PRIMER NIVEL. las bisectrices del triángulo ABC y calcular la medida del ángulo AM B.

Transcripción

1 PRIMER NIVEL PRIMER DÍA Prblema 1. En basquetbl, llamams ceficiente de eficacia de un jugadr al resultad de dividir la cantidad de tirs libres embcads pr la cantidad de tirs libres ejecutads. Al finalizar el primer tiemp el ceficiente de eficacia de Mate era menr que 3 4, y al finalizar el partid era mayr que 3 4. Se puede afirmar cn certeza que hub un mment en el que su ceficiente de eficacia fue exactamente 3 4? Respnder la misma pregunta para 3 5 en lugar de 3 4. Prblema 2. Se tienen 100 cajas infinitamente grandes cn exactamente una ficha en cada caja. Brun puede agregar en cada caja cuantas fichas quiera. A cntinuación se desarrlla la siguiente secuencia de pass: En el pas 1 se agrega una ficha a cada caja. En el pas 2 se agrega una ficha en cada caja que cntenga una cantidad par de fichas. En el pas 3 se agrega una ficha en cada caja en la que la cantidad de fichas sea divisible pr 3. En el pas 4 se agrega una ficha en cada caja en la que la cantidad de fichas sea divisible pr 4, y así siguiend. El bjetiv de Brun es que siempre se pueda encntrar entre las 100 cajas ds que cntengan diferente cantidad de fichas. Determinar si Brun puede agregar cnvenientemente las fichas antes de la secuencia de pass para lgrar su bjetiv. Prblema 3. Sea ABC un triángul rectángul cn C 90. Ls punts D y E en la hiptenusa AB sn tales que AD AC y BE BC. Ls punts P y Q en AC y BC respectivamente sn tales que AP AE y BQ BD. Sea M el punt medi del segment PQ. Demstrar que M es el punt de intersección de las bisectrices del triángul ABC y calcular la medida del ángul AM B.

2 PRIMER NIVEL SEGUNDO DÍA Prblema 4. En cada casilla de un tabler de hay que escribir un númer natural de 1 a n inclusive de md que se usen tds ests númers (se pueden repetir). Si una fila cntiene ds casillas A y B cn el mism númer k y A está a la izquierda de B entnces n hay númers k en las casillas de la clumna de A que estén pr encima de A. El númer n es el menr psible. Determinar el valr de n y mstrar un tabler cn esas cndicines. Prblema Se cnsideran ls 100 númers 199,199,199,199,...,199. A cada un de ells se le calcula la suma de sus dígits. Determinar el valr mínim que se btiene al hacer estas 100 cuentas. Prblema 6. Alex y Bibi juegan al siguiente jueg. Alex elige un númer natural k menr igual que Lueg Bibi elige una clección B que cntiene más de k númers enters entre 0 y 1000 inclusive y en la que puede haber repeticines. Ahra Alex puede aplicar reiteradas veces la siguiente peración en B: elige k númers de B y ls cambia del siguiente md. A cada númer elegid b l reemplaza pr b 1 si b es menr que 1000 y l reemplaza pr 0 si b Alex gana si mediante varias peracines lgra que tds ls númers de B sean iguales a 0; si él fracasa entnces gana Bibi. Hallar tds ls k que garantizan a Alex una victria, n imprta la clección B que elija Bibi.

3 SEGUNDO NIVEL PRIMER DÍA Prblema 1. En las casillas de un tabler de Julián escribe tds ls númers enters desde 1 hasta 100 inclusive en algún rden, a su elección, y sin repetir númers. Para cada tres casillas cnsecutivas del tabler, se marca la casilla que cntiene al númer cn el valr del medi de ls númers de esas tres casillas. Pr ejempl, si ls tres númers sn 7, 99 y 22 entnces se marca la casilla del 22. Sea S la suma de tds ls númers de las casillas marcadas. Determinar el mínim valr que puede tmar S. ACLARACIÓN. Cada númer marcad interviene en la suma S exactamente una vez, sin embarg puede estar marcad más de una vez. Prblema 2. Se elige el punt D del lad BC del triángul acutángul ABC de md que AD AC. Sean P y Q respectivamente ls pies de las perpendiculares desde C y D al lad AB. Se sabe que AP 3BP AQ 3BQ. Calcular la medida del ángul ABC. Prblema 3. Nic quiere escribir alrededr de una circunferencia ls 100 númers enters del 1 al 100 en algún rden y sin repeticines, para que tengan la siguiente prpiedad: al recrrer la circunferencia en el sentid de las agujas del relj, la suma de las 100 distancias entre cada númer y su siguiente sea igual a 198. Determinar de cuántas maneras se pueden rdenar ls 100 númers para que Nic lgre su bjetiv. ACLARACIÓN: La distancia entre ds númers a y b es igual al valr abslut de su resta: a b.

