( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

Transcripción

1 I E S CARDENAL CISNEROS -- DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS INFERENCIA ESTADÍSTICA El coeficiete itelectual de los alumos de u cetro se distribuye N(110,15). Escogemos 5 alumos al azar. Cuál es la probabilidad de que el C. I. medio de los 5 alumos sea superior a 115? Teemos: µ= 110; = 15; = 5; x = N110, = N 110, Tipificamos: z = = 1,67 La ormal de la muestra es ( ) 3 Por tato P ( X 115) = P ( Z 1,67) = 1 P ( Z 1,67 ) = 1 0,955 = 0,0475 La estatura de las alumas de Segudo de Bachillerato se ajusta a la ormal N(165,8). Se escoge ua muestra de 64 alumas, cuál es el porcetaje de ellas que dará ua media etre 163 y 167? Teemos: µ= 165; = 8; = 64 8 N165, = N 165,1 La ormal de la muestra es ( ) 64 Lo que os preguta es: P( 163 X 167) Tipificamos: z = = ; z = = 1 1 Por tato: P 163 X 167 = P X 167 P X 163 = P z P z = P z 1 P z = P z 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Luego: P( 163 X 167) = 0,977 1 = 0,9544 Se sabe que el cociete itelectual de los alumos de ua Uiversidad se distribuye segú la ormal de media 100 y variaza 79. Hallar la probabilidad de que ua muestra de 81 alumos tega u coeficiete itelectual medio iferior a 106. Teemos: ( ) µ= 100; = 79 = 15 ; = 81; x = La ormal de la muestra es N 100, = N( 100,3 ) Tipificamos: z = = 3 P X 106 = P Z = 0,977 Por tato ( ) ( ) E el último año el peso de los recié acidos e ua materidad ha seguido ua distribució ormal de media 3100 gramos y desviació típica 150 gramos. Tomada ua muestra de 100 recié acidos, calcular la probabilidad que su media sea superior a 3130 gramos. Teemos: µ= 3100; = 150; = N3100, = N 3100,15 La ormal de la muestra es ( ) Lo que os preguta es: P ( X 3130) Tipificamos: z = = 15 P X 3130 = P z = 1 P z = 1 0,977 = 0, 08 Por tato: ( ) ( ) ( )

2 La masa de peras de ua cosecha se distribuye ormalmete co media 15 g y desviació típica de 0 g. a) Cuál es la probabilidad de que ua pera elegida al azar pese más de 130 gramos? b) Cuál es la probabilidad de que el peso medio de ua muestra de 5 peras sea mayor de 130 gramos? a) Es u problema de aplicació de la Normal, N(15, 0) ( ) tipificado P X 130 = P Z = P ( Z 0,5) = 1 P ( Z 0,5) = 1 0,5987 = 0, = 5 b) Ahora el problema es de la Normal de muestras, la distribució es N 15, N( 15, 4) tipificado P ( X 130) = P Z = P ( Z 1,5) = 1 P ( Z 1,5) = 1 0,8944 = 0, Observa que o el lo mismo tomar u solo elemeto que ua muestra. E el último año el estudio de cierto baco idica que el 65% de las familias teía serios problemas ecoómicos. Si se toma ua muestra de 400 familias calcular la probabilidad que al meos el 67% tega problemas ecoómicos a fial de mes. Teemos: p = 0,65; q = 1 0,65 = 0,35; = 400; 0, 65 0,35 La ormal de la muestra es N 0,65, = N( 0,65; 0,04 ) 400 0, 67 0, 65 Tipificamos: z = = 0,83 0,04 P X 0, 67 = P Z 0, 83 = 1 P Z 0,83 = 1 0,7967 = 0,033 Por tato: ( ) ( ) ( ) E el último año se ha observado que el 75% de los alumos de cierto Istituto fuma e el recreo. Si se toma ua muestra de 64 alumos, calcular la probabilidad que al meos fume 50 Teemos: p = 0,75; q = 1 0,75 = 0,5; = 64; 50 x = = 0, , 75 0,5 64 0,7815 0,75 Tipificamos: z = = 0,58 0, 054 P X 0,7815 = P Z 0,58 = 1 P Z 0,58 = = 0,810 La ormal de la muestra es N0,75, = N( 0,75;0,054) Por tato ( ) ( ) ( ) E uas eleccioes a alcalde, el 56 % de los votates opta por el cadidato A mietras que el 44% lo hizo por el cadidato B. a) Hallar la distribució de probabilidad de las muestras de tamaño 100 extraídas de la població. b) Calcular la probabilidad de que e ua muestra de 50 votates haya, al meos 30 favorables al cadidato A c) Si la muestra es de tamaño 100, cuál es la probabilidad de que ua mayoría apoye al cadidato B? Teemos: p = 0,56; q = 1 0,56 = 0,44 0,56 0, a) Como = 100, la distribució de probabilidad es N0,56, = N0,56; ( 0,050) b) E este caso teemos que Tipificamos: 30 x 0,6 50 0, 6 0,56 z = = 0,57Por tato : 0, 07 0,56 0, = = y como = 50 N0,56, = N( 0,56; 0,070) P ( X 0,6) = P ( Z 0,57) = 1 P ( Z 0,57) = 1 0,7157 = 0,843 c) Como os pide la mayoría, esto sigifica que x = 0,5. 0,5 0,56 Tipificamos: z = = 1, 0, 05 P X 0,5 = P Z 1, = 1 P Z 1, = 1 1 P Z 1, = P Z 1, = 0,8849 Por tato : ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( )

