Departamento: Física Aplicada III. Mecánica Racional (Ingeniería Industrial) Curso Estática Analítica
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- Andrea Martín Rojo
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1 Departamento: Físca Aplcada III Mecánca Raconal (Ingenería Industral) Curso Estátca Analítca. Introduccón: Necesdad de elmnar de las ecuacones mecáncas las fuerzas vnculares. Conceptos ncales a. Equlbro de un sstema { P }: { v, a } b. Sstema de referenca:. Inercal. Equlbro en un S.R.I. no mplca en otro S.R.I. 3. Espaco de las confguracones a. Hpótess. Sstema compuesto de N partículas: 3 N coordenadas de poscón x x.... 3N. r ecuacones de lgadura: Ψ ( x... x3n), =... r, ó Ψ ( x) ( =... r, =...3 N) b. Grados de lbertad l=3n-r c. Coordenadas generalzadas: q... qn, n 3N r. Defnen la poscón del sstema dada por: n. Casos x = x ( q... q, t) ( =...3 N) n> 3N r : q dependentes ó lgadas n= 3N r : q ndependentes ó lbres d. Concepto de espaco de las confguracones Hperespaco afín de dmensón n Cada dmensón se corresponde con una de las coordenadas ndependentes q : Cada punto (... ) se corresponde con una confguracón del sstema C q q n 4. Desplazamentos de un sstema a. Concepto: ( ). Confguracón: CPP (,... P N ) ó C q P : coordenadas de poscón del punto P. Cambo de confguracón: ' (,... ) dc dp dp dp N (... q, t) C ( P ', P '... P ') C( P, P... P ) N b. Clases. Reales: Debdos a la evolucón temporal del sstema. Vrtuales:. Cualquera nfntesmal. Compatble con las lgaduras 3. A tempo constante ( congelado ) c. Número. Dependentes: nfntos = α δx. Independentes: n (grados de lbertad) n N δp (x : c. cartesanas dependentes). P ndca el vector OP
2 Mecánca Raconal (Industrales) n P δ P = δ q = q q son coordenadas lbres y cada sumando de la expresón anteror es ndependente de los demás d. Clasfcacón. Reversbles: Puede expermentar δ P ó - δ P. Irreversbles: Solo puede expermentar δ P y no δ P - δ P Estátca analítca Φ δ P 5. Prncpo de los trabaos vrtuales para enlaces blaterales deales: a. Enuncado: La condcón necesara y sufcente para que un sóldo rígdo se encuentre en equlbro es que el trabao vrtual de las fuerzas actvas sea nulo: F δ r equlbro b. Trabao de las fuerzas de lgadura. Vínculos blaterales: φ δr δw = φ δr. Vínculos unlaterales. Reversbles δw = φ δr. Irreversbles δw = φ δr 0 c. Teorema drecto: S equlbro F δ r ( F : Fuerza externa actva) Cada partícula debe estar en equlbro F + F, + φ F δr + F, δr + φ δr F δr + F, δr + φ δr, φ δr : Por ser el trabao vrtual de las fuerzas de lgaduras F, δ r : Por ser el trabao vrtual de las fuerzas nternas en el S.R., d. Teorema recíproco: s F δ r entonces hay equlbro S no hubere equlbro se puede aplcar el teorema de la energía cnétca (Consderemos T 0 =0): F δr + F δr + φ δr = T ( T 0),, Como φ δr : Por ser el trabao de las fuerzas de lgaduras F, δ r : Por ser el trabao de las fuerzas nternas en el S.R., Resulta F δ r 0, en contra de la hpótess e. Ecuacón smbólca de la estátca ó P.T.V.: F δ r f. Generalzacón del concepto de lgaduras deales Puede observarse que en la demostracón anteror no es precso exgr que se anule el trabao vrtual de cada fuerza de lgadura sno el trabao vrtual del conunto de las fuerzas de lgadura. Φ δ r δ P pag /7