4 SEGUNDO NIVEL SEGUNDO DÍA Prblema 4. Se tiene un tabler cn n filas y 12 clumnas. Cada casilla del tabler cntiene un 1 un 0. El tabler tiene las siguientes prpiedades: (a) Cada ds filas sn distintas. (b) Cada fila cntiene exactamente 4 casillas cn 1. (c) Para cada 3 filas hay una clumna que las interseca en tres casillas cn 0. Hallar el mayr n para el que existe un tabler cn estas tres prpiedades. Prblema 5. Para cada par a, b de númers naturales cprims sea d ab, el máxim cmún divisr de 51 a b y a 51 b. Hallar el máxim valr psible de d ab,. ACLARACIÓN: a y b sn cprims si su máxim cmún divisr es igual a 1. Prblema 6. Se marcan en una circunferencia 999 punts negrs que la dividen en 999 arcs de lngitud 1. Hay que clcar sbre la circunferencia d arcs de lngitudes 1,2,...,d de md que cada arc cmience y termine en ds punts negrs y ningun de ls d arcs esté cntenid en tr de ls d arcs. Hallar tds ls valres de d para ls cuales esta cnstrucción es psible. ACLARACIÓN: Ds arcs pueden tener un más punts cmunes.

5 TERCER NIVEL PRIMER DÍA Prblema 1. Dar una prgresión aritmética de 2016 númers naturales tales que ningun sea ptencia perfecta per su multiplicación sea una ptencia perfecta. k ACLARACIÓN: Una ptencia perfecta es un númer de la frma n dnde n y k sn ambs númers naturales mayres iguales que 2. Prblema 2. Para un enter m 3 sea 1 1 Sm ( ) m (la fracción 1 2 n participa en la suma y sí participan las fraccines 1 para ls enters desde 3 hasta m). Sean 3 k n y k 3. Cmparar ls númers S( nk ) y S( n) S( k). Prblema 3. Agustín y Lucas, pr turns, marcan cada vez una casilla que aun n ha sid marcada en un tabler cuadriculad de Agustín cmienza el jueg. N se puede marcar una casilla que ya tenga ds casillas marcadas en su fila su clumna. El que n puede hacer su mvida pierde. Decidir cuál de ls ds jugadres tiene estrategia ganadra.

6 TERCER NIVEL SEGUNDO DÍA Prblema 4. Hallar ls ánguls de un cuadriláter cnvex ABCD tal que y ACD 58. ABD 29, ADB 41, ACB 82 Prblema 5. Sean a y b númers racinales tales que 2 2 a b a b. Supngams que el valr cmún 2 2 s a b a b n es enter, y escribámsl cm fracción irreducible: divisr prim de n. Hallar el mínim valr de p. m s. Sea p el menr n Prblema 6. Sea AB un segment de lngitud 1. Varias partículas cmienzan a mverse simultáneamente a velcidades cnstantes desde A hasta B. Tan prnt cm una partícula alcanza B, da vuelta y se dirige a A; cuand llega a A, cmienza a mverse nuevamente hacia B, y así indefinidamente. Hallar tds ls númers racinales r 1 tales que existe un instante t cn la siguiente prpiedad: 2 n Para cada n 1, si n 1 partículas cn velcidades cnstantes 1, r, r,..., r se mueven cm se describió, en el instante t tdas ellas se encuentran en un mism punt interir del segment AB.