EJERCICIOS UNIDADES 3 y 4: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES

Transcripción

1 IES Padre Poveda (Guadi) EJERCICIOS UNIDADES y : INTEGRACIÓN DE FUNCIONES a. (6-M-A-) (.5 puntos) Calcula el valor de a > para el que se verifica d. +. (6-M-B-) (.5 puntos) Considera la función : R R f definida por f ( ) con m >. Calcula el área del recinto encerrado por la gráfica de f y el eje OX. ( m ), m. (7-M-A-) (.5 puntos) Calcula d + (sugerencia t ). 6 d. (7-M;Jun-B-) (.5 puntos) Calcula + (sugerencia t ). 5. (7-M5-A-) Sea I 8 d. + + a) (.5 puntos) Epresa I aplicando el cambio de variable t + +. b) (.5 puntos) Calcula el valor de I. 6. (5-M-A-) (.5 puntos) Calcula el valor de a > sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola y + a y la recta y es. 7. (5-M-B-) Sea f la función definida por ( ) ( ) primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ln( ) ) 8. (5-M-A-) Sea f la función definida por f ( ) logaritmo neperiano) y sea F la primitiva de f tal que ( ). + f para y y sea F la P ( ln denota logaritmo neperiano). a) (.5 puntos) Calcula la recta tangente a la gráfica de F en el punto P. b) ( puntos) Determina la función F. ln( ) para > (ln denota la función F a) (.5 puntos) Calcula F ( e). b) ( puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa e. 9. (5-M5-A-) (.5 puntos) Calcula d + ( ) (Sugerencia: + t ).. (-M;Jun-A-) Sean f : R R y g : R R las funciones definidas respectivamente por f ( ) y g( ) +. a) ( punto) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes y calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g.. (-M;Jun-B-) (.5 puntos) Sea f la función definida por ( ) ln ( +) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,).. (-M-A-) (.5 puntos) Calcula ln( ) f para >. d (ln denota el logaritmo neperiano). Unidades y : Integración de Funciones

2 IES Padre Poveda (Guadi). (-M-A-) (.5 puntos) Determina una función derivable f : R R sabiendo que si < f () y que f ( ). e si. (-M-B-) Considera el recinto limitado por las siguientes curvas y, y, y. a) ( punto) Haz un esbozo del recinto y calcula los puntos de corte de las curvas. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto. 5. (-M;Sept-A-) (.5 puntos) Calcula d. π 6. (-M;Sept-B-) (.5 puntos) Calcula cos d. (Sugerencia: integración por partes). 7. (-M5-A-) Sea f : R R la función definida por f ( ) +. a) (.75 puntos) Halla, si eiste, el punto de la gráfica de f en el que la recta tangente es y. b) (.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y la recta del apartado anterior. 8. (-M5-B-) (.5 puntos) Sea f : (, ) R la función definida por f ( ) Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (,). 9. (-M6-A-) (.5 puntos) Calcula d + ( ). (Sugerencia: cambio de variable. (-M-A-) Sean f y g las funciones definidas por f ( ) y ( ). a) (.5 puntos) Calcula los puntos de corte entre las gráficas de f y g. b) (.5 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. c) (.5 puntos) Halla el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. e. (-M-B-) (.5 puntos) Calcula d. + e Sugerencia: se puede hacer el cambio de variable t e. + 9 ( + )( ). t ) g para +. (-M;Sept-B-) Sea g : R R la función definida por g ( ) a) (.75 puntos) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de g en el punto de abscisa. b) (.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y +. Calcula el área de este recinto. π. (-M-B-) (.5 puntos) Calcula sen( ) +. (-M-A-) (.5 puntos) Halla d + d.. Sugerencia: cambio de variable t. Unidades y : Integración de Funciones

