DETERMINANTES. Se denomina determinante de una matriz cuadrada, A, de orden, 3, y se denota,, A al número

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Eugenio Páez Olivares
hace 6 años
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1 DETERMINNTES CPR. JORGE JUN Xuvi-Nrón Se mtriz cudrd de orden, n. Formdos todos los productos posibles de, n elementos, tomdos entre los, n 2 elementos, de l mtriz,, de modo que en cd producto hy un fctor de cd fil y uno de cd column, y nteponiendo cd producto el signo, +, o el signo, -, según que ls permutciones que indicn ls fils y ls columns sen de l mism o distint clse, el polinomio que tiene como términos todos los productos sí formdos con sus signos correspondientes, se llm determinnte de l mtriz,, y e represent por Se denomin determinnte de un mtriz cudrd,, de orden, 2, y se denot,, l número rel que viene ddo por l expresión = = Se denomin determinnte de un mtriz cudrd,, de orden, 3, y se denot,, l número rel que viene ddo por l expresión = = Ls línes que se siguen pr l obtención del determinnte de l mtriz,, de orden, 3, se denomin regl de Srrus. En color zul están ls línes de los términos que tienen un signo, +, delnte de su expresión y en color rojo están los términos que tienen un signo, -, delnte de su expresión. Los determinntes de ls mtrices cudrds,, de orden, n, tienen ls siguientes propieddes: determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 652 Leopoldo E. Álvrez

2 El determinnte de un mtriz cudrd,, de orden, n, coincide con el determinnte de su mtriz trnspuest, t. t = El vlor del determinnte no vrí si se cmbin ls fils por ls columns sin lterr el orden reltivo de los elementos de cd un t t Si en un mtriz cudrd,, de orden, n, se intercmbin dos de sus fils ó dos de sus columns sin lterr el orden reltivo de sus elementos, el vlor bsoluto del determinnte no vrí pero el determinnte cmbi de signo. det (F 1,F 2,F 3 )= -det (F 2,F 1,F 3 ) Si en un mtriz cudrd se intercmbin tres fils ó tres columns su determinnte no vrí determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 653 Leopoldo E. Álvrez

3 Un determinnte que teng dos fils o dos columns igules es nulo. det (F 1,F 1,F 3 )= 0 Cmbindo de orden ess fils o ess columns el determinnte cmbirí de signo, pero como son igules el resultdo no hbrá cmbido, resultndo det (F 1,F 1,F 3 )= - det (F 1,F 1,F 3 ) det (F 1,F 1,F 3 )+ det (F 1,F 1,F 3 )= 0 det (F 1,F 1,F 3 )= 0 Si en un mtriz cudrd,, de orden, n, se multiplic por un mismo número los elementos de un fil ó de un column, su determinnte qued multiplicdo por ese número. det (k.f 1,F 2,F 3 )= k.det (F 1,F 2,F 3 ) k k k k k k k... k... k... k... k... k k.( ) k En generl n n n n n1 n2 nn n1 n2 nn Si un determinnte tiene dos columns ó fils proporcionles es nulo, pues dividiendo un de ls columns ó fils por el fctor de proporcionlidd, el determinnte qued con dos columns o dos fils igules. det (F 1,k.F 1,F 3 )= k. det (F 1,F 1,F 3 )= 0 Si un determinnte tiene un fil ó un column combinción linel de ls restntes fils ó columns, entonces su determinnte es nulo. det (F 1,F 2,F 1+F 2)= det (F 1,F 2,F 1)+det (F 1,F 2,F 2)=.det (F 1,F 2,F 1)+.det (F 1,F 2, F 2)= 0+0= 0 Si un mtriz cudrd,, de orden, n, tiene un fil ó un column con todos sus elementos nulos, su determinnte es cero. det (F 1,F 2,0)= det (F 1,F 2,0.F 3 )= 0. det (F 1,F 2,F 3 )= 0 determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 654 Leopoldo E. Álvrez

4 Si un mtriz cudrd,, de orden, n, es tl que los elementos de l fil ó l column i-ésim son sum de dos ó más números entonces su determinnte se puede descomponer en sum de dos ó más determinntes que tengn en lugr de l fil ó l column i-ésim cd uno de los términos de ess fils ó columns, conservndo los vlores de ls restntes fils ó columns. det (F 1 +F 1,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+ det (F 1,F 2,F 3 ) se verific entonces Recíprocmente l sum de determinntes con, n-1, columns igules y l column, i-ésim, desigul, es otro determinnte con dichs, n-1, columns igules y en lugr de l column, i-ésim, l sum de ls columns, i-ésims, de todos los determinntes Si un mtriz cudrd,, de orden, n, se le sum un fil ó un column un combinción linel de ls demás fils ó columns su determinnte no vrí. det (F 1,F 2,F 3 )= det (F 1 +F 2 +F 3,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+det (F 2,F 2,F 3 )+ det (F 3,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+.det (F 2,F 2,F 3 )+.det (F 3,F 2,F 3 )= det (F 1,F 2,F 3 )+.0+.0= det (F 1,F 2,F 3 ) se,, l mtriz que result de l nterior sumándole l tercer fil un combinción linel de ls dos primers fils determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 655 Leopoldo E. Álvrez

