en una curvatura de la forma Sea f ( ) una función que tiene derivadas hasta el orden n en un entorno del punto, donde además ( n f ) ( ) es continua. Si entonces: Si n es par y ( n ) f o = f =... = f o = y ( f n ) ( o ) <, ( Si n es par y f n ) ( o ) >, Si n es impar, f ( ) tiene en un punto de infleión. f tiene en una curvatura de la forma f tiene en una curvatura de la forma ( n ) f, No obstante, dada la complejidad de los cálculos que pueden presentarse, la curvatura de una función no suele analizarse (salvo petición epresa) puesto que con los apartados anteriores, normalmente, tendremos información suficiente para dibujar la gráfica. o IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 4

5 EJEMPLOS f = 4 Dominio: Dom f = ; ya que un polinomio está definido siempre Cortes con los ejes: eje OY : = f = ; corte en, eje OX y cortes en y 4 : = = =, =, = ;,,,, Simetrías: f 4 4 f = = =, luego la función es par y presenta una simetría respecto del eje OY. Límites: ( 4 ) ( ) ( 4 lim = lim = lim lim ) =, por simetría lim ( ) No tiene asíntotas horizontales. 4 No tiene asíntotas verticales porque lim( ), a. a 4 Tampoco tiene oblicuas ya que m lim lim( ) lim ( ) = = = = Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de un polinomio la función es derivable en todo su campo de eistencia, luego todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f = 4 4 f = 4 4= 4 = =, =, = 4 ( ) 4. (,) 8. (, ) () 8. (, ) f = f = < en = la función tiene un máimo Punto f = > en = la función tiene un mínimo Punto f = > en = la función tiene un mínimo Punto f = 4= =± ; como en esos puntos f, hay puntos de infleión. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ); (, ); (, ); (, ). Tenemos que estudiar el signo de f 4( ) =. = en cada intervalo para determinar los intervalos de 4 + < o crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver una de estas inecuaciones: ( )( ) ( ) 4 + >. Para ello utilizaremos la siguiente tabla: IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 5

6 (, ) (,) (, ) (, ) ( ) + ( + ) ( )( + ) De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos (,) (, ) intervalos (, ) (,). Con todos los datos obtenidos podemos representar la función: y es decreciente en los f = + Dominio: Dom f = ; ya que es suma de un polinomio que está definido siempre y de una raíz cúbica que igualmente está definida para todos los números reales. Cortes con los ejes: eje OY : = f = ; corte en, eje OX y = + = + = = = cortes en y :, ;,, Simetrías: f f = + = + ±, la función no es par y tampoco impar luego no presenta simetrías de las consideradas. IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 6

7 Límites: lim ( + ) =, ( ) No tiene asíntotas horizontales. lim + = lim + = = No tiene asíntotas verticales porque lim +, a. a. Buscamos una asíntota oblicua: + m = lim = lim + = + = entonces el valor de, calculamos n= lim f lim lim = + = =, n no eiste, con lo que parece que no hay asíntota oblicua, aunque la recta y = y la curva se aproiman tanto como queramos para valores de ± (comprobarlo en el programa Graphmatica alejando suficientemente el zoom). Esta asíntota no nos resulta de utilidad para la representación puesto que en el trozo que dibujamos está alejada de la curva. Máimos, mínimos y puntos de infleión: f = +, entonces f no está definida para =, luego el estudio que hacemos para determinar máimos y mínimos ecluye ese punto del que por ahora no podemos decir nada. 8 f = + = + = = = 7 f = f = < en = la función tiene un máimo. Punto, f = =, que no tiene solución, luego no hay puntos de infleión. 4 9 Crecimiento y decrecimiento: 8 8 Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos, ;, ; (, ). 7 7 Tenemos que estudiar el signo de f = + en cada intervalo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver la inecuación: + > o + >. Para ello utilizaremos la siguiente tabla: 8, , 7 IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 7 (, )

8 De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos, (, ) 8 y es decreciente en el 7 8 intervalo,. A la vista de estos resultados podemos deducir que la función presenta un mínimo en 7 el punto =, conclusión a la que no habíamos podido llegar mediante el estudio de la derivada. Con todos los datos obtenidos podemos representar la función: f = sen Dominio: Dom f = ; ya que es suma de un polinomio que está definido siempre y de la función seno que igualmente está definida para todos los números reales. Cortes con los ejes: eje OY : = f ( ) = ; corte en (,) eje OX : y = sen = = ( el crecimiento nos confirma que no hay más); corte en, Simetrías: f ( ) = ( ) sen( ) = + sen = f, luego la función es impar y presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. Límites: lim ( ) =, lim ( sen) sen =, puesto que la función seno está limitada entre y. IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 8