3 Ua muestra aleatoria de 100 alumos que se preseta a selectividad revela que la media de edad es de 18,1 años. Hallar u itervalo característico del 90% para la edad media de todos los estudiates, sabiedo que la desviació típica de la població es de 0,4. Teemos: = 100; x = 18,1; = 0,4; 1 = 0,9 = 1 0,9 = 0,1 ( ) 0,1 P Z z = 1 = 1 = 0,95 z Etoces, el itervalo característico es: 0, 4 0, 4 = 18,1 1,645, 18,1 + 1,645 = ( 18,03; 18,17) E ua oposició e la que participaro miles de cadidatos se hizo u exame tipo test. La desviació típica fue 10. Si se elige al azar ua muestra co tamaño 100, co media muestral 71 putos, cuál será el itervalo característico para la media poblacioal co ua cofiaza del 90%? Teemos: = 100; x = 71; = 10; 1 = 0,9 = 1 0,9 = 0,1 ( ) 0,1 P Z z = 1 = 1 = 0,95 z Etoces, el itervalo característico es: = 71 1,645, ,645 = ( 69,355; 7,645) Las calificacioes de cierta asigatura sigue ua distribució ormal de media descoocida y variaza 4. Calcular, co u ivel de cofiaza del 98%, u itervalo para la putuació media sabiedo que e ua muestra de 64 estudiates se obtuvo ua putuació media de 5. Teemos: Calculamos ( ) = 64; x = 5; = 4 = ; 1 = 0, 98 = 1 0, 98 = 0, 0 z : 0, 0 P Z z = 1 = 0,99 z =,33 Etoces, el itervalo característico es: = 5,33,5,33 = 4, 4;5, ( ) Co el fi de estimar la edad media de los habitates de ua gra ciudad se tomo ua muestra de 300 persoas que arrojó ua edad media de 35 años y ua desviació típica de 7 años. Qué ivel de cofiaza se debería usar para que el itervalo fuese 35±0,44? Teemos: = 300; x = 35; = 7 Sabemos que el itervalo característico es: x ± z 7 Por tato: x ± z = 35 ± 0, 44 z = 0, 44 z = 0, 44 z = 1, Luego: ( ) ( ) ( ) = P Z z = P Z 1,09 = 0,861 1 = 0,861 = 0,758 1 = 0,74 = 7, 4% P Z z 1