3 Mecánca Raconal (Industrales) Estátca analítca Esta últma expresón representa la condcón de lgaduras deales g. Caso de vínculos rugosos: Inclur las fuerzas de rozamento como actvas h. Aplcacón: Partícula ó perlna, ensartada en una alambre en forma de parábola (x =ay), sometda a una fuerza repulsva proporconal a la dstanca al ee OY Fuerzas actvas: peso p = y repulsva F = mω x Desplazamento vrtual: δr = δx + δy Compatble con las lgaduras: Dferencamos la ecuacón de la lgadura x xδ x = aδ y, δr = δx + δx a Trabao vrtual de las fuerzas actvas: mω xδx δy mx( ω gδx/ a x= a y ) Como δx es cualquera puede ser ω g/ a, Cualquer valor de x es poscón de equlbro ω g/ a 0, Poscón de equlbro: x=0 O Y P F= m ω x F=m g X. Aplcacón: Y Partícula pesada oblgada a moverse sobre una F elpse y es atraída haca los focos por una fuerza proporconal a la dstanca. A (-a,0) O F = PA, F = PA, F = PA = ( a x) + ( y) F = ( a x) y PA = ( a x) + ( y) F = ( a + x) y F = x (y+ ) Desplazamento vrtual: δr = δx + δy : x y xδx yδy b x Lgadura: + = + δ y = δ x a b a b a y Trabao vrtual de las fuerzas actvas: xδ x ( y + ) δ y ( ) b x x + y + x 0 a y δ b =, x + ( y+ ) x 0 a y δ = Solucones: x, y =± b b b y + ( y+ ) y =, x= a y a b a b P=(x,y) F A(a,0) X 6. Ecuacones del equlbro en coordenadas lbres a. Expresón del P.T.V. Enlaces holónomos: r = r( q... qn, t) pag 3/7
4 Mecánca Raconal (Industrales) Estátca analítca r r En general: dr = dq + dt t r Desplazamento vrtual (para tempo constante): δr = δq Prncpo de los trabaos vrtuales: F δ r r F q 0, q δ =, r r F δ q q ndependentes F (=..n) q r Q = F : Fuerza generalzada correspondente a la coordenada q q b. Interpretacón según los conceptos de coordenadas curvlíneas () r e =, Vector de la base contravarante en el punto P q r () () () n() () () () F = ( F e Fn e ) e = F = Q : Componente de la fuerza expresada en coordenadas generalzadas en el punto r () F Q Q () = Q Componente de la fuerza generalzada resultante Expresón del P.T.V. en coordenadas generalzadas: Q =0 c. Sgnfcado de las fuerzas generalzadas según las dmensones de la coordenada generalzada. En general para un sstema de coordenadas ndependentes, la expresón del trabao de las fuerzas actvas en coordenadas generalzadas es dw = Q dq, despeando Q W = q En térmnos de potenca P= Q q, despeando P Q = q donde P representa la potenca de las fuerzas actvas. En el caso del sóldo rígdo o dcha potenca vale P= F v + M ω que puede generalzarse medante la expresón P = Fx + Mϕ. o Donde se han dvddo las coordenadas generalzadas en dos tpos: las que tenen por dmensón una longtud se les llama x, y las que son magntudes angulares φ. El conunto { x, ϕ }, representan las velocdades generalzadas. Comparando las expresones de la potenca en el sóldo rígdo con la potenca expresada en coordenadas curvlíneas, llegamos a las sguentes conclusones: - Cuando la coordenada generalzada es una longtud P Q = F = la fuerza generalzada es una fuerza q pag 4/7