5 k k k k k k l mtriz,, es sum de ls mtrices k111 k221 k112 k222 k113 k2 23 se verific entonces k k k k k k k k k k k k Si un mtriz cudrd,, de orden, n, tiene dos fils ó dos columns igules su determinnte es nulo El determinnte del producto de dos mtrices cudrds,, y, B, de orden, n, es igul el producto de sus determinntes. B. =.B Dependiendo del vlor del determinnte de un mtriz ests se clsificn en: Mtriz singulr Es un mtriz cudrd cuyo determinnte es nulo. En un mtriz singulr los vectores column, o los vectores fil, son linelmente dependientes Mtriz regulr Es un mtriz cudrd cuyo determinnte es distinto de cero. determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 656 Leopoldo E. Álvrez

6 En un mtriz regulr sus vectores fil, ó sus vectores column, son linelmente independientes. Se llm rngo de un mtriz l rngo de sus vectores fil o column. En un mtriz, (m,n), el rngo del sistem de vectores fil es igul l rngo del sistem de vectores column. Tod mtriz regulr es cudrd. Se un mtriz de dimensión, m x n Por ser regulr, si su rngo es, r, por el teorem nterior r= m, y, r= n El rngo de un mtriz,, de dimensión, m x n, es igul l orden máximo de mtrices cudrds regulres extríds de ell. Ddo un conjunto de vectores de un espcio vectoril, el máximo número de ellos linelmente independientes es igul l rngo de l mtriz de sus coordends. Dd un mtriz cudrd,, de orden, n, se denomin mtriz complementri del elemento, ij, l submtriz, M ij, que result de l mtriz,, suprimiéndole l fil, i, y l column, j. M Dd un mtriz cudrd,, de orden, n, se denomin menor complementrio del elemento, ij, de l mtriz,, y se denot, ij, l determinnte de l mtriz cudrd de orden, n-1, que está formd por todos los elementos de l mtriz,, excepto los pertenecientes l fil, i, y su column, j. 32 = Dd un mtriz cudrd,, de orden, n, se denomin djunto del elemento, ij, de l mtriz,, y se denot, ij : l menor complementrio, ij, del elemento, ij, con su signo ó con signo cmbido según se pr ó impr l sum de los dígitos, i+j. ij = (-1) i+j. ij l determinnte de un mtriz complementri, M ij, precedid del signo, +, ó, -, según que l sum, i+j, de los subíndices se pr ó impr respectivmente. determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 657 Leopoldo E. Álvrez

7 El determinnte de un mtriz cudrd,, de orden, n, se obtiene desrrollándolo como l sum de los productos de los elementos de un fil ó un column multiplicdos por sus djuntos correspondientes n n n n 1 n2 n3 nn n3. n3 = sí en generl si se desrroll el determinnte de l mtriz cudrd,, de orden, n por: l fil, i, se escribe i1. i1 + i2. i2 + i3. i3 + + in. in = l column, j, se escribe 1j. 1j + 2j. 2j + 3j. 3j + + nj. nj = Dd un mtriz cudrd,, de orden, n, se llm: Mtriz djunt, d() l trnspuest de l mtriz que result de sustituir los elementos de l mtriz,, por sus djuntos en el determinnte de l mtriz, n n n 1 n2 nn n n 2 dj( ) 1 n 2 n nn Ls fils de l mtriz,, y de l mtriz djunt, dj(), tienen ls siguientes propieddes: L sum de los productos de los elementos de un fil por sus djuntos coincide con el vlor del determinnte de l mtriz, = det () L sum de los productos de los elementos de un fil por los djuntos de otr fil diferente es nul = 0 Estos productos resultntes se pueden obtener como el producto de ls mtrices. t dj() Si se trnspone l mtriz djunto, dj(), de l mtriz,, se obtiene otr mtriz, *, n n 2 * 1 n 2 n nn determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 658 Leopoldo E. Álvrez

8 L mtriz, *, tiene ls siguientes propieddes: El producto de un mtriz,, por l trnspuest de su djunt, *, es un mtriz esclr, en l que el vlor constnte de l digonl es el determinnte,, de l mtriz, * *. 0 0 Si, 0, entonces se puede obtener l mtriz unidd, I, sin más que dividir tods ls fils de l mtriz, *, por el vlor,. Se verific 1 1 t.. *.. dj( ) I Si l mtriz djunt trnspuest, *, es l djunt de l mtriz,, se verific = n-1.*=.*= n de donde *= n n1 Mtriz invers Se llm mtriz invers, -1, de l mtriz cudrd,, l mtriz cudrd de orden, n, tl que. -1 = -1.= I I mtriz unidd de orden, n. Como de ls propieddes de l mtriz djunt se sbe que 1 1 t.. *.. dj( ) I se deduce 1 1. t dj ( ) determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 659 Leopoldo E. Álvrez

9 *.. I se escribe. * I por comprción de l definición de mtriz invers y de este resultdo se deduce 1 * 1 * n n n 1 n2 nn n n2 1 n 2 n nn L condición necesri y suficiente pr que un mtriz cudrd de orden, n, pose mtriz invers es que su determinnte se distinto de cero, es decir, l mtriz h de ser regulr. Si,, y, B, son dos mtrices regulres de orden, n, se verific (.B) -1 = B Mtriz ortogonl Un mtriz cudrd,, se dice ortogonl si su invers, -1, es igul su trnspuest, t. -1 = t El determinnte de un mtriz ortogonl es, 1, o, -1. determinntes Deprtmento Mtemátics CPR Jorge Jun Xuvi 660 Leopoldo E. Álvrez

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