7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD.

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1 7.- LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD. Para calcular límites de funciones podemos hacerlo de dos formas: Se escribe primero la función, una vez seleccionada, pinchamos el icono Cálculo / Límites. Aparece la ventana: o Menú Que nos pide la variable: pinchando la flecha la seleccionamos, el valor al que tiende la variable, si es infinito utilizamos el cuadro de caracteres. Y por último, podemos elegir si el límite es por la derecha, por la izquierda o ambos, que es la opción por defecto. Otra forma es escribiendo directamente: LIM(f(x), x, a, dirección), donde a es el punto al que tiende la variable, la dirección puede tomar los valores: -1 si es por la izquierda, 1 si es por la derecha, y 0 (que se puede omitir) por ambos. En nuestro caso escribiríamos: LIM(x^/(x^-1), x, ) I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 1

2 De las dos formas aparece: es 1. pinchando en el icono = nos da la solución que Recordamos que en este caso la curva tiene una asíntota horizontal y = 1 Si hacemos los límites cuando x tiende a 1 por la derecha y por la izquierda, observamos que no coinciden, luego no existe el límite de la función cuando x tiende a 1. Sin embargo como nos sale + y -, sabemos que la curva tiene una asíntota vertical x = 1 Vamos a comprobar los límites efectuando la gráfica: Seleccionando la expresión donde se encuentra la función y presionando los iconos que representan las funciones, aparece: Tiene otra asíntota vertical? Nota: Para que en la gráfica aparezca la rejilla, Menú Opciones / Rejilla / Mostrar líneas. Hay que modificar la escala y el rango para verlo como deseemos. I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página

3 Ejercicio 1: Calcula: lim x 4 x x 16 x lim x 16, x 4. Representa la gráfica de la función. Por lo tanto lim x 4 x = 1 x Seleccionando otra vez #1 vamos a calcular el siguiente límite: Esto indica que hay que hacer límites laterales: En x = -4 hay una asíntota vertical. Vamos a representar la función para comprobarlo: Cuál es el dominio de esta función? I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 3

4 Observando la gráfica nos parece que hay una asíntota horizontal, la recta y = 0, vamos a comprobarlo realizando el límite: Como el límite es cero, y = 0 es una asíntota horizontal cuando x + Ejercicio : Calcula e 1 lim x 1 e x e x 1. Solución: -1/ 1+ x Ejercicio 3: Dada la función f(x) = x L, calcula: a) x 1+ x lim x L + x cuando x tiende a cero por la derecha. c) comprueba con la gráfica los resultados. Solución: a) 1 b ) 0 x 1+ x b) lim x L x 0 + x Fíjate en el dominio de la función y compruébalo con lápiz y papel. Hay alguna asíntota horizontal? Y vertical? Ejercicio 3: Calcula lim x 0 1+ senx tgx 1 senx. Solución: 1 I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 4

5 Ejercicio 4: Calcula lim ( 1 cosx) 1 π x + cosx. Solución: e CONTINUIDAD: Sabemos que una función es continua en el punto a si: f(a) lim f(x) x a lim f(x), lim f(x) y lim f(x) - + x a + x a x a lim f(x) = - x a lim f(x) x a = f(a) Ejercicio 5: Estudia la continuidad de la función f(x) = e e tgx tgx + en el punto x = π Si sustituimos x = π Para pasar de #1 a #: Menú Simplificar / Sustituir / Variables, en el cuadro de diálogo que aparece, ponemos sustituir la variable x por existe. π, como sale interrogación quiere decir que no I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 5

6 Veamos la gráfica de la función: ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN A TROZOS: Representación gráfica de una función a trozos: Derive utiliza la función IF que tiene la siguiente sintaxis: IF(condición, valor1, valor) Veamos como se representa + f(x)= 1+x si x>1 1 x si x x 1 + x 0 1 sería: Si x > 1, la imagen es x +1, en caso contrario la imagen es x + 1 La representación gráfica: I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 6

7 Otro ejemplo: Vamos a representar la función: + f(x)= x +3 si 0<x<3 7 si x 3 -x 3 si x 0 - x + 3 x La sintaxis sería con una anidación: que quiere decir: Si x 3, la imagen es IF(x > 3, 7,IF( x > 0, x + 3, -x +3)) En caso contrario, es decir, para todos los menores de 3 Hay que volver a discutir, si x > 0, la imagen es x +3, en caso contrario la imagen es x + 3 I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 7

8 Nota: Da igual poner > que >=, Derive no indica que no entra la imagen del 3 por la derecha. Ejercicio 6: Dada la función: Calcula: a) Dominio de f(x) b) x + 1 si x < 3 si x = f(x) = 4x +1 si x > ( x - 3) lim f(x) x + c) lim f(x) x Indica los tipos de discontinuidad, en el caso de que existan. e) Asíntotas d) Estudia la continuidad de la función. I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 8

9 Solución: Para calcular los límites: #1 y # nos definen la función. En # se expresa que la imagen del es 3. La continuidad la tenemos que estudiar en x = y en x = 3, este ultimo punto anula el denominador. En x =, ya sabemos que f() = 3, veamos ahora los límites laterales: Como coinciden los límites laterales, existe el límite de la función cuando x tiende a. lim f(x) = 9 f() = 3 x La función presenta en x = una discontinuidad evitable. En x = 3, no existe f(3), ya que 3 anula el denominador. Veamos el límite cuando x = 3 El límite por ambos lados es +, la función no es continua en x = 3, tiene una discontinuidad esencial. En x = 3 hay una asíntota vertical. I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 9

10 Veamos la gráfica: Representamos #1 y # en la misma gráfica: 1 Ejercicio 7: Estudiar la continuidad de la función f(x) = sen x. Esta función es continua en cualquier punto x 0. El problema se presenta en el punto x = 0, allí la función no está definida. Veamos que tipos de discontinuidad: Como los límites laterales no existen en x = 0, esta función presenta una discontinuidad de segunda especie en x = 0 Lo comprobamos en la grafica: I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 10

11 Ejercicio 8: Veamos la continuidad de la función f(x) = x veamos los límites laterales: 1 sen x en x = 0. No existe f(0), Es una discontinuidad evitable: Veamos los diferentes aspectos de la gráfica y así vemos que I.E.S. EMPERATRIZ MARÍA DE AUSTRIA Página 11

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