3 IES Padre Poveda (Guadi) 5. (-M-B-) Sea g : (, + ) R la función definida por g( ) ln( ). a) (.5 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de g y la recta y. Calcula los puntos de corte entre ellas. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto anterior. 6. (-M5-A-) (.5 puntos) De la función f : R R definida por f ( ) a + b + c + d se sabe que alcanza un máimo relativo en, que la gráfica tiene un punto de infleión en 5 (, ) y que f ( ) d. Calcula a, b, c y d. 7. (-M6;Jun-A-) Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f ( ) ( ) y ( ) + g. a) (.5 puntos) Esboza las gráficas de f y g sobre los mismos ejes. Calcula los puntos de corte entre ambas gráficas. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 8. (-M6;Jun-B-) (.5 puntos) Sea : R R Calcula la primitiva de g cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. g la función definida por ( ) ln( +) g. f las funciones definidas por f ( ) sen ( ) y g( ) cos( ) 9. (-M-A-) Sean, g : R R respectivamente. π a) (.75 puntos) Realiza un esbozo de las gráficas de f y g en el intervalo,. b) (.75 puntos) Calcula el área total de los recintos limitados por ambas gráficas y las π rectas y.. (-M-A-) Sea f : R R la función definida por f ( ) a) (.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) (.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta y, determinando los puntos de corte de ambas gráficas. c) ( punto) Calcula el área del recinto anterior.. (-M-B-) Sean, g : R R ( ) + g respectivamente. f las funciones definidas por f ( ) y a) (.75 puntos) Halla los puntos de corte de sus gráficas y realiza un esbozo del recinto que limitan. b) (.75 puntos) Calcula el área de dicho recinto.. (-M;Jun-A-) Sea I d + a) (.75 puntos) Epresa la integral I aplicando el cambio de variable t. b) (.75 puntos) Calcula el valor de I. 9. (-M;Jun-B-) Sea f : R R la función definida por f ( ) a) (.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) (.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, la recta + y 5 y el eje de abscisas. Calcula el área de dicho recinto. Unidades y : Integración de Funciones

4 IES Padre Poveda (Guadi). (-M;Sept-A-) Sea f una función continua en el intervalo [, ] primitiva de f tal que F ( ) y F ( ). Calcula: a) (.75 puntos) f ( ) d b) (.75 puntos) ( f ( ) 7) 5 d c) ( punto) ( ( ) ) F f ( ) 5. (-M;Sept-B-) Sea la función f definida por ( ) d y F una función f para y. a) (.5 puntos) Halla una primitiva de f. b) (.5 puntos) Calcula el valor de k para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de f en el intervalo [, k] sea ln ( ), donde ln denota el logaritmo neperiano. 6. (-M5-B-) (.5 puntos) Calcula los valores de a y b sabiendo que la función f : (, + ) R definida por f ( ) a + b ln( ), donde ln denota la función logaritmo neperiano, tiene un etremo relativo en y que f d 7 8ln ( ) ( ) 7. (-M6-A-) (.5 puntos) Sea la función : R R Determina la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (, ). 8. (-M6-B-) Sean las funciones : R R ( ) g respectivamente. f definida por f ( ) ( ) e. f y g :[, + ) R definidas por ( ) f y a) (.75 puntos) Halla los puntos de corte de las gráficas de f y g. Realiza un esbozo del recinto que limitan. b) (.75 puntos) Calcula el área de dicho recinto. 9. (-M-A-) (.5 puntos) Calcula el valor de b >, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva. (-M;Sept-B-) Sean, g :R R g ( ) y y la recta y b es de unidades cuadradas. f las funciones definidas por ( ) + f y a) (.75 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. b) (.75 puntos) Esboza el recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y la recta y + 5. Calcula el área de este recinto.. (-M5-A-) (.5 puntos) Determina la función f : (, + ) R tal que f ( ) gráfica tiene tangente horizontal en el punto P (, ).. (-M6;Jun-A-) Sea f : (, + ) R la función definida por f ( ) ln ( +) y su, donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) (.75 puntos) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f, el eje OY y la recta y. Calcula los puntos de corte de las gráficas. b) (.75 puntos) Halla el área del recinto anterior. Unidades y : Integración de Funciones

