Parte 1: Fundamentos matemáticos. Parte 2: Mecánica Cuántica.

Transcripción

1 INTRODUCCIÓN L MECÁNIC CUÁNTIC Prte : Fudmetos mtemátos Prte : Meá Cuát

2 Prte : FUNDMENTOS MTEMÁTICOS Espos etorles ompleos de dmesó ft Operdores leles Represetó mtrl Proyetores utolores y utoetores Operdor duto o hermíto ougdo Operdor utoduto Propeddes Operdor erso Operdor utro Produto tesorl

3 Repso: Espo eulídeo trdmesol E OPERCIONES BÁSICS OPERCIONES BÁSICS ) SUM DE VECTORES E E Dd E SUM l E y E Ddos, E y R r Ddo ) MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR, E r y E r r COMBINCIONES LINELES E r r

4 ) PRODUCTO ESCLR os ( omutto) ( r s) r s ( leldd) 0 ( desg Cuhy Shwrz ) 4

5 BSE ORTONORML e e e e r e r r e e e r sedo e e e e e e e 5

6 ESPCIOS DE HILBERT Estudremos espos etorles leles ompleos de dmesó ft (pr el desrrollo de l formó uát) Los eslres so úmeros ompleos Usremos l otó r-ket de Dr Cd etor estrá represetdo por u ket : 6

7 SUM DE VECTORES V propeddes V V ( ) ( ) MULTIPLICCIÓN POR UN ESCLR V C úmero V ompleo propeddes ( ) ( d) d ( d ) ( d ) 7

8 PRODUCTO ESCLR (produto tero) Propeddes Ddos ( d ) Norm de u etor 0 y C skew symmetry postdd d leldd Vetor ormlzdo (orm udd)=etor utro etor dul o " r" d V C 8

9 prtr de ls propeddes del produto eslr, se puede demostrr que: Demostró: ] [ DESIGULDD DE CUCHY SCHWRZ DESIGULDD DE CUCHY-SCHWRZ Eero : demostrr l desguldd de Cuhy-Shwrz yud: Úsese que el produto eslr de u etor por sí msmo es defdo posto, y defíse el etor 9 ; sedo defíse el etor

10 INDEPENDENCI LINEL,, m V m m 0 m 0 DIMENSIÓN DEL ESPCIO VECTORIL = úmero máxmo () de etores lelmete depedetes BSE DEL ESPCIO VECTORIL: etores lelmete depedetes (outo ompleto de etores) Culquer etor puede expresrse omo omó lel de los etores de l se BSE ORTONORML,,,, ;,,, ;,,, 0

11 Expresó del produto eslr y l orm prtr de ls ompoetes y ; Demostró: Demostró:,,

12 OPERDORES LINELES leldd Operdor ( ) operdor detdd I operdor ulo N 0 etor ulo 0, 0 sum de operdores C B C ( B) B produto de operdores es C B ; B OJO B B! ( B )

13 REPRESENTCIÓN MTRICIL U operdor está represetdo e ert se prtr de u mtrz udrd Operdor Bse,,,? ;

14 PROYECTORES Propeddes ) P ) S 0 ) P P P etor utro V P P 0 PROYECTORES SOBRE ESPCIOS MULTIDIMENSIONLES P k l l l P P RELCIÓN DE CIERRE l sum de los proyetores sodos los etores de u se ortoorml es gul l detdd: d Bse,,, I 4

15 UTOVLORES Y UTOVECTORES Â C Vetor propo o utoetor Vlor propo p o utolor L euó de utolores sempre tee soluó p Euó rteríst pdet Idet 0 es u fuó poloml de grdo Tee ríes omples (utolores),,, L euó rteríst depede sólo del operdor, o de su represetó mtrl e u se dd Por tto, los utolores de u operdor o depede de su represetó mtrl Los utoetores de u operdor lel, orrespodetes utolores dsttos, so lelmete depedetes 5

16 OPERDOR DJUNTO O HERMÍTICO CONJUGDO  PROPIEDDES (Eero : demostrr ests propeddes de los operdores dutos)  ( B ) B ( B ) operdores dutos) ( ) B Represetó mtrl: trspuest ougd (Eero : demostrr l propedd sguete:) T OPERDOR UTODJUNTO (O HERMÍTICO) T R PROPIEDDES DE LOS OPERDORES UTODJUNTOS: Demostró: ª Sus utolores so úmeros reles  ; R R 6

17 ª Los etores propos orrespodetes utolores dsttos so ortogoles etre sí Demostró: Los uotoetores de u operdor hermíto, e el so o degeerdo, form u outo ortoorml de etores E el so degeerdo, d tmé es posle ostrur u outo ortoorml de utoetores del operdor Por tto, sempre es posle eotrr, prtr de los etores propos de u operdor hermíto, u se ortoorml del espo de Hlert ( ) 0 0 7

18 OPERDOR INVERSO Â B operdor erso Def B B I El erso de u operdor exste sí y sólo sí el determte t de l mtrz que lo represet es o ulo OPERDOR UNITRIO U Def UU U U I U operdor es utro udo su U U duto es gul su erso: Propeddes: ) El produto de dos operdores utros es utro UV UV UVV U I B) El produto eslr es rte o trsformoes utrs E oseue, u operdor utro o modf l orm de u etor (eero 4: demostró de est propedd) De este modo, los operdores utros tú e el espo de Hlert de u mer álog ls rotoes e el espo euldeo, ls ules mtee el módulo de u etor, y el águlo etre dos etores 8

19 PRODUCTO TENSORIL Espo H Dmesó m Ket Espo H Dmesó Ket ESPCIO PRODUCTO TENSORIL DE H Y H Dmesó m Ket H H H S u etor perteeete H y otro perteeete H se les puede sor u etor (produto tesorl de mos etores) perteeete H, etoes H es el produto tesorl de H y H PROPIEDDES: C, H ( ), H ( ) H H, ( )

20 Notó BSES ORTONORMLES KET EN H m H H H, kl H H m m m m m m K K K OPERDORES K ( ) m  H B H B H H m m k l m m m

21 rs B B d r s B d rs d r s d rs d rs r B s Represetó mtrl B B m B B B mb B B es u mtrz B B m m mm B es u mtrz m m B es u mtrz B es u mtrz m m