TEMA 4. POLINOMIOS. Los números reales son polinomios de grado 0.

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Gerardo Luna Bustamante
hace 6 años
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1 TEMA 4. POLINOMIOS. ACCESO CICLO SUPERIOR 1) INTRODUCCIÓN. CONJUNTOS NUMÉRICOS. El concepto de número es tan antiguo o más que la propia civilización. El primer conjunto del que se tiene conocimiento es el de los números naturales, N = {1, 2, 3, } utilizados para contar. Pero con el tiempo, fue necesario ampliar este conjunto ya que en las transacciones comerciales, frecuentemente se dejaba a deber dinero o especias. Fue entonces cuando aparecieron los números enteros, Z = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, }. Cuando el ser humano comenzó a trabajar con partes de los distintos objetos, se tuvo que trabajar con otros números, los números racionales o fracciones b a, donde a y b son números enteros y b no puede ser nunca 0. Pero no es suficiente con estos números para abarcar todas las operaciones. Los griegos plantearon el problema de buscar la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, cuya solución sabemos que es 2. A los números que al igual que 2 no son racionales ya que no se pueden representar en forma de fracción se les llama números irracionales. Al conjunto de los números racionales e irracionales se denomina conjunto de los números reales. 2) CONCEPTO DE POLINOMIO. Un polinomio en una variable es una expresión del tipo a n x n + a n-1 x n a 1 x + a 0, dónde a n, a n-1, a 1, a 0 son números reales. Si suponemos que a n no es cero, diremos que el grado del polinomio es n, y escribiremos grad(p) = n. A a n lo llamaremos coeficiente principal, y a a 0 término independiente. Los números reales son polinomios de grado 0. Los polinomios que tan sólo tienen un término se llaman monomios ( 2x 2 ), y los que tiene dos términos binomios (3x -1). 3) OPERACIONES CON POLINOMIOS. a) Suma y resta. En un polinomio sólo podemos sumar o restar los términos semejantes, es decir, los que tengan las mismas incógnitas y el mismo grado. Por ejemplo: (3x 3 5x 2 + 2x 3 ) + ( 3x 2 2) = 3x 3 2x 2 + 2x - 5 b) Producto de monomios. Para multiplicar dos monomios, multiplicamos por una parte el coeficiente y se queda la incógnita elevada a la suma de los exponentes. Ejemplo: 3x 2 2x 5 = 6x 7 1

2 c) Producto de polinomios. Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los términos del primero por todos los del segundo. A continuación, se agrupan términos semejantes. Ej: (3x 2 4) (2x + 1) = 3x 2 2x + 3x x 4 1 = 6x 3 + 3x 2 8x 4 d) División euclídea de polinomios. De manera similar a la división de números, dados dos polinomios P y S, con S 0, existen otros dos polinomios Q y R tales que P = S Q + R, con grad(r) < grad (S) Siendo P el dividendo, S el divisor, Q el cociente y R el resto de dicha división. Ejemplo: 4x 3 3x x 2 x + 1-4x 3 + 4x 2 4x 4x + 1 x 2 4x + 3 -x 2 + x - 1-3x + 2 e) Regla de Ruffini. En el apartado anterior hemos visto la división de polinomios en general, pero el caso más importante de la división es el caso en el que el divisor es un binomio del tipo x ± a, como por ejemplo: x 3, x + 1, En estos casos se puede realizar la división por el método expuesto anteriormente, pero además hay otro método, el de Ruffini. Ejemplo: (x 4 + 3x 3 + 2x 2-2x + 4) : (x 2) Los números de la fila inferior obtenida son los coeficientes del cociente (un grado menor que el dividendo), excepto el último número que es el valor del resto. En este ejemplo: Cociente = x 3 + 5x x + 22, Resto = 48. 2

3 4) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS. a) Valor numérico Llamaremos valor numérico de un polinomio para x = a al valor resultante de sustituir la x por a en dicho polinomio, y lo designaremos por P(a). Ejemplo: P(x) = x 2 3x + 1, P(2) = -1 b) Raíz, cero y solución. Un número a será raíz, cero o solución de un polinomio P(x) cuando al sustituirlo en el polinomio dé 0, es decir, P(a) = 0. En ese caso podemos descomponer el polinomio de la siguiente forma: P(x) = (x a) Q(x). Ejemplo: Sea P(x) = x 2 x 6. El número 3 es una raíz, ya que P(3) = 0. Por lo tanto, P(x) = (x 3) (x + 2) c) Teorema del resto. De lo visto anteriormente se deduce este importante teorema que dice: El resto de dividir P(x) entre (x a) es P(a) d) Factorización: Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de otros polinomios de grado menor, de forma que estos nuevos polinomios no se puedan descomponer más. i) Polinomios de primer grado. Un polinomio del tipo x ± a, ya es un polinomio irreducible (que no se puede descomponer más). En cambio, si el polinomio tiene término principal, deberemos sacarlo como factor común. Ejemplo: 3x 2 = 3 (x 2/3) ii) Polinomios de segundo grado. Para factorizar un polinomio de segundo grado del tipo P(x) = ax 2 +bx+c, necesitamos conocer sus raíces. Para ello resolvemos la ecuación P(x) = 0. Si obtenemos dos soluciones (x 1 y x 2 ), la factorización será P(x) = a (x x 1 ) (x x 2 ). Si obtenemos una única solución (x 1 ), tendremos P(x) = a (x x 1 ) 2. Si no obtenemos soluciones es que el polinomio ya es irreducible. iii) Polinomios de grado mayor que dos. Hemos de aplicar la regla de Ruffini para encontrar raíces del polinomio. Deberemos probar con los números que sean divisores del término 3