4 Se sabe que los estudiates duerme u úmero de horas diarias que se distribuye segú la ley ormal de media µ horas y desviació típica =. A partir de ua muestra de 64 alumos se ha obteido el itervalo de cofiaza (7,6; 8,14). Determiar el ivel de cofiaza co que se ha costruido dicho itervalo. Teemos: = 64; = Sabemos que el itervalo característico es:. Si sumamos los extremos de este itervalo se obtiee: x + z + x z = x E uestro caso: x = 8,14 + 7,6 = 15, 4 x = 7,7 Además teemos que x + z = 8,14 Por tato: x + z = 8,14 7,7 + z = 8,14 z = 1,76 64 ( ) ( ) P Z z = P Z 1,769 = 0,9608 Luego: 1 = 0,9608 = 0, = 0,916 = 9,16% P ( Z z ) = 1 Ua máquia produce torillos. Se sabe que el 5% de ellos so defectuosos. Se empaqueta e caja de 400 torillos. Ecotrar u itervalo e el cual se ecuetre el 90% de las proporcioes de torillos defectuosos. Teemos: = 400; p = 0, 05 q = 1 0, 05 = 0, 95; 1 = 0, 90 = 0,1 0,1 P ( Z z ) = 1 = 0,95 z Etoces, el itervalo característico es: p q p q 0, 05 0, 95 0, 05 0, 95 p z, p + z = 0,05 1,645, 0,05 + 1,645 = ( 0,03;0,068) E cierta població, la proporció de iños co dos o más hermaos es del 40%. Hallar el itervalo de cofiaza para las muestras de tamaño 30, co ua cofiaza del 80% Teemos: = 30; p = 0, 4 q = 1 0, 4 = 0, 6; 1 = 0, 80 = 0, 0, P( Z z ) = 1 = 0,9 z = 1,8 Etoces, el itervalo característico es: p q p q 0, 4 0, 6 0, 4 0, 6 p z,p + z = 0,4 1,8, 0,4+ 1,8 = 0,9;0, ( ) Ua ecuesta realizada a 1100 persoas da los siguietes porcetajes de voto de dos partidos: partido A, 37%; partido B 39%. Si se realiza las eleccioes ese día, resultaría estadísticamete extraño que las hubiera gaado el partido A? Cosideremos ua cofiaza del 95%. Teemos: = 1100; pa = 0,37 qa = 0,63; pb = 0,39 qb = 0,61 0,95 P( Z z ) = = 0,975 z Etoces, los itervalos característicos so: p q p q 0,37 0,63 0,37 0,63 A: p z, p + z = 0,37 1,96, 0,37 1,96 = 0,34; 0, ( ) p q p q 0,39 0, 61 0,39 0, 61 B: p z, p + z = 0,39 1, 96, 0, 39 1, 96 = ( 0,36; 0, 4 ) Luego, auque o es probable si es posible ya que el cadidato A puede llegar al coseguir hasta el 40% de los votos (e el mejor de los casos) y el cadidato B sólo el 36% (e el peor de los casos).

5 Se desea hacer ua estimació sobre la edad media de ua determiada població. Calcular el tamaño de la muestra ecesario para poder realizar dicha estimació co u error meor de medio año, co u ivel de cofiaza del 99,7%. Se cooce que dicha població tiee ua desviació típica de 3. Teemos: E = 0,5; = 300; 1 = 0,997 ( ) 1 + 0,997 P Z z = = 0,9985 z =,965 Por tato: 3 0,5 =,965 = 17,79 = 316, 4841 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = 317 persoas Se desea realizar ua ivestigació para estimar el peso medio de los hijos recié acidos de las madres fumadoras. Se admite u error máximo de 50 gramos, co ua cofiaza del 95%. Si por estudios ateriores se sabe que la desviació típica del peso medio de dichos recié acidos es de 400 gramos, qué tamaño míimo de muestra se ecesita para la ivestigació? Teemos: E = 50; = 400; 1 = 0,95 = 0,05 0, 05 P( Z z ) = 1 = 0,975 z Por tato: = 45,86 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = 46 persoas El cociete itelectual de ua determiada població se distribuye segú ua ley ormal de desviació típica 10. Ecotrar el tamaño de la muestra ecesario para obteer u itervalo, co u ivel de cofiaza del 98%, para el cociete itelectual medio de la població de tal forma que el error máximo cometido e la estimació sea 3. Teemos: E = 3; = 10; 1 = 0, 98 = 0, 0 0, 0 P( Z z ) = 1 = 0,99 z =,33 Por tato: 10 3 =,33 = 7,77 = 60,3 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = 61 persoas La altura de u grupo de jóvees se distribuye segú ua ley ormal de media descoocida y variaza 5 cm. Si se ha seleccioado ua muestra aleatoria, co u ivel de cofiaza del 95% y se costruye u itervalo para la media poblacioal cuya amplitud es de 4,9 cuál ha sido el tamaño de la muestra? Teemos (la amplitud del itervalo equivale a la mitad del error): 4, 9 E = =, 45; = 5 = 5; 1 = 0, 95 = 0, 05 0, 05 P( Z z ) = 1 = 0,975 z Por tato: 5,45 = 16