5 IES Padre Poveda (Guadi). (-M6;Jun-B-) (.5 puntos) Halla: e + ( e )( e ) Sugerencia: efectúa el cambio de variable t e. d. (-M;Jun-A-) (.5 puntos) Calcula sen( ) d. 5. (-M-B-) Considera la función : R R π Sugerencia: Efectúa el cambio t. f definida por f ( ). a) ( punto) Esboza su gráfica. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta de ecuación. 6. (-M-B-) Dada la función f : (, + ) R definida por ( ) ln, f se pide: a) (.75 puntos) Comprueba que la recta de ecuación y e + + e es la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa e. b) (.75 puntos) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta normal del apartado (a). 7. (-M6-B-) Sean f, g : R R las funciones f ( ) + y g ( ) +. a) ( punto) Esboza las gráficas de f y g, y halla su punto de corte. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones y el eje de ordenadas. 8. (9-M;Sept-B-) (.5 puntos) Sea f la función definida por f ( ) primitiva F de f que cumple F ( ). (Sugerencia: utiliza el cambio de variable. Halla la 9 t ). 9. (9-M;Jun-B-) Considera la curva de ecuación y. a) (.5 puntos) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa. b) ( puntos) Calcula el área del recinto limitado por la curva dada y la recta y. 5. (9-M-A-) Sea f : (, + ) R la función definida por f ( ) + ln( ), siendo ln la función logaritmo neperiano. a) ( punto) Comprueba que la recta de ecuación y + es la recta tangente a la e gráfica de f en el punto de abscisa e. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado a). 5. (9-M5-B-) Las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : (, + ) R definida por f ( ) + ln( ) y a la de sus derivada f : (, + ) R (ln denota logaritmo neperiano). a) (.5 puntos) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f. b) ( puntos) Calcula el área de la región sombreada. 5 Unidades y : Integración de Funciones

6 IES Padre Poveda (Guadi) 6 5. (9-M6-B-) (.5 puntos) Calcula un número positivo a, menor que, para que el recinto limitado por la parábola de ecuación 8 un área de unidades cuadradas. y y las dos rectas de ecuaciones y e y a, tenga 5. (8-M-A-) (.5 puntos) Dadas las funciones f :[,+ ) R y :[,+ ) R por f ( ) y ( ) g definidas g. Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f y g. 5. (8-M-A-) Sean f : R R y g :R R las funciones definidas por ( ) y g ( ) 6 f a) (.75 puntos) Determina los puntos de corte de las gráficas de f y g. b) (.75 puntos) Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas. 55. (7-M;Sept-B-) (.5 puntos) Determina una función f :R R sabiendo que su derivada viene dada por f ( ) + 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). 56. (7-M-A-) Considera las funciones f : R R y g : R R definidas por f ( ) e y g( ) e a) (.5 puntos) Esboza las gráficas de f y de g y determina su punto de corte. b) (.5 puntos) Calcula el área del recinto limitado por el eje OY y las gráficas de f y g. 57. (7-M6-A-) (.5 puntos) Calcula β > para que el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f : R R y g : R R definidas por f ( ) y g ( ) + β sea 7 (unidades de área). 58. (6-M;Sept-B-) (.5 puntos) Halla la función f : R R sabiendo que f ( ) 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa tiene de ecuación y (6-M;Jun-A-) Sea I d. + a) (.5 puntos) Epresa I aplicando el cambio de variable t +. b) (.5 puntos) Calcula el valor de I. 6. (6-M;Jun-B-) (.5 puntos) El área del recinto limitado por las curvas de ecuaciones y a e y a, con a >, vale. Calcula el valor de a. 6. (6-M-A-a) (.5 puntos) Sea : R R valores de a y b sabiendo que ( ) d 6 de la función f en el punto de abscisa vale. 6 f la función dada por f ( ) a + b. Halla los f y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica 6. (6-M-B-) (.5 puntos) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f sen y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas y π. ( ) 6. (5-M;Jun-A-) Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : R R definida por f ( ) e y a su función derivada f. a) ( punto) Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f. b) (.5 puntos) Calcula el área de la región sombreada. Unidades y : Integración de Funciones

7 IES Padre Poveda (Guadi) 6. (5-M-B-) Se sabe que la función f : [,+ ) R definida por f ( ) es continua en [,+ ). a) (.5 puntos) Halla el valor de a. f d. b) ( puntos) Calcula ( ) a si 8 si > (5-M5-A-) Se sabe que la gráfica de la función f :R R definida por f ( ) + a + b+ c es la que aparece en el dibujo. a) (.5 puntos) Determina f. b) (.5 puntos) Calcula el área de la región sombreada. 66. (-M;Sept-A-) (.5 puntos) Halla el área de la superficie sombreada. 67. (-M;Sept-B-) (.5 puntos) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la recta y y por las curvas y e y. 68. (-M-B-) (.5 puntos) En la figura adjunta, la gráfica puedes ver representada en el intervalo [ ] de la parábola de ecuación y. Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales. 7 Unidades y : Integración de Funciones