4 independiente. Cada raíz a que encontremos por Ruffini implicará un factor (x a) en la descomposición. En el momento en que el polinomio cociente sea de grado 2, ya podremos aplicar el procedimiento del apartado ii) Antes de factorizar, hemos de intentar sacar factor común siempre que sea posible. Cada x que saquemos significará una raíz 0 del polinomio. Ejemplo: P(x) = x 6 15x 4 42x 3 40x 2 Sacamos factor común: P(x) = x 2 (x 4 15x 2 42x 40) Aplicamos Ruffini probando con (±1, ±2, ±4, ±5, ±8, ±10, ±20, ±40). Nos sale para Como el polinomio cociente es de grado 3, todavía volvemos con Ruffini, que sale con En este caso, el cociente es x 2 + 3x + 4, que es un polinomio de grado 2 y lo resolvemos por la fórmula de la ecuación cuadrática. No tiene soluciones, por lo que la descomposición final será: P(x) = x 2 (x + 2) (x 5) (x 2 + 3x + 4) Raíces: 0, 0, -2, 5 4

5 EJERCICIOS DE POLINOMIOS ACCESO CICLO SUPERIOR 1. Realiza las siguientes operaciones: a. (3x 2 x + 5) + (x 2 + 4x + 2) b. (7x 3 + 4x 2 5) (3x 3 2x 2 8) 2. Dados los polinomios A(x) = 2x 2 x 3 y B(x) = -2x 4 + 3x 3 6, calcula: a. 2 A(x) b. 3 B(x) c. A(x) + B(x) d. A(x) B(x) 3. Dados los polinomios A(x) = 2x 2 x 3 y B(x) =-2x 3 + 3x 2 6, calcula: a. A(x) A(x) b. A(x) B(x) 4. Calcula los siguientes productos notables: a. (2x + 1) 2 b. (5x 2) 2 c. (3x 1) (3x + 1) 5. Efectúa las siguientes divisiones de polinomios aplicando la Regla de Ruffini. A(x) = x 6-2x 5 + 3x 4-2x 3 + 5x - 8 B(x) = x + 1 C(x) = x - 2 D(x) = x + 3 Hallar a) [A(x)] / [B(x)] b) [A(x)] / [C(x) c) [A(x)] / [D(x)] 5

6 6. Factoriza y averigua las raíces de los siguientes polinomios. a) P(x) = x 2 3x + 2 2,1 b) P(x) = x 3 2x 2 5x + 6 1,3,-2 c) P(x) = 4x 4 4x 3 9x 2 + x + 2 2,-1,1/2,-1/2 d) P(x) = x 3 3x 2 + x 3 3, x 2 +1 e) P(x) = 9x x 3 31x 2 8x ,-3,2/3, -2/3 f) P(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 6x + 3-1,-1, x 2 +3 g) P(x) = x 5 + 3x 4 9x 3 + 5x 2 0,0,1,1,-5 h) P(x) = x 2 5x + 6 2,3 i) P(x) = x 5 5x 4 6x 3 0,0,0,6,-1 j) P(x) = x 3 x 0,1,-1 k) P(x) = x 3 + 3x 2 4x 0,1,-4 l) P(x) = x 4 5x ,2,-1,-2 m) P(x) = x 3 + 4x 2 + 4x 0, -2,-2 n) P(x) = x 3 3x + 2 1,1,-2 o) P(x) = x 4 + 2x 3 23x 2 60x 0,5,-4,-3 p) P(x) = x 5 + 8x x x 2 0,0,-2,-3,-3 q) P(x) = 9x 4 36x x 2 + 4x 3 1,3,1/3,-1/3 r) P(x) = 2x 5 + 2x 4 2x 3 2x 2 0,0,1,-1,-1 s) P(x) = 4x 4 37x ,-3,1/2,-1/2 t) P(x) = 6x x x 2 + 9x 0, -1,-1, -3/2 u) P(x) = x x x x x ,-3,-5, x Calcula el valor de m en los siguientes casos, sabiendo que: a) x 3 3x 2 + mx es divisible por x 1 2 b) 5x 3 mx 2 5x + 10 es divisible por x 2 10 c) 2x 4 + mx 3 30x 2 10x + 28 es divisible por x d) x 3 + mx 2 x 2 da de resto 1 al dividirlo entre x 1 e) -1 es un cero del polinomio x 4-3mx 3 + 2x

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