ESTADÍSTICA I. Unidad 4: Resumen de Contenidos Teóricos 1. Mariano Lanza DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMÚNMENTE UTILIZADAS

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1 ESTADÍSTICA I Unidad 4: Resumen de Contenidos Teóricos Mariano Lanza DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD COMÚNMENTE UTILIZADAS. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS. Distribución Binomial Definición previa: Prueba Bernoulli: Es una prueba donde eiste una probabilidad de éito, la cual no cambia de una prueba a otra ( pruebas independientes ). Características de la Distribución Cuando un eperimento se basa en la repetición sucesiva de una prueba Bernoulli (donde la probabilidad de ocurrencia de la cada prueba es siempre la misma), se considera que se está ante la presencia de un proceso Bernoulli y la distribución Binomial es la generalización de dicho proceso. Forma funcional de la distribución Binomial Sea p la probabilidad de éito de un evento en un ensayo (o prueba) Bernoulli, y sea q-p la probabilidad de fracaso de la prueba. Entonces, la probabilidad de que el evento ocurra eactamente veces en n pruebas, está dada por: f ( ) P( X ) n p Propiedades de la Distribución Binomial Media: µ np q ( n ) n! p!( n )! q ( n ) Varianza: σ npq Desvío: σ npq Bibliografía consultada: Spiegel M. R y Stephens L. J. (00): Estadística. McGraw-Hill. Méico. Lind D. A, Marachal W. G. y Mason R. D. (004): Estadística para Administración y Economía. Ed. Alfaomega. Méico. De la Horra Navarro J. (003): Estadística Aplicada. Ediciones Díaz de Santos. España. Moore D. S. ( 000): Estadística Aplicada Básica. Antoni Bosch Editor S.A. España. Navidi William (006): Estadística para Ingenieros y Científicos. Ed. McGraw-Hil.

2 Gráficas de Distribución Binomial f ( ) P( X ) n p q ( n ) n! p!( n )! En los próimos gráficos, el n se mantiene fijo en 0 y se altera p para los siguientes valores: 0,; 0,; 0,5; 0,8 y 0,9 q ( n ) n0 y p 0, Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success n0 y p 0, Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success

3 n0 y p 0,5 Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success n0 y p 0,8 Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success 0.8 n0 y p 0,9 Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success

4 En los próimos gráficos, p se mantiene fijo en 0, y se altera n para los siguientes valores: 0, 0, 50 y 00 respectivamente. Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success 0. Binomial Distribution: Trials 0, Probability of success Binomial Distribution: Trials 50, Probability of success 0. Binomial Distribution: Trials 00, Probability of success

5 . Distribución Poisson Características de la Distribución Sea X una variable aleatoria discreta que puede tomar los valores 0,,,3,.,, tal que la función de probabilidad está dada por: Donde: f ( ) P( X ) λ e! λ es una constante positiva y representa el Nº de éitos en un intervalo específico. el número de ocurrencias buscado Dicha distribución se basa en los siguientes supuestos: La probabilidad de ocurrencia es proporcional a la etensión del intervalo considerado Los intervalos son independientes. Propiedades de la Distribución Media: Varianza: Desvío: µ λ σ λ σ λ Identificación para utilizar la distribución de Poisson Esta distribución, por lo general, describe la cantidad de veces que ocurre un evento en un intervalo determinado (se lo utiliza comúnmente para fracciones de tiempo, por ejemplo, en nº de fallas por hora (día/mes) en un proceso productivo. Si bien corresponde a una variable aleatoria discreta, está puede tomar infinitos valores. Por lo general el dominio de no está acotado por derecha (aunque su probabilidad sea próima a cero, o asintóticamente cero). Para calcular la probabilidad de, no es necesario conocer la cantidad de veces que se realiza una prueba (a diferencia de una binomial donde debe conocerse n). Distribución Poisson como un caso etremo de una distribución Binomial Esta distribución es una forma límite de la distribución Binomial cuando la probabilidad de éito p es muy pequeña y n muy grande ( n>30). Así, como el cálculo de la distribución Poisson es más sencillo y sus diferencias son despreciables cuando se dan las características antes señaladas, entonces se la utiliza como una aproimación de la distribución Binomial. Se utiliza la distribución Poisson como aproimación de una distribución Binomial cuando: p 0 n (n>30) np < 5 (En este caso, entonces debe calcularse el λ np ) λ 5

6 Gráficas de Distribución Poisson f ( ) P ( X ) λ e! λ En los próimos gráficos se altera el λ en la distribución Poisson Poisson Distribution: Mean 0.4 Poisson Distribution: Mean Poisson Distribution: Mean Poisson Distribution: Mean Poisson Distribution: Mean 30 Poisson Distribution: Mean

7 Ejemplo gráfico de la similitud entre la distribución Binomial y la distribución Poisson para el caso en que: p 0 n (n>30) np < 5 D. Binomial: P 0,0, n 00 D. Poisson: λ 0,0*00 Binomial Distribution: Trials 00, Probability of success 0.0 Poisson Distribution: Mean Distribución Hipergeométrica Es una distribución que se la utiliza para el caso en que se presentan las siguientes características: El eperimento consiste en una sucesión de pruebas, pero no eiste reemplazo en la muestra ( el evento es una sucesión de pruebas que poseen la característica de que cada evento o prueba no es independiente de los anteriores). Se conoce el tamaño de la población (N) Se conoce la probabilidad de éito en la población para le caso de la primer prueba del eperimento (lo que llamamos p y q). Es un caso particular del cálculo de probabilidades mediante combinatoria para eventos condicionales, pero en este caso solo referente a cantidad de éitos y fracasos. Forma funcional Donde: f ( ) P ( X ) N número total de la población (conocido) Np Nq n N n p probabilidad de éito del primer evento (total con condición/total de la población) q probabilidad de fracaso del primer evento (total sin condición/total de la población) éitos buscados en la prueba n número de veces que se repite el evento (sin reposición) 7