5 Mecánca Raconal (Industrales) Estátca analítca - En el caso de que la coordenada generalza sea una magntud angular P Q = M = la fuerza generalzada es un momento q d. Aplcacón: O Varlla pesada de longtud a, suspendda por el X extremo artculado en el orgen de coordenadas. El otro extremo es repeldo por el ee OY con una θ fuerza proporconal a la dstanca. G 7. Cálculo de las reaccones a. Lberar solo la fuerza vncular que se desea conocer y aplcar el P.T.V. b. Aplcacón: Vga de longtud a, apoyada en los extremos A y B: Fuerzas actvas: P=, aplcada en r G = ( a,0 ) B Lberacón en B: φ = φ B aplcada en OB = ( a,0) Aplcacón P.T.V.: Coordenada lbre θ a rg = ( cos θ + senθ ), OB= rg r G B OB B + φ φ = A Y Φ Α m g P F= x Β Φ B Β Φ 8. Caso de fuerzas dependentes de un potencal a. Expresón del gradente en coordenadas curvlíneas A Una fuerza, se dce que es conservatva s su trabao es ndependente del camno ó lo que es lo msmo, exste una funcón escalar V, funcón del punto, tal que θ P Δ V = r F dr, para r0 Cualquer trayecto entre P 0 y P. Tambén se dce que V es una dferencal exacta. Según la defncón anteror dv = Fdr F = V r = r( q ), ( =... n) r, dr = dq q r dv = F dq = F edq = Fdq F = q Tenendo en cuenta que F es solo la componente en la base covarante, la expresón vectoral del vector completo en dcha base será F = e Comparando con la expresón ncal se deduce la expresón del operador y con ello la expresón del gradente en coordenadas covarantes. φ = e ; gradφ = φ = e B pag 5/7
6 Mecánca Raconal (Industrales) Estátca analítca b. Expresón del P.T.V.. Fuerza (se consdera solo una): F = V, F = e q r. P.T.V.: F ó F e e e = δ =, (=..n). Caso de varas fuerzas conservatvas (m): m V = V c. Aplcacón: (Eercco anteror) Varlla pesada de longtud L, suspendda por el extremo artculado en el orgen de coordenadas. El otro extremo es repeldo por OY con una fuerza proporconal a la dstanca. Coordenada lbre θ: Fuerzas actvas: P=, F = x Potencales: V G =½m gl (-cos θ), V = -½(L sen θ ) G P.T.V.: + = Lsenθ L senθ Lcosθ senθ, cosθ = Solucones: a) θ=0, b) θ=π, c) L θ = Arc cos L = d. Equlbro v. Clases: Estable e nestable v. Confguracón estable: Aquella que separada lgeramente de la poscón de equlbro e mpulsada con una pequeña velocdad, en cualquer nstante posteror dfere muy poco de la de equlbro. v. Teorema de Leeume-Drchlet Hpótess: Vínculos holónomos, Esclerónomos (ndependentes de t) Fuerzas dependentes de un potencal Teorema: Equlbro estable en aquellas poscones donde el potencal es un mínmo estrcto: Explcacón: Desarrollo en sere de Taylor V V( q) = V( a) + Δ q + ΔqΔ q +..., Δ V = V( q) V( a) V Δ V = ΔqΔq, S para todo q V >0 Mínmo: Equlbro estable pag 6/7
7 Mecánca Raconal (Industrales) Estátca analítca V < 0 Máxmo: Equlbro nestable V =0 Debe prolongarse el desarrollo e. Aplcacón: Varlla del caso anteror. L = Lsenθ L senθ Lcos θ; = Lsenθ senθ V = Lcosθ L cosθ V = Lcosθ L ( cos θ ) Solucón θ=0 V = L L θ > L: Mínmo. Equlbro estable < L: Máxmo. Equlbro nestable Solucón θ=π V = L L : Máxmo. Equlbro nestable θ θ= π Solucón cosθ 3 = ; L > L: < L: V L m = θ 3 g Máxmo Equlbro nestable Mínmo. Equlbro estable Bblografía Cuadernos de Mecánca. Dnámca. Marcelo Rodríguez Danta Curso de MECÁNICA RACIONAL. Dnámca. Manuel Preto Alberca. Edtoral A.D.I Mecánca del Sóldo Rígdo, Carlos F. González Fernández. Arel Cenca. Mecánca Clásca, Herbert Goldsten. Edtoral Agular Físca para Arqutectos, P.Hervas pag 7/7
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