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1 1. Determinantes de orden dos y tres: TEMA 8: DETERMINANTES. A una matriz cuadrada le vamos a asociar un número que servirá para resolver sistemas, calcular matrices inversas y rangos de matrices. A det (A) = El determinante de una matriz cuadrada de orden dos A = es el número que se obtiene de la siguiente forma: det A = = Ejemplo: = = El determinante de una matriz cuadrada de orden 3 x 3, se obtiene de la siguiente forma: = + + En cada producto hay un factor de cada fila y uno de cada columna. Están todos los posibles productos con un factor de cada fila y uno de cada columna. La mitad de los sumandos son positivos y la otra mitad negativos. Se recuerdan fácilmente mediante la regla de Sarrus. Signo + signo 1

2 Ejemplo: = + + = = + + = Ejemplo: Hallar el valor de x, para que: x x = x x + x = Entonces x =. 2. Propiedades de los determinantes: 1. El valor de un determinante de una matriz triangular es el igual al producto de los elementos de la diagonal principal: = = 2. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes: = Comprobar para A = y B = 3. El determinante de una matriz es igual al determinante de su traspuesta: = t 4. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, su determinante es cero. =0. En cada uno de los sumandos aparece un elemento de esa fila. 5. Si se cambian entre sí dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo: = Y = 2

3 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales, el determinante es cero. = 7. Si multiplicamos o dividimos por un mismo número todos los elementos de una fila o de una columna, de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado o dividido por ese número: K K K = K = 8. Si una fila o una columna está formada por términos que son suma de dos sumandos, el determinante es igual a la suma de los determinantes que se obtienen sustituyendo los términos por los primeros y segundos sumandos respectivamente: = + 9. Si dos filas o dos columnas son proporcionales, el determinante es cero: = = 10. Si una fila o columna es combinación lineal de otras el determinante es cero: K + M K + M = K + M + = K K K M M M =. La última columna es 10 C 1 + C 2 3

4 11. Si a una fila o a una columna se le suma una combinación lineal de las demás el determinante no varía: = + K + M + K + M + K + M Ejemplo: = : Hemos sumado a la F 3 la - F 1 Podemos multiplicar a una fila o una columna por un número y sumárselo a otra. 3. Menor complementario y adjunto de un elemento: Menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada, es el determinante de la matriz obtenido al suprimir la fila i-ésima y la columna j-ésima. = ( ) El menor complementario del elemento es: α =. Adjunto del elemento a : Es el número que se obtiene así = + α. es por lo tanto el menor complementario con un signo. Ejemplo: Sea la matriz = ( ) Calcular y. = = ; = 5 = 4

5 Matriz Adjunta de una matriz A: Es la matriz formada los adjuntos de los elementos de la matriz dada. Adj (A) = ( ) Ejemplo: Hallar la matriz adjunta de la matriz = ( ) Solución: Adj (A) = ( ) 4. Determinante de una matriz de orden n: n n = + + n n n n nn Podríamos haber elegido cualquier otra fila o columna y el resultado es el mismo. Ejemplos: = 1 + = + + = = = = Cálculo de determinantes haciendo ceros: Resulta muy útil para calcular determinantes utilizar la propiedad 11. Si a una fila o una columna se le suma una combinación lineal de otras, el determinante no varía. (Multiplicaremos a una fila o una columna por un número y se lo sumaremos a otra para hacer ceros y desarrollar por esa fila o columna). = = = = = C 3 C 1 y 2C 1 C 4 3 F 1 + F 3 5

6 = = = = = F 1 F 4 C 1 C 3 y C 2 + C 3 También se pueden hacer ceros por debajo de la diagonal principal utilizando el método de Gauss. 5. Matriz inversa mediante determinantes: Dada una matriz A, de cualquier orden, la matriz tiene inversa, siempre que. En tal caso se dice que la matriz es regular, en caso contrario diríamos que la matriz es singular. La matriz inversa se calcula: A = Ad AT Veamos la comprobación, por ejemplo, para una matriz cualquiera de orden 2 x 2. Si A = entonces A -1 = ( matriz inversa: ). Comprobemos que es la = ( ) = a A +a A a A +a A = a A +a A a A +a A = Ejemplo: Hallar la inversa de A = ; = ; = = Ejemplo: Hallar la inversa de la matriz A = ( ) ; = = ( ) 6

7 Ejemplo: Para qué valores de m la matriz A no tiene inversa? Hallar la inversa para m = 0. m A = ( m ) ; Hazlo. 6. Rango de una matriz mediante determinantes. El rango de una matriz es el número de filas (o de columnas) linealmente independientes. Podemos calcular el rango de una matriz por el método de Gauss. Podemos utilizar los determinantes para calcular el rango de una matriz. Si las filas (o columnas) de una matriz cuadrada son linealmente dependientes entonces el determinante es igual a cero, es decir: = Las filas de A son linealmente dependientes. Las filas de A son linealmente independientes. Podemos definir el rango de una matriz A es el orden del mayor menor no nulo. Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A = Un menor de orden dos no nulo es el menor esto nos asegura que las dos primeras filas de A son l.i. por lo tanto Rango (A). Veamos si la tercera fila depende linealmente de ellas para ello, añadimos los dos nuevos elementos, -3 y -1, y calculamos todos los menores de orden tres en que intervengan esas dos columnas, por si alguno de ellos es distinto de cero: = = ; al ser cero todos ellos, se deduce que la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras. Si alguno de los menores de orden tres hubiese sido distinto de cero, la tercer afila sería l.i de las dos primeras y ampliaríamos las tres columnas con los elementos correspondientes de la cuarta fila y probaríamos si el determinante de orden 4 es distinto de cero. Ahora hacemos con la cuarta fila lo mismo que hemos hecho con la tercera: ; luego La fila 1, la fila 2 y la fila 4 son L.i, luego el rango es 3. Ejemplo: Hallar el rango de la matriz A = Rango A Las dos primeras filas son l.i. 7

8 = = ; Las tres primeras filas son l.i. Rango de A = = 8

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