8 Parámetros de la Distribución µ Media: np Varianza: σ npq( N n) ( N ) Observaciones: si N ( o N es muy grande respecto al valor de n ), la función de Probabilidad Hipergeométrica se reduce a la distribución Binomial.. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS. Distribución Normal Función de Densidad f ( µ ) σ ( ) e σ π Donde: µ media de la variable X σ desvío de la variable / R ( < < ) Función de Distribución (Acumulada) ( v µ ) σ ( F ) P( X ) σ π e dv Si X tiene la función de distribución dada anteriormente, decimos que la variable aleatoria X está normalmente distribuida con media µ y desvío σ. Lo dicho se denota como: X N( µ ; σ ) Características de la distribución Normal La curva es simétrica con respecto al valor de la media. La curva tiene un valor máimo en el valor de la media. La curva tiene puntos de infleión en aquellos valores de para los cuales a la media se le suma o se le resta una desviación estándar. La curva, en sus etremos izquierdo y derecho, tiende a acercarse infinitamente al valor cero, es decir, el eje de las abscisas es asíntota horizontal. 8

9 Gráficos de distribución normal, para media 0 y diferentes desvíos (ver cambios en la altura de la función de densidad). Normal Distribution: µ 0, σ 0.3 Density Normal Distribution: µ 0, σ 6 Density Distribución Normal Estándar Sea X una V.A. que sigue una distribución normal X N( µ ; σ ), puede obtenerse una función de distribución normal con media cero y desvío igual a (denominada distribución normal estándar) si realizamos algunas operaciones. Si llamamos a Función de Densidad µ Z X σ, entonces Z N(0;) f ( z ) e ( z ) π z / z R Función de Distribución (Acumulada) ( < < ) F( z) P( Z z) e π z ( v) dv 9

10 Características de la distribución Normal Presenta las mismas características que la distribución normal (general), pero en este caso particular su media es igual a cero y el desvío igual a uno..3 Aproimaciones a una Distribución Normal.3. Teorema Central del Límite a) Versión de Lindeberg: Sean X, X,,Xn variables aleatorias independientes. Todas con: Igual función de distribución: F(X ), F( X ),, F(X n ) Iguales parámetros (media y desvío) m m.. m n m σ σ... σ n σ Si definimos a Y X+ X+ +Xn., entonces cuando n es suficientemente grande (n tiende a infinito), Y sigue una distribución normal con: m y n*m desvío (y) n * σ b) Versión de Liapunof Y N( n * m; n * σ ) o U N(0;), dado que Y E( Y ) U Desv( Y ) Sean X, X,,X n variables aleatorias independientes. Todas con: Su propia función de distribución ( que pueden o no coincidir) F(X )<> F( X ) <> <> F(X n ) Sus propios parámetros: (media y desvío) m <> m <>.<> m n σ <> σ <>... <> σ n Si definimos a Y X + X + +X n., entonces cuando n es suficientemente grande (n tiende a infinito), Y sigue una distribución normal con: m y n m i i ; desvío ( σ ) n i i n m i i n Y N( ; σ ) o U N(0; ), dado que i i.3. Aproimación de una distribución Binomial a una distribución Normal Dada una variable aleatoria X que sigue una distribución Binomial X Bi( n; p) Y E( Y ) U. Desv( Y ) Cuando n>30 0

11 La probabilidad de éito es semejante a la probabilidad de fracaso ( p q ), Entonces, la variable aleatoria X puede aproimarse a una distribución normal (por aplicación del teorema central del límite) Ejemplo gráfico: X N( np; npq) D. Binomial con n 00 y p 0,5 X N( np; npq) o X N(50;5) Normal Distribution: µ 50, σ Binomial Distribution: Trials 00, Probability of success 0.5 Density Aproimación de una distribución Poisson a una distribución Normal Dada una variable aleatoria X que sigue una distribución Poisson X Po(λ) Cuando λ Entonces, la variable aleatoria X puede aproimarse a una distribución normal Ejemplo gráfico: X N( λ; λ ) D. Poisson λ 50 X N( λ; λ ) X N(50;7,0706) Poisson Distribution: Mean 50 Normal Distribution: µ 50, σ Density

12 .4 Otras Distribuciones Continuas.4. Distribución χ Teorema :Sean X, X,,X v variables aleatorias independientes, todas distribuidas normalmente con media 0 y desvió ( normal estándar): Sea B X + X + X X v Entonces B posee una distribución Chi-cuadrado, con v grados de libertad. B χ (v) Teorema : Sean U, U,,U k variables aleatorias independientes, que siguen una distribución Chi-Cuadrado con v, v,,v k grados de libertad respectivamente. Entonces sus suma W U + U + +U k, sigue una distribución Chi-cuadrado con v +v + +v k grados de libertad. Sea W U + U + +U k Donde U i Entonces χ v ) ( i W χ v + v v ) ( k Propiedades de la Distribución Chi-Cuadrado Esta definida para valores mayores o iguales a cero E( χ k ) k V ( χ k ) k ( ) ( ).4. Distribución t student Sean Y y Z variables aleatorias independientes donde: Y N(0;) Z χ k Entonces: B Y t (k ) Z k Propiedades de la distribución t student E(t) 0 Si k, entonces t(k) N(0,).4.3 Distribución F - snedecor Sean V y V variables aleatorias independientes que poseen una distribución Chi- Cuadrado con v y v grados de libertad respectivamente, entonces: V v V V v F( v; v )