9 No tiene asíntotas horizontales. No tiene asíntotas verticales porque lim sen, a. a sen sen Buscamos una asíntota oblicua: m = lim = lim = =, calculamos el n = lim f lim sen lim sen valor no determinado = = =, con lo que no eiste asíntota oblicua, aunque la recta y = estará muy relacionada con la curva. valor de Máimos, mínimos y puntos de infleión: La función es derivable en todo su campo de eistencia, luego todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f = cos f = cos= cos= = kπ ( k ) f = sen ( π) = ; =, ( π) = = π ( ) f sen kπ y ( k ) π como f ( kπ) y f (( k ) π) f k f cos f k en k k la función tiene puntos de silla = = = = + ; = + = hay puntos de infleión ( en = kπ hemos visto que son de silla). Crecimiento y decrecimiento: Tenemos que estudiar el signo de f = cos para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver la inecuación: cos > pero como cos la función es siempre creciente salvo en los puntos de silla que tiene tangente horizontal. Debemos fijarnos en que la función f = sen corta a la recta y= en las soluciones de la ecuación = sen sen = = kπ ( k ), es decir, en todos los puntos de infleión que es donde hay cambio de curvatura, por tanto este es un caso en el que se hace necesario analizarla. Curvatura: Veamos el signo de la segunda derivada, f > sen >, π π,π 4 π,5 π..., es decir, en los intervalos de la forma ( kπ, kπ + π), la función presenta una curvatura f sen ( π π) ( π π) ( π π) forma ( kπ + π, kπ + π), la función presenta una curvatura < <,, 4 5,6..., es decir, en los intervalos de la Con los datos obtenidos podemos representar la función: IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 9

10 f = ( ) Dominio: Dom f = { } ; ya que es un cociente de polinomios y el denominador se anula en =. Cortes con los ejes: eje OY : = f = ; corte en, eje OX y corte en ( ) : = = =, = ;, Simetrías: ( ) ( ) ( + ) f = = ± f presenta simetrías de las consideradas., la función no es par y tampoco impar luego no Límites: 6 lim lim lim =, del mismo modo ( ) ( ) lim ( ) = ( indica que aplicamos la regla de L Hôpital). IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

11 No tiene asíntotas horizontales. lim =+, lim ( ) ( ) + Buscamos asíntota oblicua: =+ ; la recta = es asíntota vertical. m = lim = lim lim lim = ( ) 4 4 n= lim f lim lim lim lim = = = + + Con lo que la recta y = + es asíntota oblicua para la función. Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de una función derivable en todo su campo de eistencia, todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. ( ) ( ) 4 f = = = f = = = = = f =, 6 ( ) f = > en = la función tiene un mínimo. Punto, f = f =, f, en, la función tiene un punto de silla ( ) 4 ( ) 5 6 f = = = ; punto de infleión encontrado antes. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ); (, ); (, ); (, ) = que estudiar el signo de f ( ) ( ). Tenemos en cada intervalo para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. Esto equivale a resolver una de estas inecuaciones: ( ) ( ) >. Para ello utilizaremos la siguiente tabla: ( ) ( ) < o IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

12 (,) (, ) (, ) (, ) ( ) ( ) ( ) y es decreciente De aquí se deduce que la función es creciente en los intervalos (,) (,) (, ) en el intervalo (, ). Con los datos obtenidos representamos la función: f = e + Dominio: Dom f = { } ; ya que el denominador del eponente se anula en =. eje OY : = f = e ; corte en, e Cortes con los ejes: + eje OX : y = e = no hay cortes con eje OX IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

13 + Simetrías: f e f las consideradas. = ±, la función no es par y tampoco impar luego no presenta simetrías de Límites: + + lim lim e e e e = = =, del mismo modo lim e + = e. La recta y = e es una asíntota horizontal. + + lim + + lim e e + + e e e e + lim = = = ; lim = = =. La recta = es asíntota vertical cuando + No tiene asíntotas oblicuas porque + + e lim e e m = lim = = = lim Máimos, mínimos y puntos de infleión: Por tratarse de una función derivable en todo su campo de eistencia, todos sus máimos y mínimos se obtendrán a partir del estudio de sus derivadas. f = e ( ) + + f e = = que no tiene solución por lo que la función no tiene máimos ni mínimos. ( ) ( ) f = e ; f = 4= =, en (,e ) hay un punto de infleión. Crecimiento y decrecimiento: Dividimos el campo de eistencia en los siguientes intervalos (, ) ; (, ) + signo de f e = en esos intervalos, pero como ( ) y puntos de los intervalos, f. Tenemos que analizar el + e son positivos en todos los < siempre, por tanto la función es decreciente en todo su dominio. Hay que señalar que aunque la función decrece cuando y f mínimo. Sí es cierto que inf f = pero éste no pertenece al conjunto imagen. lim =, no eiste Curvatura: Veamos el signo de la segunda derivada, + 4 f > e > 4 ( ) y esto se cumple cuando función tiene una curvatura f < será cuando < y para los (,) la >, por tanto para (,) (, ) la función tendrá una curvatura IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página

14 Con los datos obtenidos representamos la función: IES Pedro de Tolosa. Matemáticas II Representación de funciones. Página 4

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