6 Al medir el tiempo de reacció, u psicólogo sabe que la desviació típica del mismo es 0,5 segudos. Desea estimar el tiempo medio de reacció co u error máximo de 0,1 segudo, para la cual realiza 100 experimetos. Co qué ivel de cofiaza podrá dar el itervalo obteido? Teemos: E = 0,1; = 0,5; = 100 0,5 Como: 0,1 = z z = 100 ( ) ( ) P Z z = P Z = 0,977 Luego: 1 = 0,977 = 0, = 0,9544 = 95, 44% P ( Z z ) = 1 Deseamos coocer el úmero de persoas mayores de edad que sería ecesario icluir e ua muestra acioal para estimar la clase de actividad e España co u error absoluto de 0,04 y u ivel de cofiaza del 99,73%. Se sabe que p = 0,45 del último ceso. Teemos: E = 0,04; p = 0, 45 q = 1 0, 45 = 0,55; 1 = 0,9973 = 0,007 0,007 z : ( ) Calculamos P Z z = 1 = 0,99865 z = 3 p q 0, 45 0,55 Por tato: 0,04 = 3 = 139,1875 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = persoas Ua multiacioal está estudiado la posibilidad de istalar u uevo sistema de producció e sus empresas, para ello cosulta a sus trabajadores. Como u tiee igua referecia aterior sobre la opiió aterior supoe que tal opiió está dividida e dos partes iguales: 50% a favor y 50% e cotra. Si se desea ua fiabilidad e la ecuesta del 99%, co u error máximo del 4%, cuál debe ser el tamaño míimo de la ecuestas? Teemos: E = 0, 04; p = 0,5 q = 1 0,5 = 0,5; 1 = 0, 99 0,99 P ( Z z ) = = 0,995 z =,575 p q 0,5 0,5 Por tato: 0,04 =,575 = 3,1875 = 1036,04 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = persoas U fabricate de pilas alcalias sabe que el tiempo de duració, e horas, de las pilas fabricadas sigue ua distribució Normal de media descoocida y variaza Co ua muestra de su producció, elegida al azar, y ivel de cofiaza 95% ha obteido para la media el itervalo de cofiaza (37,6; 39,). a) Calcular el valor que obtuvo la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) Cuál sería el error de estimació si hubiera utilizado ua muestra de tamaño 5 y u ivel de cofiaza del 86,9%? a) Teemos: = 3600 = 60; 1 = 0,95 0,95 P( Z z ) = = 0,975 z Si sumamos los extremos de itervalo característico se obtiee: x + z + x z = x E uestro caso: x = 39, + 37,6 = 764, 8 x = 38, 4 60 Además teemos que: x + z = 39, 38, 4 + 1,96 = 39, = 1 = 144 Por tato: x + z = 8,14 7,7 + z = 8,14 z = 1, ,869 z : ( ) b) Calculamos P Z z = = 0,9345 z = 1,51 Por tato: 60 = 1,51 E = 6, 04 5

7 La estatura de los miembros de ua població se distribuye segú la ley ormal de media descoocida y desviació típica 9 cm. Co el fi de estimar la media se toma ua muestra de 9 idividuos de la població, obteiédose para ellos ua media aritmética igual a 170 cm. a) Calcular el itervalo de cofiaza al ivel del 95% para la estatura media de la població. b) Calcular el tamaño muestral ecesario para estimar la media de la població co ua precisió ±5 cm y u ivel de cofiaza del 99% a) Teemos: = 9; x = 170; = 9; 1 = 0,95 0,95 P( Z z ) = = 0,975 z Etoces, el itervalo característico es: 9 9 = 170 1,96, ,96 = 164,1; ( 5,88) b) Ahora los datos que teemos so: E = 5; 1 = 0,99 z =,575 Por tato: 9 5 =,575 = 4,635 = 1, 48 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = persoas El peso de los paquetes eviados por ua determiada empresa de trasportes sigue ua Ley Normal, co ua desviació típica de 0,9 kg. E u estudio realizado co ua muestra aleatoria de 9 paquetes se obtuviero los siguietes kilos: 9,5 10 8,5 10,5 1,5 10,5 1, a) Hallar u itervalo de cofiaza, al 99%, para el peso medio de los paquetes eviados por la empresa. b) Calcular el tamaño míimo que debería teer ua muestra e el caso de admitir u error máximo de 0,3 kg, co u ivel de cofiaza del 90%. a) Teemos: = 9; = 0,9; 1 = 0,99 z =,575 Ahora lo que os hace falta es calcular la media aritmética de los datos que se tiee: 9, ,5 + 10,5 + 1,5 + 10,5 + 1, x = = 11 9 Etoces, el itervalo característico es: 0, 9 0, 9 = 11,575, 11 +,575 = ( 10,17; 11, 83) 9 9 b) Ahora los datos que teemos so: E = 0,3; 1 = 0,90 z Por tato: 0, 9 E = z 0, 3 = 1, 645 = 4, 935 = 4,35 Redodeado teemos que la muestra tiee que ser de al meos = 5 persoas